Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

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Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

Romain Blanchard

To cite this version:

Romain Blanchard. Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dom- inated multiple-priors framework. Quantitative Finance [q-fin]. Université de Reims Champagne- Ardenne, 2017. English. �tel-01883439�

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UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES TECHNOLOGIE SANTE (547)

THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE Discipline : MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET SCIENCES SOCIALES

Spécialité mathématiques appliquées Présentée et soutenue publiquement

Romain BLANCHARD

Le 25 septembre 2017

Application du contrôle stochastique en théorie de la décision avec croyances multiples et non dominées à temps discret

Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

Thèse dirigée par LAURENCE CARASSUS JURY

M. Bruno BOUCHARD Professeur, Université Paris Dauphine Président M. Raymond BRUMMELHUIS Professeur Université Reims Champagne Ardenne Examinateur Mme Laurence CARASSUS Professeur, Université Reims Champagne Ardenne Directeur de thèse

M. Laurent DENIS Professeur, Université du Maine Rapporteur Mme Monique JEANBLANC Professeur émérite, Université d’Evry Val D’Esssone Examinateur

M. Constantinos KARDARAS Professeur, London School of Economics Rapporteur M. Amor KEZIOU Maître de Conférence (HDR) Université Reims Champagne Ardenne

Examinateur

M. Peter TANKOV Professeur ENSAE et Université Paris 7 Examinateur

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Acknowledgments

This is without any doubt the most pleasant part of the dissertation for me to write and not only because it is, hopefully, the last.

First, I would like to acknowledge the financial support of Region Champagne Ardenne, now called Region Grand Est.

I would like to thank Gérard Debeaumarché and Jacques Meyer for helping me and encouraging me three years ago when I was considering starting this PhD.

Similarly, I would like to thank Michael Pevzner, director of the Laboratoire de Mathématiques de Reims, who was very open minded and supportive from the be- gining. More generally, I would like to thank all the members of the Laboratoire de Mathématiques de Reims and in particular Christelle Marion for her help and availability.

Then, I would like to express my sincere gratitude to my advisor Laurence Carassus: first for taking the risk three years ago when she agreed to supervise me on this PhD. Her availability, guidance and continuous support during the last three years have been essential: she has consistently pushed me and helped me reach ambitious objectives. Unsurprisingly, the three years didn’t go exactly as we had originally planned and I am very grateful for the flexibility and open-mindness she has always shown.

I am sincerely honoured that Laurent Denis and Constantinos Kardaras accep- ted to be referees for my dissertation. I am very grateful for the time and attention they spent reviewing and evaluating my work on a relatively short notice. I would also like to thank Monique Jeanblanc, Bruno Bouchard, Raymond Brummelhuis, Amor Keziou and Peter Tankov for accepting to be part of my PhD committee: once again I am very honoured by their presence.

At a personal level I would like to thank Bertrand, Adrien and the two Olivier’s for their support.

And last but not least I would like to thank my family. My parents, for so many things and in particular for giving me the taste of mathematics a long time ago! My wife Elena for her understanding, patience and support over the last three years:

nothing would not have been possible without her. And finally our three little kids:

Liza, Hector and Erika who are the joy of my life.

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Table des matières

0 Résumé de la dissertation 1

1 Introduction 23

1.1 Aléas, risque et incertitude . . . 23

1.1.1 Quelques exemples . . . 23

1.1.2 Risque vs incertitude, le risque de modèle et le dévelopement d’outils mathématiques adaptés . . . 25

1.2 Fonctions d’utilité . . . 29

1.2.1 La notion d’espérance d’utilité . . . 29

1.2.2 Littérature mathématique . . . 32

1.3 Arbitrage . . . 34

1.3.1 La notion d’arbitrage en mathématiques financières . . . 34

1.3.2 Littérature mathématique . . . 35

1.4 Résumé de la dissertation . . . 38

2 Investissement optimal non-concave et non-arbitrage : une approche par la théorie de la mesure 41 2.1 Introduction . . . 41

2.2 Cadre et notations . . . 43

2.3 Condition de non-arbitrage . . . 45

2.4 Formulation du problème et résultat principal . . . 53

2.5 Le cas une période . . . 60

2.6 Le cas multi-période . . . 66

2.8 Appendice . . . 83

2.8.1 Intégrales généralisées et Théorème de Fubini . . . 83

2.8.2 D’autres problèmes de mesurabilité . . . 86

2.8.3 Ensembles aléatoires et normal integrands . . . 92

2.8.4 Preuves des résultats techniques . . . 96

3 Non-arbitrage avec croyances multiples non-dominées 97 3.1 Introduction . . . 97

3.2 Cadre et définitions . . . 99

3.2.1 Ensembles polaires et tribu universelle . . . 99

3.2.2 Ensembles analytiques . . . 99

3.2.3 Les espaces mesurables . . . 100

3.2.4 Noyaux stochastiques et définition de𝒬^𝑇 . . . 100

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viii Table des matières

3.2.5 Les actifs traités et les stratégies d’investissement . . . 101

3.3 Le support conditionel deΔ𝑆_𝑡+1avec croyances multiples et résultats correspondants . . . 102

3.4 Non-arbitrage quantitatif, non-arbitrage géométrique et𝑁 𝐴(𝒬^𝑇) . . 103

3.4.1 Différentes notions de non-arbitrage et résultats principaux . 103 3.4.2 Preuve du Theorème 3.4.7 . . . 106

3.4.3 Preuve de la Proposition 3.4.9 . . . 109

3.5 La condition de non-arbitrage quantitative pour la maximisation de l’espérance d’utilité la plus défavorable dans le cas d’une fonction d’utilité définie surR . . . 113

3.6 La condition de non-arbitrage fort :𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇) . . . 119

3.6.1 Caractérisation locale et applications . . . 120

3.6.2 Caractérisation quantitative de𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇) . . . 124

3.6.3 Premier Théorème Fondamental pour𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇) . . . 125

3.7 Appendice . . . 127

4 Investissement optimal pour une fonction d’utilité non-bornée avec croyances multiples et non dominées et à temps discret 131 4.1 Introduction . . . 131

4.2 Cadre et Définitions . . . 133

4.2.1 Ensembles polaires et tribu universelle . . . 133

4.2.2 Ensembles analytiques . . . 134

4.2.3 Les espaces mesurables . . . 134

4.2.4 Intégrales généralisées . . . 135

4.2.5 Noyaux stochastiques et définition de𝒬^𝑇 . . . 135

4.3 Support conditionnel et condition de non-arbitrage : résultats utiles . 137 4.3.1 Support conditionnel . . . 137

4.3.2 Conditions de non-arbitrage . . . 138

4.4 Formulation du problème et résultat principal . . . 139

4.5 Le cas une période . . . 144

4.6 Le cas multi-période . . . 155

4.8 Appendice . . . 177

4.8.1 Résultats techniques . . . 177

4.8.2 Problèmes de mesurabilité . . . 177

5 Convergence du prix d’indifférence d’utilité vers le prix de sur-réplication avec croyances multiples et non dominées 181 5.1 Introduction . . . 181

5.2 Le modèle . . . 184

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Table des matières ix

5.2.1 Modélisation de l’incertitude . . . 184

5.2.3 Condition de non-arbitrage avec croyances multiples non do- minées . . . 187

5.2.4 Prix de sur-réplication et de sous-réplication avec croyances multiples non-dominées . . . 189

5.2.5 Fonctions d’utilité et prix d’indifférence d’utilité . . . 190

5.2.6 Mesures de risque . . . 193

5.3 Coefficent d’aversion au risque absolu et équivalent certain . . . 197

5.4 Convergence des prix d’indifférences d’utilité . . . 202

5.5 Appendice . . . 213

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Introduction et résumé

Cette dissertation s’articule autour de trois thématiques importantes : la notion d’incertitude, la notion de fonction d’utilité et enfin le concept d’absence d’oppor- tunité d’arbitrage. Dans cette introduction, nous nous proposons de faire un bref survol de ces sujets et d’une partie de la littérature mathématique correspondante.

