Déplacement et antidéplacement Résumée et méthode 4 ème math ZHIOUA KHALED

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Déplacement et antidéplacement

Résumée et méthode

^4ème math ZHIOUA KHALED

Déplacements et antidéplacements

Définition

f déplacement  f isométrie et f conserve les mesures des angles orientés.

f antidéplacement  f isométrie et f multiple par –1 les mesures des angles orientés.

- La composée de 2 déplacements est un déplacement.

- La composée de 2 antidéplacements est un déplacement.

- La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement.

- Si f est une isométrie sans points invariants donc f t_u(u o).

 

 ou f S_Dot_u^ t_u^oS_D.où u

vecteur directeur de D.

- Si f est une isométrie ayant un seul point invariant  alors f R_(;) avec 0(2). - Si f isométries avec une droite invariante alors f S_D.

- Si l’ensemble des points invariants est P alors f idp A-Rotations

Définition

( ; )_I ( )

R _ M M  ^

( , ) (2 )

IM IM

I I   si M I

 





    

   .

 Z_MZ_I e^i(Z_M Z_I) . Cas Particuliers

( ; ) ( ; )

R idp et R S

I o  I  I

Propriété caractéristique

Si R_{( ; )I} (M)M R, _{( ; )I} ( )N N' alors





















 

) ( )

; (

N M MN

^

2 .

Détermination d’une Rotation

Une Rotation R est déterminée par la donnée : 1) Du centre I et de son angle.

2) Du centre I et d’un point et son image A R A( ) Dans ce cas

^

(I ;I )(2 )

    ^  . 3) De son angle  et d’un point et son image A R A( )

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Dans ce cas I vérifie

 

^

 

1

( ; ) (2 ) 2

IA IA

I I  

  



   



  .(1) implique que ^{Imed AA}

 

^' et (2) implique que 

appartient à un arc A A'



privée de A et A’ (****) 4) A,AR(A);B et BR(B).

Dans ce cas : ( ; )( )

^











 2 .

 Si med [AA] et [BB]sont sécantes. On a : Imed AA[ ]med BB[ ].

 Si med[AA]med[BB].on peut déterminer I des 2 manières suivantes.

a) ^

( ; ) (2 ) IA IA

IA IA  

 





 

   .I est l’intersection de med AA et l’arc AA’ définit dans (****)

 

^'

b)

I     ( A ) (   B )

Composées :

1) R( . )oR( . ) R( , ) A A ^ A  . 2) R¹(A.) R_(A.).

3)

[2 ]

( . ) ( . ) [2 ]

( . )

t si o

R oR u

A R si o

C

  

      

  

     



. 4) ( . ) ( . )

Rn R

A ^ A n .

Image d’une droite par une rotation

Soit

RR_{( ; )I}

et D une droite.

Soit H le projeté orthogonal de



sur D et

HR(H)

.

D ) D (

R  

Où

^D

est la perpendiculaire à

(H)

en

H

.

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B-Translation Définition

Relation caractéristique : t_u^(M)M MM u

 . Composé :

 t ot t ot t u v   v u   u v .

 (t ) 1 t u   u.

 (t )n t u  nu.

 t idp o . C-Homothétie Définition

Relation caractéristique kIR* ; ( ) ( ; )

h M M

I k   IM kIM . Cas particuliers



si k=1

hidp.



si k=-1

h S

 I. Composées

 h( ; )oh( , ) h( , )

A k A k  A kk .

 ¹

( ; ) ( , ) 1

( ; ) t si kk h oh u

A k B k h si kk

I kk

  

     



.

 ¹ ;

( , ) ( , )1 ( , ) ( , )

h h hn h

A k A A k A kn

k

   .

Propriété caractéristique

 si : ( ; )

h M M

I k  . NN

Alors M N  k MN

.

D-Symétries

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Définition

Relation caractéristiqueS (M) M

D   

( ]

M M si M D

D med MM si M D

  

   .

Propriété caractéristique Si S_D:A A

B

A  Alors(AB;CD)(AB;CD)[2) . C

C  D D 

Théorème fondamental

   

2 / /

; 2( ; )

t si D D

H H

S oS si D D on a S oS idp

D D D D

R si D D I

I u u

 

 

 

  

  

 

 





 

.

si D D on a S oS S

D D I

    où



^I



^{ D D'}

Les cas de commutativité 1)t ot t ot t

u v   v u   u v.

2)h( ; )oh( ; ) h( ; )oh( ; ) h( ; ) A k A k  A k A k  A kk . 1) R( ; )oR( ; ') R( ; ')oR( ; ) R( ; ')

A A ^ A A ^ A  . 2)

Si

u

vecteur direct de D . On a

t oS S ot u D D u.

3) Si

DD

; on a :

S oS S oS S

D D  D D  I

et

^DD

 

^I

^. E-Symétries glissantes

f t oS

u D

 

Avec

u

vecteur directeur de D.

f S ot

 D u. Propriétés

Soit f une symétrie glissante d’axe

D on a : 1)  M D M' f M( )D.

2) Soit f une symétrie glissante d’axe D et de vecteur u . SiAD 



^{Af AAf A( )( )}



^uD

 



 

 

En effet

t

SD u

A A  A

f t_u^oS_D

3) f n’a pas de points invariants.

