Constantes de Siegel-Veech et volumes de strates d'espaces de modules de différentielles quadratiques

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Constantes de Siegel-Veech et volumes de strates

d’espaces de modules de différentielles quadratiques

Elise Goujard

To cite this version:

Elise Goujard. Constantes de Siegel-Veech et volumes de strates d’espaces de modules de

différen-tielles quadratiques. Topologie géométrique [math.GT]. Université Rennes 1, 2014. Français. �NNT :

2014REN1S054�. �tel-01088737�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1 sous le s eau de l'Université Européenne de Bretagne

pour le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1 Mention : Mathématiques et appli ations

E ole do torale MATISSE présentée par

Elise Goujard

préparée à l'unité de re her he 6625 du CNRS : IRMAR Institut de re her he mathématique de Rennes

UFR de mathématiques Constantes de Siegel-Vee h et volumes de strates d'espa es de modules de diérentielles quadratiques

Thèse soutenue à Rennes le 7 o tobre 2014

devant lejury omposé de : Pas al HUBERT

Professeuràl'universitéd'Aix-Marseille/rapporteur Martin MÖLLER

Professeurà l'Université de Frankfurt, Allemagne/ rapporteur

Sébastien GOUËZEL

Chargéde re her hesCNRS àl'IRMAR (Rennes)/ examinateur

Frank LORAY

Dire teurdere her hesCNRSàl'IRMAR (Rennes) /examinateur

Jean-Christophe YOCCOZ

Professeur au Collège de Fran e (Paris)/ examina-teur

Anton ZORICH

Professeur à l'université de Paris 7/dire teur de thèse

de modules de diérentielles quadratiques

Résumé

Nous étudions les onstantes de SiegelVee h pour les surfa es plates et leurs liens ave les volumesdestratesd'espa esde modulesdediérentielles quadratiques.Les onstantesdeSiegel Vee hdonnentl'asymptotiquedunombredegéodésiquespériodiquesdanslessurfa esplates.Pour ertaines surfa es plates, de telles géodésiques orrespondent aux traje toires périodiques dans les billards rationnels orrespondants.Les onstantes de SiegelVee h sontfortementreliées àla dynamiqueduotgéodésiquedanslesespa esdemodules orrespondants,parlaformuled'Eskin Kontsevi hZori hexprimantla sommedesexposantsdeLyapunovdubréde Hodgele longdu ot deTei hmüller enfon tion de la onstante de SiegelVee hpourlastrate onsidéréeet d'un terme ombinatoire expli ite. Cette dynamique est liée à la dynamique du ot linéaire dans la surfa e plate de départ par un pro édé de renormalisation. En utilisant ertaines propriétés de ettedynamiquenousmontronsun ritèrequidéterminequandune ourbe omplexeplongéedans l'espa edemoduledessurfa esdeRiemannmunied'unsous-bréendroitesdubrédeHodgeest une ourbedeTei hmüller.

Nousétudions ertainsrapportsde onstantesdeSiegelVee hetendéduisonsdesinformations géométriquessurlesrégionspériodiques danslessurfa esplates. Lesliensentreles onstantesde SiegelVee hetlesvolumesd'espa esdemodulesontétéétudiés omplètementdansle asabélien parEskin, MasuretZori h,etdansle asquadratiqueengenrezéroparAthreya,EskinetZori h. Nous généralisons esrésultats au as quadratiqueen genre supérieur, enutilisantla des ription des ongurationsdeliens selles produitepar Masuret Zori h.Nous al ulonsde façonexpli ite ertainsvolumesdestratesdepetitedimension.

Abstra t

We study SiegelVee h onstants for at surfa es and their links with the volumes of some strataof moduli spa esof quadrati dierentials.SiegelVee h onstants givetheasymptoti s of thenumberofperiodi geodesi sinatsurfa es.For ertainatsurfa essu hgeodesi s orrespond toperiodi traje toriesinrelatedrationalbilliards.SiegelVee h onstantsarestronglylinkedtothe dynami softhegeodesi owinrelatedmodulispa esbytheformulaofEskinKontsevi hZori h, givingthesumoftheLyapunovexponentsfortheHodgebundlealongtheTei hmüllergeodesi ow intermsoftheSiegelVee h onstantforthe orrespondingstratumandanexpli it ombinatorial expression. Thisdynami sisrelatedto thedynami softhelinearowin theoriginalatsurfa e byarenormalizationpro ess.Usingsomepropertiesofthisdynami sweprovea riteriontodete t whethera omplex urve,embeddedinthemodulispa eofRiemannsurfa esandendowedwitha linesubbundle oftheHodgebundle,isaTei hmüller urve.

WestudyratiosofSiegelVee h onstantsanddedu egeometri informationsabouttheperiodi regions in at surfa es.The links betweenSiegelVee h onstantsand volumes of moduli spa es were ompletely studied byEskin,Masur andZori h in theAbelian ase,andby Athreya,Eskin and Zori h in the quadrati ase in genus zero.We generalize theirresultsto the quadrati ase in highergenus,usingthedes riptionof ongurationsofsaddle- onne tionsperformedbyMasur andZori h. Weprovideexpli it omputationsofvolumesofsomestrataoflowdimension.

Enpremier lieujevoudraisremer iermondire teur AntonZori h,qui m'aexpliqué esujet ave passion,et m'a toujoursaidée, soutenue,en ouragée au ours de ette thèse. Ill'a en adréeave sagénérosité,sagentillesseetsonhumiliténaturelles quifontdeluiundire teurinestimable.

Mer i aux membres du jury Sébastien Gouëzel, Pas al Hubert, Frank Loray, Martin Möller et Jean-Christophe Yo oz de me faire l'honneur de venir assister à ette soutenan e, et plus parti ulièrementàPas alet Martind'avoira epté derapporter ette thèse.

Durant estroisannéesj'aitravailléave MaxBauersurl'étudedes ylindresdanslessurfa es plates.Lesdis ussionset lesréexionsqu'on aeuesensembleontététrès agréablesetbénéques, jel'enremer ie haleureusement.

Mathèsea ommen éparunstagesurlessurfa esàpetits arreauxen adréparCarlosMatheus, jeluidoisbeau ouppar equ'ilm'aaidéeà omprendre esujetetm'aexpliquépleindenouvelles notions,j'aimeraisl'enremer ier.

Ces trois années ont été pon tuéesd'é hanges enri hissantsave des spé ialistes dessurfa es plates,queje remer iesin èrement: Vin entDele roix, quiaduêtrelepremieràm'expliquer e qu'étaitunespa edeTei hmüller;mesgrandsfrèresErwanLanneau,CorentinBoissyetSamuel Lelièvrequionttoujoursrépondutrès haleureusementàmesquestions,ontrelumestextesetm'ont onseillée; Pas al Hubert et Julien Grivaux àMarseille qui m'ont é outée, en ouragée et m'ont appris beau oup. Plus globalement j'aimerais remer ier l'ensemble des mathémati iens étudiant les surfa es plates que j'ai pu ren ontrer pendant mes dépla ements et ave qui j'ai pu dis uter agréablementdemathématiques etd'autressujets.

Iwouldliketothanksin erelyAlexWrightforhelpfuldis ussions,AlexEskinforlettingmeuse hisprogramonSiegelVee h onstantsandforusefuldis ussionsaboutvolumes,JayadevAthreya forhis invitationto Urbana, and moregenerallyall theatpeople that I met during this thesis andwithwhomIhadgreat mathemati alandnonmathemati aldis ussions.

J'aimeraiségalementremer ierles her heursdel'IRMARquionttoujourseuleurporteouverte pourrépondreàdesquestionsàn'importequelmoment.

Par equeprésentersestravauxenpubli permetdefaireavan ersapropreréexion mathéma-tique,jesouhaiteraisremer iertous euxquim'ontdonnél'opportunitédedonnerdesexposésàdes séminaires:Ludovi Marquis,Mi heleBolognesi,SergeCantatquej'aimeraisremer ierpouravoir dis utéave moidepolynmesaléatoires,Jérémy,Sandrine et ArnaudpourPampers,Matheusà Paris13,Pas alet JulienàMarseille,SamuelàOrsay,etbienttErwanàGrenoble.

Assister à des onféren es est également très enri hissant 'est pourquoi je remer ie tous les organisateurs de elles auxquellesj'ai parti ipé. J'aipu me dépla er en grande partie grâ e aux nan ementsdel'ANRGeoDyMainsi qued'autresfondslo aux(OWLG,ICERMet ).

Au ours de es trois années j'ai ee tué mes missions d'enseignement à l'ENS et l'ENSAI, j'aimeraisremer iertouslesprofesseursave quij'aitravaillé,lesresponsablesd'enseignement Ar-naudDebuss heet Ni olasSouêtre,et mesélèves,pouravoirrendu es missionsparti ulièrement agréables.J'aiégalementparti ulièrementappré iéparti iperàdesa tionsdediusiondes mathé-matiques,organiséesengrandepartieparRozennTexier-Pi ard.Jeremer ietouslesprotagonistes de es projets pour les é hanges enri hissants qu'on a pu avoir.Ces deux aspe ts autres que la re her hem'ontapportéun ertainéquilibrependantmathèse.