Nous nous efforcerons en particulier de donner un aperçu des outils mathéma- tiques innovants qui ont été mis en place pour traiter les problèmes qui apparaissent lorsqu’il y a de l’incertitude sur les lois de probabilités des phénomènes étudiés. Nous précisons que le but n’est pas, à ce stade, de donner une présentation formelle et rigoureuse. Au contraire nous espérons que cette introduction pourra intéresser des lecteurs non-spécialistes. Enfin nous insistons sur le fait que les pro- blèmes que nous allons aborder ne sont pas uniquement d’un interêt purement ma- thématique. Non seulement ils sont liés à des problèmes concrets qui apparaissent sur les marchés financiers (évaluation de produits dérivés, gestion des risques, ré- gulations,..) mais ils interviennent aussi dans beaucoup d’autres disciplines telles que les sciences économiques, les politiques monétaires et budgétaires, la psychologie,...

Aléas, risque et incertitude

Quelques exemples

L’aléa est omniprésent dans notre vie quotidienne et apparait à travers de multiples phénomènes et dans de nombreuses disciplines. Au cours du vingtième siècle, les mathématiciens ont développé à travers la théorie des probabilités et de la statistique des outils très puissants pour étudier et comprendre ces situations. Ces outils ont été un élément essentiel de la compréhension et la modélisation de phé- nomènes complexes dans des domaines aussi variés que la mécanique quantique, de la génétique jusqu’au dévelopement récent du "big data". De façon similaire, le monde de la finance et plus particulièrement la finance quantitative, a suscité un grand nombre de recherches et ainsi également contribué au développement d’outils mathématiques adaptés et innovants et cela essentiellement depuis 1970. De façon réflexive ces outils ont eux-mêmes profondément modifié la façon dont les marchés financiers fonctionnent.

Des recherches récentes dans le domaine de la psychologie rendues accessibles à un grand public dans [87] par exemple ainsi que dans [125] pour une audience peut- être plus spécifique, ont radicalement changé la façon dont est modelisée la réac- tion d’un agent économique qui fait face à une situation incertaine. En quelques

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2 Table des matières

mots, ces études montrent que notre esprit n’est pas toujours apte à appréhender ce qui est aléatoire. Même lorsque nous pensons que nous nous comportons de façon rationnelle, nous sommes en réalité souvent victimes de multiples biais conscients ou inconscients. D’une certaine façon notre cerveau n’est pas, d’un point de vue biologique, adapté pour comprendre et traiter les probabilités et la statistique : il suffit de voir par exemple comment notre intuition (et même celle d’esprits experts ou entrainés) est souvent fausse face à des situations impliquant des espérances conditionnelles et le Théorème de Bayes.

Citons un exemple extrait de [87] : "Linda a 31 ans, est célibataire, ouverte et brillante. Elle a un diplôme en philosophie. Quand elle était étudiante, elle se sen- tait très concernée par les problèmes de discrimination et d’injustice sociale et elle a participé à des manifestations anti-nucléaires." Classez les deux asserstions suivantes en fonction de la probabilité de la situation qu’elles décrivent a) Linda est une employée de banque , b) Linda est une employée de banque qui est active dans des mouvements féministes. De façon surprenante, des expériences ont montré que la réponse b) est souvent vue comme plus probable que a) bien qu’elle décrive une situation moins générale. Il y a bien sûr beaucoup d’explications à cela : la formulation de la question n’est pas étrangère aux réponses obtenues mais cela reste profondément surprenant et montre à quel point notre esprit peut nous jouer des tours. Pour plus d’exemples tout aussi surprenants et révélateurs de certaines de nos faiblesses, nous invitons le lecteur curieux à se plonger dans la lecture de [87].

Il est bien sûr en dehors du cadre de cette dissertation de faire une liste exhaustive de toutes ces problématiques. Toutefois dans les lignes qui suivent, nous voudrions mettre l’accent sur quelques exemples typiques et montrer aussi comment ils sont en relation avec les problèmes mathématiques que nous traiterons par la suite.

Pour commencer nous nous intéressons au concept d’aversion au risque qui est tout particulièrement important lorsque l’on modélise le comportement d’un agent économique. Nous verrons par ailleurs qu’il est lié au concept d’utilité que nous in- troduirons plus loin et tout particulièrement à la concavité des fonctions d’utilité.

Historiquement, on a souvent considéré un agent économique "rationnel" comme étant averse au risque : un agent préfère en général une situation dont le résultat est connu à une situation au résultat inconnu même si son espérance de gain dans la seconde est un peu supérieure à celle de la première. Cependant si un agent économique préfèrera recevoir 50 plutôt que de jouer à pile ou face et gagner 100 (si pile) ou 0 (si face) , son comportement n’est pas forcement le même si l’on parle de pertes potentielles. Ainsi un agent économique préfère en général prendre le risque de jouer à un jeu ou il peut perdre 100 (si pile) ou 0 (si face) (encore avec une chance sur deux) plutôt que de perdre de façon certaine 50 : la possibilité de ne rien perdre l’incite à prendre le risque alors que dans le cas précédent c’était l’éventualité de ne rien gagner qui le poussait à ne pas jouer. En terme de gestion des risques c’est bien évidemment une attitude problématique (car contraire à une

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Table des matières 3

gestion raisonnable dans laquelle on essaie de limiter les pertes et on ne prend des risques que lorsque l’on peut se le permettre) et qui doit être prise en compte par exemple lorsque l’on considère la régulation des établissement financiers. D’un point de vue mathématique c’est l’une des motivations du Chapitre 2 ou nous étu- dierons des fonctions d’utilité qui ne sont pas concaves.

Un second exemple concerne la notion de distorsion de la loi de probabilité. Il y a dans la littérature économique et mathématique une longue historique de débats sur la nature des lois de probabilités. En résumant et simplifiant, est-ce qu’une loi de probabilité est un élément purement objectif ou bien est-elle subjective, c’est à dire dépendante de la personne qui prend la décision ? Nous verrons comment cette distinction entre des lois de probabilités objectives et subjectives intervient dans la contexte d’espérance d’utilité. Toutefois la notion de distorsion de probabilité va plus loin : non seulement l’agent économique utilise sa propre loi de probabilité subjective pour appréhender une situation incertaine mais en plus il modifie men- talement (consciemment ou pas) cette loi : en général la probabilité des évènements rares est sur-estimée et celle des évènements fréquents sous-estimée. Cette notion a été introduite par exemple dans [88] et on peut trouver des exemples dans [87].

D’un point de vue mathématique, pour modéliser ce comportement, on introduit une fonction croissante 𝑓 : [0,1] → [0,1]telle que𝑓(0) = 0 and 𝑓(1) = 1et on rem- place la probabilité𝑃(𝐴)d’un évenement𝐴par𝑐(𝐴) =𝑓(𝑃(𝐴)). Il est important de noter que par cette transformation , il n’y a aucune raison que𝑐demeure une loi de probabilité. On parle alors de capacité et ces problématiques sont liées également à la notion d’intégrale de Choquet et (voir [41]) d’espérance non linéaire que nous présentons brièvement plus bas.

