• Aucun résultat trouvé

Intégration sur les courbes et surfaces.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Intégration sur les courbes et surfaces."

Copied!
56
0
0

Texte intégral

(1)

Notes de cours de l'ISIMA, première année, http://www.isima.fr/leborgne

Intégrale sur les courbes et surfaces

Gilles Leborgne 31 mars 2022

Table des matières

0 Prérequis 2

0.1 Dérivée de l'inverse . . . 2

0.2 Changement de variable dans une intégrale . . . 2

0.3 Produit vectoriel . . . 3

1 Intégrales sur des courbes deR2 3 1.1 Dénitions : courbes paramétrées et courbes géométriques . . . 3

1.2 Changement de paramétrage . . . 5

1.3 Vecteur tangent, vecteur vitesse, vitesse . . . 5

1.4 Courbes simples et régulières . . . 6

1.5 Vecteur normal . . . 6

1.6 * Orientation du bord d'un domaine . . . 7

1.7 * Vecteur tangent unitaire . . . 8

1.8 Exemple : courbes sous forme explicite . . . 8

1.9 Longueur d'une courbe . . . 9

1.10 La longueur est indépendante du paramétrage . . . 11

1.11 Coordonnée curviligne intrinsèque . . . 12

1.12 * Centre de gravité . . . 13

1.13 Courbure, rayon de courbure, repère de Frénet . . . 14

1.14 * Formule intrinsèque de la courbure en 2-D . . . 18

2 * Intégrales sur des courbes de R3 18 3 * Travail, gradient 22 3.1 Travail (ou circulation) . . . 22

3.2 Dépendance du paramétrage : suivant le sens de parcours . . . 24

3.3 Gradient, travail et potentiel . . . 26

4 * Rotationnel, divergence, laplacien 28 4.1 Rotationnel . . . 28

4.2 Divergence . . . 30

4.3 Laplacien . . . 31

4.4 Formulaire . . . 31

5 Intégrales sur les surfaces 32 5.1 Introduction . . . 32

5.2 Vecteur normal à une surface et orientation d'une surface . . . 33

5.3 Aire d'une surface . . . 35

5.4 Indépendance du paramétrage . . . 37

5.5 * Gradient et surface z=f(x, y) . . . 38

5.6 * Gradient et courbe de niveau c=f(x, y) . . . 39

5.7 * Surface orientable . . . 40

5.8 * Orientation du bord d'une surface . . . 40

5.9 Élément d'aire vectoriel et ux à travers une surface . . . 41

5.9.1 Dénition . . . 41

5.9.2 Exemples . . . 41

5.9.3 Cas d'une surface sous forme explicite . . . 42

6 * Formules de GreenRiemann et de Stokes (courbe surface) 43 6.1 CasR2: formule de GreenRiemann . . . 43

6.2 CasR3: formule de Stokes (ou du rotationnel) . . . 48

7 * Formules de Gauss ou d'Ostrogradski (surface volume) 51 7.1 Introduction . . . 51

7.2 Formule de Gauss (ou d'Ostrogradski ou de la divergence) . . . 51

8 Annexe : diérentiabilité et vecteurs tangents 54

9 Annexe : primitive de cosm et de sinm 55

(2)

2

0 Prérequis

0.1 Dérivée de l'inverse

Soitϕ:

(]a, b[ →]c, d[

x →y=ϕ(x) )

un diéomorphisme (une application bijectiveC1 d'inverseC1), aveca < b et c < d. Son inverseϕ−1:

(]c, d[ →]a, b[

y →x=ϕ−1(y) )

est dérivable et on a ϕ−1(ϕ(x)) =x. D'où par dérivation de fonctions composées, pour tout x∈]a, b[:

−1)0(ϕ(x))ϕ0(x) = 1, soit (ϕ−1)0(y) = 1

ϕ0(x) quand y=ϕ(x). (0.1) Aussi écrit, pour tout y∈]c, d[:

−1

dy (y) = 1

dx(x) quand y=ϕ(x), (0.2)

Notation. On notey=y(x) =ϕ(x)etx=x(y) =ϕ−1(y), d'où : dx

dy(y) = 1

dy

dx(x) quand y=ϕ(x). (0.3)

Et c'est noté de manière très abusive :

dx dy = 1

dy dx

. (0.4)

Cette notation abusive peut être vue comme le passage à la limite dansRde :

∆x

∆y = 1

∆y

∆x ,

qui représente la relation entre les pentes approchées côté opposécôté adjacent dex=ϕ−1et de y=ϕ. Exercice 0.1 Montrer à l'aide de (0.3) (etϕun diéomorphismeC2) :

x00(y) =− y00(x)

(y0(x))3. (0.5)

Vériez-le pourx=y2.

Réponse. On a(ϕ−1)0(y) = 1

ϕ0−1(y)), cf. (0.1), donc(ϕ−1)00(y) = −ϕ00−1(y))(ϕ−1)0(y) (ϕ0−1(y)))2 , Casx=y2: iciϕ:x→y=√

xest un diéomorphisme deR+dansR+, d'inverseϕ−1:y→x=y2. On ax00(y) = 2, on ay(x) =√

x=x12, d'oùy0(t) = 12x12, d'oùy00(t) =−14x32 (pourx >0). D'où−(yy000(x))(x)3 =

1 4x32 1 8x

−3 2

= 2est bien égal àx00(y).

0.2 Changement de variable dans une intégrale

Soitϕ:x∈]a, b[→y =ϕ(x)∈]c, d[un diéomorphisme (= une application bijective C1 d'inverseC1 = un changement de variable), aveca < b etc < d.

Soitf ∈C0(]c, d[;R). On rappelle la formule de changement de variables :

y∈]c,d[

f(y)dy=

x∈]a,b[

f(ϕ(x))|ϕ0(x)|dx. (0.6)

En particulier, siϕest strictement croissante, i.e.ϕ0>0, on aa=ϕ−1(c)etb=ϕ−1(d)et : d

y=c

f(y)dy= b

x=a

f(ϕ(x))ϕ0(x)dx (car =

ϕ−1(d) x=ϕ−1(c)

f(ϕ(x))ϕ0(x)dx).

(Avecdy=ϕ0(x)dx.)

(3)

3 0.3. Produit vectoriel

Et siϕest strictement décroissante, i.e.ϕ0<0, on ab=ϕ−1(c)et a=ϕ−1(d)et : d

y=c

f(y)dy=− b

x=a

f(ϕ(x))ϕ0(x)dx, (car =

ϕ−1(d)=a x=ϕ−1(c)=b

f(ϕ(x))ϕ0(x)dx).

(Toujours avecdy=ϕ0(x)dx.)