Jeremer ietouslesmembresdel'administrationdel'UFR,Matisseetl'IRMARquiont ontri-bué au bon déroulement de ette thèse et en parti ulier à eux et elles auxquels j'ai eu plus parti ulièrement aaire : Chantal, Marie-Aude, Emmanuelle, Hélène et Carole, pour avoir géré toutesmesdemandes,même ellesdedernièreminute,ave gentillesseete a ité,Claudinepour

avoir rendu notre bureau plus agréable, Patri k et Olivier pour m'avoir aidé sur les problèmes informatiques,Hervé,MaryseetMarie-Anni kdelabibliothèquepourleurgentillesse.Jeremer ie égalementElodie Cottrel et Anne-NoëlleChauvin pouravoirfa ilité mes démar hes administra-tives.

Venirtravailleràl'IRMARaétéunvéritableplaisirgrâ eàlaprésen edetouslesdo torants,et enparti ulierauxamisdubureau434,quiseretrouvaientautourd'unetassedethéoud'unefeuille demots roisés.J'aiunepenséeae tueusepourtousmes obureauxsu essifsquej'étaisheureuse de retrouver haquejour. Je ne donneraipasla traditionnelle listede noms et deremer iements spé iquespour espersonnesdont ertainessontdevenuesdevéritablesamis,jepensequej'aurai l'o asiondelefaireenpersonnepour ha und'entreeux.

Finalement,jedoisénormémentausoutiendemafamille,mesamisetmespro hes,quej'aime et àquije dédie ettethèse.

Résuméen français 7

1 Présentationdusujet. . . 7

1.1 Surfa esplates . . . 7

1.2 Espa esdemodulesdesurfa esplates . . . 9

1.3 A tionde

SL(2, R)

surlesstrates. . . 11

1.4 Colle tionsrigidesdeliensselles . . . 12

1.5 ConstantesdeSiegelVee h . . . 15

1.6 Volumesdestratesd'espa esdemodulesdesurfa esplates . . . 16

2 Ré apitulatifdesrésultatsprésentés . . . 16

2.1 CourbesdeTei hmüller . . . 16

2.2 Géométriedes ongurationsà ylindres . . . 17

2.3 ConstantesdeSiegelVee hpourlesdiérentiellesquadratiques . . . 19

2.4 Volumesdestratesdediérentiellesquadratiques . . . 19

1 A riterion forbeing a Tei hmüller urve 21 1.1 Introdu tion. . . 21

1.2 Criterion. . . 22

1.3 Comparisonofmetri s . . . 23

1.4 VariationoftheHodgenorm . . . 24

1.5 CriterionintermsofLyapunovexponents . . . 24

1.6 Endoftheproof . . . 26

2 Geometry of ongurations with ylinders 27 2.1 Introdu tion. . . 27

2.1.1 Statementofsomeknownresults . . . 27

2.1.2 Statementofresults . . . 29

2.1.3 Notation. . . 33

2.2 SiegelVee h onstants. . . 39

2.2.1 Generalmethod . . . 39

2.2.2 Meanareaofa ylinder . . . 39

2.2.3 Meanareaoftheperiodi region . . . 42

2.2.4 Congurationswithperiodi regionsoflargearea. . . 43

2.2.5 Congurationswitha ylinderoflargearea . . . 44

2.2.6 Correlationbetweentheareaoftwo ylinders.. . . 44

2.3 Extremalpropertiesof ongurations. . . 46

2.3.1 Maximal totalmeanareaofa onguration . . . 46

2.3.2 Congurationswithsimple omplementaryregions . . . 48

2.4 Toolbox . . . 50

3 SiegelVee h onstants 53 3.1 Introdu tion. . . 53

3.1.1 Cylindersandsaddle onne tionsonhalf-translation surfa es . . . 53

3.1.2 Rigid olle tions ofsaddle onne tions . . . 53

3.1.4 Appli ationofSiegelVee h onstants . . . 54

3.1.5 Prin ipalresults . . . 55

3.1.6 Histori alremarks . . . 56

3.1.7 Stru tureofthepaper . . . 56

3.2 Preliminaries . . . 57

3.2.1  Homologoussaddle onne tions . . . 57

3.2.2 Congurationsofsaddle onne tions . . . 57

3.2.3 Graphsof ongurations . . . 57

3.2.4 Generalstrategyforthe omputationofSiegelVee h onstants . . . 58

3.2.5 Stratathat arenot onne ted . . . 60

3.3 ComputationofSiegel-Vee h onstantfor onne tedstrata. . . 60

3.3.1 Choi eofnormalization . . . 60

3.3.2 Constru tionofabasisof

H

−

1

( ˆ

S, ˆ

Σ, Z)

. . . 60

3.3.3 Computation . . . 61

3.3.4 Volumeoftheboundarystrata . . . 67

3.3.5 Evaluationof

M

s

. . . 67 3.4 Strata

Q(1

k

_,

−1

l

₎

,with

k

− l = 4g − 4 ≥ 0

. . . 67 3.4.1 Congurations . . . 67 3.4.2 SiegelVee h onstants . . . 70

3.5 Geometryof ongurations ontaining ylinders . . . 72

3.5.1 VariantsofSiegelVee h onstants . . . 72

3.5.2 Maximalnumberof ylinders . . . 74

3.5.3 Congurationswithsimplesurfa es. . . 76

4 Volumes ofstrata 79 4.1 Volumesofhyperellipti omponents . . . 79

4.1.1 Volumesofhyperellipti omponentsofstrataofquadrati dierentials . . 79

4.1.2 Volumesofhyperellipti omponentsofstrataofAbeliandierentials . . . 83

4.2 Coheren eoftheformulae . . . 83

4.2.1 Congurations ontaining ylindersinhyperellipti omponents. . . 83

4.2.2 SiegelVee h onstantsfor ongurationsinhyperellipti omponents . . . 85

4.2.3 Spe ial ases: emptyboundarystratum . . . 91

4.3 Volumesofstrataofsmalldimension . . . 93

4.4 Firstexample:

Q(5, −1)

. . . 95 4.4.1 Volumeof

Q(5,

−1)

. . . 95 4.4.2 SiegelVee h onstant . . . 97 4.5 Se ondexample:

Q(3, −1

3

₎

. . . 98 4.5.1 Volume . . . 98 4.5.2 SiegelVee h onstant . . . 100 4.6 Summary . . . 101

4.7 Alternative omputationsofvolumes . . . 102

4.7.1

Q(2, −1

2

₎

. . . 102 4.7.2

Q(1

2

_,

−1

2

₎

. . . 103 4.8 Toolbox . . . 105 A Report onexperiments 107 1.1 Hyperellipti strata. . . 107

1.2 Strataforwhi hvolumesare omputed:

Q(5, −1)

and

Q(3, −1

3

₎

. . . 109

1.3 Anotherexample:

Q(5, 1, −1

2

₎

. . . 109

1 Présentation du sujet 1.1 Surfa es plates

Parsurfa es plates nous désignerons lessurfa es de translationet de demi-translations que nous dénissonsmaintenant.

Considéronslespolygonesdelaguresuivante.Sinousidentionsles tésparallèlesetégaux dupolygonedegau hepartranslation,nousobtenonsunesurfa eferméequihéritedelamétrique du plan sauf aux points représentés par les sommets du polygone : ertains de es points sont identiés et forment un angle

2π

: autour de e point la métrique est en ore plate, les autres s'identient pour former un angle

6π

: en e point, la métrique a une singularité onique. Par l'identité deGauss-Bonnetnousdéduisonsdon que ette surfa eest degenre

2

.

Si nous onsidéronssurfa eobtenueen identiantles tésparallèleset égauxsupolygonede droitepartranslationoupartranslationetdemi-tour,selonl'orientationsuggérée,nousobtenons unesurfa eferméemunied'unemétriqueplateàsingularités oniquesave deuxsingularitésd'angle

5π

etdeuxd'angle

π

.Parl'identitédeGauss-Bonnetnousdéduisonsdon que ettesurfa eestde genre

2

.

v

1

v

2

v

3

v

4

v

5

v

3

v

1

v

4

v

2

v

5

−

→

V

1

−

→

V

2

−

V

→

3

−

→

V

2

−

→

V

4

−

→

V

1

−

→

V

3

−

→

V

5

−

→

V

5

−

→

V

6

−

→

V

7

−

→

V

7

−

→

V

4

−

→

V

6

Figure1 Surfa esdetranslationetdedemi-translation

Ce sont des exemples de surfa es de translation et de demi-translation. Pour formaliser es notions,nousintroduisonslesdénitionssuivantes.

Dénition 1. Nous appellerons surfa e de translation une surfa e de Riemann

S

munie d'une 1-formeholomorphe

ω

appeléediérentielleabélienne.