Risque vs incertitude, le risque de modèle et le dévelopement d’outils mathématiques adaptés

Dans cette section, nous abordons une distinction fondamentale au sujet de l’aléa- toire et qui est au coeur de notre étude. Il s’agit de la distinction entre le risque et l’incertitude. Le risque est "l’inconnu connu" alors que l’incertitude représente

"l’inconnu inconnu". On parle d’incertitude knigthienne, en référence à F. Knight à qui on attribue la parenté de ce concept (voir [90]). Pour illustrer ce concept prenons l’exemple suivant inspiré du paradoxe d’Ellsberg (nous le reprendrons par la suite). On vous propose de jouer à un jeu dans lequel vous devez choisir entre recevoir 20 ou bien tirer une boule dans une urne qui contient 100 boules. Si vous tirez une boule rouge vous recevrez 100 et sinon 0. Cependant, vous ne savez pas quelle est la quantité exacte de boules rouges présente dans l’urne. On vous dit simplement qu’il y a entre 20 et 80 boules rouges. Si on vous avait indiqué la quantité précise de boules rouges, alors c’est votre aversion au risque qui aurait déterminé

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votre choix. Si il y a 20 boules rouges, la plupart d’entre nous choisirons de ne pas tirer de boule et de recevoir 20. Si par contre il y a 50 ou 80 boules rouges alors un plus grand nombre décidera de tirer une boule dans l’urne (et donc de prendre le risque de ne rien recevoir). Mais le jeu présenté est différent : il ne s’agit pas seulement d’aversion au risque. Comment peut on calculer l’espérance de gain de ce jeu ? Doit-on prendre le cas le plus défavorable (20 boules), le cas moyen (50 boules) ou bien le cas le plus favorable (80 boules) ? En général, face à ce genre de situation, un agent économique fait preuve d’une aversion à l’incertitude au sens oú il préfère une situation oú l’incertitude est réduite. Par exemple, si dans le cas oú il y a exactement 50 boules rouges, un agent économique était content de tirer une boule, ce ne sera pas forcement le cas dans la situation avec incertitude sur le nombre de boules rouges même si en moyenne on peut dire que l’espérance de gain est la même. Il est important de remarquer qu’il est finalement très facile de trouver des exemples quotidiens similaires où nous faisons face à des situations d’incertitude. Il s’agit donc d’un concept particulièrement pertinent et nous verrons plus bas comment il intervient lorsque l’on modélise de façon plus formelle le comportement d’un agent économique.

Ce n’est pas un concept récent mais au cours des 15 à 20 dernières années, il est réapparu dans le contexte des marchés financiers. En effet c’est un concept bien adapté à l”etude des problèmes de risque de modèles. De façon un peu schématique on peut distinguer deux formes d’incertitude. La première forme est liée aux questions de stabilité d’un modèle. Plutôt que fixer un modèle précis, on considère un ensemble de modèles que l’on interprête comme de petites pertubations autour du modèle initial. C’est finalement une forme modérée d’incertitude dans le sens où les perturbations sont censées être limitées. L’incertitude de modèle peut prendre une forme plus extréme. Prenons l’exemple oú les hypothèses sous-jacentes du modèle ne décrivent pas suffisamment précisément le phénomène que l’on veut étudier (typiquement le prix d’un actif financier). La meilleure illustration de ces problé- matiques est probablement celles relatives à la modélisation de la volatilité d’un actif financier. C’est un sujet qui a une longue histoire et qui a suscité de nombreuses recherches tant du côté académique que du côté des salles de marchés.

Dans les travaux originaux de [18], la volatilité de l’actif sous-jacent est supposée constante. Très vite il est apparu évident que ce modèle ne correspondait pas à la réalite, ne serait-ce que parce qu’en pratique la volatilité observée à travers les prix des options observés sur les marchés dépend du strike et de la maturité de l’option. De nouveaux modèles ont alors été construits : d’abord des modèles à vo- latili´té locale ([56]) ou la volatilité est une fonction de la valeur de l’actif, puis des modèles à volatilité stochastiques (le modèle de Hull and White [83], le modèle de Heston [77], et enfin le modèle SABR [71]) où la volatilité est elle-même aléatoire jusqu’aux travaux récents sur la "rough" volatilité (voir par exemple [65]). Quel que soit le modéle choisi, on peut considérer pour chacun de petites variations de

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ses paramètres. C’est d’ailleurs ce que font souvent les opérateurs de marché en pratique en calculant des bid-offer et/ou des réserves en fonction de la variation du prix de modèle lorsque l’on fait bouger certains des paramètres. Mais chacun de ces modèles repose sur des hypothèses complexes, parfois cachées et ne décrivent le comportement de l’actif sous-jacent que dans des situations particulières. Si l’on veut comprendre (mesurer) vraiment le risque d’une position financière, peut-être faut-il considérer l’ensemble de ces modèles. Une fois encore c’est souvent ce qui se passe en pratique où le gestionnaire de risque peut utiliser un modèle ou un autre en fonction des caractéristiques du produit et des qualités respectives de chacun des modèles. Mais d’un point de vue mathématique cette approche a besoin d’être formalisée. Comment s’assurer par exemple que l’utilisation de ces différentes mé- thodes d’évaluation n’amène pas à des arbitrages ? L’approche adoptée dans le mo- dèle à volatilité incertaine (voir [5], [93]) s’appuie aussi sur cette idée : le processus de la volatilité n’est pas directement modélisé mais on suppose seulement que la volatilité de l’actif sous-jacent se trouve entre deux bornes. Une situation finalement assez similaire à l’exemple décrit ci-dessus de l’urne où la proportion exacte de boules rouges était entre deux bornes.

L’évolution importante des marchés financiers dont le comportement et la structure semblent par ailleurs de plus en plus déconnectés des réalites économiques sous-jacentes a motivé plus encore ce type de questionnements. Les épisodes ré- cents de volatilité extrême autour d’évènements politiques ou encore les épisodes de "flash-crash" observés ces dernières années soulèvent des questions et des in- quiétudes légitimes. Dans ce contexte, la notion d’incertitude est un cadre puissant permettant aussi de mieux décrire et modéliser le comportement et les interactions des acteurs économiques. Cela est particulièrement important dans des périodes de tensions importantes comme ce fut le cas lors de la crise de 2008 où l’interaction entre les agents économiques dans des situations d’incertitude extrême a joué un role essentiel dans la propagation de la crise. Il s’agit là bien entendu d’une forme beaucoup plus profonde d’incertitude et qui dépasse le problème de risque de mo- dèle.

D’un point de vue mathématique, ces questions ont amené au dévelopement d’outils mathématiques innovants afin de mieux formaliser et modéliser le problème d’incertitude des lois de probabilités. Nous présentons brièvement la notion d’es- pérance non-linéaire qui est un des outils sous-jacents aux problèmes que nous étudierons. Le but n’est bien entendu pas de donner une présentation rigoureuse et complète et nous renvoyons le lecteur à [103] et [104] pour plus de détails et d’autres références. On considère un espace mesurable (Ω,𝒮) qui représente l’ensemble des évènements possibles et un espace linéaireℋde fonctions réelles et mesurables définies sur Ω(et qui contient les fonctions constantes). Chacune des ces fonctions correspond au résultat financier d’une décision ou d’un investissement.

On introduit une espérance sous-lineaire, c’est à dire une fonctionnelle ℰ : ℋ → R

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qui

∙ est monotone : si𝑋 ≥𝑌 alorsℰ(𝑋)≥ ℰ(𝑌)

∙ préserve les constantes : pour 𝑐∈R,ℰ(𝑐) = 𝑐

∙ est sous-additive : pour𝑋, 𝑌 ∈ ℋ,ℰ(𝑋+𝑌)≤ ℰ(𝑋) +ℰ(𝑌)

∙ est positivement homogène : pour𝜆≥0,𝑋 ∈ ℋ,ℰ(𝜆𝑋) = 𝜆ℰ(𝑋).