Et pourf ∈C0(Rn;R), pourϕ~ :D→E un diéomorphisme, où Det E sont ouverts dansRn :

~y∈E

f(~y)dy=

~x∈D

f(~ϕ(~x))|J(~x)|dx,

oùJ = det(d~ϕ) :D→Rest le jacobien deϕ~ (déterminant de la matrice jacobienne). Et on ne doit pas oublier la valeur absolue du jacobien : contrairement au cas des fonctions de R→R, on ne peut pas parler de fonction

~

ϕ:D→E croissante ou décroissante : cela n'a pas de sens.

0.3 Produit vectoriel

Rappel sur le produit vectoriel dans R3 (base canonique (~e1, ~e2, ~e3), produit scalaire euclidien (·,·)R3). Si

~a=

 a1

a2

a3

et~b=

 b1

b2

b3

sont deux vecteurs, le produit vectoriel est le vecteur donné par :

~a∧~b= det

~

e1 a1 b1

~

e2 a2 b2

~

e3 a3 b3

=

a2b3−a3b2

a3b1−a1b3 a1b2−a2b1

, (0.7)

le déterminant formel écrit devant être calculé en développant par rapport à la première colonne : =

~ e1det

a2 b2 a3 b3

−~e2det

a1 b1 a3 b3

+~e3det

a1 b1 a2 b2

.

On vérie immédiatement que(~a∧~b,~a)R3= 0 = (~a∧~b,~b)R3 : le vecteur obtenu vérie~a∧~b⊥~aet~a∧~b⊥~b. Et||~a∧~b||est l'aire du parallélogramme de côté~aet~b: pour le vérier, quitte à changer de base orthonormée, on suppose ~a et~b dans le plan (Oxy) (donc a3 = b3 = 0), ce qui donne ||~a∧~b|| = a1b2−a2b1 = det(~a,~b), déterminant par restriction à R2 (on rappelle que dansRn le déterminant de n vecteurs donne le volume de l'hyper-parallélogramme limité par ces vecteurs).

Ce même calcul montre que||~a∧~b||2=||~a||2||~b||2−(~a,~b)2

R3.

1 Intégrales sur des courbes de R

2

On munit R2 =R×R de sa base canonique (~e1=(1,0), ~e2=(0,1)) et du produit scalaire associé de de sa norme :

~

vw~ = (~v, ~w)R2 = ( v1

v2

, w1

w2

)R2=v1w1+v2w2, et ||~v||=p

(~v, ~v)R2= q

v12+v22 (Pythagore), quand~v=v1~e1+v2~e2=noté

v1 v2

etw~ =w1~e1+w2~e2=noté w1

w2

.

SoitIun intervalle deRéventuellement non borné, i.e. de la forme[a, b]ou]a, b]ou[a, b[ou]a, b[ou]− ∞, b]

ou]− ∞, b[ou]a,∞[ou[a,∞[ou]− ∞,∞[=R, où on a supposéa < b.

1.1 Dénitions : courbes paramétrées et courbes géométriques

Un vecteur ~xnoté= ~r ∈ R2 est appelé vecteur position ou rayon vecteur. Ses composantes sont notées (x, y) = (r1, r2), i.e.~r=r1~e1+r2~e2=x~e1+y~e2noté=

r1 r2

= x

y

.

Dénition 1.1 Si à chaque instantton a un vecteur position~r=~r(t), on dispose alors de la fonction à valeurs vectorielles :

~r:





I →R2 t →~r(t) =

r1(t) r2(t)

noté= x(t)

y(t)

, (1.1)

appelée une courbe paramétrée par le paramètret, ou une trajectoire paramétrée. Et l'ensemble image : Γ = Im(~r) =[

t∈I

{~r(t)}={ x

y

∈R2: ∃t∈I, x

y

=~r(t)} ⊂R2. (1.2) est une courbe géométrique, encore appelé un arc géométrique, ou une trajectoire géométrique.

(4)

4 1.1. Dénitions : courbes paramétrées et courbes géométriques

Exemple 1.2 Segment de droite entre deux points A et B : paramétrisation usuelle : ~r(t) = A+t−−→ AB pour t∈[0,1]. Faire un dessin.

Exemple 1.3 Le cercle de rayon Rcentré en α

β

: paramétrisation usuelle :

~r(t) = x(t)

y(t)

= α

β

+

Rcos(t) Rsin(t)

. (1.3)

Le paramètre t est ici l'angle exprimé ici en radian (voir plus loin, exercice 1.40). Autre paramétrisation :

~ r(t) =

α+Rcos(ωt) β+Rsin(ωt)

pour ω 6= 0 et t ∈ [0,ω[. Ou encore ~r(t) =

α+Rcos(2π−t) β+Rsin(2π−t)

pour t ∈ [0,2π[

(courbe parcourue en sens inverse). Ou encore~q:u∈[a, b[→~q(u) =~r(ϕ(u))oùϕ: [a, b[→[0,2π[est bijective.

Exercice 1.4 Que représente la courbe~r(t) = x(t)

y(t)

=

−Rsin(t) R−Rcos(t)

pourt∈[0,2π]? Réponse. On a~r(t) =

0 R

+

Rsin(θ) Rcos(θ)

= 0

R

+

Rcos(π2 −θ) Rsin(π2 −θ)

=~q(θ)pourθ=t−π∈[−π, π]. C'est le cercle de rayonRde centre

0 R

qui commence en bas et qui est parcouru en sens inverse (dessin).

Dénition 1.5 Une courbe ~r est donnée sous forme explicite lorsqu'il existe une fonction y : x∈ [a, b] → y(x)∈Rtelle que

~ r(x) =

x y(x)

. (1.4)

La courbe est donc paramétrée avec xpremière abscisse cartésienne. Et l'image de~r est alors le graphe def. Exemple 1.6 Le graphe G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]} = {

x y

: ∃x ∈ [a, b], y = f(x)} d'une fonction f : [a, b] → R dénit la courbe paramétrée ~r : x ∈ [a, b] →

r1(x) =x r2(x) =f(x)

, ou bien, en rebaptisant le paramètre,~r:t∈[a, b]→

r1(t) =t r2(t) =f(t)

. Et donc la courbe géométrique estIm(~r) =G(f).

Remarque 1.7 Une courbe géométrique est un ensemble beaucoup plus général que le graphe d'une fonction.

Par exemple, le cercle de rayon R et de centre (0,0) est déni en coordonnées cartésiennes par l'équation x2+y2 = R2 et ce n'est pas le graphe d'une fonction : à un point d'abscisse x ∈]−R, R[ correspondent deux images : f1(x) = y1 = +√

R2−x2 et f2(x) = y2 = −√

R2−x2. Écrit ainsi, le cercle est déni à l'aide des 2 fonctions f1 et f2. Il est souvent plus pratique de décrire un cercle à l'aide d'une unique fonction~r, par exemple voir (1.3) (usage quasi-systématique en programmation). Par exemple dans MatLab, la commande pour dessiner Γ = G(f) est plot(x,y), qui signie donc plot(r1(t),r2(t)) où, dans le cas explicite, on a simplementr1(t) =tetr2(t) =f(t). Et un cercle est dessiné comme

r1(t) =Rcost r2(t) =Rsint

, qui ne nécessite qu'une fonction~ret non les deux fonctionsf1 etf2.