Cetteappellationest justiéeparl'équivalen eàladénitionsuivante :

Dénition2.Unesurfa etopologique ompa teorientable

S

degenre

g

munied'unsous-ensemble ni de points

Σ =

{P

1

; . . . , P

n

}

et d'une partition

d = (d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

de

2g

− 2

possède une stru turedesurfa edetranslationsiilexisteunatlasmaximal

φ

de artesallantde

S

\ Σ

dansdes ouverts de

C

≃ R

2

telqueles hangementsde artessoientdes translations,ettelquepourtout

i

dans

{1, . . . , n}

il existe unvoisinage

U

i

de

P

i

, unvoisinage

V

i

de 0dans

R

2

et un revêtement ramié

p = (U

i

, P

i

)

→ (V

i

, 0)

dedegré

d

i

+ 1

telque haquerestri tioninje tivede

p

estune arte de

φ

.

Si

(S, ω)

estunesurfa edetranslationalorsennotant

Σ

l'ensembledeszérosde

ω

et

(d

1

, . . . , d

n

)

leurordres orrespondants,sastru turedesurfa edetranslationestdonnéeparles arteslo ales

φ

P

auvoisinage

U (P )

de

P

pointrégulierde

ω

, déniespar:

φ

P

: U (P )

→

C

Q

7→

R

P

Q

ω.

Ré iproquementunestru turedesurfa edetranslationsur

(S, Σ, d)

dénitunestru turedesurfa e de Riemannsur

S

etune diérentielleabélienne

ω

parletiré enarrièredelaforme

dz

sur

C

par les artesde

φ

.

Enplusde ettestru ture, unesurfa edetranslation

(S, ω)

héritenaturellement

•

d'unemétriqueplatedéniepar

ω

,leszérosde

ω

dedegré

d

orrespondantàdessingularités d'angle

2(d + 1)π

.

•

d'uneorientationprivilégiéedonnéeparl'orientationde

C

,

•

d'uneformed'airedonnéepar

i

2

ω

∧ ω

,

•

d'un hampdeve teursparallèlesprivilégié(par onventionle hampdeve teursverti aux allantverslenord)

Dénition3. Nousappelonssurfa e dedemi-translationunesurfa edeRiemann

S

munied'une diérentiellequadratiqueméromorphe

q

, 'est-à-direuneformedonnéeen oordonnéeslo alespar

f (z)(dz)

2

où

f

estunefon tionméromorpheàples auplussimples.

Si

q

est globalementle arréd'une1-formeholomorpheonretrouvele aspré édent. Cetteappellationestjustiée parl'équivalen eàladénition suivante:

Dénition4. Unesurfa etopologique ompa teorientable

S

degenre

g

munied'unsous-ensemble ni depoints

Σ =

{P

1

; . . . , P

n

}

et d'unepartition

k = (k

1

, k

2

, . . . , k

n

)

⊂ ({−1} ∪ N

∗

₎

n

de

4g

− 4

possèdeunestru turedesurfa ededemi-translationsiilexisteunatlasmaximal

φ

de artesallant de

S

\Σ

dansdesouvertsde

C

≃ R

2

telqueles hangementsde artessoientdelaforme

z

7→ ±z+c

, ettelquepourtout

i

dans

{1, . . . , n}

ilexisteunvoisinage

U

i

de

P

i

,unvoisinage

V

i

de0dans

D

/±

et unrevêtementramié

p = (U

i

, P

i

)

→ (V

i

, 0)

dedegré

k

i

+ 2

telque haquerestri tioninje tive de

p

estune artede

φ

.

Si

(S, q)

est unesurfa ede demi-translationalorsennotant

Σ

l'ensemble dessingularitésde

q

et

(k

1

, . . . , k

n

)

leurordres orrespondants,sastru ture desurfa ededemi-translation estdonnée parles arteslo ales

φ

P

auvoisinage

U (P )

de

P

pointrégulierde

ω

,déniespar:

φ

P

: U (P )

→

C

Q

_7→

R

_P

Q

q

1/2

,

oùona hoisiune ra ine arréde

q

lo alementauvoisinagede

P

.

Ré iproquementunestru turedesurfa ededemi-translationsur

(S, Σ, d)

dénitunestru ture desurfa edeRiemannsur

S

etunediérentiellequadratiqueparletiréenarrièredelaforme

dz

2

sur

C

parles artesde

φ

.

Enplusde ettestru ture, unesurfa ededemi-translation

(S, q)

héritenaturellement

•

d'unemétriqueplateàsingularités oniques,unzérod'ordre

k

orrespondantàunesingularité d'angle

(k + 2)π

,etunpleàunesingularitéd'angle

π

(parabusdelangage,onpourravoir unple ommeunzérod'ordre

−1

),

•

d'uneformed'aireinduitepar

q

,la onditionsurlesplesgarantissantquel'airedelasurfa e obtenueestnie,

•

de hampsdedire tionsparallèlesprivilégié(par onventionle hampdedire tionsverti ales). Cesdénitionséquivalentàlades riptionparre ollementdepolygones:unpolygone orrespond tout simplementàune artebien hoisiede es surfa es,les téssontdonnésparintégrationde es formesentredeuxsingularités(zérosouples).

Dénition 5. On appellera lien selle tout segment géodésiquejoignantdeux singularités (oula même),etnetraversantau uneautresingularité.

Dans la représentation polygonale les tésdu polygoneen parti ulierreprésentent des liens selles.

Lienave lesbillardspolygonaux

Lessurfa esplatesinterviennentdansl'étudede ertainsbillardspolygonaux.Lesbillards polygo-nauxàanglesrationnels peuvent êtredéployés efaçonàformerune surfa edetranslation,telle quele otlinéairedans ettesurfa ede translation orrespondeauot dubillard d'origine.Par exemplesur laFigure 2letriangle d'angle

π/2

,

π/8

et

3π/8

sedéploiepourformer uno tagone régulierreprésentantunesurfa edetranslationpossédantunesingularitéd'angle

6π

.

Figure2Dépliagedelatraje toiredansunbillardtriangulaire

Desbillardspolygonauxàanglesmultiplesde

π/2

peuventêtredupliquésetre olléssurlesbords defaçonpourformerdessurfa esdedemi-translationdanslesquellesleotlinéaire orrespondau otdu billard d'origine.Parexemple sur laFigure 3 onobtientune surfa e dedemi-translation possédant5singularitésd'angle

π

etuned'angle

3π

.

Figure3Dépliagedelatraje toiredansunbillardàangledroits

Pourde telles billards l'étude duotlinéairedans lasurfa eplate orrespondante permet de déduiretouteslesinformationssur latraje toiredanslebillardsd'origine.Pouruneprésentation omplètedusujet onsulter[Zo4℄,[MT ℄et[GJ℄.

1.2 Espa es de modules de surfa es plates

Nous notons

H

g

l'espa e de module des diérentielles abéliennes, déni omme l'ensemble des surfa es de translation de genre

g

modulo les lasses d'isotopies de diéomorphismes préservant l'orientation,ainsique

Q

g

l'espa edemodule desdiérentiellesquadratiques.

Endéformantlégèrementles tésdespolygonespré édents,nousobtenonsdessurfa esplates ave lesmêmessingularités oniques,etdemêmegenre.Cesdeuxdonnéessontliéesparl'identité

de Gauss-Bonnet.Ainsi,lesespa esdemodules

H

g

et

Q

g

sontstratiésparladonnéedesordres dessingularités:

H

g

=

[

P

i

di=2g−2

di∈N

H(d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

où

H(d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

désignel'ensembledesdiérentiellesabéliennesà

n

zérosdedegrés

d

1

, . . . , d

n

dans l'espa e de module

H

g

. Les strates

H(d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

onstituent des orbifolds analytiques omplexesdedimension

2g + n

− 1

. Delamême façon:

Q

g

=

[

P

i

ki=4g−4

ki∈N

Q(k

1

, k

2

, . . . , k

n

)

où

Q(k

1

, k

2

, . . . , k

n

)

désigne l'ensemble des diérentielles quadratiques à

n

singularités d'ordre

k

1

, . . . , k

n

dansl'espa edemodule

Q

g

.Lesstrates

Q(k

1

, k

2

, . . . , k

n

)

onstituentdesorbifolds ana-lytiques omplexesdedimension

2g + n

− 2

.

Deplussionnote

M

g

l'espa edemodule dessurfa es deRiemanndegenre

g

,lesespa es

H

g

et

Q

g

onstituentdesbrésau-dessusde

M

g

,et

Q

g

s'identieaubré otangentde

M

g

.

Lesstratesde esespa esdemodulesnesontpastoutes onnexes:la lassi ationdes ompo-santes onnexesaété ee tuéedansle asabélien parKontsevi het Zori h ([KZ℄)et dansle as quadratiqueparLanneau([La1℄,[La2℄).

Dansl'exempledelaFigure1, lasurfa edegau he orrespondàunpointdelastrate

H(2, 0)

et lasurfa ededroiteàunpointdelastrate

Q(3, 3, −1, −1)

.