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4) fof t2 car fof t o S oD ot t2

u u D D u u

Idp

      

 .

Détermination d’une symétrie glissante.

Soit

f t_u^oS_D S_Dot_u^

;

u

vecteur directeur de D.

f(A)A et f(B)B

.

f est déterminée par la donnée de : a)

u

et D.

Ou bien : b)

u

; A et

f(A)A

dans ce cas on a :

A* AID

donc D est la droite passant par I et de vecteur directeur

u

. Ou bien :

c) Son axe D et d’un point et son image

A  f A( )

on a :

IA* AD

.cherchons

u

1

^ère

méthode : Montrer que :

f S ot

 D u

.

S of t D  u

.

A A

A^f ^SD 

S_Dof t_u^

uAA

2

^ème

méthode : Montrer que :

f t oS

u D

 

.

u

D t

foS  ^ on a : IA*AD.

SD f

I  I I D’où uII

foS_D t_u^

d)

A  f A( )

et

B f(B)

on a :

D B

* B J

D A

* A I







  D(IJ) si IJ

. On détermine

u

comme au c)

Remarque

:

IJ car A* AB*BI

. 1

^ère

méthode Montrer que :

SI

f

f SI

A A A

B B B

  

 

.

S(AB)

On a donc

SIof S(AB)

.car

S of_I

et

^S

 

^AB

coïncident en deux points distinct A et B alors

) AB ( IoS S

f 

.

(On sait continuer en décomposant

S_I

en deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires

S'S

avec



parallèle à  

^AB

⁾ 2

^ème

méthode : Montrer que :

( ) ( )

S AB f

A A A

S AB f

B B B

  

  

. ALORS

( )

foS S

AB  I 

( ) f S oS

I AB



.

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3

^ème

méthode Montrer que :

^{( )}

f S A B

A A A

B B B

   

 

 

 

.

( )

S of S

A B   I ^ f S( )oS A B I

  

.

Cas particulier : Détermination de la symétrie glissante f défié par :

f(A)B et f(B)C

(chaine)

f f

A B C

.

f étant toujours une symétrie glissante comme

fof A( )C

et

fof t2

 u

on a alors

( )

t2 A C

u 

Donc

u AC

 



2 u AC

  2

1

on a :

I A B* D

D est la droite passant par I et de vecteur directeur

u

ou bien D=(IJ).

Où

IA*B et JB*C

. Les composées

1)

R( ; )oR( ; ) A B 

. 2)

[2 ]

( ; ) [2 ]

( ; )

t si o

t oR u

u A R si o

 

   

 

   





.

3)

f t oS

u D

  uo

.

 1

^er

cas si

u

vecteur directeur de D alors

f S ot t oS

D u u D

   

c’est la forme réduite de f .

 2

^ème

cas : Si

u

orthogonale à D alors

f t_u^oS_D S_oS_DoS_D S_

où

D t ( )

u 

 _

2

1

.

 3

^ème

cas : Si

u

n’est pas ni colinéaire si orthogonal à D

u/ /D et uD

.

1 2

uu u

. Avec

/ /

1 2

u D et u D

.

1 2 1 2 2 1

f t oS t oS t ot oS t ot oS

u D u u D u u D u u D

          

2 t oS

 u 

(d’après 2éme cas) où

) D ( t

u₁ 2 1





et f est une symétrie glissante d’axe



et de vecteur

u2

.

4) f R( ; )oS A D

 .

1

^er

cas

ASD. ( ; )

f R oS S oS oS S

A D D D

    où passe par A et 2(u ;u ) [2 ]

D   

 

.

2

^er

cas

A D

( ; )

f R oS

A D

 alors f S oS oS

D D

   .

Où

^D

est la // à D passant par A et

2 (u ^{^};u ) [2 ] D   

 

. de

f S ot

  u

où

u2HH

où

(HH )

à D ;

HD et   D

.

On continue comme au3) du 3éme cas on trouve une symétrie glissante.

Théorème d’existence

Si ABABo

Il existe un unique déplacement f du plan tq : Il existe un unique antidéplacement g tq A

) A (

f  et f(B)B g(A)A. g(B)B Si med AA[ ]med BB[ ]alors

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Si

^

(AB A B; ) o(2 ) alors f t

 AA

   



 

 .

[ ]

g S

med AA

 

Si( ; ) o[ )

^













 2 . Si med AA[ ]med BB[ ]alors f est une Rotation d’angle. g symétrie glissante.

Remarque importante

foS_(AB)

^{( )}

S AB f

A A A

B B B

  

  

.

g et

foS_(AB)

sont 2 antidéplacements qui envoient A en

A

et B en

B

. Donc

foS_(AB) g

.

Suivant la nature de f on sait trouver la nature et les caractéristiques de g. (voir activité des composées).

Ou bien

^{( )}

f S A B

A A A

B B B

   

 

 

 

.

( )

S of

A B 

On a alors :

( )

g S of

 A B 

.

Théorème pratique : (Existence d’une Rotation)

Si ^

( ; ) 0(2 ]

AB A B o

AB A B o

AB  

  



   

     

   .

Alors il existe une unique Rotation R d’angle  tq





 

  B ) B ( R

A ) A (

R .