Solutions de l'équation de propagation

Chapitre 4

FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN

COORDONNEES CARTESIENNES

Solutions de l'équation de propagation

( )

ω=−

( )

ω











∆+ω Pˆr; Fˆr; c²0

2 r r

( )

r;t fˆ

( )

r;t t pˆ

c 1

2 2 2 0

r r =−













∂

− ∂

∆

z Equation de propagation z Equation de Helmholtz

3 Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel

3 Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables

solutions à variables séparées

"base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète

Choix de système de coordonnées

piston plan

( )t cos

A ω

0 x

A cos ( ωt - k x )

plan d'air x

y a z source S

x y

z Source

O L

a

z Coordonnées cartésiennes z Coordonnées cylindriques

z Coordonnées sphériques

polynômes de Legendre fonctions circulaires

fonctions de Bessel L

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (1/3)

z Flux d'énergie Φ∝Aˆ²S proportionnel à la surface traversée et à

l'amplitude de l'onde au carré constante

=

Φ 2

2 2 1 2

1 S Aˆ S

Aˆ =

z Onde plane

S₁ S₂

Aˆ1 Aˆ2 S1=S2 Aˆ1=Aˆ2

Toute onde dont l'amplitude est indépendante du point, dans un espace donné, a un caractère plandans cet espace.

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (2/3)

z Onde cylindrique

constante r Aˆ² =

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/√rdans un certain espace, a un caractère cylindriquedans cet espace.

r₁ r₂

fil pulsant

S Aˆ²

∝

Φ avec S∝2πr

r Aˆ²

∝

Φ et Φ=constante

r Aˆ∝1

Application :départ en vacances sur l'autoroute En première approche, le bruit émis par l'autoroute peut être modélisé par un champ à caractère cylindrique

AMPLITUDE DES ONDES EN COORDONNEES CARTESIENNES, CYLINDRIQUES ET SPHERIQUES (3/3)

z Onde sphérique

constante r

Aˆ^{2 2}=

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/rdans un certain espace, a un caractère sphériquedans cet espace.

S Aˆ²

∝

Φ avec S=4πr²

2 2

r

∝ Aˆ

Φ et Φ=constante

r Aˆ∝1

Application :voiture seule en rase campagne En première approche, la voiture est une source ponctuelle vis à vis de l'habitation (champ à caractère sphérique)

r₁ r₂

angle solide Ω

OU conservation du flux d'énergie dans un secteur d'angle solide Ω 9si r Òalors S Òet amplitudeÔ: onde divergente 9si r Ôalors S Ôet amplitude Ò: onde convergente source ponctuelle

Problèmes à 1 dimension

z Toutes les variables du problème dépendent d'une seule coordonnée

( ) ( )

x;t ,vx;t , ˆ

( )

x;t

pˆ r ϕ

champs uniformes dans un plan perpendiculaire à la coordonnée champs d'ondes planes

x c₀ y

t fixé

A cos(-kx+ωt) z Exemples

z Bon choix de repère R=

(

O,erx,ery,erz

)

coordonnée x

Direction du vecteur vitesse (1D)

z Bon choix de repère R=

(

O,erx,ery,erz

)

coordonnée x

( )

x;t vˆx

( )

x;tex vˆy

( )

x;tey vˆz

( )

x;tez

vˆr = r + r + r

0 pˆ t grad vˆ

0

r r

=

∂ + ρ ∂

z Equation d'Euler

( ) ( )

_{e 0}

x t

; x pˆ t

t

; x vˆ

x 0

r r

r =

∂ +∂

∂ ρ ∂

( ) ( )

₀

x t

; x pˆ t

t

; x vˆx

0 =

∂ +∂

∂ ρ ∂

( )

0 t

t

; x vˆ_y

0 =

∂ ρ ∂

( )

₀

t t

; x vˆz

0 =

∂ ρ ∂

( )

x;t Kˆ

( )

x

vˆy = y

( )

x;t Kˆ

( )

x vˆz = z

( )

x;t vˆx

( )

x;tex

vˆ r

r =

( )

x;t vˆ moyennes temporelles nulles

= 0

= 0 notée

Equations de l'acoustique en unidimensionnel

0 pˆ t grad vˆ

0 r r

=

∂ + ρ ∂

0 vˆ t div ˆ

0 =

ρ

∂ + ρ

∂ r

ρ

=c ˆ pˆ ²0

3 3 3

z Lois fondamentales

0 t pˆ c

1

2 2 2 0

 =













∂

− ∂

∆

z Equation de propagation

3

( ) ( )