Coordonnéesetmesuresur lesstrates de diérentiellesabéliennes

Déformer légèrementune surfa ede translation orrespond intuitivementà déformer un peu les tésdupolygonequiladénit.Eteneet,les oordonnéeslo alesdansunestrate

H(d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

sontdonnéesparlespériodesrelatives, 'est-à-direlesaxesde ertainslienssellesetgéodésiques fermées. Plus pré isément,soit

(S, ω)

une surfa ede translation dansla strate

H(d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

. On note

H

1

(S, Σ, Z)

le groupe d'homologie relative àl'ensemble

Σ =

{P

1

, . . . , P

n

}

des lieux des zéros de

ω

. Tout élément de e groupepeut être représenté par un lien selle ou une géodésique fermée. On note également

H

1

_{(S, Σ, C)}

≃ Hom(H

1

(S, Σ, Z), C)

l'espa e de ohomologie dual. Il existeunvoisinage

U

de

(S, ω)

telquepourtout

(S

′

_{, ω}

′

₎

dans

U

,onpuisseidentier

H

1

_(S

′

_{, Σ}

′

_{, C)}

à

H

1

_{(S, Σ, C)}

,enidentiantlessous-réseaux

H

1

_(S

′

_{, Σ}

′

_{, Z + iZ)}

et

H

1

_{(S, Σ, Z + iZ)}

, 'est-à-direen utilisant la onnexion deGaussManin. Alorsles oordonnéeslo alesau voisinagede

(S, ω)

sont donnéesparl'appli ationpériode:

Θ :

U

_→

H

1

_{(S, Σ, C)}

(S

′

_{, ω}

′

₎

_7→



_γ

_7→

R

γ

ω

′



.

LamesuredeLebesgueen oordonnéesdénit unemesure

µ

sur haquestrate

H(d

1

, . . . , d

n

)

. L'aired'unesurfa edetranslation

(S, ω)

estdonnéepar

i

2

R

S

ω

∧ω

.Onnotera

H

1

g

et

H

1

(d

1

, . . . , d

n

)

leshyperboloïdesdesespa esdemodulesoudesstratesformésparlessurfa es d'aire

1

.

Lamesure

µ

induitunemesure

µ

1

surl'hyperboloïde

H

1

_(d

1

, . . . , d

n

)

,appeléemesuredeMasur Vee h,delafaçonsuivante:pourtoutsous-ensemble

E

de

H

1

(d

1

, . . . , d

n

)

ondénitle ne

C(E)

au-dessousde

E

dans

H(d

1

, . . . , d

n

)

par

C(E) =

_{(S

′

, ω

′

)

_{∈ H(d}

1

, . . . , d

n

),

t.q.

∃r ∈ (0, 1], ∃(S, ω) ∈ E, (S

′

_{, ω}

′

_{) = (S, rω)}

_}.

Pourtoutsous-ensemble

E

telsque

C(E)

soitmesurable,ondénit

µ

1

(E) = µ(C(E)).

C(E)

E

H(α)

H

1

(α)

Coordonnéeset mesuresur lesstrates de diérentiellesquadratiques

Pour dénir de même les oordonnées lo ales pour les strates de diérentielles quadratiques, il fautseramenerau asabélienenprenantlerevêtementdoubled'orientationde haquesurfa ede demi-translation.

Soit

(S, q)

une surfa ede demi-translation telle que

q

ne soit pas globalement le arré d'une 1-formeholomorphe. Alors elleadmet un revêtement double ramié anonique

S

ˆ

p

→ S

telle que ladiérentielle quadratique induite sur

S

ˆ

soit globalementle arré d'unediérentielle abélienne, 'est-à-direque

p

∗

_{q = ω}

2

ave

( ˆ

S, ω)

∈ H(ˆ

α)

. Onnote

Σ

l'ensemble despointssinguliersde

ω

et

H

1

−

( ˆ

S, ˆ

Σ, C)

l'espa ede ohomologierelativeanti-invariantparrapportàl'involutionnaturelle de

( ˆ

S, ω)

.Dans unvoisinage

U

de

(S, q)

onpeutidentier esespa esau-dessusdedeuxsurfa es de semi-translationdistin tesàl'aidedela onnexiondeGaussManin.Les oordonnéeslo alessont alorsdéniesparl'appli ationpériodesuivante:

Θ :

U

_→

H

1

−

( ˆ

S, ˆ

Σ, C)

(S

′

_{, q}

′

₎

_7→



_γ

_7→

R

γ

ω

′



.

La mesurede Lebesgue en oordonnées lo alesinduit égalementune mesure deMasurVee h surlesstrates.

Demêmeonpeutdénirl'aired'unesurfa ededemi-translationen hoisissantunera ine arré de

q

sur une arte maximale, et on note

Q

1

g

et

Q

1

(k

1

, . . . , k

n

)

les hyperboloïdes formés par les surfa esd'aire

1/2

(ainsilerevêtementdoubleapouraire1).

Commedansle asabélienlamesuredeMasurVee hsur

Q(k

1

, . . . , k

n

)

induitunemesurenie sur

Q

1

(k

1

, . . . , k

n

)

.

1.3 A tion de

SL(2, R)

sur les strates Dénition

L'a tion

SL(2, R)

sur les surfa es de translation et de demi-translation apparait naturellement quand on les onsidère omme des polygones tra ésdans le plan : en eet il sut de faire agir

SL(2, R)

sur haque tédupolygone.



e

t

₀

0

e

−t



Figure4 A tiond'unélémentde

SL(2, R)

Plusrigoureusementl'a tionde

SL(2, R)

sur

H

g

estdonnéeparpost- ompositiondansles artes de translation: l'a tion d'un élément

A

∈ SL(2, R)

sur

(S, ω)

∈ H

g

est donnéepar

A

· (S, ω) =

(S, A

_{· ω)}

où

A

· ω

est ladiérentielleabélienne orrespondantàl'atlas detranslation

A

◦ φ

où

φ

estunatlasdetranslationpour

(S, ω)

.

L'a tion de

SL(2, R)

sur

Q

g

est dénie de façon similaire. Cette a tion préservel'aire de la surfa e,don serestreintauxhyperboiloïdes

H

1

g

et

Q

1

g

.Ellepréserveaussilesordresdessingularités don serestreintauxstratesnormalisées

H

1

_(d

1

, . . . , d

n

)

et

Q

1

_(k

1

, . . . , k

n

)

.

L'a tion du sous-groupe de

SL(2, R)

à un paramètre formé par les matri es de la forme



e

t

₀

0

e

−t



orrespond au ot géodésique par rapport à la métrique de Tei hmüller, aussi ap-pelé otdeTei hmüller(voir[Hu℄parexemplepouruneintrodu tionauxespa esdeTei hmüller et ladénition de ettemétrique).

D'après unrésultat fondamental de Masur et Vee h le ot de Tei hmüller est ergodique par rapportàlamesuredeMasurVee hsurles omposantes onnexesdesstratesnormalisées([Ma1℄, [Ve1℄).

L'étudeduotdeTei hmüllerdans l'espa edemoduled'unesurfa eplate générique

S

donne desinformationssurleotlinéairedanslasurfa e

S

,parunpro édéde renormalisation.Deplus si lasurfa e provient dudéploiement d'un billard polygonal, ela donne des informations sur le otdanslebillardd'origine.Uneexempletrèsexpli itedel'utilisationde epro édéestlemodèle d'Ehrenfestdu ventdans lesarbres étudiéparDele roix, Hubert et Lelièvre ([DHL ℄), oùletaux dediusionpourlebillarddedépartestdonnéparunexposantdeLyapunovdubrédeHodgele longduotdeTei hmüllerdansl'espa edemoduledelasurfa eplate orrespondante.

Courbesde Tei hmüller

Ons'intéresseauxorbitesdel'a tionde

SL(2, R)

sur

Q

g

(quis'identieaubré otangentde

M

g

), etàleurproje tionsur

M

g

.Lesorbitesd'unesurfa edesemi-translation

(S, q)

sontdes opiesde

SL(2, R)/SO(2, R)

,qui s'identieaudemi-plan

H

.Pourpresquetout

(S, q)

laproje tionde ette orbite sur

M

g

est dense.

Notons

SL(S, q) =

{g ∈ SL(2, R),

t.q.

g.q = q

}

le stabilisateur de

(S, q)

sous l'a tion de

SL(2, R)

, appelé groupe de Vee h. Alors dans le as parti ulieroù

SL(S, q)

est unréseaudans

SL(2, R)

,l'orbitede

(S, q)

seprojettedans

M

g

enune ourbealgébriqueappelée ourbe deTei hmüller.

Demanièreéquivalenteune ourbedeTei hmüllerestune ourbealgébrique omplexedegenre

g

_{≥ 2}

, don munie de la métriquehyperboliquedonnéepar uniformisation,plongée isométrique-ment dans

M

g

muni de la métrique de Tei hmüller. Autrement dit, les ourbes de Tei hmüller orrespondentaux ourbes omplexestotalementgéodésiquesde

M

g

.

Les ourbes de Tei hmüller sont les premiers exemples de lieux

SL(2, R)

invariants dans les stratesd'espa esdemodules desurfa es plates,ex eptélesstrateselles-mêmes.L'étude deslieux

SL(2, R)

-invariants a fait l'objet de beau oup de re her hes et de ré ents développements : en parti ulier lerésultat fondamental deEskin, Mirzakhani et Mohammadi ([EMi ℄, [EMM ℄) stipule que l'adhéren e de la

GL

+

_{(2, R)}

-orbite d'une surfa e de translation est une sous-variété ane invariante.Les oe ientsdeséquationslinéairesdénissant ettevariétéspeuventêtreprisesdans un orpsdenombre([Wr2℄).Depluslessous-variétéanesinvariantesdesstratesdediérentielles abéliennessontdessous-variétésalgébriques,déniessur

Q

([Fi℄), equiétaitdéjà onnupourles ourbesdeTei hmüllerparlestravauxdeM MullenetMöller.