Dénition 1.8 Une courbe ~r : θ ∈ [a, b] → ~r(θ) ∈ R2 est paramétrée en polaire quand θ (en radian) est l'angle entre le vecteur position ~r(θ)et l'axe desx, i.e., quand il existe une fonction ρ: θ∈[a, b] →ρ(θ)∈R telle que

~ r(θ) =

ρ(θ) cosθ ρ(θ) sinθ

. (1.5)

Exemple 1.9 Cardioïde donnée parρ(θ) = 1 + cosθ pourθ∈[0,2π].

Remarque 1.10 Diérence entre courbe paramétrée et courbe géométrique. Exemple avec la courbe paramé- trée t∈[0,4π[→~r(t) =

α+Rcost β+Rsint

: elle a la même courbe géométrique (= le cercle) que la courbe (1.3), mais ici le cercle est parcouru 2 fois. Penser à une compétition d'athlétisme : les coureurs de 400m, 800m, 1500m, 3000m, 5000m et 10000m parcourent la même courbe géométrique... pas la même courbe paramétrée.

(5)

5 1.2. Changement de paramétrage

1.2 Changement de paramétrage

Exemple. Soit une routeΓreliant une ville A à une ville B. On prend une voiture ; on note~r:t∈[t0, T]→~r(t) la courbe paramétrée qui donne àtla position~r(t)de la voiture ; DoncIm~r= Γ(avec~r(t0) =Aet~r(T) =B).

Maintenant on suit cette même route (la même courbe géométriqueΓ) en vélo ; supposons que ce vélo aille trois fois moins vite que la voiture : il faut trois fois plus de temps pour atteindre B, et la position du vélo à l'instant u est celle qu'avait la voiture à l'instantt = u3. La trajectoire du vélo est alors représentée par la courbe~q:u∈[0, U=3T]→~q(u) =~r(u3).

On vérie par exemple que~q0(u) = 13~r0(u3): le vélo va trois fois moins vite que la voiture.

Dénition 1.11 Soit c < d et ϕ : u ∈ [c, d] → ϕ(u) = t ∈ [a, b] une fonction bijective. Alors la courbe paramétrée~q=u∈[c, d]→~q(u) =~r(ϕ(u))est la nouvelle courbe paramétrée correspondant au changement de paramétrage t →u, i.e.,~q(u) =~r(t)quand t=ϕ(u). (Donc les deux courbes paramétrées ~r et ~qont la même courbe géométrique :Im(~r= Im(~q).)

Exemple 1.12 Le cercle donné en (1.3) a par exemple pour autre paramétrisation~q(u) =

α+Rcos(ωu) β+Rsin(ωu)

pour ω6= 0etu∈[0,ω[. Icit=ωu (ou bienu= ωt).

Ou encore ~q(t) =

α+Rcos(2π−u) β+Rsin(2π−u)

pour q ∈[0,2π[ (courbe parcourue en sens inverse). Ici t = 2π−u (soit u= 2π−t).

Exercice 1.13 Les paramétrages suivants dénissent-ils le même arc géométrique (i.e. le même ensemble image) ?

1-I1= [0,1],~r1(t) = t

t3

, etI2= [0, π],~r2(t) = sint

sin3t

, etI3= [0,π2],~r3(t) = sint

sin3t

. 2-I1= [1,4],~r1(t) =

t t2

, etI2= [1,2],~r2(t) = t2

t4

, etI3= [−2,−1],~r3(t) = t2

t4

. Réponse. On cherche une éventuelle bijection entreI1etI2etI3.

1-I1 etI3 oui :ϕ(t) = sin(t), non avecI2.

2- Oui :ϕ(t) =t2 entreI1 etI2 etϕ(t) =−tentreI2 etI3

1.3 Vecteur tangent, vecteur vitesse, vitesse

Rappel : la fonction vectorielle~r:t∈I→~r(t) = x(t)

y(t)

∈R2, sur un intervalleI de R, est dite continue si ses composantes xet y sont des fonctions continues de I dans R. Elle est dite dérivable si xet y sont des fonctions dérivables deI dansR, etC1 six0 ety0 sont des fonctions continues deI dansR.

On note~r0:I→R2 la dérivée de~r: on a :

~

r0(t) := lim

h→0

~r(t+h)−~r(t)

h =

limh→0x(t+h)−x(t) h

limh→0y(t+h)−y(t) h

= x0(t)

y0(t)

. (1.6)

Dénition 1.14 Le vecteur ~r0(t) est appelé le vecteur tangent à la courbe géométrique Im(~r) au point ~r(t) (dessin et voir annexe 8), et noté~v(~r(t)) =~r0(t).

EtT~(t) :=||~~rr00(t)(t)|| est le vecteur tangent unitaire à la courbe au point~r(t).

Quandtest interprété comme un temps,~v(~r(t)) :=~r0(t)est appelé le vecteur vitesse àt au point~r(t), et sa norme||~v(~r(t))||=||~r0(t)||=p

x0(t)2+y0(t)2est la vitesse scalaire àten~r(t). Exemple 1.15 Cas~rsous forme explicite, cf. (1.4) :~r0(x) =

1 f0(x)

∈R2, donc||~r0(x)||=p

1 +f0(x)2. Exemple 1.16 Cas ~r sous forme polaire, cf. 1.5 : ~r0(θ) =

ρ0(θ) cosθ−ρ(θ) sinθ ρ0(θ) sinθ+ρ(θ) cosθ

∈ R2, donc ||~r0(θ)|| = pρ0(θ)2+ρ(θ)2. Exemple : pour la cardioïde donnée parρ(θ) = 1 + cosθ: on aρ0(θ) =−sinθ, donc||~r0(θ)||= psin(θ)2+ (1 + cos(θ))2=√

2√

1 + cosθ=p

2ρ(θ) = 2|cosθ2|, car cosθ= 2 cos2θ2−1. Courbe régulière pour θ6=π(car alors||~r0(θ)|| 6= 0).

Exercice 1.17 t étant un temps, l'accélération vectorielle au point~r(t)est ~γ(~r(t)) :=~r00(t), et l'accélération tangentielle estg(t) =~r00(t)||~~rr00(t)(t)||. Avecf(t) =||~r0(t)||(=~v(~r(t))la vitesse scalaire), montrer : dfdt(t) =g(t). Réponse.f(t) = (x0(t)2+y0(t)2)12 donnef0(t) = x0(t)x00(t)+yf(t)0(t)y00(t) =~r0(t)||~r0(t)||~r00(t).

(6)

6 1.4. Courbes simples et régulières

1.4 Courbes simples et régulières

Dénition 1.18 La courbe~rest dite simple si~rest injective : sit16=t2, alors~r(t1)6=~r(t2)(on ne passe jamais deux fois au même endroit).