₀

x t

; x pˆ t

t

; x vˆ

0 =

∂ +∂

∂ ρ ∂

( ) ( )

₀

x t

; x vˆ t

t

; x ˆ

0 =

∂ ρ ∂

∂ + ρ

∂

( )

x;t c ˆ

( )

x;t pˆ = ²0ρ

( )

x;t 0 t pˆ c

1

x ²

2 20 2 2

 =













∂

− ∂

∂

∂ 3 3 3

3

Solution générale en unidimensionnel

z Equation de propagation pˆ

( )

x;t 0 t

c 1

x ²

2 2 0 2

2  =











∂

− ∂

∂

∂

c0

t x u= −

c0

t x v= +

v pˆ u pˆ t v v pˆ t u u pˆ t pˆ

∂ +∂

∂

=∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

=∂

∂

∂

v u 2 pˆ v

pˆ u

pˆ t

pˆ ²

2 2 2 2 2 2

∂

∂ + ∂

∂ +∂

∂

=∂

∂

∂



 





∂ +∂

∂

−∂

∂ =

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

=∂

∂

∂

v pˆ u pˆ c

1 x v v pˆ x u u pˆ x pˆ

0 







∂

∂

− ∂

∂ +∂

∂

= ∂

∂

∂

v u 2 pˆ v

pˆ u

pˆ c

1 x

pˆ ²

2 2 2 2 2 0 2 2

v 0 u 2 pˆ v

pˆ u

pˆ c

1 v u 2 pˆ v

pˆ u

pˆ c

1 ²

2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0

=









∂

∂ + ∂

∂ +∂

∂

− ∂









∂

∂

− ∂

∂ +∂

∂

∂

v 0 u

2pˆ

∂ =

∂

∂ pˆ=fˆ

( ) ( )

u+gˆv

( )

_^









+

+











 −

=

0

0 c

t x c gˆ t x fˆ t

; x pˆ

( )

x;t fˆ

(

x c t

) (

gˆx c t

)

pˆ = − 0 + + 0

( )

x;t fˆ

[ (

x c t

) ]

gˆ

[ (

x c t

) ]

pˆ = κ − 0 + κ + 0

z Changement de variables _et

3

3

z Report dans l'équation de propagation

z Solution générale

ou ou

Cas particulier : ondes planes progressives (1D)

onde plane progressive se propageant dans le sens des valeurs croissantesde x

onde plane progressive se propageant dans le sens des valeurs décroissantesde x

x c₀ y

( )

x;t fˆ

(

x c t

)

pˆ = − ₀

t fixé

→

( )

x;t gˆ

(

x c t

)

pˆ = + ₀

x c₀ y

t fixé

Cas particulier (1D) : ondes planes stationnaires (1/2)

x

( )

x;t

p à t1

à t2

à t₃ à t₄

( )

x;t X

( ) ( )

xTt

p =

( ) ( ) ( ) ( )

t ^{, x, t} T

t

"

T x X

x

"

c²0X = ∀ ∀

c0

k=ω

( )

x k X

( )

x 0

"

X + ² =

( )

t T

( )

t 0

"

T +ω² =

Succession de noeuds (ici zéros de pression) et de ventres (ici maxima de pression), qui évolue dans le temps suivant la loi imposée par la fonction T(t).

( )

x;t 0, x, t t p

c 1

x ²

2 2 0 2 2

∀

∀

 =













∂

− ∂

∂

∂

(pression réelle)

ne dépend que de x

ne dépend que de t ω2

−

avec Méthode de séparation des variables

Cas particulier (1D) : ondes planes stationnaires (2/2)

( )

x k X

( )

x 0

"

X + ² =

( )

t T

( )

t 0

"

T +ω² =

z

Une onde stationnaire est nécessairement sinusoïdaleen t.

( )

x Acos

( )

kx Bsin

( )

kx

X = +

( )

x Cˆe^ikx Dˆe ^ikx

X = + ⁻

( )

t Ecos

( )

t Fsin

( )

t

T = ω + ω

t

ei^ω e^−iωt ou

z ou T

( )

t=Gˆe^iωt+Hˆe^−iωt

En pratique, choix d'une convention temporelle ou L'une ou l'autre convention conduit au même résultat

réel

.