1.4 Colle tions rigides de liens selles Diérentiellesabéliennes

On s'intéressemaintenantauxfamilles de liens selles d'unesurfa edetranslation

(S, ω)

∈ H(α)

, et leur image par une petite déformation. Considérons l'exemple donné par la gure 5. On a représentéi iunepetitedéformationdelasurfa edegau he,donnéeintuitivementparunepetite déformationdes tésdupolygone. Onremarquealors quelesliens selles

γ

1

(rouge)et

γ

2

(vert) restentné essairementparallèlesdemêmelongueur.Ondiraquela olle tionforméepar esdeux liensselles estrigide.Eskin,MasuretZori hontremarqué etétudié ephénomènedans[EMZ℄.

γ

1

γ

2

γ

′

1

γ

′

2

Figure5 Petitedéformationd'unesurfa edetranslation

Dénition6. Soit

V

unesous-variété

SL(2, R)

-invariantede

H(α)

,etsoit

(S, ω)

∈ V

.Une olle -tion

{γ

1

, . . . , γ

r

}

de liens sellessur

(S, ω)

estdite rigidedans

V

sitoute déformationassezpetite de

(S, ω)

dans

V

préservelesproportions

|γ

1

| : |γ

2

| : . . . : |γ

r

|

.

Si

V = H(α)

, les oordonnées lo ales de

H(α)

étant donnéespar les périodes relatives,on a naturellementlerésultatsuivant:

Proposition 1 (Eskin, Masur, Zori h). Une olle tion

{γ

1

, . . . , γ

r

}

de liens selles sur

(S, ω)

∈

H(α)

est rigidedans

H(α)

sietseulement siils sontdeuxàdeuxhomologues.

Remarquons que dans l'exemple de la gure 5, les liens selles

γ

1

et

γ

2

sont homologues (ils oupentlasurfa e endeux omposantes onnexes), et bordentun ylindreformé de géodésiques ferméesparallèlesqui leursonthomologues.Lapartie restantede lasurfa eest forméed'un tore per édedeuxtrousformantunegureenhuit,auquelestre olléle ylindredé ritpré édemment ( fFigure6).

Figure 6Représentationtopologique

Ladonnéede esélémentsdétermine equ'onappelleraune ongurationdeliensselles homo-logues:

Dénition7.Une ongurationdeliensselleshomologuessur

(S, ω)

estundestypesgéométriques possiblesdes olle tionsmaximalesdeliensselles homologuessur

(S, ω)

.

Les ongurationsdeliensselleshomologuesontétéétudiéeset lassiéesparEskin,Masuret Zori hdans[EMZ℄.

Diérentiellesquadratiques

On peut de même onsidérer les variations de liens selles sur une surfa e de demi-translation

(S, q)

_{∈ Q(β)}

souspetitedéformationdans

Q(β)

.Atitred'exemple,surlaFigure7,lesliensselles

γ

1

(vert),

γ

2

(rouge)et

γ

3

(bleu)restentparallèleset demême longueursouspetitedéformation danslastrate.

Onatoujoursladénitionde olle tionrigidedeliensselles:

Dénition8.Soit

V

unesous-variété

SL(2, R)

-invariantede

Q(β)

,etsoit

(S, q)

∈ V

.Une olle tion

{γ

1

, . . . , γ

r

}

delienssellessur

(S, q)

estditerigidedans

V

sitoutedéformationassezpetitede

(S, q)

dans

V

préservelesproportions

|γ

1

| : |γ

2

| : . . . : |γ

r

|

.

Si

V = Q(β)

,les oordonnéeslo alesétantdonnéesparlapartieanti-invariantedel'homologie dans le revêtement double, on introduit les notations suivantes : si

γ

est un lien selle (ou une géodésique fermée simple) de

(S, q)

, on note

γ

′

et

γ

′′

sespré-images dans le revêtement double

γ

1

γ

2

γ

3

γ

1

′

γ

′

2

γ

3

′

Figure7 Petitedéformationd'unesurfa ededemi-translation

•

si

[γ]

6≡ 0

,onnote

[ˆ

γ] = [γ

′

_]

_{− [γ}

′′

_]

_{∈ H}

−

1

( ˆ

S, ˆ

Σ, Z)

,

•

sinon,onnote

[ˆ

γ] = [γ

′

_]

. Onobtientainsidesélémentsde

H

−

1

( ˆ

S, ˆ

Σ, Z)

,dontledual omplexedonnedes oordonnéeslo ales sur

Q(β)

auvoisinagede

(S, q)

.

Dénition9(Masur,Zori h). Deuxliensselles

γ

1

et

γ

2

sur

(S, q)

sontdits 

homologuessi

[ˆ

γ

1

] = [ˆ

γ

2

]

dans

H

−

1

( ˆ

S, ˆ

Σ, Z)

.

Les olle tionsrigidesdeliensselles dans

Q(β)

sont ara tériséesparlerésultatsuivant: Proposition 2 (Masur,Zori h). Une olle tion

{γ

1

, . . . , γ

r

}

de liens selles sur

(S, q)

∈ Q(β)

est rigide dans

Q(β)

sietseulement siils sontdeuxàdeux



homologues.

Dansl'exempledelaFigure7,lafamille

{γ

1

, γ

2

, γ

3

}

estrigidedans

Q(2, −1

2

₎

.

Remarquonsde plusque lesliens selles

γ

2

(rouge)et

γ

3

(bleu) bordentun ylindreformé de géodésiquesferméesparallèles,qui leursont



homologues.Demêmelelienselle

γ

1

(vert)bordeun ylindreformédegéodésiquesferméesparallèlesquiluisont



homologues(bienqu'étanthomologues à0),delongueur2foisplusgrandequepourle ylindrepré édent,etqui estbordédel'autre té parlaréuniondesliensselles

γ

2

et

γ

3

( fFigure8).

Figure8Représentationtopologique Lanotiond'être



homologueestsubtile: eneetdansl'exemple

γ

1

et

γ

2

sontdenatures dié-rentespuisque

γ

1

reliedeuxplesdistin tset

γ

2

relieunzérod'ordre2àlui-même,etnesontpas homologues,ellessontpourtant



homologues.Demêmeonpeutavoirune ourbehomologueàzéro maispas



homologueà0.

Commepré édemment,ona:

Dénition 10. Une onguration de liens selles 

homologues sur

(S, q)

est un des types géomé-triquespossiblesdes olle tionsmaximalesdeliensselles



homologuessur

(S, q)

. Les ongurationsdeliensselles



homologuesontétéétudiées et lassiéespourlesstratespar Masur et Zori h dans [MZ℄, et pourles omposantes hyperelliptiques de stratesparBoissy dans [Bo℄.

Nous nous intéresserons parti ulièrement aux ongurations de liens selles homologues (ou 

homologues selon le ontexte), telles qu'il y ait dans la olle tion au moins ertains liens selles bordantun ylindreformédegéodésiquesferméesparallèles.Nousparleronsalorsde onguration à ylindres.Lesétudesde[EMZ℄et[MZ℄montrentqueles ongurationsà ylindres orrespondent aux ongurationsdegéodésiquesferméessimpleshomologues(ou



1.5 Constantes de SiegelVee h

Les onstantes deSiegelVee hdonnent l'asymptotique dunombrede géodésiquesferméesou de liens selles dansune surfa eplate.Pourles surfa esplates provenantdebillards polygonauxpar dépliageoure ollage,lenombredegéodésiqueferméesdonnelenombredetraje toirespériodiques danslebillardd'origine.

Soit

S

une surfa eplate représentantsoitunesurfa edetranslation

(S, ω)

soit unesurfa ede demi-translation

(S, q)

.Nousintroduisons lesquantitéssuivantes:

• N

l.s.

(S, L)

lenombredeliensselles delongueurinférieureà

L

sur

S

• N

g.f.

(S, L)

lenombredefamillesgéodésiquesferméessimplesdelongueurinférieureà

L

sur

S

: notons qu'une géodésique ferméesimple régulière (nepassant paspar des singularités) dansunesurfa eplatefaittoujourspartied'un ylindreplatformédegéodésiquesferméesqui luisontparallèleset qui sontdemême longueur.

N

g.f.

(S, L)

ompte lenombrede ylindres forméspardesgéodésiquesferméesdelongueurinférieureà

L

.

Alorssi

S

estgénérique( 'est-à-direpourpresquetoutesurfa eplate

S

danslastrate relative-mentàlamesuredeMasurVee h),d'aprèslesrésultatsdeEskinetMasur ([EMa℄)lalimite

lim

L→∞

N

∗

(S, L)

· aire(S)

πL

2

= c

∗

estbiendénie etnedépendpasdelasurfa e

S

pourpresquetoute

S

danslastratenormalisée. La onstante

c

∗

estappelée onstantedeSiegelVee hpourlastratede

S

.Parexemplepourle toreplat

T

= C/(Z+iZ)

,

N

g.f.

