TD 09 – Approximation

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L3– Algorithmique1(Année2014/2015) A. Lagoutte & A. Plet

TD 09 – Approximation

Exercice1. SUBSET-SUM

Montrer que le problème suivant SUBSET-SUM estN P-complet.

SUBSET-SUM

Instance :un ensemble finiSd’entiers positifs et un entier objectift.

Question :existe-t-il un sous-ensembleS⁰⊆Stel que∑x∈S⁰x =t?

Indication :vous pouvez par exemple effectuer une réduction à partir de3-SAT. A partir d’un ensemble de clausesC0, ...,Cm−1sur les variables x0, ...,xn−1, considérer Sl’ensemble des entiers vi = 10^m+i+

∑^m−1_j=0 bij10^j etv⁰_i =10^m+i+_∑^m−1_j=0 b⁰_ij10^j, 0≤ i≤n−1, oùbij (resp.b⁰_ij) vaut1si le littéralxi (resp.xi) apparaît dansC_j et0sinon, et des entierss_j=10^j ets⁰_j =2.10^j, 0≤j≤m−1. Trouver alors un entier objectifttel qu’il existe un sous-ensembleS⁰ ⊆ Sde sommetsi et seulement si l’ensemble initial de clauses est satisfiable. Conclure. Quels autres entiers auraient aussi marché ?

Exercice2. Problème du k-centre

On rappelle quelques définitions :

– Dans un grapheG= (V,E), unensemble indépendantest un sous-ensemble de sommetsV⁰non reliés par des arêtes (siu∈V⁰ etv∈V⁰, alors(u,v)∈/E).

– Dans un graphe G = (V,E), un ensemble dominant est un sous-ensemble de sommets V⁰ tel que tout sommet deV\V⁰ est adjacent à un sommet deV⁰. On notedom(G)le cardinal minimal d’un ensemble dominant.

1. Montrer que trouver un ensemble dominant de cardinal minimaldom(G)est NP-difficile.

SoitG = (V,E)un graphe non-orienté, complet, dont les arêtes sont pondérées par une fonction de poidswqui vérifie l’inégalité triangulaire :w(u,v)≤w(u,w) +w(w,v)pour tout triplet de sommets (u,v,w). Soit aussi un entierk≥1.

Pour toutS⊂Vet toutv∈V\S, on définitconnect(v,S)comme le poids minimal d’une arête reliant và un sommet deS:connect(v,S) =mins∈S{w(v,s)}. Le problème est de trouver unk-centre, c’est à dire un sous-ensembleSde cardinalket tel quecenter(S) =max_v∈V\S{connect(v,S)}soit minimal.

2. À quoi peut bien servir de déterminer unk-centre (donner un exemple d’application) ? 3. Montrer que trouver unk-centre est NP-difficile.

On va chercher une 2-approximation, i.e. un Sde cardinal ktel que center(S) ≤2·OPT, oùOPT = min_S⊂V,|S|=k{center(S)}.

On ordonne les arêtes deEpar poids croissant : w(e1)≤ w(e2) ≤. . .≤ w(em), oùm=|E|. On pose Gi= (V,Ei)oùEi ={e1,e2, . . . ,ei}est l’ensemble desipremières arêtes.

4. Montrer que résoudre le problème duk-centre revient à trouver le plus petit indiceitel queG_ia un ensemble dominant de cardinal au plusk.

Une dernière définition : le carré d’un grapheG= (V,E), notéG⁽²⁾= (V,E⁽²⁾), contient les chemins de longueur au plus deux : (u,v) ∈ E⁽²⁾ si (u,v) ∈ E ou s’il existe w ∈ V tel que (u,w) ∈ E et (w,v)∈ E.

5. Étant donné un graphe H, soit I un ensemble indépendant du graphe carré H⁽²⁾. Montrer que

|I| ≤dom(H). 6.

L’algorithme d’approximation duk-centre est le suivant : (a) Montrer quew(e_j)≤OPT.

(b) Montrer que l’algorithme est bien une 2-approximation.

7. Montrer que la borne 2 est stricte : donner un exemple de graphe où l’algorithme réalise effecti- vement une 2-approximation.

8. Montrer que siP6= NP, il n’existe pas de(2−ε)-approximation au problème duk-centre, pour toutε>0.

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début

ConstruireG⁽²⁾₁ ,G₂⁽²⁾, . . . ,G⁽²⁾_m ;

Trouver de manière gloutonne un ensemble indépendant inextensible (auquel on ne peut pas rajouter des sommets)Mi dans chaque grapheG_i⁽²⁾;

Trouver le plus petit indiceitel que|Mi| ≤k, soitjcet indice;

retourner Mj; fin

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