La motivation sous-jacente est la suivante : une façon de représenter l’incertitude est d’introduire non pas une loi de probabilité 𝑃 mais un ensemble de lois de probabilité 𝒫. Ainsi pour une variable aléatoire 𝑋 ∈ ℋ, il semble naturel de remplacer l’espérance ℰ(𝑋) = sup_𝑃_∈𝒫𝐸_𝑃𝑋 ¹. La moyenne de la variable aléatoire est ainsi remplacée par l’intervale [−ℰ(−𝑋),ℰ(𝑋)] : celui-ci représente l’incertitude sur la moyenne (et de même sur la variance). Il est alors possible de géné- raliser dans ce contexte les notions de variables indentiquement distribuées, de variables aléatoires indépendantes, de convergence en loi (au sens de l’espérance sous-linéaire). On peut aussi obtenir dans le contexte d’incertitude un équivalent de la loi des grands nombres, du théorème central limite et de bien d’autres résul- tats et concepts classiques.

Nous finissons cette section en considérant le problème suivant dont les consé- quences mathématiques sont importantes. Lorsque l’on fixe un ensemble de lois de probabilité 𝒫 (celui-ci pouvant être réduit à une seule probabilité le cas échéant) la distinction entre les évènements pouvant se produire (c’est à dire de probabilité strictement positive pour au moins l’un des éléments de𝒫) et ceux qui ne peuvent pas arriver est essentielle et tout aussi importante que la quantification précise des probabilités respectives de chacun des événements. A titre d’exemple : est-ce qu’un modèle permet ou non que les taux d’interêts soient négatifs ? Il est bien évident que l’attention et la réponse apportées à cette question de modélisation ne sont plus aujourd’hui les mêmes qu’il y a 10 ou 15 ans. Sur le plan mathématique, on distingue deux situations : soit il existe une probabilité 𝑃^* telle que pour tout 𝐴∈ 𝒮,𝑃^*(𝐴) = 0implique que𝑃(𝐴) = 0pour tout𝑃 ∈ 𝒫. On dit alors que𝒫 est do- minée par𝑃^* et c’est𝑃^* qui détermine les événements qui peuvent arriver ou non.

D’un point de vue mathématique c’est le cas le plus simple car on pourra utiliser les outils classiques de la théorie des probabilités. Mais si par malchance, l’ensemble 𝒫 n’est pas dominé la situation devient beaucoup plus délicate. En effet les outils classiques comme l’esperance conditionelle ou le supremum essentiel sont définis 𝑃-presque sûrement (pour un𝑃 donné) c’est à dire seulement sur l’événements visibles par𝑃. Ces outils ne sont donc a priori pas adaptés à l’étude d’un ensemble de probabilité non-dominé puisque leurs définitions posent problème. Cela amène à la

1Notons queinf_𝑃∈𝒫𝐸𝑃𝑋=−sup_𝑃∈𝒫𝐸𝑃(−𝑋)

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problématique d’agrégation (voir par exemple [124] or [43]) et qui sera également au coeur du Chapitre 4. Il est important de noter qu’il ne s’agit pas seulement d’une question théorique. Ainsi, dans le modèle à volatilité incertaine que nous avons mentionné plus tôt, on obtient des ensembles non-dominés de probabilites dans lesquelles les lois de probabilités sont deux à deux mutuellement singulières.

Fonctions d’utilité et la notion d’espérance d’utilité

Nous présentons dans cette section le concept d’espérance d’utilité qui sera lui aussi, central dans cette dissertation. Nous donnerons brièvement l’idée générale sous-jacente. Le lecteur interessé pourra se reporter au [62, Chapter 2] par exemple pour une présentation plus complète et détaillée. La formalisation de la théorie de von Neumann et Morgenstern a été initialement développée dans [126]. Supposons que l’ensemble des scenarios possibles soit représenté par un espace mesurable (Ω,ℱ)et que chaque décision (un investissement par exemple) soit representée par une variable aléatoire 𝑋 : Ω → R correspondant au résultat financier de cette décision. Supposons par ailleurs qu’il existe une loi de probabilité 𝑃 connue sur (Ω,ℱ)décrivant la distribution de chacune de ces variables aléatoires. En d’autres termes, l’agent économique est en situation de risque (et non d’incertitude). Alors sous l’axiomatique développée par [126], pour un agent donné chaque décison peut être representée par

𝑢(𝑋) = 𝐸_𝑃𝑈(𝑋)

ou𝑈 :R→Rest une fonction concave et croissante que l’on appelle fonction d’uti- lité et qui est propre à chaque agent. Ainsi𝑢(𝑥)représente l’espérance d’utilité de 𝑋 et une décision𝑋 sera preférée à 𝑌 si et seulement si𝑢(𝑋) =𝐸_𝑃𝑈(𝑋)≥𝑢(𝑌) = 𝐸_𝑃𝑈(𝑌). Un agent essaie toujours de maximiser son espérance d’utilité en choisis- sant parmi toutes les actions 𝑋 disponibles. On distingue souvent deux types de fonctions d’utilité : soit𝑈 est définie sur toutR, soit uniquement sur(𝑎,∞)pour un réel𝑎(et𝑈 =−∞en dessous de𝑎). Dans ce cas,𝑎correspond au capital maximum que l’agent peut perdre. Parmi les fonctions d’utilité usuelles on trouve : les fonctions logarithmes, puissances ou exponentielles (cette dernière correspond à une aversion au risque constante quelque soit la richesse). La concavité de la fonction d’utilité est liée à l’aversion au risque comme nous l’avons déjà mentionné. Pour une décision𝑋, notons𝑚(𝑋) =𝐸_𝑃𝑋 la moyenne de𝑋 sous𝑃. L’aversion au risque signifie que l’agent économique préfère recevoir𝑚(𝑋)qui est sûr plutôt que𝑋(sauf si bien sur 𝑋 n’est pas aléatoire). C’est une hypothèse importante et comme nous l’avons vu qui en pratique n’est pas toujours vérifiée. C’est ce qui nous poussera à étudier dans le Chapitre 2 des fonctions non-concaves.

Au-delà de ce problème d’aversion au risque, la modélisation ci-dessous présente

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d’autres faiblesses importantes : en particulier peut-on vraiment supposer qu’il existe une probablité 𝑃 objective, connue et partagée par tous les agents ? Le paradoxe d’Allais (voir [62, Example 2.32]) montre par ailleurs que les axiomes sous- jacents de la théorie de von Neumann et Morgenstern ne sont pas toujours vérifiés.

Pour répondre à ces critiques, L.J. Savage ([120]) proposa une approche modifiée.

Dans le cadre de Savage, on ne fait plus l’hypothèse qu’il existe une probabilité 𝑃 objective et connue. En ajoutant des hypothèses supplémentaires sur les pré- férences des agents, on peut obtenir une nouvelle représentation numérique des préférences des agents sous la forme suivante :

𝑢(𝑋) =𝐸_𝑄𝑈(𝑋)

où 𝑄 est une loi de probabilité subjective on (Ω,ℱ) et qui dépend donc de chaque agent (𝑈 est toujours une fonction concave et croissante). Dans ce cadre un agent économique cherche toujours à maximiser son espérance d’utilité mais en fonction de sa propre vision du monde.

