Electrodynamique S´erie 14 16 dec 2015
Exercice 1 Terme de Chern-Simons
Montrez que l’invariant de LorentzFµνFµν construit dans la s´erie pr´ec´edente peut s’´ecrire comme une d´eriv´ee totale, i.e. FµνFµν =∂µCµ.
• Donnez l’expression du vecteur Cµ appel´e terme de Chern-Simons.
• Montrez commentCµse transforme sous la transformation de jaugeAµ→Aµ+∂µα.
Exercice 2 Electrostatique macroscopique
Soit une sph`ere conductrice de rayonR1charg´ee ´electriquement d’une chargeQ. La sph`ere est entour´ee du vide. Une couche di´electrique de permittivit´ese trouve entre la distance R2> R1 etR3 > R2.
Calculer l’induction ´electrique D, le champ ´electrique E et la polarisation P en chaque point de l’espace. Trouver les densit´es de charge libre ρ et microscopique< η >.
Exercice 3 Magn´etostatique macroscopique
Consid´erer un cylindre m´etallique infini de rayonaparcouru par un courantI. Le cylindre est entour´e par un isolant de perm´eabilit´eµ. Une surface cylindrique m´etallique de rayon b > a conduit un courant I dans la direction oppos´ee.
Calculer le champ magn´etiqueH, l’induction magn´etiqueBet l’aimantationMen chaque point de l’espace. Trouver le courant de surface et le courant microscopique.
Exercice 4 Di´electrique anisotrope
On place une charge ´electrique dans un di´electrique anisotrope de permittivit´e ij =ji. Calculer le potentielφcr´e´e par cette charge ainsi que la polarisationPinduite et la densit´e moyenne hηi des charges microscopiques du di´electrique.