(T, L)

représentelenombredepointsprimitifsduréseau

Z+iZ

dans laboulede entre0et derayon

L

dans

C

,onobtientalorspardes onsidérationsarithmétiques :

c

g.f.

(T) = c

g.f.

(

H(0)) =

1

2ζ(2)

=

3

π

2

.

HistoriquementMasuren 1988-1990amontré([Ma2℄, [Ma3℄)unen adrementquadratique en

L

de

N

∗

(S, L)

pour haque surfa e

S

de la strate, puis Vee h en 1998 ([Ve3℄) a montré qu'en moyennant

N

∗

(S, L)

surla omposante onnexedelastratenormalisée orrespondanteonobtenait uneexpressionquadratiqueen

L

,pourtout

L

,enennEskinetMasuren2001([EMa℄)ontmontré l'asymptotiquequadratiqueen

L

de

N (S, L)

pourpresquetoute

S

danslastrate,etonmontréque la onstante orrespondantededépendaitpasde

S

.

Tous esrésultatssontmontrésdans un adre unpeu plusgénéral:eneeton peut ompter lesliens sellesoules géodésiquesave poids,à onditionquele poids vérie ertaines onditions, enparti ulier qu'ilsoit

SL(2, R)

invariant.Parexempleonpeut ompter lesgéodésiquesfermées ave pour poids l'airedes ylindres orrespondants: on note

N

area

(S, L)

et

c

area

la fon tion de omptageetla onstantedeSiegelVee h orrespondante.

On peut également ompter les liens selles (ou les géodésiques fermées) uniquement quand elles forment une onguration

C

(ausens du paragraphepré édent), et alors les onstantes de SiegelVee hpourlesstratessontlasommesurles ongurations

C

admissiblespourlastratedes onstantesdeSiegelVee hpour

C

.

Eskin, Masur et Zori hontdéveloppédans[EMZ℄ deste hniques pour al uler les onstantes de SiegelVee h pourles ongurationsdans le as abélien (rappelées dans les hapitres 2et 3), quiontétégénéraliséesdansle asquadratiqueengenre0parAthreya,Eskinet Zori h([AEZ1℄). Dans ettethèsenousgénéralisonslerésultatdansel asquadratiqueengenresupérieur( hapitre 3).

Les onstantes de SiegelVee h

c

area

pour les stratesrelativementà l'airedes ylindres sont parti ulièrementimportantes arellessontreliéestrèsexpli itementàlasommedesexposantsde LyapunovdubrédeHodgelelongduotdeTei hmüllerparlaformule lédeEskinKontsevi h Zori h([EKZ2℄).LesexposantsdeLyapunovdonnentlespe trededéviationdefeuilletagesmesurés surdessurfa esplates (voir[Fo1℄,[Fo2℄,[Zo1℄,[Zo2℄), equipermetdesappli ations auxbillards polygonaux,auxtransformationsd'é hangesd'intervalles,et .

Ces onstantessontdeplusenplusétudiées,dediérentspointsdevue([AEZ1 ℄, [Ba1℄, [Ba2℄, [BG℄,[EKZ2℄,[Vo℄).

1.6 Volumes de strates d'espa es de modules de surfa es plates

Leste hniquesde[EMZ℄relientles onstantesdeSiegelVee hpourles ongurationsauxvolumes de ertainesstrates,oude ertaines omposantes onnexesdestrates.

Les volumes des strates de diérentielles abéliennes ont été al ulés par Eskin et Okounkov ([EOk1℄) en utilisant des formes modulaires et la théorie des représentations. Dans le as qua-dratique, une étude similaire ([EOPa℄) ne permet pas d'obtenir fa ilementdes valeurs expli ites pourles volumes. L'arti le [AEZ2℄ al ule expli itementles volumes desstrates de diérentielles quadratiques àzéros et ples simples en genre 0, en s'appuyant sur une formule de Kontsevi h ([Ko1℄).

L'idée ommune à tous es travauxest d'estimer lenombrede points entiers dans la strate pour en déduire lesvolumes. Ces pointsentiers orrespondent àdes surfa es plates représentées parlespolygonesàpetits arreaux.Le hapitre4rappelle elien estexposequelquesestimations devolumesdestratesdepetitedimension,oùun al ulàlamain estpossible.

2 Ré apitulatif des résultats présentés

Chaque hapitredelathèsedéveloppeunedesthématiquesdé ritesdanslesse tionssuivantes.Ils prennent laforme d'arti les. Le premier orrespondà unarti le[Go1℄ publié dans Mathemati al Resear h Letters. Le deuxième orrespond à une prépubli ation [BG℄, et enn les deux derniers hapitres orrespondentàdeux parties d'une prépubli ation[Go2℄. Nous résumons i iles prin i-pauxrésultatsexposésdans lasuite,endonnantpour haquerésultat lanotation orrespondante intervenantdansles hapitresenanglais.

2.1 Courbes de Tei hmüller

Dans ettepartie nousnousintéressonsàlaquestionsuivante : omment onstruire denouvelles ourbesdeTei hmüller,età etten, ommentdéte terqu'une ourbeestune ourbedeT ei hmül-ler?

Rappelons quesi

(S, ω)

est une surfa ede translation, alors laproje tion deson orbite sous l'a tion de

SL(2, R)

sur l'espa e de modules de surfa es de Riemann

M

g

est appelée ourbe de Tei hmüller, à ondition que le stabilisateur de la surfa epour ette a tion soit un réseau dans

SL(2, R)

.Les ourbesdeTei hmüllersontlespremiersexemplesdelieux

SL(2, R)

-invariantsdans

H

g

.Ce iest valableaussipourlessurfa es dedemi-translation dansl'espa e

Q

g

( fse tion1.3). Plusieurs ritèresalgébriquessont onnuspourles ourbesdeTei hmüller, omme eluidé rit parBouwetMöllerdans[BM℄.Le hapitre1([Go1℄)dé ritun ritère,déjàformulésousuneforme un peu diérente par Martin Möller, enterme debré maximal Higgs.On endonne une preuve utilisantdesrésultatsdedynamique.

Le ritèreest lesuivant.

Pourunesurfa edeRiemann

S

,ilexisteuneformepseudo-hermitiennenaturellesur

H

1

_{(S, C)}

, qui estdénie positivesur

H

1,0

_{(S, C)}

.CetteformeinduituneformesurlebrédeHodge

H

1

au-dessusdel'espa edemodules

M

g

dessurfa es deRiemanndegenre

g

,oùlabreau-dessusd'un point

S

est

H

1

_{(S, C)}

.La onnexiondeGaussManinpréserve ette formepseudo-hermitienne. Soit

C

une ourbe omplexedans

M

g

,degenre

g

≥ 1

.

Le théorème de semi-simpli ité de Deligne implique que le bré de Hodge au-dessus de

C

se dé ompose ensomme dire te orthogonalede sous-brés plats,tels que larestri tion dela forme pseudo-hermitienne anoniquesur haquesous-bréestnondégénérée.Supposonsqu'undes sous-bré

L

dans ladé omposition soit de rang

r

et tel quela signaturede la restri tionde laforme pseudo-hermitienne soit

(1, r

− 1)

.Dénissons

L

1,0

_{= L}

∩ H

1,0

et

L

0,1

_{= L}

∩ H

0,1

.Alors

L

1,0

est unbréendroitesholomorpheau-dessusde

C

.

Soit

L

1,0

l'extension deDelignedubré

L

1,0

auborddel'espa edemodules, et

χ(

C)

la ara -téristiqued'Eulergénéraliséede

C

.

Supposons

χ(

C) < 0

.Pourtoutsous-bréplat

L

dubréde Hodge sur

C

satisfaisantles hypo-thèsespré édentes, ona:

deg L

1,0

_{≤ −}

χ(

C)

2

.

(1)

Si il y aégalité, alors

C

est une ourbe de Tei hmüller, et le bré en droites

L

1,0

est le bré tautologique.

Toute ourbede Tei hmüller orrespondantàune strate de diérentiellesabéliennesadmet un sous-bréplat

L

dubréde Hodgevériant les onditionspré édentes, telque:

deg L

1,0

₌

₋

χ(

C)

2

.

Cerésultatpeutêtrereformulé ommesuit:silesous-bréplat

L

aunexposantdeLyapunov égalà1,alorsla ourbeestdeTei hmüller. Lapreuvede ethéorèmeutilise une omparaisonde métriquespossiblegrâ eàlanotiondemétrique deKobayashi,et une estimationde lavariation delanormedeHodgelelongduotgéodésiquedueàGiovanniForni.

Dans [BM℄, Bouw et Möller donnent un ritère similaire qu'ils appliquent à une famille de ourbes hoisie de façon à e que le groupe ane de la ourbe de Tei hmüller obtenue soit le groupetriangulaire

(n,

∞, ∞)

.

2.2 Géométrie des ongurations à ylindres

Nousnousintéressonsdans ettese tionaux ongurationsà ylindresdeliens selleshomologues surunesurfa edetranslation, oude façonéquivalenteaux ongurationsdegéodésiquesfermées homologues.Eneet es ongurationssont ru ialesdansle al uldes onstantesdeSiegelVee h pourlastrate orrespondanterelativementàl'airedes ylindres.

