Correction de l’examen Algèbre1-2019-2020- Session normale

Département de Mathématiques Module : Algèbre 1

Correction du Contrôle du module Algèbre Exercice 1 ( 3 pts )

1. ( 1,5 pts ) Trouver les racines carrés de U = −8 − 6i : Posons U = −8 − 6i = (x + iy)2. Alors,

(x + iy)2 = −8 − 6i ⇔    x2 + y2 = √62 _{+ 8}2 _{= 10} x2 − y2 _{= −8} xy ≤ 0 ⇔    x2 = 1 y2 = 9 xy ≤ 0 ⇔    x = 1, y = −3 ou bien x = −1, y = 3

Donc l’ensemble des solution est S = {1 − 3i, −1 + 3i}.

2. ( 1,5 pts ) Résoudre l’équation (1 + 2i)Z2 − (9 + 3i)Z − 5i + 10 = 0. On a ∆ = (9 + 3i)2 − 4(1 + 2i)(10 − 5i) = −8 − 6i = (1 − 3i)2

donc les solutions de cette équation sont z1 = (9 + 3i) − (1 − 3i) 2(1 + 2i) = 4 + 3i 1 + 2i = (4 + 3i)(1 − 2i) 1 + 5 = 10 − 5i 5 = 2−i et z2 = (9 + 3i) + (1 − 3i) 2(1 + 2i) = 10 2(1 + 2i) = 5(1 − 2i) 5 = 1 − 2i Exercice 2 ( 6 pts ) Soient A = 16X9 + 4X4 + 2X3 − 2X − 1 et B = 8X8 _{+ X}2 _{− 1} 1. ( 3 pts ) Calculer A ∧ B le p.g.c.d de A et B. On a 16X9 + 4X4 + 2X3 − 2X − 1 8X8 _{+ X}2 _{− 1} −16X9 _{− 2X}3 _{+ 2X 2X} 4X4 − 1 Ainsi, A = BQ1 + R1 avec Q1 = 2X et R1 = 4X4 − 1.

De même on divise B par R1 :

8X8 + X2 − 1 4X4 − 1 −8X8 _{+ 2X}4 _2X4 ₊ 1 2 2X4 + X2 − 1 −2X4 ₊ 1 2 X2 − 1₂ Ainsi B = R1Q2 + R2 avec R2 = X2 − 1₂ et Q2 = 2X4 + 1₂

De la même façons on divise R1 par R2 on trouve

R1 = R2Q3 + R3 avec R3 = 0 et Q3 = 4X2 + 2.

Ainsi le dernier reste non nul est R2 = X2 − 1₂ qui est unitaire donc

A ∧ B = X2 − 1 2 2. ( 1,5 pts ) Calculer A ∨ B : On a

A.B = 16 × 8(A ∧ B)(A ∨ B)

8X8 + X2 − 1 X2 − 1 2 −8X8 _{+ 4X}6 _8X6 _{+ 4X}4 _{+ 2X}2 _{+ 2} 4X6 + X2 − 1 −4X6 _{+ 2X}4 2X4 + X2 − 1 −2X4 _{+ X}2 2X2 − 1 −2X2 _{+ 1} 0

Donc B = (A ∧ B)(8X6 + 4X4 + 2X2 + 2), ce qui implique que A ∨ B = _16×81 A(8X6 + 4X4 + 2X2 + 2)

= ₁₂₈1 (16X9 + 4X4 + 2X3 − 2X − 1)(8X6 _{+ 4X}4 _{+ 2X}2 _{+ 2)}

3. ( 1,5 pts ) Déterminer deux polynômes U et V tels que AU + BV = A ∧ B. On a (?)  A = BQ1 + R1 B = R1Q2 + R2 Alors (?) ⇔  R2 = B − R1Q2 R1 = A − BQ1 Donc R2 = B − (A − BQ1)Q2 = −AQ2 + B(1 + Q1Q2)

ce qui montre que U = −2X4 − 1

2 et V = 1 + 2X(2X

4 ₊ 1

2) = 4X

Exercice 3 ( 6, 5 pts )

1. Soit P (X) = X5 − 11X4 _{+ 49X}3 _{− 110X}2 _{+ 124X − 56}

(a) ( 1,5 pts ) Montrer que 2 est une racine du polynôme P (X) et trouver son ordre de multiplicité.

1 -11 49 -110 124 -56 2 2 -18 62 -96 56 1 -9 31 -48 28 0 2 2 -14 34 -28 ? 1 -7 17 -14 0 ? 2 2 -10 14 ? ? 1 -5 7 0 ? ? 2 2 -6 ? ? ? 1 -3 1 ? ? ?

