CPGE 2 ; khôlle N° 7
1. 𝐸= ℝ2[𝑋] espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels ;
B =(P0,P1,P2) est une base de 𝐸 avec P0(X) = 1 , P1(x) = X et P2(X) = X²
Pour P et Q éléments de E, on pose : 𝜑 𝑃, 𝑄 = 𝑃 0 𝑄 0 + 𝑃′ 0 𝑄′ 0 + 𝑃"(0)Q"(0) Justifier que 𝜑 défini un produit scalaire sur E
B est-elle orthonormale pour 𝜑 ?
Construire une base orthonormale pour 𝜑 Soit 𝐻 = { 𝑃 ∈ ℝ2[𝑋] 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃(1) = 0 } ; Justifier que 𝐻 est un sev de ℝ2[𝑋]
Justifier que 𝑄1, 𝑄2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄1 𝑋 = 𝑋 − 1 𝑒𝑡 𝑄2 𝑋 = 𝑋²− 1 est une base de 𝐻 Est-elle orthonormale pour 𝜑 ?
Construire une base de 𝐻 orthonormale pour 𝜑.
Déduire le projeté orthogonal sur 𝐻 du polynôme 𝑃 défini par 𝑃 𝑋 = 2𝑋 + 3 Déduire la distance 𝑑(𝑃, 𝐻)
2. E= ℝ2[𝑋] espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à coefficients réels.
Pour P et Q éléments de E, on pose : 𝜑 𝑃, 𝑄 = 𝑃 𝑋 𝑄 𝑋 𝑑𝑋01 Justifier que 𝜑 défini un produit scalaire sur 𝐸
Soit 𝐻 = { 𝑃 ∈ ℝ2[𝑋] 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃(1) = 0 } Justifier que 𝐻 est un sev de ℝ2[𝑋]
Justifier que (P0,P1) est une base de 𝐻 avec P0(𝑋) = 𝑋 − 1 , P1(𝑥) = 𝑋²− 1 Est-elle orthonormale pour 𝜑 ?
Construire une base orthonormale (Q0,Q1) pour 𝜑
Déduire le projeté orthogonal sur 𝐻 du polynôme 𝑃 défini par 𝑃(𝑋) = 𝑋 Déduire la distance 𝑑(𝑃, 𝐻)
3. Dans ℝ4 muni du produit scalaire euclidien usuel, rapporté à la base canonique (e1,e2,e3,e4), on considère le sev 𝐹 d’équations : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 0
Déterminer une base de 𝐹
Est-elle orthonormale
Construire une base orthonormale de 𝐹
Déterminer la matrice dans la base canonique de ℝ4, de la symétrie orthogonale 𝑆𝐹 par rapport à 𝐹
Si 𝑤 = (1,0,1,0) , calculer la distance 𝑑(𝑤, 𝐹)
4. Soit (𝐸, 𝜑) un espace préhilbertien réel ; F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E
Prouver que (𝐹 + 𝐺)⊥ = 𝐹⊥ + 𝐺⊥
5. Le but de l’exercice est de déterminer 𝐷 = inf𝑎∈ℝ (𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑎𝑥)01 ² 𝑑𝑥 On muni 𝐸 = 𝐶( 0; 1 , ℝ) du produit scalaire : < 𝑓 ; 𝑔 > = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)01 𝑑𝑥
a) La fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) est-elle dans 𝐸 ?
b) Justifier que 𝐹 = { 𝑃 ∈ ℝ 𝑋 , 𝑃 = 𝑎 𝑋 } est un s-e-v de 𝐸 ; quelle est sa dimension ?
c) Exprimer (𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑎𝑥)01 ² 𝑑𝑥 comme une distance Soit 𝑔 le projeté orthogonal de 𝑓 sur 𝐹
d) Faire un schéma illustrant la situation e) Que représente D ?
f) Calculer 𝑔 puis la distance entre 𝑓 et 𝐹 g) Conclure
6. On muni 𝐸 = 𝐶( 0; 1 , ℝ) du produit scalaire : < 𝑓 ; 𝑔 > = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)01 𝑑𝑥 Soit 𝐹 le s-e-v de 𝐶( 0; 1 , ℝ) engendré par les polynômes 𝑃 = 𝑋 et 𝑄 = 𝑋² Déterminer une base orthonormale pour le produit scalaire
Déduire le projeté orthogonal sur 𝐹 de la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 puis la distance entre 𝑓 et 𝐹
7. Soit 𝐸 un espace vectoriel euclidien sur ℝ ;on note : < ; > le produit scalaire sur 𝐸 Soit 𝑥 ∈ 𝐸 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶< 𝑥 ; 𝑥 > ≠ 0 ( on dit que 𝑥 est « non isotrope »)
Montrer que pour tout 𝑑𝑒 𝐸 , le vecteur 𝑦 − < 𝑥 ; 𝑦 >
< 𝑥 ; 𝑥 > 𝑥 appartient à 𝑥 ⊥
Déduire que : 𝐸 = 𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑥 ⊕ 𝑥 ⊥
8. Le but de l’exercice est de déterminer 𝐷 = inf(𝑎,𝑏)∈ℝ² (𝑒01 𝑥− 𝑎𝑥2− 𝑏𝑥)² 𝑑𝑥 On muni 𝐸 = 𝐶( 0; 1 , ℝ) du produit scalaire : < 𝑓 ; 𝑔 > = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)01 𝑑𝑥
a) Justifier que la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 est dans 𝐸
b) Justifier que 𝐹 = { 𝑃 ∈ ℝ1 𝑋 , 𝑃 = 𝑎 𝑋2+ 𝑏𝑋 } est un s-e-v de 𝐸 ; c) Quelle est sa dimension ?
d) Exprimer (𝑒01 𝑥− 𝑎𝑥² − 𝑏𝑥)² 𝑑𝑥 comme une distance e) Que représente D ?
Soit 𝑔 le projeté orthogonal de 𝑓 sur 𝐹 f) Faire un schéma illustrant la situation g) Calculer 𝑔 puis la distance entre 𝑓 et 𝐹 h) Conclure