Ondes planes progressives et stationnaires

z

( ) ( ) ( ) [

cos

(

kx t

)

cos

(

kx t

) ]

2 t A cos x k cos A t

; x

p = ω = −ω + +ω

( )

x;t Acos

(

kx t

)

Acos

( ) ( )

kxcos t Asin

( ) ( )

kxsin t

p = −ω = ω + ω

(kx t) ikx i t

i e e

e ^+ω = ^ω

0 x

p_a

^ p^_b onde plane stationnaire onde plane

progressive

onde plane progressive

z

onde plane

progressive onde plane stationnaire

onde plane stationnaire

z

MAIS Re

[

e^i(kx+ωt)

]

=cos

(

kx+ωt

)

≠Re

( ) ( )

e^ikxRee^iωt exemple :

Les ondes planes (1/4)

( )

^{r;t fˆ}

(

^{n r c t}

) (

^{gˆnr c t}

)

pˆr = r⋅r− ₀ + r⋅r+ ₀ rr=OM

( )

[

c t nr

]

Fκ 0 −r⋅r

OM0

cos OM M O n r

nr⋅r=r⋅ = θ= z

z

θ →n

→n M0

M

O →r

→n

x

y z

O R

M

→r

A 1 instant donné, en tout point M tel que constante

r nr⋅r=

la valeur de la variable de champ (grandeur physique) est la même.

Ces points sont situés dans un même plan, appelé plan d'onde (surface d'onde plane), perpendiculaire à la direction de n :^→

Š

Les ondes planes (2/4)

(

c0t−nr⋅rr

)

=constante

(

c t nr

)

0

d ₀ −r⋅r= c₀

t d

r nr⋅dr= Lorsque le temps varie, suivre une valeur donnée de F

vitesse à laquelle doit se déplacer un point géométrique M pour suivre une valeur donnée de F

Š

c.à.d. soit

si r // n c n

t d

r d

0r r=

→ →

→n c₀

c₀ c₀

Les plans d'onde qui véhiculent une valeur donnée de la variable de champ F, se déplacent parallèlement à eux-mêmes dans la direction n qui leur est perpendiculaire, et avec la vitesse de propagation c₀.

→

Les ondes planes (3/4)

z Cas particulier d'une onde plane périodique : F périodique de période U

λ λ

λ

→n

(

r r

)

U n⋅ 2−1= κr r r

= κ

λ U

(

c t nr

)

u=κ 0 −r⋅r

( )

[

c t nr

]

Fκ 0 −r⋅r u

F(u) avec

A un instant t donné, et pour deux valeurs r1et r2du vecteur position r telles que

→ → →

F = constante alors

deux plans d'onde distants l'un de l'autre d'une longueur égale àU/κvéhiculent la même valeur de champ

cas particulier des champsmonochromatiques: Ccos

(

ωt−knr⋅rr+α

)

U=2π k

=2π λ

longueur d'onde

λ

M

≈onde plane

r

Les ondes planes (4/4)

z Validité de l'hypothèse d'onde plane

Approximation "onde quasi plane" d'un champ au voisinage d'un point d'observation M : cas d'un champ sphérique en hypothèse de champ lointain (r >> λ).

Les ondes planes monochromatiques (1/4)

z Onde monochromatique : propagation à 1 fréquence (pulsation ωdonnée) fréquence imposée par une source émettant en permanence

mouvement forcé, régime établi, acoustique linéaire

z Toute grandeur peut s'écrire uˆ

( )

x;t=Uˆ

( )

xe^iωt

( )

x;t Pˆ

( )

xe^{i t}

pˆ = ^ω

convention temporelle

( )

x;t Vˆ

( )

xe^{i t}

vˆr =r ^ω ϕˆ

( )

x;t=Φˆ

( )

xe^iωt

, , , ...

z Equation de Helmholtz

( )

x;t 0 t pˆ c

1

x ²

2 2 0 2

2  =











∂

− ∂

∂

∂ Pˆ

( )

xe 0, x, t

c x

t i 2

0 2 2

∀

∀

 =





















 + ω

∂

∂ ω

( )

x 0, x c Pˆ

x

2

2 0 2

∀

 =





















 + ω

∂

∂

0

0 c

k =ω

(

2 k²0

)