Et elle est dite fermée siI= [a, b]et si~r(a) =~r(b).

Et elle est dite simple et fermée si elle est fermée et si sa restriction~r|[a,b[ à l'intervalle[a, b[est simple.

Dénition 1.19 ~r est dite régulière (ou lisse) si ~r est C(I;R2) et si ~r0(t) 6= 0 pour tout t ∈ I (i.e. si (x0(t), y0(t))6= (0,0) pour toutt∈I). Et dans ce cas~rest appelée une paramétrisation régulière deΓ = Im(~r). Remarque 1.20 Un point~r(t) t.q.~r0(t0) = 0 est un point d'arrêt. Exemple : la position d'une voiture est représentée à t sur la carte par le point ~r(t). Si la voiture s'arrête au temps t0, on a~r0(t0) = 0, et pendant l'intervalle de temps que dure l'arrêt, on a ~r(t) =~r(t0), et pendant ce temps on n'a rien à dire de plus sur la courbe : la courbe n'est pas régulière à t0, et on ne l'étudie pas sur pendant l'intervalle de temps sur lequel

~

r0(t) =~0.

On supposera dans la suite que ~r(t) est une paramétrisation régulière (quitte à la partager en plusieurs morceaux réguliers).

1.5 Vecteur normal

Proposition 1.21 Soitt ∈I (quelconque mais xé). Un vecteur normal à la courbe régulière~r au point~r(t) est par exemple~n(t) =˜

r02(t)

−r01(t)

=

y0(t)

−x0(t)

(non unitaire a priori). Et tout vecteur normal est de la forme λ~n(t)˜ pourλ∈R. (Attention aux notations,||~˜n(t)|| 6= 1en général).

Preuve. En eet (produit scalaire)~r0(t)~n(t) =˜ x0(t)y0(t)−y0(t)x0(t) = 0, i.e.~r0(t)⊥~n(t)˜ .

Proposition 1.22 En un point~r(t)d'une courbe régulière le repère (~r0(t) = x0(t)

y0(t)

,~n(t) =˜

y0(t)

−x0(t)

)est indirect : on passe de~r0 à~n˜ par une rotation de−π/2.

Preuve. Soit R=p

x0(t)2+y0(t)2 (6= 0car~r est régulière) et soitθt∈Rt.q.~r0(t) =

x0(t) =Rcos(θt) y0(t) =Rsin(θt)

. Il vient

Rcos(θtπ2) Rsin(θtπ2)

=

Rsin(θt) =y0(t)

−Rcos(θt) =−x0(t)

= ˜~n(t)(dessin).

(Démonstration directe :det(~r0(t),~n(t)) = det˜

x0(t) y0(t) y0(t) −x0(t)

=−x0(t)2−y0(t)2<0.)

Exercice 1.23 1- Donner un vecteur tangent ~r0(t) au cercle C de centre~0 et de rayon R. Est-il unitaire ? Donner le vecteur normal ~n(t)˜ déni ci-dessus. Le vecteur normal pointe-t-il vers l'intérieur ou vers l'extérieur du cercle ?

2- Et si on change le sens de la paramétrisation, i.e. on poseu= 2π−t(par exemple), la normale pointe-t-elle toujours dans la même direction ?

Réponse. 1- Paramétrisation usuelle du cercle : ~r(t) = x(t)

y(t)

=

Rcos(t) Rsin(t)

, t ∈ [0,2π]. Donc ~r0(t) = x0(t) =−Rsin(t)

y0(t) =Rcos(t)

(vecteur tangent en~r(t)). Donc~n(t) =˜

y0(t) =Rcos(t)

−x0(t) =Rsin(t)

, donc~n(t) =˜ ~r(t), donc~n(t)˜ pointe vers l'extérieur, et la base(~r0(t),~˜n(t))est indirecte (dessin prop. précédente).

2- Sens inverse : paramétrage~q(t) =~r(2π−t) =~r(−t)(car~rest2π-périodique) :

~ q(t) =

x~q(t) y~q(t)

=

Rcos(−t) Rsin(−t)

=

Rcos(t)

−Rsin(t)

, t∈[0,2π].

Le vecteur tangent est ~q0(t) =

−Rsin(t)

−Rcos(t)

au point~r(t). Donc~n˜~q(t) =

−Rcos(t) Rsin(t)

=−~q(t) pointe vers l'intérieur du cercle (dessin prop. précédente).

Exercice 1.24 Soit~r:t∈[a, b]→~r(t)∈R2 une courbe régulière. Soitu=u(t) une fonction ane det, i.e.

u(t) =αt+β avec(α, β)∈R×R.

1- Déniru t.q. ~q: u∈[0,1]→~q(u)représente la même courbe géométrique que~r (i.e. calculerα, β t.q.

~

q(u) =~r(t)quandu=u(t)).

(7)

7 1.6. * Orientation du bord d'un domaine

2- Calculer le vecteur tangent~q0(u)en fonction du vecteur tangent~r0(t), et vérier qu'ils sont colinéaires.

Réponse. 1- On poseu=b−at−a =u(t)(pour avoiru(a) = 0etu(b) = 1) etu:t∈]a, b[→u(t) =αt+β∈]0,1[dénit un changement de variable (diéomorphisme). Iciα=b−a1 etβ=b−a−a. Et on a la fonction inverset= (b−a)u+a=t(u).

Et on pose ~q(u) = ~r(t) = ~r(t(u)) = (~r◦t)(u) (changement de fonction), i.e. ~q(u) = ~r((b−a)u+a). On a bien Im(~q) = Im(~r)(caruest bijective) :~qet~rdénissent la même courbe géométrique dansR2.

Et on note :~q(u) =~r(t)quandt=t(u); ou bien :~q(u) =~r(t)quandu=u(t).

2- On en déduit que ~q0(u) = ~r0(t(u))t0(u) = (b−a)~r0(t(u)) pour tout u ∈ [0,1], soit ~q0(u) = (b−a)~r0(t) quand t=t(u). En particulier, les vecteurs tangents~q0(u)et~r0(t)sont colinéaires au point~q(u) =~r(t).

Exercice 1.25 Soit la courbe~r(t) =

cos3t sin3t

pour t ∈[0,2π] (astroïde). Donner les coordonnées des points pour t= 0,π4,π2 et donner le vecteur vitesse et un vecteur normal en ces points. TracerΓ.

Exercice 1.26 Soit la courbe ~r(t) =

cos(t3) sin(t3)

pour t ∈ [0,2π]. Donner les coordonnées des points pour t= 0,π4,π2 et donner le vecteur vitesse et un vecteur normal en ces points. Tracer Γ.

Exercice 1.27 Soit la courbe ~r(t) =

cos2t sin2t

pour t ∈ [0,2π]. Donner les coordonnées des points pour t= 0,π4,π2 et donner le vecteur vitesse et un vecteur normal en ces points. Tracer Γ.