Donc 2 est une racine de P et son ordre de multiplicité est 3 (b) ( 1 pts ) Déduire la factorisation de P (X) dans R[X] :

D’après la question précédente et en utilisant le tableau de Horner , P = (X − 2)3(X2 − 5X + 7).

D’autre part, X2_{−5X +7 est irréductible dans R[X] car ∆ = −3 <} 0, alors (X −2)3(X2_{−5X +7) est la factorisation de P dans R[X].} 2. ( 2 pts ) Effectuer la division suivant les puissances croissantes de

2 − Y par Y2 + 2Y + 2 à l’ordre 2 : 2 − Y 1 − Y + Y2 −2 + 2Y − 2Y2 2 + Y − Y2 Y − 2Y2 −Y + Y2 _{− Y}3 −Y2 _{− Y}3 Y2 − Y3 _{+ Y} 4 −2Y3 _{+ Y}4 _{= Y}3_{(Y − 2)}

Ce qui montre que 2 − Y = (1 − Y + Y2)(2 + Y − Y2) + Y3(−2 + Y ) 3. ( 2 pts ) En utilisant la question précédente, décomposer dans R[X] la

fraction F = _(X−2)34−X_(X2_−5X+7) :

Posons Y = X − 2 alors X = Y + 2, 4 − X = 2 − Y

et X2 − 5X + 7 = (Y + 2)2 _{− 5(Y + 2) + 7 = Y}2 _{− Y + 1 .}

Donc d’après la question précédente

F (Y + 2) = (1−Y +Y2)(2+Y −Y_Y3_{(1−Y +Y}2)+Y2₎ 3(−2+Y )

= 2+Y −Y_Y3 2 + −2+Y 1−Y +Y2 = _Y23 + 1 Y2 + −1 Y + −2+Y 1−Y +Y2

Ce qui montre que F (X) = −1 X − 2 + 1 (X − 2)2 + 2 (X − 2)3 + X − 4 X2 _{− 5X + 7} Exercice 4 ( 4,5 pts )

Soit B0 = {e1, e2, e3} la base canonique de R3 et

F = {(x, y, z) ∈ R3/x + 3y − 2z = 0}

1. ( 1 pt ) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R3 : X = (x, y, z) ∈ F ⇔ x + 3y − 2z = 0

⇔ x = −3y + 2z

⇔ X = (−3y + 2z, y, z)

⇔ X = y(−3, 1, 0) + z(2, 0, 1)

Ce qui montre que F = vect((−3, 1, 0), (2, 0, 1)) et par suite F est un sous espace vectoriel de R3.

2. ( 1 pts) Donner une base S de F et dim(F ) :

On a montré que S = ((−3, 1, 0), (2, 0, 1)) est un système générateur de F , donc il reste à vérifier que S est libre :

Soit α ∈ R tel que (−3, 1, 0) = α(2, 0, 1) ce qui est équivalent à dire que    −3 = 2α 1 = 0 0 = α

ce qui est impossible et par suite S est libre. Ainsi S = ((−3, 1, 0), (2, 0, 1)) est une base de F et dim(F ) = 2.

3. ( 1 pts ) Compléter S en une nouvelle base B de R3 : Pour compléter S en une base de R3 on vas utiliser la base canonique B0.

On vérifie est ce que S ∪ {e1} est libre ?

Soient α, β ∈ R tels que α(−3, 1, 0) + β(2, 0, 1) = e1 = (1, 0, 0)

⇔    −3α + 2β = 1 α = 0 β = 0

ce qui est impossible et par suite le système ((−3, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 0, 0)) est libre.

D’autre part, on a card((−3, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 0, 0)) = 3 = dimR3, donc c’est une base de R3.

Ainsi on peut prendre B = ((−3, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 0, 0))

4. ( 0,5 pts ) Déduire un supplémentaire de F dans R3 : Posons G = vect(e1). Alors puisque ((−3, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 0, 0)) est une base de R3

et ((−3, 1, 0), (2, 0, 1)) est une base de F alors G est un supplémentaire de F dans R3

5. ( 1 pts ) Trouver les composantes d’un vecteur (x, y, z) de R3 dans la nouvelle base B :

Soient α, β, γ ∈ R tels que

α(−3, 1, 0) + β(2, 0, 1) + γ(1, 0, 0) = (x, y, z) (?) Alors (?) ⇔    −3α + 2β + γ = x α = y β = z ⇔    γ = x + 3y − 2z α = y β = z

Ainsi x + 3y − 2z, y et z sont les composantes de (x, y, z) dans cette nouvelle base