Pˆ

( )

x 0, x

x

x + = ∀

∂ Notation :

Les ondes planes monochromatiques (2/4)

z Recherche de solutions Pˆ

( )

x 0, x c

x

2

0 2

2 = ∀





















 + ω

∂

∂

équation mise sous la forme : (facteur indépendant de x) (fonction de x) =0,∀x

( )

x Aˆe ^ikx Bˆe^ikx

Pˆ = ⁻ +

(

−k²+k²₀

)

Pˆ

( )

x=0,∀x

2 0

2 k

k = k=k0 k=−k0

x k

e⁻i e^ikx

( )

x;t Aˆe^{i(kx t)} Bˆe^{i(kx t)}

pˆ = ^{− +ω} + ^+ω

Report dans l'équation de Helmholtz : avec k0=ωc0

équation de dispersion soit ou

redondant avec et choix : k=k0

onde plane progressive vers les x Ê

onde plane progressive vers les x Ì

Les ondes planes monochromatiques (3/4)

z Notation

(

0 T

)

c0= γ ρ χ

( )

x 0, x c Pˆ

R x i

2

0 2

2

∀

 =





















 + ω ω

∂ +

∂

(

−k²+iωR+k²₀

)

Pˆ

( )

x =0,∀x R

i k k2= ²0+ ω

0

0 c

k = ω

k0

k= équation de dispersion en fluide non dissipatif :

le nombre d'onde k n'est pas toujours égal à k₀

Š

t R pˆ

∂

Š Exemple : terme dissipatif de la forme ∂ source

milieu de propagation

masse volumique compressibilité

( )

x;t 0, x, t t pˆ

c 1 R t

x ²

2 2 0 2 2

∀

∀

 =













∂

− ∂

∂ + ∂

∂

∂

( )

x Aˆe ^ikx Bˆe^ikx

Pˆ = ⁻ +

équation de dispersion

Les ondes planes monochromatiques (4/4)

λ λ

λ

→n ^κ

= λ U

(

ωt−kn⋅r+α

)

cos

C r r

π

=2 U

k 2π

= λ longueur d'onde

( )

[

c t n r

]

F κ 0 −r⋅r de la forme

fonction périodique de période

Vecteur nombre d'onde kr=knr ou

vecteur d'onde

plan d'onde ≡plan équiphase

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (1/5)

x y

onde incidente O A^

onde réfléchie

^B

matériau d'impédance Z^

source monochromatique à l'infini

( )

t cos

A ω

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (2/5)

( )

y;t 0, y 0, t t pˆ

c 1

y ²

2 2 0 2

2  = ∀ ≥ ∀











∂

− ∂

∂

∂

( )

y;t Pˆ

( )

ye^{i t}

pˆ = ^ω

( )

y 0, y 0 c Pˆ

y

2

2 0 2

≥

∀

 =





















 + ω

∂

∂

( )

0 0 ˆ Pˆ k

n i ⁰  =



 



 + β

∂

∂ βˆ=ρ₀c₀ Zˆ

( )

y 0,y 0 ˆ Pˆ

k

y i ⁰  = =



 



 + β

∂

− ∂

ey

nr=−r z Equation de propagation

z Champ monochromatique incident

z Equation de Helmholtz

z Conditions aux frontières ^{avec et}

x y

onde incidente O A^

onde réfléchie B^

matériau d'impédance Z^

x y

onde incidente O A^ A^

onde réfléchie B^ B^

matériau d'impédance Z^ matériau d'impédance Z^

z Onde retour B se propage à l'infini^

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (3/5)

z Solutions du problème

( )

y;t pˆa

( )

y;t pˆb

( )

y;t

(

Aˆe^iky Bˆe^iky

)

e^{i t}

pˆ = + = + ^{− ω}

( )

y

( )

ik

(

Aˆe^iky Bˆe^iky

)

Pˆ y

y

Pˆ = − −

∂

∂

k0

k=

(

Aˆ Bˆ

)

ik ˆ

(

Aˆ Bˆ

)

0 k

i − + 0β + =

−

( ) ( )