Ave Max Bauer nous avons exploré la géométrie de es ongurations, an d'obtenir des informationsquantitativesrelativesaux ylindresdes ongurations.

Nousdénissons lesfon tionsde omptagesuivantes. Si

S

estune surfa edetranslationdans lastrate

H(α)

,

C

une ongurationdeliensselleshomologuesadmissiblesur

S

,et

L

unréelpositif, nousnotons

• N

conf

(S,

C, L)

lenombrede ongurationsdeliens selles detype

C

sur

S

, delongueur infé-rieureà

L

,

• N

cyl

(S,

C, L)

lenombrede ongurations ommepré édemment omptéesave poidslenombre de ylindres,

• N

area

p

(S,

C, L)

le nombre de ongurations omme pré édemment omptées ave poids la sommedesairesde haque ylindreàlapuissan e

p

,

• N

area

p

_{, conf}

(S,

C, L)

lenombrede ongurations ommepré édemment omptéesave poids lapuissan e

p

-ièmedel'airetotaleo upéeparles ylindres,

• N

conf, A1≥p

(S,

C, L)

le nombre de ongurations de type

C

sur

S

, de longueur inférieure à

L

, telles que le premier ylindre dans la onguration (il y a une façon déterminée de les numéroter)o upeaumoins unproportion

p

del'airedelasurfa etotale,

• N

conf, A≥p

(S,

C, L)

lenombrede ongurationsdetype

C

sur

S

, delongueurinférieure à

L

, tellesquel'airetotaledes ylindreso upeaumoinsunepartie

p

del'airetotaledelasurfa e. À ha une de es fon tionsde omptage nous asso ionsla onstante de SiegelVee h orrespon-dante,dénieparlaformule

c

_∗

(

_{C) = lim}

L→∞

N

_∗

(S,

_{C, L) · aire(S)}

πL

2

pourpresquesurfa e

S

dans lastrate

H(α)

. Ces onstantes sont bien dénies par le résultat de Eskinet Masur([EMa℄).

•

c

area

_c

p

(

C)

cyl

(

C)

, qui peut être interprété omme l'aire moyenne d'un ylindre àla puissan e

p

dansla onguration

C

,

•

c

area

_c

p

, conf

(

C)

conf

(

C)

, qui peut êtreinterprété ommel'airemoyennedelapartie périodique de la surfa eàlapuissan e

p

pourla onguration

C

,

•

c

area, A1

_c

≥p

(

C)

conf

(

C)

,qui peutêtre interprété ommelaproportion desurfa es ayantun large y-lindrepourla onguration

C

,

•

c

area, A1≥p

_c

(

C)

conf

(

C)

, qui peut être interprété omme la proportion de surfa es ayant une large partiepériodiquepourla onguration

C

.

Alorsnousmontronslerésultatsuivant:

Théorème 2 (Theorems 2, 3, 4,5). Soit

H(α)

une strate de diérentielles abéliennes et

C

une ongurationde liensselles admissiblespour

H(α)

ontenant

q

ylindres. Alorsnous avons:

c

area

p

(

C)

c

cyl

(

C)

=

(d

_{− 2)!}

(p + 1)

· (p + 2) · · · (p + d − 2)

c

area

p

_{, conf}

(

C)

c

conf

(

C)

=

q

· (q + 1) · · · (q + n − 1)

(p + Q)

_{· (p + Q + 1) · · · (p + q + n − 1)}

c

area, A1≥p

(

C)

c

conf

(

C)

=

(1

_{− p)}

d−2

c

_{area, A≥p}

(

_C)

c

conf

(

C)

=

B(1

− p; n, q)

B(n, q)

où

d

est la dimension omplexede

H(α)

,

n = d

− q − 1

,et

B(x; a, b)

représente la fon tion Beta in omplète donnéepar

B(x; a, b) =

Z

x

0

u

a−1

(1

− u)

b−1

_du

et

B(a, b) = B(x; a, b)

.

Enn nous nous intéressonsaux ongurationsextrémales, et en parti ulier elles qui maxi-misentl'airemoyennedelapartiepériodique, donnéeparlerapport

c

area

(

C)

c

conf

(

C)

=: c

mean area conf

(

C).

Pour elanousavonsétudiéles ongurations ontenantlemaximumde ylindres. Pour lesstratesprin ipaleslerapportpré édentatteint lavaleurmaximale

1

4

, alorsque pour les omposanteshyperelliptiques,

H

hyp

_(g

_{− 1, g − 1)}

parexemple,ilatteintlavaleur

1

2g

.Finalement nousmontrons:

Théorème3(Theorem7). Pour

K

une omposante onnexede

H(α)

,etpourtoute onguration

C

admissible pour

K

,l'aire moyenneasymptotique de la partie périodique pourla onguration

C

vérie

c

mean area conf

(

C) ≤

1

3

et ettebonnesupérieureestatteinte pour

K =

H

odd

_{(2, 2, . . . , 2)}

2.3 Constantes de SiegelVee h pour les diérentielles quadratiques Nousnous intéressonsmaintenantàune nouvelleappli ation des onstantesde SiegelVee h. En eetrappelonsqu'ellessontreliéesàladynamiqueduotdeTei hmüllersurl'espa edemodulesdes diérentiellesabéliennesouquadratiques,paruneformuleprouvéeparEskinKontsevi hetZori h dans [EKZ2℄, qui exprime la sommedes exposantsde Lyapunov pourle o y le de Kontsevi h Zori henfon tiondela onstante

c

area

delastrate onsidérée.

Dans[EMZ℄,EskinMasuretZori hexprimentla onstantedeSiegelVee hpourune ongura-tiondonnéeentermedevolumesdestratesdanslesquellesviventlessurfa espluspetitesobtenues en dé oupant lasurfa e dedépart le longdes géodésiqueshomologues. Ainsi ils ontmontré une formuleexpli ite pour haque ongurationdansle asabélien.AthreyaEskin et Zori h ont fait lemême travail dansle as quadratique pour legenre 0([AEZ1℄). Ils ontmême obtenu ainsi les valeursdesvolumesdesstratesen genre0, ar les onstantes de SiegelVee h

c

area

sont onnues engenre0,grâ eauthéorèmed'EskinKontsevi hZori h.

Les résultats présentés dans ette partie sont une généralisation des résultats en genre 0 de [AEZ1℄et desrésultatspourlesdiérentielles abéliennesde[EMZ℄.Defaçonanalogueàlapartie pré édente on peut dénir des onstantes de SiegelVee h

c

conf

(

C)

,

c

cyl

(

C)

et

c

area

(

C)

pour les ongurations de liens selles



homologues. Ces ongurationssont beau oup plus omplexes que dansle asabélien,enparti ulier,les ylindresbordéspardesliensselles



homologuespeuventêtre demêmelargeuroudelargeurenproportiondouble(voirFigure7pourunexemple).Nousparlons alorsde ylindresnsouépais,lesdeuxièmesétantdeuxfoispluslargesquelespremiers.L'autre diéren eave le asquadratiqueestquelastratedebord, 'est-à-direlastrateàlaquelleappartient lapartie omplémentairedelasurfa eobtenueaprèssuppressiondesliensselles



homologueset de leurs ylindres asso iés, peut être vide : dans e as la surfa es est uniquement onstituée de ylindresbordéspardesliensselles



homologues( 'estle asdansl'exempledelaFigure7). Nousobtenonslerésultatsuivant:

Théorème4(Theorem8). Soit

C

une ongurationdeliensselles 

homologuesadmissiblepourune strate

Q(α)

de diérentielles quadratiques.Notons

q

1

lenombre de ylindres ns et

q

2

lenombre de ylindres épais.Si

q = q

1

+ q

2

estaumoinségalà1etquelastratede bord

Q(α

′

₎

estnonvide, alors :

c(

C) =

₂

M

q+2

(dim

C

Q(α

′

)

− 1)!

(dim

C

Q(α) − 2)!

Vol

Q

1

(α

′

)

Vol

_Q

1

(α)

(2)

c

cyl

(

C) =



q

1

+

1

4

q

2



c(

_C)

(3)

c

area

(

C) =

1

dim

C

Q(α) − 1

c

cyl

(

C)

(4)

où

M

est une onstante ombinatoireexpli itene dépendant quede la onguration.

Notons qu'ily a des di ultés additionnelles dans le as quadratique pour al uler de telles onstantes:le hoixdenormalisationpourlevolume,lessymétriesdansles ongurations,lefait d'avoirdes ylindresdetaillediérentes,tout elajoueà haqueétapedes al ulsdanslaformule donnantla onstante ombinatoire

M

. Ilétaitdon né essairedevérier es al uls,et pour ela ilfallaitdisposerdevaleursdevolumesdestrates.C'estl'objetdelapartie suivante.

2.4 Volumes de strates de diérentielles quadratiques

La prin ipale di ulté pour vérier les formules données dans le hapitre pré édent est que les valeursdes volumes des stratesd'espa es de modules de diérentielles quadratiques ne sont pas onnues :Eskin, Okounkovet Pandharipande([EOPa℄) ont trouvédesséries génératri esdontil est très di ile d'extraire des valeurs même appro hées pour des strates même en genre petit. Plusieurspersonnestravaillenten emomentàobtenirdetellevaleurs.

