Ondes non lin´ eaires en ´ ecoulements en tuyau de fluide fortement rh´ eofluidifiant : r´ egime asymptotique
Plaut Emmanuel1, Roland Nicolas2 & Nouar Ch´erif1
1 Lemta, UMR CNRS - U. Lorraine, 2 av. de la Forˆet de Haye, TSA 60604, F - 54518 Vandœuvre cedex
2 Max Plank Institute for Dynamics and Self-Organization, Bunsenstrasse 10, D - 37073 G¨ottingen emmanuel.plaut@univ-lorraine.fr
Des exp´eriences ´etudiant la transition vers la turbulence dans des ´ecoulements en tuyau de fluides non newtoniens [1,2] ont montr´e l’existence d’un retard `a l’apparition desbouff´ees turbulentes(‘puffs’).
Alors qu’en fluide newtonien elles apparaissent `a partir d’un nombre de ReynoldsRe, bas´e sur la vitesse d´ebitanteW, le diam`etredet la viscosit´eν, de l’ordre de 2000, en fluide non newtonien elles apparaissent
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a partir d’un nombre de ReynoldsRep, bas´e sur la viscosit´e `a la paroiνp, de l’ordre de 3000 `a 8000. Pour mod´eliser cela, nous avons choisi de nous focaliser sur le cas de fluides purement visqueux ne pr´esentant aucun effet ´elastique, mais ob´eissant `a la loi de Carreau,
ν = ν0(1 + λ2D2)(n−1)/2 (1)
avecν0viscosit´e au repos,λtemps caract´eristique du fluide,n <1 indice de rh´eofluidification,D2second invariant du tenseur des taux de d´eformation. Cette loi est plus r´eguli`ere qu’une loi de puissance, et l’approche dans le cas, pertinent exp´erimentalement, λ grand par rapport au temps d’advection. Nous avons choisi le mod`ele par calcul d’ondes non lin´eaires mis au point, dans le cas du tuyau, par [3]. Ces ondes seraient pr´ecurseurs voire support des bouff´ees turbulentes [4]. Ainsi leur seuil d’apparition en Reynolds, par bifurcation nœud-col, estimerait par valeur inf´erieure le Reynolds d’apparition des ‘puffs’.
Nous utilisons un code pseudo spectral pour calculer les ondes non lin´eaires, par continuation `a partir du cas newtonien [5]. Nous pr´esenterons des r´esultats pour un nombre d’onde azimuthal fondamental ´egal `a 3, avec optimisation du nombre d’onde axial. Un r´egime asymptotique est atteint lorsque λ→+∞ : le champ de vitesse de l’onde critique tend vers une limite, de mˆeme pour le nombre de Reynolds critique Rep, qui se trouve dans les intervalles observ´es exp´erimentalement. Le calcul de la viscosit´e moyenne νm
dans les ondes critiques montre que cette viscosit´e est la plus pertinente, puisque le nombre de Reynolds construit sur celle-ci reste quasiment ind´ependant deλ,
Rem(λ) = W d/νm ' Re(λ= 0) = 1251 (2)
valeur newtonienne [3]. Cette viscosit´eνm est de l’ordre de grandeur de la viscosit´e moyenne νmb dans l’´ecoulement laminaire de base du fluide en loi de puissance approch´e lorsque λ → +∞, calculable analytiquement. Ceci nous permet de proposer une formule analytique pour le Reynolds d’apparition des ondes,
Rep(λ→+∞) = (νm/νp)Rem ' 1251 (νmb/νp), (3) qui pourrait ˆetre utilis´ee comme estimation par valeur inf´erieure du seuil de transition.
R´ ef´ erences
1. M. Escudier, R. Poole, F. Presti, C. Dales, C. Nouar, C. Desaubry, L. Graham & L. Pullum. Observations of asymmetrical flow behaviour in transitional pipe flow of yield-stress and other shear-thinning liquids.J.
Non-Newtonian Fluid Mech.127, 143 (2005).
2. M. Escudier, S. Rosa & R. Poole. Asymmetry in transitional pipe flow of drag-reducing polymer solutions.
J. Non-Newtonian Fluid Mech.161, 19 (2009).
3. H. Faisst & B. Eckhardt. Traveling waves in pipe flow.Phys. Rev. Lett.91, 224502 (2003).
4. F. H. Busse. Visualizing the dynamics of the onset of turbulence.Science305, 1574 (2004).
5. N. Roland, E. Plaut & C. Nouar. Petrov-Galerkin computation of nonlinear waves in pipe flow of shear- thinning fluids : first theoretical evidences for a delayed transition.Computers & Fluids39, 1733 (2010).