1−βˆ=Bˆ1+βˆ Aˆ

β +

β

= −

= 1 ˆ

1 ˆ Aˆ ˆ_p Bˆ R

( ) (

iky

) [

p

( ) (

p

)

^iky

]

y p k

i ˆ e Aˆ2 ˆ cosky 1 ˆ e

e Aˆ y

Pˆ = +R ⁻ = R + −R

( )

y;t Aˆ

[

2 ˆpcos

( )

ky

(

1 ˆp

)

e^iky

]

e^{i t}

pˆ = R + −R ^ω

Š

Š

( )y 0,y 0 ˆPˆ

k

y i ⁰  = =



 



 + β

∂

−∂

Š Conditions aux frontières : équation de dispersion :

Š Coefficient de réflexion

Š Pression acoustique

partie stationnaire partie propagative

Si β=0 (matériau parfaitement rigide) : réflexion totale

^ x

y

onde incidente O A^

onde réfléchie

^B

matériau d'impédance Z^

x y

onde incidente O A^ A^

onde réfléchie

^BB

^

matériau d'impédance Z^ matériau d'impédance Z^

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (4/5)

z Vitesse particulaire

Š Equation d'Euler

Š

0

0 c

k

k= =ω

équation de dispersion :

Š Pression acoustique

( )

gradpˆ

( )

y;t 0 t

t

; y vˆ

0 r r

=

∂ + ρ ∂

( )

y;t Vˆ

( )

ye^it

vˆ =r ^ω

r

( ) ( ) ( )

it

0 0

y e y Pˆ i y

t

; y pˆ t i

; y

vˆ ^ω

∂

∂ ω

=ρ

∂

∂ ω

=ρ

( ) ( ) (

iky p ^iky

)

^it

0 0 t i y k p i y k i 0

e ˆ e c e e Aˆ ˆ e Aˆe t k

; y

vˆ ^{− ω} − ^{− ω}

ρ

= − ω −

ρ

=− R R

( )

i gradpˆ

( )

y;t t

; y vˆ

0ω

=ρ r

( )

y Aˆ

(

eiky ˆpe^iky

)

Pˆ = +R ⁻

x y

onde incidente O A^

onde réfléchie B^

matériau d'impédance Z^

x y

onde incidente O A^ A^

onde réfléchie B^ B^

matériau d'impédance Z^ matériau d'impédance Z^

Interaction d'une onde plane monochromatique avec une paroi d'admittance non nulle, en incidence normale (5/5)

z Intensité acoustique

x y

onde incidente O A^

onde réfléchie

^B

matériau d'impédance Z^

x y

onde incidente O A^ A^

onde réfléchie

^BB

^

matériau d'impédance Z^ matériau d'impédance Z^

(

^{pˆ*vˆ pˆvˆ*}

)

4

I 1 r r

r= +

(

^{pˆ*vˆ pˆvˆ*}

)

4

I=1 +

( )( ) ( )( )

[

iky iky ^*p ^iky

]

p y k i y k i p y k i y k i

* p y k i 0 0

*

ˆe e ˆ e e ˆ e e ˆ e c e

4 Aˆ

I Aˆ +R −R + +R −R

ρ

=− ^{− − − −}



 − ρ

=− p ²

0 0

2

1 ˆ c 2

I Aˆ R

ˆ_p=1 R

ici

( )

y;t Aˆ

(

eiky ˆpe^iky

)

e^{i t}

pˆ = +R ^{− ω}

( ) (

iky p ^iky

)

^it

0 0

e ˆ e c e t Aˆ

; y

vˆ − ^{− ω}

ρ

= − R

avec

Si la réflexion est totale, I = 0

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (1/5)

L x

0

p^_a p^_b

z t < 0 : sources acoustique dans le tube z t = 0 : extinction des sources

z solutions sont cherchées sous la forme d'une superposition d'ondes planes monochromatiques qui vérifient les conditions aux limites aux deux extrémités en x=0 et x=L

paroi parfaitement rigide paroi parfaitement rigide

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (2/5)

z Equation de propagation

z Source éteinte à t = 0 z Conditions aux frontières

( )

x;t 0, x

[ ]

0,L, t 0 t pˆ

c 1

x ²

2 2 0 2 2

≥

∀

∈

∀

 =













∂

− ∂

∂

∂

z Conditions aux frontières

( )