Indication : poser~r(t) = x(t)

y(t)

et montrer que x+y= 1.

Exercice 1.28 Soit la courbe décrivant une ellipse : ~r(t) =

acost bsint

où a > 0 et b > 0. Calculer ~r0(t) et

~˜ n(t).

Exercice 1.29 Soit la courbe décrivant une parabole : ~r(t) =

t at2+bt+c

, où a, b, c, t∈R. Calculer~r0(t) et~n(t)˜ .

Exercice 1.30 Soit la courbe ~r([0,4π]) représentant un cercle, ~r : t → cost

sint

. Tracer le graphe de ~r, i.e.

l'ensemble des points

 t cost sint

∈R×R2=R3, pourt∈[0,4π] (c'est une hélice qu'on dessinera dans les axes (t, x, y)deR3).

En déduire que la courbeΓ =~r([0,4π])est la projection dans la plan(x, y)du graphe de~r.

1.6 * Orientation du bord d'un domaine

Dénition 1.31 SoitΩun ouvert borné simplement connexe du planR2, et soitt→~r(t)une paramétrisation de son bordΓ (courbe fermée simple).

En un point~r(t), on dit qu'un vecteur~v est orienté vers l'intérieur, ou pointe vers l'intérieur, quand le pointP(t, ε) =~r(t) +ε~v est dansΩpourε >0 assez petit (i.e. si∃ε0>0t.q.∀ε∈]0, ε0[,P(t, ε)∈Ω).

Et il pointe vers l'extérieur sinon.

Dénition 1.32 PourΩ un ouvert borné simplement connexe du planR2 de frontière Γparamétrée par une courbe régulière~r, lorsque~n˜ pointe vers l'extérieur deΩ, on dit queΓest orienté dans le sens trigonométrique.

Et dans ce cas~˜nest appelé vecteur normal extérieur, et ~n˜

||~n||˜ est appelé vecteur normal extérieur unitaire.

Exercice 1.33 On se donne une courbe ~r : t ∈ [a, b] → R2 qui va du point P1 =~r(a) au point P2 =~r(b). Donner un paramétrage de cette courbe~q :u∈[a, b] →R2 tel que ~q(a) =P2 et ~q(b) = P1 (courbe parcourue en sens inverse). Montrer que pour une courbe fermée simple, si un paramétrage est trigonométrique, l'autre ne l'est pas, et que les normales associées pointent l'une vers l'intérieur et l'autre vers l'extérieur.

Réponse. On utilise le changement de variableu=−t+a+b=u(t), et~q(u) =~r(t) =~r(−u+a+b). D'où~q0(u) =−~r0(t) (les vecteurs tangents sont opposés), et les courbes sont parcourues en sens opposées.

D'où~n˜q(u) =

q20(u)

−q01(u)

=− r02(t)

−r10(t)

=−~n˜r(t), et les vecteurs normaux sont opposés : quand~n˜q(u)pointe vers l'intérieur (resp. vers l'extérieur),~˜nr(t) =−~n˜q(u)pointe vers l'extérieur (resp. vers l'intérieur).

(8)

8 1.7. * Vecteur tangent unitaire

1.7 * Vecteur tangent unitaire

Notation. On note, pour une courbe régulière et pourt∈I: T~(t) = ~r0(t)

||~r0(t)|| (1.7)

le vecteur unitaire tangent à la courbe~rau point~r(t), de même sens que~r0(t).

Proposition 1.34 Pour toutt∈I, le vecteur T~0(t)est orthogonal àT(t) =~ ~r0(t)(vecteur tangent).

Mais, en général,~r00(t)n'est pas orthogonal à~r0(t). DoncT~0(t)est parallèle à~˜n(t) =

y0(t)

−x0(t)

(vecteur normal), et sur l'intervalleI (i.e.∀t∈I) on a :

T~0=(x00y0−x0y00) (x02+y02)32

~n,˜ (1.8)

(attention,~˜nn'est pas unitaire en général) et avec~n= ~n˜

||~n||˜ vecteur normal unitaire on a : T~0= (x00y0−x0y00)

(x02+y02) ~n. (1.9)

N.B. : sur l'intervalleI signie pour toutt∈I.

Preuve. On a||T~(t)||= 1, d'où||T~(t)||2= 1, i.e.(T(t), ~~ T(t)) = 1. D'où par dérivation2(T~0(t), ~T(t)) = 0, d'où T~0(t)⊥T~(t). Comme~˜n⊥T~, on a~˜n(t)// ~T0(t)(on est dansR2).

On aT1(t) = x0(t)

(x0(t)2+y0(t)2)12 etT2(t) = y0(t)

(x0(t)2+y0(t)2)12, d'où :

T10(t) =x00(t)(x0(t)2+y0(t)2)12−x0(t)12(2x0(t)x00(t) + 2y0(t)y00(t))

(x0(t)2+y0(t)2)32 =y0(t)x00(t)y0(t)−x0(t)y00(t) (x0(t)2+y0(t)2)32 , et T20(t) = x0(t)y00(t)x0(t)−y0(t)x00(t)

(x0(t)2+y0(t)2)32

= −x0(t)x00(t)y0(t)−x0(t)y00(t)

(x0(t)2+y0(t)2)32 . D'où (1.8). Puis ||~˜n||= (x0(t)2+y0(t)2)12, d'où

n= (x02+y02)12~n, d'où (1.9).

Et en général on a pas~r00(t)⊥~r0(t): exemple, soit~r(t) = t

t2

(parcours d'une parabole y=x2). On a

~ r0(t) =

1 2t

6⊥~r00(t) = 0

2

(sauf ent= 0), alors queT~(t)⊥T~0(t).

Exercice 1.35 Montrer que sur une ellipse qui n'est pas un cercle,~r00(t)n'est pas orthogonal à~r0(t)en général.

Réponse. Ellipse ~r(t) =

x=αcost y=βsint

pour t ∈ [0,2π], α, β ∈ R, α 6= β; ~r0(t) =

−αsint βcost

, donc ~r00(t) = −αcost

−βsint

=−~r(t). Donc~r0(t)~r00(t) = (α2−β2) cos(t) sin(t)6= 0en général quandα6=β.

1.8 Exemple : courbes sous forme explicite

On essaie de mettre une courbe sous forme explicite (localement).

Proposition 1.36 (Théorème des fonctions implicites.) Soit ~r : t ∈ I → ~r(t) =

r1(t) =x(t) r2(t) =y(t)

∈ R2 une courbe régulière. Sit0∈Iest tel quex0(t0) =r01(t0)6= 0(dérivée de la première composante de~r(t)ent0) alors la courbe géométrique Im(~r)⊂R2 s'écrit localementy =f(x), et doncIm(~r) est localement le graphe d'une fonctionf (dessin).