C'estpourquoiilétaitintéressantde al ulerquelquesunesde esvaleursenutilisantlaméthode dé ritepourlegenre0dans[AEZ2℄.Pluspré isémentnousavonsgénéralisé etteméthodeengenre plusgrand.Pourl'expliquerdonnonsuneidéeduprin ipedebaseutilisépourestimer esvolumes.

Delamêmefaçonqu'onpeutestimerlevolumein lusdansun ontourdessinésurunefeuille quadrillée,en omptantlenombredes arreauxins ritsdans ette gure,pourdes arreauxassez petits, onpeut évaluerles volumes de stratesd'espa es de modules en omptant les points en-tiers dans esespa es.I ilespointsentiers orrespondentà equ'onappellelessurfa es àpetits arreaux: e sontdes surfa es plates obtenues parre ollementde arrésisométriques le longde tés parallèles. Ce sontnaturellementdes revêtementsdu tore. Eskin et Okounkovont ompté es revêtements par des méthodes de théorie des représentations. Mais on peut utiliser une ap-pro hepluspragmatique,qui onsisteàremarquerqu'unesurfa eàpetits arreauxsedé ompose en ylindres horizontaux,re ollésentre eux d'une ertainefaçon. En omptant lenombre de y-lindres et lenombre de façonde lesre ollerentre eux partantd'un nombre xéde arreaux,on peutalors ompter es surfa es àpetits arreaux.C'est la méthodedé rite dans [AEZ2℄. Le fait de ompterlesfaçons dere ollerdes ylindres faitappel àla théoriedesgraphesen ruban,aussi appelés artesen ombinatoire. Ellesontétébeau oupétudiéesmaispourl'instantiln'existepas desériegénératri epourleurnombre.Heureusementenpetitgenreetpetite omplexitéellessont entièrement dé rites dans [JV℄, e qui permet de al uler ertains volumes de stratesde petites dimensions.Souhaitonsque esvaleursdevolumesserventdevaleurstestspourlesfuturspossibles algorithmesquidonnerontdesvaleursnumériquesappro héesdesvolumes.

D'autrepartpourvérierlesformulesdelapartiepré édenteilestintéressantdetravaillersur les omposanteshyperelliptiquesdestrates:eneetpour elles-làonpeut al ulersimplementle volumes,et ommeiln'yapasbeau oupde ongurations( f[Bo℄)onpeutappliquerlesformules pré édentes et vérier qu'elles sont ohérentes ave les valeurs des onstantes de SiegelVee h donnéespourles omposantesentièresdans[EKZ2℄.

A riterion for being a Tei hmüller

urve

This hapterwaspublishedin Mathemati al Resear hLetters Volume19Number4(2012)pp. 847854

underthetitle: A riterionforbeingaTei hmüller urve.

1.1 Introdu tion

Givena urveinthemodulispa eofRiemannsurfa es,wewanttoknowwhetheritisaTei hmüller urve. By Deligne semisimpli ity theorem the Hodge bundle over the urve de omposes into a dire tsumofatsubbundlesadmittingvariationsof omplexpolarizedHodgestru turesofweight

1

. Supposethattherestri tionofthe anoni alpseudo-Hermitianform tooneoftheblo ksofthe de ompositionhasrank

(1, r

−1)

. Weestablishanupperboundforthedegreeofthe orresponding holomorphi line bundleintermsofthe(orbifold)Euler hara teristi ofthe urve. Our riterion laimsthatiftheupperboundisattained,the urveisaTei hmüller urve.

ForthoseTei hmüller urveswhi h orrespondtostrataofAbelian dierentialsour riterionis ne essaryandsu ientinthesensethatifthe urveisaTei hmüller urve,thenthede omposition of the Hodge bundle ne essarily ontains a nontrivial blo k of rank

(1, 1)

orresponding to the tautologi allinebundleforwhi htheupperbound isattained.

Theoriginal riterion in thesamespirit wasfound byMartin Möllerin [Mö06, Th. 2.13 and 5.3℄where the onditiondete tingaTei hmüller urveisformulatedintermsofHiggs bundle,or equivalentlyintermsofnon-vanishingofthese ondfundamentalform(Kodaira-Spen ermap). In [Wr1℄,A.WrightgivesanalternativeversionofMöller's riterion,intermsofnon-vanishingofthe periodmap.

The key ideaof our riterionis based onForni'sobservation that the tautologi albundle on a Tei hmüller urve is spanned by those ve tors of the Hodge bundle whi h have the maximal variationoftheHodgenormalongtheTei hmüllerow.

We ombinethisresultofForniwiththeBouwMöllerversionoftheKontsevi hformulaforthe sumoftheLyapunovexponentsoftheHodgebundlealongtheTei hmüllergeodesi ow. Similar tothe riteriamentionedabove,thefa tthattheTei hmüllermetri oin ideswiththeKobayashi metri will be ru ialfortheproof.

1.2 Criterion

Having a Riemann surfa e

X

, the natural pseudo-Hermitian interse tion form on

H

1

_{(X, C)}

, is dened on losed1-formsrepresenting ohomology lassesas:

(ω

1

, ω

2

) =

i

2

Z

X

ω

1

∧ ω

2

.

Restri ted to

H

1,0

_{(X, C)}

, the form is positive-denite, and restri ted to

H

0,1

_{(X, C)}

, the form is negative-denite.

Thispseudo-Hermitianformofsignature

(g, g)

indu esaformontheHodgebundle

H

1

overthe themodulispa e

M

g

ofRiemannsurfa esofgenus

g

,wheretheber

H

1

X

oftheHodgebundleover apoint

X

in

M

g

is

H

1

_{(X, C)}

. Thepseudo-Hermitianformis ovariantly onstantwithrespe tto theGaussManinat onnexionontheHodgebundle.

Let

C

bea omplex urvein

M

g

. Wewanttodete t,whether

C

isaTei hmüller urveornot. Throughoutthispaperweassumethatthegenus

g

isstri tlygreaterthan

1

sin eingenusonethe problem be omestrivial: themodulispa e

M

1,1

isa omplex urveitself.

ByDelignesemisimpli itytheorem[De,Prop. 1.13.℄,theHodgebundleover

C

splitsintoadire t sumoforthogonalatsubbundles,su hthattherestri tionofthe anoni alpseudo-Hermitianform toea hsubbundleisnondegenerate. Assumethatthissplitting ontainsaatsubbundle

L

ofrank

r

, where

r

≥ 2

,su hthat thesignatureofthe anoni alpseudo-Hermitianform restri tedto

L

is

(1, r

_{− 1)}

. Letus dene

L

1,0

_{= L}

∩ H

1,0

and

L

0,1

_{= L}

∩ H

0,1

. Delignesemisimpli ity theorem ombinedwithourassumptiononthesignatureimpliesthat

L

1,0

isaholomorphi linebundleover

C

.

NotethatforTei hmüller urves orrespondingtothestrataofAbeliandierentialsthesplitting is alwaysnontrivial, sin eit ontainsa atsubbundle of rank

2

su h that the restri tionof the pseudo-Hermitianformtothissubbundle hassignature

(1, 1)

. The orrespondinglinebundle

L

1,0

isthetautologi alline bundleovertheTei hmüller urve.

The urve

C

mayhaveanite numberof usps and oni alpoints,soweneedto onsiderthe Deligne extension of the holomorphi line bundle

L

1,0

, denoted by

L

1,0

: it be omes an orbifold ve torbundleatthe uspsand oni alpoints. Soithasanorbifolddegree,whi hingeneralisnot aninteger,butarationalnumber.

Let

χ(

C)

bethegeneralizedEuler hara teristi of

C

: itisgivenbytheformula

χ(

_{C) = 2 − 2g − n}

_C

+

X

i

(k

i

− 1),

where

n

C

isthenumberof uspson

C

,and

2πk

i

isthe oneangleofthe

i

-th oni alpoint. Theorem1. If

χ(

C) ≥ 0

,then

C

isnota Tei hmüller urve.

Suppose that

χ(

C) < 0

. For any at subbundle

L

of the Hodge bundle over

C

satisfying the above assumptions,onehas

deg L

1,0

_{≤ −}

χ(

C)

2

.

(1.1)

Ifthe equality isattained,then

C

isaTei hmüller urve,andthe linebundle

L

1,0

isthe tauto-logi al bundle.

AnyTei hmüller urve orrespondingtoastratumofAbeliandierentialsadmitsaat subbun-dle

L

of theHodge bundlesatisfyingthe above onditions, su hthat

deg L

1,0

₌

₋

χ(

C)

2

.

Therststatementofthetheoremresultsfromthefa tthatanyTei hmüller urvehasnegative urvature, orequivalently, anorbifold genus stri tlygreater than1. Sofrom nowon, weassume that

χ(

C) < 0

,thatis,

C

ishyperboli .

Remark 1. Wehave to admit that our riteriondoesnotdire tly dete t Tei hmüller urves or-respondingto the strataof quadrati dierentials. However,the anoni al double overing on-stru tionasso iatestoeverysu hTei hmüller urve

C

in

M

g

aTei hmüller urve

C

′