Malheureusement cette représentation n’est toujours pas complètement satisfai- sante. En effet, le paradoxe d’Ellsberg [62, Exemple 2.32] montre que les hypo- thèses sous-jacentes de la représentation de Savage ne sont, elles aussi, pas toujours vérifiées expérimentalement. Le concept d’aversion à l’incertitude décrit plus haut a alors été introduit. C’est en quelques sorte l’analogue de l’aversion au risque pour l’incertitude. Cette approche, utilisée dans [69], permet de proposer une nouvelle théorie d’espérance d’utilité. Cette fois les préférences des agents peuvent s’écrire sous la forme

𝑢(𝑋) = inf

𝑃∈𝒫𝐸𝑃𝑈(𝑋)

où𝒫 est un ensemble de loi de probabilités subjective (et donc dépendant de chaque agent) et qui représente toutes les croyances d’un agent économique. La fonction 𝑈 :R →Rest toujours concave et croissante. Dans ce cadre, un agent économique va donc maximiser éspérances d’utilités calculées sous la croyance la plus défavo- rable. Le cadre introduit par [69] a ensuite été étendu dans [94] où une fonction de pénalité 𝑐(𝑃) est introduite dans la fonctionelle précédente. Finalement, dans [39], les préférences des agents sont représentées par une fonctionnelle de la forme inf_𝑃∈𝒬𝐺(𝐸_𝑃𝑈(𝑋), 𝑃)ou 𝐺est appellé l’indice d’incertitude et représente l’attitude de l’agent économique face à l’incertain. Il existe bien entendu d’autres réponses aux critiques formulées à l’encontre du paradigme de l’espérance d’utilité de von Neumann et Morgenstern : on peut se rapporter par exemple [42] pour un exposé de ces différentes idées.

Dans le contexte des marchés financiers, les fonctions d’utilité n’ont pas toujours été utilisées autant que d’autres techniques essentiellement car il est difficle de savoir comment les estimer. Toutefois elles ont gagné en popularité récemment. Tout

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d’abord parce qu’elles permettent justement d’introduire des distinctions entre les agents economiques. Par ailleurs elles sont aussi utilisée dans des situations où les couvertures (hedge) parfaits sont impossibles et ou l’on considère des couvertures partielles. C’est en particulier le point de vue utilisé dans l’évaluation par indiffé- rence d’utilité dont certains aspects en présence d’incertitude seront étudiés dans le Chapitre 5.

Notons qu’une revue de la littérature mathématique récente sur le problème de maximisation d’espérance d’utilité est proposée plus loin en Section 1.2.2.

La notion d’arbitrage en mathématiques financières

Nous concluons cette introduction en présentant brièvement la notion d’arbitrage en mathématiques financières qui est un concept essentiel. En quelques mots l’absence d’opportunité d’arbitrage veut simplement dire qu’un investisseur ne peut pas faire de profit certain sans prendre un risque : c’est à dire sans s’exposer à une perte potentielle. ll s’agit bien entendu d’une vision idealisée des marchés. En pratique, des arbitrages existent et pour de multiples raisons d’ailleurs. Ceci étant dit, il semble raisonnable de supposer qu’une fois qu’une opportunité d’arbitrage est detectée, un ou plusieurs "arbitragiste" interviendront sur les marchés pour en profiter et que cette opportunité va donc rapidement disparaitre.

Dans le cadre classique où il existe une probabilité objective (historique), on dit de façon informelle, qu’une stratégie est un arbitrage si sur un horizon de temps 𝑇, elle délivre toujours un résultat positif ou nul et qu’il existe des situations dans lesquelles elle délivre un profit. Attention pour qu’il y ait arbitrage, il faut que les situations dans lesquelles la stratégie délivre un profit soient visibles pour le modèle sous-jacent, c’est à dire qu’elles aient une probablité strictement positive dans ce modèle. Ainsi si une stratégie amène un profit dans une situation où les taux d’interêts sont négatifs et qu’elle délivre toujours un résultat positif dans tous les autres situations mais que le modèle en question ne permet pas d’avoir des taux d’interêts négatifs, il n’y a pas d’arbitrage. La notion d’arbitrage et ses consé- quences en terme de loi de probabilité d’évaluation sont au coeur du développement de la finance moderne. Cette notion a véritablement révolutionné la façon dont beaucoup de marchés financiers fonctionnent et a contribué à leur croissance ex- ponentielle. Cette croissance est allée de pair avec le dévelopement d’outils mathé- matiques complexes qui ont eux-même incité beaucoup d’intervenants à construire et élaborer des instruments financiers toujours plus sophistiqués. Cette croyance parfois aveugle en la toute-puissance et l’infaillibilité des outils mathématiques malgré des accidents et crises récurrentes sont sans aucun doute des sources d’in- quiétudes. Mais ces questions sortent largement du cadre de cette dissertation.

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Pour revenir sur la notion d’arbitrage, les bases de la théorie ont été développées et formalisées par [74], [75] and [92]. Un résultat essentiel de cette théorie est le théorème fondamental de l’évaluation des actifs qui fait le lien entre la notion de non-arbitrage et celle de probabilité risque-neutre (ou probabilité martingale) : un modèle est sans opportunité d’arbitrage si et seulement si il existe une loi de probabilité risque-neutre. De façon informelle, probabilité risque neutre est proba- bilité sous laquelle le prix actualisé à la date𝑡d’un actif est exactement l’espérance conditionnellement à l’information disponible à la date 𝑡, du prix de l’actif actua- lisé à la date 𝑡+ 1. En d’autres termes que l’on achète ou vende cet actif à la date 𝑡, l’espérance de gain en date 𝑡+ 1 est nulle. Notons qu’il s’agit du prix actualisé de l’actif : c’est à dire son prix exprimé pas rapport à un actif de référence (souvent appelé, à tort, actif sans risque). Par ailleurs dans ce cas, le prix actualisé d’un actif contingent (c’est à dire un actif dont le prix dépend du prix d’un ou plusieurs actifs sous-jacents) est exactement son espérance mais calculée sous cette proba- bilité risque neutre (et non en utilisant une loi de probabilité historique). Ces ré- sultats sont désormais bien connus et bien ancrés dans les pratiques des marchés.

Mais répétons qu’ils ont véritablement revolutionné la façon dont les marchés fonctionnent.

Rappelons que la notion d’arbitrage est aussi liée à la notion de sur-réplication.

Pour un actif contingent, le prix de sur-réplication correspond au prix minimum que demande un agent économique vendant cet actif contingent afin de pouvoir le sur-répliquer en achetant/vendant dynamiquement les actifs sous-jacents dans le marché : en d’autre terme la stratégie de sur-réplication doit permettre à l’agent de délivrer l’actif contingent dans tous les situations possibles sans aucun risque. La relation entre ce prix et le(s) prix obtenus par espérance risque neutre est donnée par le théorème de sur-réplication : le prix de sur-réplication d’un actif contigent est égal au supremum des prix obtenus par espérance (parmi toutes les probabili- tés risque-neutre).

Pour conclure cette introduction, nous évoquons brièvement comment le concept de non-arbitrage est impacté en présence d’incertitude. Ces questions ont suscité en effet un regain d’intérêt récemment, en particulier pour répondre aux problèmes liés au risque de modèle comme nous l’avons déjà evoqué. Dans ce cadre, il existe différentes approches et nous proposons une discussion plus detaillée sur ces diffé- rentes approches et une revue de la litte´rature mathématique récente plus bas (voir section 1.3.2). Dans cette dissertation, nous suivrons essentiellement la modélisa- tion proposée par [25] où l’incertitude est modélisée en introduisant un ensemble non-dominé de lois de probabilité (qui représentent donc les différentes croyances des agents). Dans ce cadre, une généralisation assez naturelle de la notion classique (avec une seule loi de probabilité) d’arbitrage est proposée. Cette définition permet en particulier d’étendre les résultas classiques sur l’existence de lois de pro- babilité risque neutre et de sur-réplication. Nous reviendrons plus en détails sur

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ces points en particulier dans le Chapitre 3.