I.e. il existe ε>0 tel que la fonction r1 : t ∈]t0−ε, t0+ε[→ x=r1(t) (première composante de ~r restreinte à l'intervalle ]t0−ε, t0+ε[) dénit un changement de variable (et donct =r1−1(x)), tel que~r(t) =

r1(t) r2(t)

= x

(r2◦r−11 )(x)

=noté~q(x) =

q1(x) =x q2(x) =f(x)

.

Et la pentef0(x)de la courbe enxestf0(x) = côté opposé

côté adjacent = r02(t)

r01(t) (= q20(x)

q10(x) =q02(x)).

Démarche similaire siy0(t0)6= 0avec le changement de variabler2:t→y=r2(t).

(9)

9 1.9. Longueur d'une courbe

Preuve. Supposonsx0(t0)6= 0(le casy0(t0)6= 0se traite de la même manière). Le théorème d'inversion locale indique alors que la fonction C1(I;R) :r1 : t →x=r1(t) = x(t) est localement inversible dans un voisinage U =]t0−ε, t0+ε[ de t0, d'inverse r−11 : x → t = r−11 (x) = t(x). Et, par dérivation de fonctions composées, (r−11 ◦r1)(t) =tdonne

(r−11 )0(r1(t)).r10(t) = 1, ∀t∈U, i.e.,

(t0(x) =) (r−11 )0(x) = 1

r01(t) (= 1

x0(t)). (1.10)

Et, changement de paramétrage, posons ~q=~r◦r−11 =noté~r◦t, i.e.,∀x∈V :=r1(U),

~

q(x) =~r(t(x)) =~r(r−1(x)) =

r1(r−11 (x)) =x

r2(r−11 (x)) =y(t(x)) =notéf(x)

.

Et, la courbe Im(~q) ={ x

f(x)

:x∈V} est le graphe def (restreint àV). Et la pente enx=r1(t)∈V vaut

f0(x) =y0(t(x))t0(x) =y0(t) 1

x0(t). (1.11)

Exemple 1.37 Donner une représentation cartésienney=f(x)du cercle (1.3).

Réponse. L'équation (1.3) donnex=Rcost. Et la fonctioncosest strictement décroissante et inversible de]0, π[dans ]−R, R[. D'oùt= arccosRx ∈]0, π[pourx∈]−R, R[.

Et alors :y=Rsin(arccosRx) =√

R2−x2.

Puis la fonctioncosest strictement croissante de]π,2π[dans]−R, R[ett=π+ arccosRx ∈]π,2π[pourx∈]−R, R[. Et alors :y=Rsin(π+ arccosRx) =−Rsin(arccosRx) =−√

R2−x2. On retrouve les deux fonctions qui déterminent le cercle.

(Directement : (1.3) donnex2+y2=R2, d'oùy=±√

R2−x2=y(x).)

1.9 Longueur d'une courbe

Soit~r:t∈[a, b]→~r(t) = x(t)

y(t)

∈R2 une courbe régulière qu'on approxime par une courbe polynomiale : Soitn∈N, soith= b−an et soitti=a+ihpouri= 0..., n, donc[a, b] =Sn

i=1[ti−1, ti]. Pouri= 0, ..., non note ~pi les points~pi=~r(ti), et pouri= 1, ..., non dénit les segments de droite ~ri:t∈[ti−1, ti]→~ri(t)par

~

ri(t) =~pi−1+ t−ti−1

ti−ti−1(~pi−~pi−1), (1.12) dessin : sur chaque segment le vecteur tangent~ri0(t)est constant et vaut

x0i(t) y0i(t)

=~ri0(t) = ~pi−~pi−1 ti−ti−1 =

~ xi−~xi−1

ti−ti−1

~ yi−~yi−1

ti−ti−1

! noté= ∆xi

∆ti

∆yi

∆ti

noté= ~ri0 (1.13)

(ici∆ti=h). Et la longueur dui-ème segment vaut (Pythagore) :

∆si=||~pi−~pi−1||= q

∆x2i + ∆y2i =

r∆xi

∆ti

2

+∆xi

∆ti

2

∆ti=||~ri0(t)||∆ti. Donc la longueur de la courbe polygonale constitué de tous les segments vaut :

L=

n

X

i=1

∆si=

n

X

i=1

||~ri0||∆ti. (1.14)

D'où on pose (intégrale de Riemann quandn→ ∞) : Dénition 1.38 La longueur de la courbe régulière~rest :

L(~r) = b

t=a

||~r0(t)||dt= b

t=a

px0(t)2+y0(t)2dtnoté=

Γ

pdx2+dy2noté=

Γ

dsnoté= |Γ|. (1.15) Etds=||~r0(t)||dtest appelé élément de longueur.

(10)

10 1.9. Longueur d'une courbe

Exercice 1.39 Paramétrer le segment de droite d'extrémités des points AetB dansR2. Calculer la longueur de ce segment. Application numérique : A=

1 1

et B= 3

2

.

Réponse. Paramétrage :~r(t) =A+t ~ABpourt∈[0,1]. Donc~r0(t) =AB~ , et||~r0(t)||=||AB||. Donc~ L=1

t=0||AB||dt~ =

||AB||~ =||

2 1

||=√

5(on retrouve le résultat de Pythagore).

Exercice 1.40 1- Retrouver le périmètre d'un cercle de rayonR.

2- Quel est l'anglet0 tel que la longueur du morceau de cercle déni part∈[0, t0]soit R? 3- Préciser ce que sont les coordonnées en termes de radian et en termes de degré.

4- Quel paramétrages=s(t)faut-il choisir pour que la courbe~r(t) =~q(s)donne||~q0(s)||= 1pour touts, i.e. pour que la courbe soit parcourue à la vitesse unité ?

Réponse. 1- On utilise le paramétrage en coordonnées du radian (le paramétrage usuel), i.e. t ∈ [0,2π] et ~r(t) = Rcost

Rsint

. D'où le périmètre du cercle :L([0,2π]) =

0 ||~r0(t)||dt=

0 R dt= 2πR.

2- Et l'angle t0 tel que L([0, t0]) = t0R = R est donné par t0 = 1 : on parcourt la distance R le long du cercle lorsqu'on a tourné d'un angle de 1 radian (= dénition du radian).

3- Le paramétrage du cercle en degrés est donné par un angle deu= 360lorsquet= 2π, i.e. on fait le changement de variablesu=360t∈[0,360], i.e. on paramètre le cercle par~q(u) =~r(t(u)) =

Rcos360u Rsin360u

.

4- On veut un paramétrage~q :s →~q(s) t.q. ||~q0(s)||= 1. On a||~r0(t)||=R (constant). Posonss =αt et~q(s) =

~

r(t) =~r(αs). Il vient~q0(s) = α1~r0(t), donc on prendα=R. D'où le paramétrage~q:





[0,2πR] →R2 s →~q(s) =

RcosRs RsinRs



 . On a bien||~q0(s)||= 1. Et on retrouve que le périmètre du cercle :L=2πR

s=0 ||~q0(s)||ds=2πR

s=0 ds= 2πR. Exercice 1.41 Donner la longueur de la courbe dénie par t ∈[0,4π] et~r(t) =

Rcost Rsint

. (Cercle parcouru deux fois).