0;t 0

vˆx = vˆx

( )

L;t =0

L x

0 p^{^}_a

pb

0 ^

t≥

∀ ∀t≥0

L x en x n et 0 x en x

n=−∂∂ = ∂∂ =+∂∂ =

∂ avec ∂

en

soit

( )

_{0, t 0}

n t

; x

pˆ = ∀ ≥

∂

∂ x=^→n0etx=L ^→n

z Solution cherchée à caractère harmonique z Equation de Helmholtz

( ) ( )

x;t Pˆxe^{i t}

pˆ = ^ω

( )

[ ] ( ) [ ]



( )





=

=

=

∂

∈

∀

= ω

+

∂

, L x et 0 x , 0 x Pˆ

, L , 0 x , 0 x Pˆ c

x 2 0 2 xx

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (3/5)

z Solutions du problème

Š

L x

0 p^{^}_a

p_b

^

( )

x;t pˆ

( )

x;t pˆ

( )

x;t

(

Aˆe Bˆe

)

e , x

[ ]

0,L

pˆ = a + b = ^−ikx+ ^{ikx iωt} ∀ ∈

( )

x

Pˆ avec équation de dispersion : k=k⁰

(

^{ikx ikx}

)

^{i t}

0 0 x 0

x Aˆe Bˆe e

c pˆ 1 i

vˆ 1 − ⁻ + ^ω

ρ

= − ρ ∂ ω

= −

Š Vitesse particulaire

Š Conditions aux frontières

( )

[ ] ( ) [ ]



( )





=

=

=

∂

∈

∀

= ω

+

∂

, L x et 0 x , 0 x Pˆ

, L , 0 x , 0 x Pˆ c

x 2 0 2

xx

( )

( )





∀

= +

−

∀

= +

−

ω

− ω

. t , 0 e e Bˆ e Aˆ

, t , 0 e Bˆ Aˆ

t i L k i L k i

t i

( )





= +

−

=

− e 0.

e Aˆ

, Bˆ Aˆ

L k i L k

i soit 2isin

( )

kL=0c.à.d. kL=mπ , m ∈² L

km m

= π , m ∈²

m , 0 Aˆm= ∀

Š Solution triviale SAUF SI

valeurs propres

pulsations propres

L c c m

km 0 ⁰

m

= π

=

ω ; fréquences propres 2L

c m f_m 2^m= ⁰

π

=ω

( )

kL sin i 2

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (4/5)

z Champ complexe porté par chaque mode m

Š pression

Š vitesse

( ) ( )

m

( )

m ^{i t}

t i x k i x k i m

mx;t Aˆ e ^m e ^m e ^m 2Aˆ cosk xe ^m

pˆ = ⁻ + ^ω = ^ω

( ) ( ) ( )

m ^{i t}

0 0

m t i x k i x k i 0 0

m

xm ^{m m m} sink xe ^m

c Aˆ i e 2 e c e

t Aˆ

; x

vˆ ^{− ω ω}

ρ

=− +

ρ −

=−

z Champ total : superposition de modes propres

Š pression

Š vitesse

( )

∑

( )

∑^∞

( )

=

∞ ω

= =

=

0 m

t i m m 0

m pˆmx;t 2Aˆ cosk xe ^m

t

; x pˆ

( )

∑

( )

∑^∞

( )

=

∞ ω

= ρ

= −

=

0 m

t i m 0 0

m 0

m x

x m sink xe ^m

c Aˆ i t 2

; x v t

; x vˆ

i m m

m Aˆ e

Aˆ = ^α

avec

Champ acoustique dans un tube de longueur finie (1/D) (5/5)

z Champ réel porté par chaque mode m

Špression

Š vitesse

z Champ total réel : superposition de modes propres

Špression

Š vitesse

( )

∑

( )

∑^∞

( ) ( )

=

∞

= = ω +α

=

0

m m m m m

0

m pmx;t 2 Aˆ cosk xcos t

t

; x p

( )

∑

( )

∑^∞

( ) ( )

=

∞

= ω +α

=ρ

=

0

m m m m m

0 0 0

m m Aˆ sink xsin t

c t 2

; x v t

; x v

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 L/40.25 L/20.5 0.753L/4 1L

m=1

m=2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00 L/40.25 L/20.5 0.753L/4 1L

m=2 m=1

( ) [

m

( ) ]

m

( )

m

(

m m

)

mx;t Repˆ x;t 2Aˆ cosk xcos t

p = = ω +α

( ) [ ( ) ] ( )

m

(

m m

)