Résumé de la dissertation

Le travail présenté dans cette dissertation est le résultat de différents articles (voir [20], [19], [21], [22]) dont certains ont été soumis pour publication. Le contenu de chacun des chapitres correspond donc à une version détaillée et complète. En particulier, nous avons volontairement laissé les répétitions entre les différents chapitres. Par exemples nous répétons dans la Section 3.2 du Chapitre 3, la Section 4.2 du Chapitre 4 et la Section 5.2.1 du Chapitre 5 tout ce qui concerne les notations utilisées, la façon dont l’incertitude est modélisée et les outils de théorie de la mesure utilisés. Notons aussi qu’un certain nombres de preuves dans les différents chapitres utilisent des arguments similaires. De même, les introductions de chacune des parties sont parfois redondantes et reprennent certains éléments de cette introduction générale. Nous avons fait ce choix afin que chacun de ces chapitres puisse être lu de façon (presque) indépendante du reste de la dissertation.

Nous proposons ci-dessous un résumé des résultats et outils utilisés dans chacun de ces chapitres.

Chapitre 1

Le Chapitre 1 reprend en anglais l’introduction et propose aussi une revue de la littérature sur les problématiques d’utilité et d’arbitrage.

Chapitre 2

Dans le Chapitre 2 nous étudions dans un cadre classique (c’est-à-dire avec une seule probabilité), le problème de maximisation d’espérance d’utilité pour une fonction d’utilité qui n’est ni concave, ni continue et qui est définie sur l’axe des réels positifs. Dans ce cadre, nous établissons le résultat qui est le plus complet à notre connaissance, garantissant l’existence d’une stratégie d’investissement optimale.

Une des raisons qui nous a poussée à étudier des fonctions non-concaves a déjà été abordée précédemment : un agent économique n’est pas forcement averse au risque dans toutes les situations. Par ailleurs, le fait d’avoir des fonctions d’utilité discontinues est aussi intéressant sur le plan pratique : une fois que l’on dépasse un certain seuil de richesse, l’utilité d’un agent peut sauter d’un niveau par exemple.

Enfin, notre résultat permet aussi de considérer des fonctions d’utilité qui ne sont

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pas finies en 0(le logarithme par exemple) ce qui n’était pas le cas dans les résul- tats précédemment obtenus. Notre preuve utilise des outils de théorie de la mesure et de sélection mesurable et repose sur le principe de programmation dynamique.

Nous donnons les preuves de tous les résultats utilisés (certains étant des résultats classiques dont nous rappelons les démonstrations en les adaptant à notre cadre).

En particulier, nous démontrons tous les résultas nécessaires relatifs à la condition de non-arbitrage.

Les deux résultats principaux sont les suivants

Theorem 0.0.1 Supposons que la condition (NA) et les hyptothèses 2.4.7, 2.4.8 and 2.4.10 soient verifiées. Soit 𝑥 ≥ 0. Alors, 𝑢(𝑥) < ∞ et il existe une stratégie optimale 𝜑^* ∈Φ(𝑈, 𝑥)telle que

𝑢(𝑥) =𝐸𝑈(·, 𝑉_𝑇^𝑥,𝜑^*(·)).

De plus,𝜑^*_𝑡(·)∈𝐷^𝑡(·)p.s. pour tout0≤𝑡 ≤𝑇.

Theorem 0.0.2 Supposons que la condition (NA) et l’hyptothèses2.4.10 soit ve- rifiées. Suppons par ailleurs que 𝐸𝑈⁺(·,1) < +∞ et que pour tout 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

|Δ𝑆_𝑡|, _𝛼¹

𝑡 ∈ 𝒲_𝑡. Soit𝑥≥0. Alors, pour tout 𝜑∈Φ(𝑥)et tout0≤𝑡 ≤𝑇,𝑉_𝑡^𝑥,𝜑 ∈ 𝒲_𝑡. De plus, il existe une stratégie optimale𝜑^* ∈Φ(𝑈, 𝑥)telle que

𝑢(𝑥) =𝐸𝑈(·, 𝑉_𝑇^𝑥,𝜑^*(·))<∞

Plus précisement, le Chapitre 2 est structuré de la façon suivante. Après une partie introductive qui replace le chapitre par rapport à la recherche existante, nous présentons le cadre et les notations utilisées : nous décrivons l’espace proba- bilisé et présentons les notions de noyau stochastique et d’intégrale généralisée qui seront utilisées par la suite. Nous présentons ensuite la condition de non- arbitrage : après avoir rappelé des propriétés de mesurabilité importantes, nous établissons la Proposition 2.3.7 qui sera essentielle par la suite. Dans la section suivante, nous introduisons la définition de fonction d’utilité et posons précise- ment le problème qui nous intéresse. Nous présentons et discutons ensuite les différentes hypothèses nécessaires à la démonstration de notre théorème principal (Théorème 2.4.17) et en particulier les nouvelles conditions d’intégrabilité et d’élasticité asymptotique.

La démonstration du théorème s’effectue en deux étapes : nous considérons le cas d’un modèle à une période avec données initiales déterministes. Il s’agit alors d’un problème relativement simple d’optimisation dans R^𝑑. Ensuite, dans le cas multi- période (qui est la partie techniquement difficile), il s’agit d’utiliser le résultat obtenu dans le cas une période. Notre démonstration repose sur deux idées essen- tielles : il s’agit d’utiliser des outils de sélection mesurable ainsi que le principe de

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programmation dynamique pour construire pour chaque étape une solution optimale en recollant bout à bout les solutions obtenues dans le cas une période avec conditions initales déterministes. Le résultat essentiel est obtenu dans la Propo- sition 2.6.10 qui est le principal outils utilisé dans la démonstration du théorème.

Cette démonstration s’effectue elle aussi en deux étapes : nous contruisons grâce à la Proposition 2.6.10 une stratégie qui sera notre candidate pour être la solution optimale. Ensuite, nous vérifions qu’elle est effectivement une solution optimale.

Nous proposons ensuite dans le Théorème 2.4.17 une application dans un cadre général de notre résultat. Finalement, en appendice, nous reprenons précisement un certain nombres de détails techniques utilisés dans le chapitre. Nous proposons également un certain nombres de rappels sur les ensembles aléatoires ainsi que les problèmes de mesurabilité sous-jacents. Ces notions seront d’ailleurs utilisées à travers toute la dissertation et ce chapitre qui peut aussi être vu comme une pré- paration en vue du Chapitre 4.

En conclusion de ce chapitre, il semble naturel de se demander si et comment l’on peut étendre les résultats obtenus à des fonctions d’utilités définies sur l’ensemble des réels. Une partie de la réponse a déjà été apportée dans [33]. Toutefois la condition d’intégrabilité proposée ([33, Assumption 2.9]) n’est pas totalement sa- tisfaisante car elle n’est pas facile à vérifier en pratique. De plus d’un point de vue technique (et aussi esthétique), cela rend la preuve délicate et complexe car la condition d’intégrabilié doit être vérifiée par récurence ascendante (contrairement à ce que nous faisons dans ce chapitre) alors que les autres conditions nécessaires pour appliquer le principe de programmation dynamique sont, elles, vérifiées par une récurence descendante qui est plus naturelle. Malheureusement il n’est pas évident de remplacer cette hypothèse par des hypothèses similaires à celles intro- duites dans ce chapitre (voir Assumptions 2.4.7 and 2.4.8) qui ne soient pas trop restrictives. En effet dans le cas de fonctions définies sur l’ensemble des réels, l’argument de compacité (c’est à dire l’equivalent du Lemma 2.5.10) demande plus de travail et la borne obtenue dans le modèle une période dépend de la fonction d’utliité. Il n’est donc pas évident de trouver une condition d’intégrabilité qui soit préservée dans la programmation dynamique. Dit autrement et de façon plus in- tuitive : dans le cas d’une fonction définie sur les réels positifs il n’est finalement pas vraiment restrictif d’imposer des conditions d’integrabilité puisque cette condition est d’une certaine façon déjà imposé par la contrainte d’admissibilité (à savoir que l’agent ne veut pas perdre d’argent et donc que la valeur du portefeuille doit rester postive ou nulle). Dans le cas d’une fonction définie sur tous les réels, cette contraintes n’existe pas (l’agent n’a pas de limite de perte) et les conditions d’inté- grabilités sont une vraie contrainte. En effet rien n’empêche un investisseur d’avoir une stratégie qui lui procure une utilité très importante dans certaines situations.