Exercice 1.42 Donner la longueur de la courbe dénie par t ∈[0,2π] et~r(t) =

acost bsint

(ellipse). (Ne pas essayer de calculer l'intégrale lorsquea6=b : on trouve une intégrale elliptique qui constitue en elle-même une fonction, et dont la valeur est donnée par approximation numérique.)

Exercice 1.43 Soit la cycloïde~r(t) =

x(t) =R(t−sint) y(t) =R(1−cost)

,t∈[0,2π]. (On ax0(t) =y(t)). Calculer l'élément de longueur ds=||~r0(t)||dt et la longueur de la cycloïde.

Réponse. On a~r0(t) =

R(1−cost) Rsint

. D'oùds=R√ 2√

1−cost= 2R|sint2|= 2Rsin2t (≥0pourt∈[0,2π]). D'où L= 2R

t=0sint2dt= 2R[−2 cost2]0 = 8R.

On rappelle que la cycloïde est obtenue en faisant rouler une roue de rayonRsur le sol, et que la longueur demandée est la distance parcourue par un point de la roue après un tour de celle-ci. En eet, la cycloïde s'écrit :~q(t) =~r(t)−

Rt R

= −Rsint

−Rcost

qui est un cercle de rayonR vu dans le repère mobile d'origine le pointP(t) = Rt

R

(position du centre de la roue se déplaçant donc à la vitesse

R 0

). De plus, la roue se déplace sans glisser, car après un tour de roue (t incrémenté de2π), le centre de la roue s'est déplacé deP(2π)−P(0) =

R2π 0

et a donc parcouru la distance2πRqui est le périmètre du cercle.

Exercice 1.44 On considère la parabole y = a2x2 pour a > 0. Paramétrer la parabole, et calculer sa longueur pourx∈[α, β]oùα < β.

Réponse.~r(x) = x=x

y=a2x2

pourx∈R. D'où~r0(x) = 1

ax

. D'où||~r0(x)||=√

1 +a2x2. D'oùL=β t=α

√1+a2t2dt. On fait le changement de variables shu = at qui donne chu du = a dt, d'où L = a1argsh(aβ)

u=argsh(aα)ch2u du =

1 2a

argsh(aβ)

u=argsh(aα)ch(2u) + 1du, et doncL=a1[sh(2u)]argsh(aβ)argsh(aα)+2a1 [u]argsh(aβ)argsh(aα), avecsh(2argshx) = 2sh(argshx)ch(argshx) = 2x√

1 +x2. D'oùL= 2(βp

1+a2β2−α√

1+a2α2) +2a1(argsh(aβ)−argsh(aα)).

Exercice 1.45 Calculer la longueur de la cardioïde, cf. exemple 1.9.

Réponse. On a||~r0(θ)||= 2|cosθ2|, cf. exemple 1.16. Et la cardioïde est symétrique autour deπ car~r(2π−θ) =~r(θ).

DoncL= 2π

0 2 cosθ2dθ= 8.

(11)

11 1.10. La longueur est indépendante du paramétrage

1.10 La longueur est indépendante du paramétrage

Rappel (formule de changement de variable dans les intégrales) : sia < betc < d, siϕ:

([a, b] →[c, d]

t →u=ϕ(t) )

est un C1-diéomorphisme (fonction C1 bijective d'inverse ϕ−1 :

([c, d] →[a, b]

u →t=ϕ−1(u) )

qui est C1), et si α∈C0([c, d];R), alors

u∈[c,d]

α(u)du=

t∈[a,b]

α(ϕ(t))|ϕ0(t)|dt. (1.16)

(Autre présentation du résultat : d

u=cα(u)du =ϕ−1(d)

t=ϕ−1(c)α(ϕ(t))ϕ0(t)dt avec, pour le calcul, du =ϕ0(t)dt : si ϕ est croissante, alors ϕ(a) = c et ϕ(b) = d et ϕ0(t) > 0 sur [a, b] et on retrouve bien (1.16), et si ϕ est décroissante, alorsϕ(a) =detϕ(b) =c avecu0(t) =ϕ0(t)<0sur[a, b]et on retrouve bien (1.16)).

Application. Soit une courbe régulière~r:

([a, b] →R2 t →~r(t)

) , et soit

~

q:=~r◦ϕ−1:

([c, d] →R2

u →~q(u) :=~r(t) quand t=ϕ−1(u), i.e. ~q(ϕ(t)) =~r(t), (1.17) où on dit que~q est un autre paramétrage de la courbe~r(tous les points~r(t)sont des points~q(u) et récipro- quement).

Théorème 1.46 Pour toute fonction continuef :R2→Ron a : b

t=a

f(~r(t))||~r0(t)||dt= d

u=c

f(~q(u))||~q0(u)||dunoté=

Γ

f dΓnoté=

Γ

f ds, (1.18)

réel indépendant de la paramétrisation choisie. En particulier f = 1 donne : la longueur de la courbe Γ est indépendante du choisi : b

a

||~r0(t)||dt= d

c

||~q0(u)||du (=L). (1.19)

Preuve. Posons α(u) = f(~q(u))||~q0(u)||, donc α(ϕ(t)) = f(~q(ϕ(t)))||~q0(ϕ(t))||. On a ~q(ϕ(t)) = ~r(t), donc

~

q0(ϕ(t))ϕ0(t) =~r0(t), doncα(ϕ(t)) =f(~q(ϕ(t)))||~rϕ00(t)(t)||, donc (1.16) donne

u∈[c,d]

f(~q(u))||~q0(u)||du=

t∈[a,b]

f(~q(ϕ(t)))

~r0(t) ϕ0(t)

0(t)|dt, d'où (1.18).

Exercice 1.47 Soit une courbe~r: [0, T]→~r(t)∈R2. Dénir une courbe~q telle queIm(~r) = Im(~q)parcourue à une vitesse deux fois plus grande. On impose~q(u) =~r(t(u))où la fonctionu→t(u)est linéaire. Vérier que la longueur est indépendante de la vitesse de parcours.

Réponse. On poset(u) =αu, avecα >0, d'où la courbe~q(u) =~r(αu)pouru∈[0,Tα]. On en déduit~q0(u) =α~r0(αu), et l'exercice impose doncα= 2. On vérie que, avect=αu:

L=T

α

u=0||~q0(u)||du=T

t=0||α~r0(t)||dtα =T

t=0||~r0(t)||dt=|Γ|.