0 0

m m

m sink xsin t

c Aˆ t 2

; x vˆ Re t

; x

v ω +α

=ρ

=

pression

vitesse

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/5)

z Equation de propagation pˆ

( )

r;t 0, r , t t

c 1

2 2 20

∀

∈

∀

 =













∂

− ∂

∆ r r V

z Equation de Helmholtz

( )

ω= ∀ ∈V





















 + ω

∆ Pˆr; 0, r

c

2

0

r r

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

( )

r;t fˆ

(

nr c t

) (

gˆn r c t

)

pˆr = r⋅r− 0 + r⋅r+ 0

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

Š Coordonnées cartésiennes

Š Coordonnées cylindriques

Š Coordonnées sphériques

(

x,y,z;t

)

Xˆ

( ) ( ) ( ) ( )

xYˆyZˆzTˆt

pˆ =

(

r, ,z;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ZˆzTˆt

pˆ ψ = Ψψ

(

r, , ;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ˆ Tˆt

pˆ θψ = ΘθΨψ

Solution à variables séparées ≡Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/5)

z Equation de propagation

z Solutions à variables séparées pˆ

(

x,y,z;t

)

=Xˆ

( ) ( ) ( ) ( )

xYˆyZˆzTˆt

(

x,y,z;t

)

0,

(

x,y,z

)

, t t pˆ

c 1 z y

x ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2

∀

∈

∀

 =













∂

− ∂

∂ +∂

∂ + ∂

∂

∂ V

(

x,y,z

)

, t t ,

Tˆ c

1 Tˆ 1 z

Zˆ Zˆ 1 y

Yˆ Yˆ 1 x

Xˆ Xˆ 1

2 2 2 0 2 2 2 2 2 2

∀

∈

∂ ∀

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ V

fonction de x,y,z fonction de t

2

k0

−

= on pose k²₀c²₀=ω² t

, 0 t Tˆ

Tˆ 2 2

2 +ω = ∀

∂

∂

( )

t Gˆe^{i t}

Tˆ = ^ω

t

ei^ω t

e⁻i^ω

choixd'une convention temporelle

Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/5)

z Solutions à variables séparées - solution en x

( )

∈V

∀

∂ −

− ∂

∂

− ∂

∂ =

∂ k , x,y,z

z Zˆ Zˆ 1 y

Yˆ Yˆ 1 x

Xˆ Xˆ

1 2

2 0 2 2 2 2 2

fonction de y,z fonction de x

2

kx

−

= x , 0 Xˆ x k

Xˆ 2 2 x

2 + = ∀

∂

∂ Xˆ

( )

x=Aˆe^−ikxx+Bˆe^ikxx

( )

x Aˆ'cos

( )

k x Bˆ'sin

( )

k x

Xˆ = x + x

Bˆ Aˆ '

Aˆ= + Bˆ'=i

(

Bˆ−Aˆ

)

ou

avec et

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/5)

z Solutions à variables séparées - solution en y

fonction de z fonction de y

2

ky

−

=

ou z Solutions à variables séparées - solution en z

( )

∈V

∀ +

∂ −

− ∂

∂ =

∂ k k , y,z

z Zˆ Zˆ 1 y

Yˆ Yˆ

1 2

x 2 2 0 2 2 2

y , 0 Yˆ y k

Yˆ 2 2 y

2 + = ∀

∂

∂ Yˆ

( )

y=Cˆe^−ikyy+Dˆe^ikyy

( )

y Cˆ'cos

( )

k y Dˆ'sin

( )

k y

Yˆ = y + y

constante fonction de z

2

kz

−

=

ou

∈V

∀ + +

−

∂ =

∂ k k k , z

z Zˆ Zˆ

1 2

2 y 2 x 2 0 2

z , 0 Zˆ z k

Zˆ 2 2 z

2 + = ∀

∂

∂ Zˆ

( )

z=Eˆe^−ikzz+Fˆe^ikzz

( )

z Eˆ'cos

( )

k z Fˆ'sin

( )

k z

Zˆ = z + z