Bien sur, la condition d’arbitrage implique que ce type de stratégie conduira à des utilités très négatives pour certains évènements et donc que de telles strategies ne

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sont vraisemblablement pas optimales. Mais on voit pourquoi une conditions d’inté- grabilité sur toutes les stratégies est, sur le plan mathématique, trop contraignant.

La généralisation de notre résultat et de notre preuve à des fonctions définies surR est donc un problème intéressant mais dont la résolution n’est pas une adaptation tout à fait évidente du cas (0,∞). Ce sera donc le sujet de recherches futures.

Chapitre 3

Le Chapitre 3 peut également être considéré comme un chapitre préparatif au Cha- pitre 4. Nous nous intéressons à un marché financier en temps discret avec un horizon de temps fini mais en présence cette fois d’incertitude. Les deux résultats principaux sont les suivants

Theorem 0.0.3 Supposons que les hypothèses 3.2.1 et 3.2.2 soient verifiéds. Alors le non- arbitrage quantitatif (voir Définition 3.4.4), le non-arbitrage géometirque (voir Définition 3.4.6) et la condition𝑁 𝐴(𝒬^𝑇)(voir Définition 3.4.1) sont équivalent etΩ^𝑡_{𝑁 𝐴} = Ω^𝑡_{𝑞𝑁 𝐴} = Ω^𝑡_{𝑔𝑁 𝐴} for all0≤𝑡≤𝑇. De plus , pour tout𝜔^𝑡∈Ω^𝑡_{𝑁 𝐴}on peut choisir 𝛼𝑡(𝜔^𝑡) =𝜀(𝜔^𝑡)tels que (3.5)et (3.6)soient vraies.

Theorem 0.0.4 Supposons que les hypothèses 3.2.1 et 3.2.2 soient vraies . Alors les affirmations suivantes sont équivalentes

1.𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇)est vraie.

2. Pour tout 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 −1,Ω^𝑡_{𝑠𝑁 𝐴} ∈ 𝒞𝒜(Ω^𝑡) est un ensemble de pleine mesure pour 𝒬^𝑡.

La proposition suivante est également importante.

Proposition 0.0.5 Supposons que la condition 𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇) et que les hypothèses 3.2.1 et 3.2.2 soient vérifiées. Soit0≤𝑡≤𝑇 −1. Fixons𝑃 =𝑄₁⊗𝑞₂⊗ · · · ⊗𝑞_𝑇 ∈ 𝒬^𝑇. Alors il existe Ω^𝑡_𝑃 ∈ ℬ(Ω^𝑡)tel que 𝑃_𝑡(Ω^𝑡_𝑃) = 1et pour tout 𝜔^𝑡 ∈ Ω^𝑡_𝑃, 𝐷_𝑃^𝑡+1(𝜔^𝑡) est un sous-espace vectoriel et il existe 𝛼^𝑃_𝑡(𝜔^𝑡)∈(0,1]tel que pour tout ℎ∈𝐷_𝑃^𝑡+1(^𝑡),ℎ̸= 0

𝑞_𝑡+1(︀

ℎΔ𝑆_𝑡+1(𝜔^𝑡,·)≤ −𝛼^𝑃_𝑡 (𝜔^𝑡)|ℎ|, 𝜔^𝑡)︀

≥𝛼^𝑃_𝑡(𝜔^𝑡).

Enfin,𝜔^𝑡→𝛼^𝑃_𝑡 (𝜔^𝑡)est ℬ(Ω^𝑡)-mesurable.

Pour cela nous nous plaçons dans le cadre introduit dans [25] que nous présen- tons en détails après une partie introductive. Ce cadre utilise des outils de théorie de la mesure et, en particulier, la notion d’ensemble analytique qui est au coeur de difficultés techniques du cadre à croyances multiples non-dominées. Nous introduisons ensuite la notion de support (dans le cadre de croyance multiples et non-dominées) du processus de prix des actifs. C’est un outil important à travers

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toute la dissertation qui permet de se débarasser des actifs "redondants" et dont nous établissons des propriétés de mesurabilités importantes. Ces propriétés seront utilisées de façon récurente à travers la dissertation. Leur preuve repose sur des théorèmes de projection ce qui justifie l’introduction des ensembles analytiques introduit plus haut.

Nous rappelons ensuite la définition de la condition de non-arbitrage quasi-sûre, ainsi que sa caractérisation locale. Cette notion sera essentielle par la suite. Nous proposons ensuite des définitions alternatives, mais équivalentes, de cette condition de non-arbitrage. Plus précisement, il s’agit d’une caractérisation dite quantitative du non-arbitrage et d’une caractérisation dite géométrique et nous prouvons dans le Théorème 3.4.7 que ces définitions sont bien équivalentes ce qui généra- lise un résultat bien connu dans le cadre classique (sans croyances multiples). La preuve du Théorème 3.4.7 s’effectue en deux étapes : en Proposotion 3.4.14 nous établissons l’équivalence des différentes définitions dans un modèle une période avec données initiales deterministes. Pour cela nous utilisons des résultats classiques de séparation d’ensemble convexe dansR^𝑑. La preuve du Théorème 3.4.7 repose ensuite sur la caracterisation locale du non-arbitrage quasi-sûre établie dans [25, Theorem 4.5]. Ce résultat utilise des techniques de selection mesurable et les ensembles analytiques. A l’aide du Théorème 3.4.7, nous établissons aussi la proposition 3.4.9 dans laquelle nous obtenons des propriétes de mesurabilités utiles par la suite.

Dans la section suivante et afin d’illustrer l’intérêt de la caractérisation quantitative de la notion de non-arbitrage, nous étudions le problème de la maximisation d’espérance d’utilité la plus défavorable pour une fonction d’utilité définie sur R, non bornée et toujours dans le cadre de croyance multiples et non-dominées. Le Lemme 3.5.12 est la clé de voûte de la preuve du Théorème 3.5.13 : la caracterisation quantitative du non-arbitrage permet d’utiliser un argument de compacité, en obtenant une borne sur la norme des éventuelles stratégies optimales. Toutefois, nous nous limitons au cas une période et nous reverrons dans le Chapitre 4 pourquoi l’extension au cas multi-période est délicate.

Enfin, dans une dernière section nous introduisons la condition dite de non-arbitrage fort. C’est une condition plus contraignante que la condition de non-arbitrage quasi- sûre introduite précédemment. Elle sera utilisée dans le Chapitre 4 dans un théo- rème d’application car elle simplifie certaines questions techniques. Nous illustrons ces aspects techniques à travers quelques résultats de mesurabilité liés à la carac- térisation locale de cette condition. C’est l’occasion de manipuler les ensembles analytiques (et coanalytiques) et de se familiariser avec certaines des difficultés techniques sous-jacentes qui apparaitront dans le Chapitre 4. Puis, nous proposons à nouveau une caractérisation quantitative de cet arbitrage qui sera aussi utilisée dans le Chapitre 4. Finalement, nous établissons en Proposition 3.6.12, un théorème fondamental pour la condition de non-arbitrage fort.