Exercice 1.48 Soit a < b, ϕ ∈ C1(R;R) et la courbe Γ+ paramétrisée par ~r+ : t ∈ [0,1] → ~r+(t) = a+ (b−a)t

ϕ(a+ (b−a)t)

. 1- Montrer que cette courbe a également pour paramétrage x ∈ [a, b] → x

ϕ(x)

pour x=a+ (b−a)t(graphe de la fonctionϕ). 2- Montrer (travail def le long de la courbe)

1 t=0

f(~r+(t))||~r0+(t)||dt= b

x=a

f(x, ϕ(x))p

1 +ϕ02(x)dx noté

Γ+

f dΓ.

(Pour f = 1on retrouve la longueurb x=a

p1 +ϕ02(x)dxdeΓ, cf. exemple 1.15.).

Réponse. On pose x=a+ (b−a)tet~q : x∈ [a, b]→ ~q(x) = x

ϕ(x)

, donc ~q(x) =~r(t) quand x =a+ (b−a)t. Le théorème (1.46) donne1

t=0f(~r+(t))||~r0(t)||dt=b

x=af(~q(x))||~q0(x)||dx.

(12)

12 1.11. Coordonnée curviligne intrinsèque

Exercice 1.49 (Suite.) Soit la courbe Γ donnée par~r :t∈[0,1]→~r(t) =

b+ (a−b)t ϕ(b+ (a−b)t)

. Montrer que c'est la courbe Γ+ précédente parcourue en sens inverse et que :

Γ

f dΓ = b

x=a

f(x, ϕ(x))p

1 +ϕ02(x)dx=

Γ+

f dΓnoté=

Γ

f dΓ.

Réponse.b+ (a−b)(1−t) =a+ (b−a)t, donc~r(1−t) =~r+(t), et~r(0) =~r+(1)et~r(1) =~r+(0): les courbes sont parcourues en sens inverse. Etψ:t∈[0,1]→ψ(t) = 1−test un diéomorphisme (décroissant), et(~r◦ψ)(t)~r(t) avec ψ(t) = 1−t, donc (1.18) donne le résultat.

Exercice 1.50 Changement d'unités de mesure : exercice donné principalement pour montrer que ce problème n'est pas un problème de changement de paramétrage mais un problème de changement de base.

On rappelle que 1mile= αkm où α = 1,609. Un observateur anglais utilise une origine O et une base orthogonale (~a1, ~a2)en miles, donc||~a1|||~a= 1mile=||~a2|||~a. Un observateur français utilise la même origineO et la base orthogonale(~b1,~b2)en km donnée par~b1= α1~a1 et~b2=α1~a2(donc||~b1|||~b= 1km=||~b2|||~b).

Soit une courbe géométrique~r: [0, T]→R2 parcourue à la fois par l'anglais et le français. Un point~r(t)est donc repéré : par l'anglais comme~r(t) =xa(t)~a1+ya(t)~a2, noté[~r(t)]|~a =

xa(t) ya(t)

, et par le français comme

~

r(t) = xb(t)~b1+yb(t)~b2, noté [~r(t)]|~b =

xb(t) yb(t)

. Soit La la longueur de la courbe de l'anglais : que vaut la longueur Lb de la courbe du français ? (Donnée la réponse à l'aide de la formule de changement de base.) Réponse. Il est évident qu'on doit trouver Lb =αLa (siLa = 1 alorsLb =α). Avec les formules de changement de base : la matrice de changement de base de la base (~ai) à la base(~bi) estP = [~b1]|~a [~b2]|~a

= 1

α 0

0 α1

= 1αI. Et, formule de changement de base des vecteurs, [~r(t)]~b=P−1.[~r(t)]~a, donc[~r(t)]~b=α[~r(t)]~a(i.e.xb(t) =αxa(t)etyb(t) = αya(t), c'est évident). DoncT

t=0||~r0(t)||bdt =T

t=0α||~r0(t)||adt, donc longueurs :Lb =T t=0

pxb0(t)2+yb0(t)2dt= T

t=0αp

xa0(t)2+ya0(t)2dt=αLa.

1.11 Coordonnée curviligne intrinsèque

On se donne une courbe régulière :~r:

([a, b] →R2 t →~r(t)

)

. On veut parcourir cette courbe à la vitesse unité, dans le but de mesurer la courbure : parcourir la courbe à vitesse constante, ici unité, permet de n'avoir que des accélérations normales à la courbe, centrifuges ou centripètes (pas d'accélération tangentielle i.e. pas d'accélération parallèle à~r0(t)), et donc de ressentir la courbure.

Donc on reparamètre la courbe~ren la courbe

~ q:

([0, L] →R2

s →~q(s) :=~r(t) quand s=ϕ(t) (1.20)

ϕ:

([a, b] →[0, L]

t →s=ϕ(t)noté= s(t) (1.21)

est un diéomorphisme qui doit vérier||~q0(s)||= 1, pour touts∈[0, L]. Proposition 1.51 Soitϕ(t) :=t

τ=a||~r0(τ)||dτ =notés(t). Alorsϕest un diéomorphisme, pour toutt∈[a, b]

ϕ0(t) =||~r0(t)|| (noté= s0(t)), (1.22) ϕ(a) = 0,ϕ(b) =L(longueur de la courbe), et la courbe~q: [0, L]→R2 dénie par

~

q:=~r◦ϕ−1:

([0, L] →R2

s →~q(s) :=~r(ϕ−1(s)), i.e. ~q(ϕ(t)) =~r(t), (1.23) vérie, pour touts∈[0, L]et toutt∈[a, b],

||~q0(s)||= 1, et ~q(ϕ(t)) =~r(t) (noté= ~q(s(t))) (1.24) (la courbe paramétrée parsest parcourue à la vitesse unité).

Références

Documents relatifs

L'application delà règle précédente montreque : siXJest le point ou la normale en M à la parabole coupe Vaxe de cette courbe, le centre de courbure to répondant au point M s'obtient

Nous avons formé avec soin et l'on trouvera plus loin la liste des Ouvrages de notre collaborateur 5 elle ferait honneur même à un géomètre qui n'aurait pas eu à concilier ses

Le fait énoncé ci-dessus peut encore s'établir en disant : le rayon de la sphère étant supposé égal à w/?, si l'on construit l'indicatrice sphérique sur cette sphère, le rayon 0

La droite qui joint M au point d^ intersection de me avec Ox coupe en to la parallèle menée par c à Oy; la parallèle à Ox menée par w rencontre en K la normale en M à (M);

Pour y remédier, il faut donc substi- tuer à l'hélice une couibe dont le rayon de courbure, d'abord infini à l'entrée, décroit d'une façon continue jusqu'à un minimum au haut de

Étant donnée une droite tangente à une surface du second degré, en un point du contour apparent horizontal dans l'espace; si, par cette droite, on mène une série de plans

Ainsi les équations (B), dans lesquelles x,y, z sont remplacées par leurs valeurs (A) et À, [JL, V par les va- leurs calculées, représentent toutes les surfaces gauches qui ont

Pour une courbe quelconque, la surface lieu du cercle OO'M n'est généralement pas l'enveloppe d'une sphère; mais C est encore une ligne de courbure sur celle surface, comme dans le