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Pour conclure ce chapitre citons deux axes éventuels pour des recherches futures.

Le premier consiste à creuser plus encore la relation entre la condition de non- arbitrage fort et la condition de non-arbitrage quasi-sure. On a vu en effet dans ce chapitre que la condition de non-arbitrage fort est d’un point de vue de technique mathématique plus facile à manipuler mais qu’elle est plus forte que la condition de non-arbitrage quasi-sure. Il serait donc intéressant de trouver sous quelles conditions on peut par exemple espérer obtenir l’implication réciproque.

Par ailleurs il est bien connu que dans le cadre classique si la preuve initiale du Théorème Fondamental de l’évaluation des actifs financiers proposée dans ci- tepdmw repose sur des outils puissants de théorie de la mesure et de selection mesurable d’autres preuves, reposant par exemples sur des outils d’analyse fonctionnelle, sur une version aléatoire du Lemme de Bolzano-Weistrass ou les fonctions d’utilités, furent ensuite proposées (voir par exemple [86], [117] et [49]). Il serait alors intéressant de voir si des approches similaires peuvent aboutir à une preuve alternative du Théorème Fondamental de l’évaluation des actifs financiers obtenu par [25] dans le cadre de croyances multiples non-dominées.

Chapitre 4

Dans le Chapitre 4, nous nous intéressons cette fois au problème de maximisation de la plus défavorable des espérances d’utilité pour une fonction concave et non bornée, définie sur l’axe des réels positif. Les deux résultats principaux sont les suivants

Theorem 0.0.6 Supposons que la condition𝑁 𝐴(𝒬^𝑇)et les hyptothèses 4.2.1, 4.2.2, 4.2.4, 4.4.2 et 4.4.12 soient verifiées. Soit 𝑥 ≥ 0. Alors, il existe une stratégie opti- male𝜑^* ∈Φ(𝑥, 𝑈,𝒬^𝑇)telle que

𝑢(𝑥) = inf

𝑃∈𝒬^𝑇𝐸𝑃𝑈(·, 𝑉_𝑇^𝑥,𝜑^*(·))<∞.

De plus,𝜑^*_𝑡(·)∈𝐷^𝑡(·)𝒬^𝑡-q.s. pour tout0≤𝑡 ≤𝑇.

Theorem 0.0.7 Supposons que la condition𝑠𝑁 𝐴(𝒬^𝑇)et les hyptothèses 4.2.1, 4.2.2, 4.2.4 et 4.4.2 soient verifiées. Supposons en plus que 𝑈⁺(·,1), 𝑈⁻(·,¹₄) ∈ 𝒲_𝑇 et que pour tout 1≤ 𝑡≤ 𝑇, 𝑃 ∈ 𝒬^𝑡, Δ𝑆_𝑡,_𝛼¹𝑃

𝑡

∈ 𝒲_𝑡(voir Proposition 4.3.6 pour la définition de 𝛼^𝑃_𝑡 ). Soit𝑥 ≥0. Alors, pour tout𝑃 ∈ 𝒬^𝑇, 𝜑 ∈Φ(𝑥, 𝑃)et0 ≤𝑡 ≤𝑇,𝑉_𝑡^𝑥,𝜑 ∈𝒲̂︁_𝑡. De plus, il existe une stratégie optimale𝜑^* ∈Φ(𝑥, 𝑈,𝒬^𝑇)telle que

𝑢(𝑥) = inf

𝑃∈𝒬^𝑇𝐸_𝑃𝑈(·, 𝑉_𝑇^𝑥,𝜑^*(·))<∞.

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Nous utilisons les résultats obtenus dans [25] ainsi que dans le Chapitre 3.

Nous sommes donc encore donc dans un cadre de croyances multiples dans lequel nous ne supposons pas que l’ensemble de lois de probablité est dominé. Comme nous l’avons déjà indiqué dans cette introduction, ce cadre augmente la difficulté mathématique du problème mais semble tout à fait justifié d’un point de vue pratique. Nous établissons le premier(à notre connaissance) résultat déxistence dans un cadre de croyances multiples et non-dominées pour des fonctions d’utilité non- bornées. Nous généralisons ainsi le résultat obtenu dans [99] pour des fonctions bornées par dessus. Nous introduisons deux conditions d’intégrabilité : les hypo- theses 4.4.2 et 4.4.12. La preuve repose, comme dans le Chapitre 2, sur le principe de programmation dynamique ainsi que sur des outils de théorie de la mesure et de sélection mesurable. Cependant, comme dans le Chapitre 3 déjà, le cadre de croyances multiples non-dominées complique les problématiques de mesurabilités.

Nous utilisons à nouveau les ensembles analytiques et des théorèmes de selection mesurable relatifs aux ensembles analytiques. Rappelons que les ensembles analytiques interviennent car ils sont stables par projection contrairement aux ensembles boréliens par exemple. Ils sont aussi stables par unions ou intersections dénombrables mais pas par passage au complémentaire. Et c’est la raison pour laquelle beaucoup de problèmes de mesurabilité ne peuvent pas être résolus aussi facilement que dans le cas du Chapitre 2. Les problématiques liées aux conditions d’integrabilités ajoutent des difficultés techniques supplémentaires.

Le chapitre est structuré de façon similaire au Chapitre 2. Après une partie introductive, nous présentons de façon détaillée le cadre, les notations, ainsi que les outils de théorie de la mesure qui seront utilisés dans le chapitre. Nous rapellons ensuite les résultats sur le support conditionnel des variations des prix des actifs sous-jacent et sur la condition de non-arbitrage quasi-sûre et sa caractérisation quantitative. Tout comme dans la Section 3.5 du Chapitre 3, cette caractérisation sera utilisée pour obtenir de la compacité. Ensuite, après avoir formulé explicite- ment le problème que nous cherchons à résoudre, les hypothèses utilisées et les résultats obtenus, nous nous attaquons à la preuve, celle-ci s’articulant en deux temps. Dans un premier temps, nous traitons le cas une période avec données initiales déterministes. Le résultat principal de cette section est le Théorème 4.5.23, il donne des conditions sous lesquelles une strategie optimale existe dans ce cadre et il sera utilisé dans le cadre multi-periode. Nous établissons aussi dans cette partie des résultats techniques (Lemmes 4.5.17, 4.5.18, 4.5.22). Ils seront utilisés pour résoudre des questions de mesurabilité et d’intégrabilité dans le cadre multi- periode. Ces problèmes sont propres au cadre de croyances multiples non-dominées de ce chapitre. Enfin dans un second temps en utilisant à la fois des outils de sélec- tion mesurable et programmation dynamique nous prouvons notre théorème. La structure de la preuve est tout à fait similaire à celle du Chapitre 2, mais les arguments sont beaucoup plus délicats pour les raisons de mesurabilité mentionnées

Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

HAL Id: tel-01883439

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01883439

Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

Romain Blanchard

To cite this version:

THÈSE

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE Discipline : MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET SCIENCES SOCIALES

Romain BLANCHARD

Application du contrôle stochastique en théorie de la décision avec croyances multiples et non dominées à temps discret

Stochastic control applied in the theory of decision in a discrete time non- dominated multiple-priors framework

Thèse dirigée par LAURENCE CARASSUS JURY

Acknowledgments

Contents

Table des matières

Introduction et résumé

Aléas, risque et incertitude

Quelques exemples

Risque vs incertitude, le risque de modèle et le dévelopement d’outils mathématiques adaptés

Fonctions d’utilité et la notion d’espérance d’utilité

La notion d’arbitrage en mathématiques financières

Résumé de la dissertation

Chapitre 1

Chapitre 2

Chapitre 3

Chapitre 4