1 Capacit´ e calorifique d’un cristal de spins 1/2 (∼ 40 min)

L3 et Magist`ere de physique fondamentale Universit´e Paris-Sud Examen partiel de Physique Statistique II

Mercredi 8 mars 2017

Dur´ee de l’´epreuve : 2 heures.

L’utilisation de documents, t´el´ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´enonc´e et r´edigez succinctementetclairement votre r´eponse.

V´erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

1 Capacit´ e calorifique d’un cristal de spins 1/2 (∼ 40 min)

1/Donner la forme de la distribution canonique caract´erisant l’occupation des micro´etats d’un syst`eme en pr´ecisant les conditions de sa d´erivation. D´efinir les diff´erentes grandeurs et notations.

Cristal de spins.– On consid`ere un cristal de N spins 1/2 soumis `a un champ magn´etique homog`eneB~=B~u<sub>z</sub>. L’hamiltonien du syst`eme est

H=−γB

N

X

i=1

S_z⁽ⁱ⁾ (1)

o`u Sz⁽ⁱ⁾ est une des composantes de l’op´erateur du spin i, dont les ´etats propres sont not´es|+i_i et| − i_i; on aSz⁽ⁱ⁾| ± i_i =±(~/2)| ± i_i. La constante de couplageγ est le facteur gyromagn´etique.

2/ D´ecrire les micro´etats et en donner (au moins) deux exemples pour N = 5 spins.

THERMAL AND MAGNETIC PROPERTIES OF CeCl~ ⁴⁹⁶⁹

—_S(IC) tanh'( )sech~ —(Ks)+(Its)sechs

(kT ⁽⁸⁾

where ^W=g„peH, (K,)=gzKJ~, and(K,)=g&(K'~ ₎. Because the spins are all magnetically equivalent, the lattice sums (K)^and (K ) are independent of the chosen starting spin t'. The entropy and specif- icheat are immediately derived from F,

Tothe first\ order in the interactions, we find C„/R⁼[(W/kTP secha(W/k T)j

x{I^—(Kg/W[2tanh(W/kT)

+(W/kT)(1-8tanh (W/kT)]). (8) The corresponding second-order terms are rather complicated and have been given by Landau, '_but

since they are all small under the conditions of the present experiments they will be neglected here. Infact, substituting values forthe various parameters, it soon becomes clear that even the first-order correction terms are very small ^and that CeC13 in afield should approximate well to an ideal two-level Schottky system described by the first termin Eq. (8). Figure 8shows acompari- son ofEq. (8)with and without the interaction terms forthe case ofH=12.14kOe. Itmay be seen that the differences are very small and that both curves agree mell with the experimental re- sults. Similarly good agreement was found for other field values.

In the present case, the parameters in Eq. (8) were all known from previous experiments, but it isofinterest to note that specific-heat measure-

ments in applied magnetic fields _{may in}fact be _0,5—

Specific Heat of CeCI~ with 12.14 kOe along the c—_axis

used todetermine g^{values. Two approaches are} possible, their applicability being dictated by the relative magnitudes of the interactions, W, and kT.

If kTis large compared to the other quantities, then the asymptotic form of the specific heat will be described by

C/R=k/T ^+O'H

/T,

where k isthe zero-field coefficient (see Sec.III)

and b'=g„p,e/4k

.

If, as isfrequently the case, the interactions are small compared with kTbut larger fields are used such that 5'_{is comparable} with kT, then the specific heat will resemble amodified Schottky curve, as described by Eq. (8). By treating Wand (K,) as ^adjustable parameters, gtt may again be found.

Itwas possible to illustrate both methods using our results for CeC13, the first for fields of4.55 and 6.53 kOe and the second for fields of9.20and

12.14 kOe. A consistent value ofgl 4 00+0.06 was obtained, in excellent agreement with the value from optical measurements on CeC13 and from EPRonCe

'

C.Zero-Field Entropy asa Function ofTemperature

By integrating asmooth curve of C„/T^vs T, ^one can readily obtain an entropy versus temperature relation between

-0.

180—

160—

CT~ o4170—

R

~I'hah)$:.

''

0.4—

C

R 03—

0.2—

150- O.l—

0. 0.5 1.0

Tl( ~)¹

1.5 FIG.7. Magnetic specific heat of CeC13 between 0~6 and 4.^2'K. Results ofthepresent work are shown by the symbols ~, O, 4; results of Clover use the high- freguency relaxation method and are shown by O. The intercept at 1/T=O ofa straight line passing through the points gives b= {170+10)x 10

l

4.0

I

0.0 I.O ^{I I}

2.0 5.0

T(K)

FIG. 8. Specific heat ofCeCI3 in a strong applied magnetic field: Experimental values for&=12.14 koe

{0);^{theory excluding} interactions (i.e., two-levelSchott- ky anomaly) calculated for ~=gIIpg+p ^with gII=4.04

{

—

Figure1 :Capacit´e calorifique du chlorure de ceriumCeCl₃ soumis `a un champ magn´etique de B= 1.214 Tesla(1 Oerstedcorrespond `a1 Gauss = 10⁻⁴Tesla). Figure tir´ee de : D. P. Landau, J. C. Doran and B. E. Keen, Physical Review B 7, p. 4961 (1973).

3/ On supposera les conditions remplies pour d´ecrire le cristal dans le cadre de l’ensemble canonique.

a) Quelle est la relation entre la fonction de partition du cristal deN spinsZ_cristal et celle d’un spin unique z_spin? Rappeler la d´emonstration de ce r´esultat.

b) Expliciter le lien entre la distribution canonique et la distributionp± d’occupation d’un ´etat individuel (i.e. p± est la probabilit´e pour qu’un spin particulier soit dans l’´etat | ± i_i).

c) Exprimer z_spin et les probabilit´es p₊ et p− en fonction de β ^def= 1/(k_BT) et εB

def= ~γB/2 (suppos´ee>0). Tracer ces probabilit´es en fonction deT. Interpr´eter physiquement ces courbes.

1

4/ D´eduire l’´energie moyenne du cristal E^C_cristal. Tracer-la en fonction de B/T et expliquer physiquement le comportement.

5/ Anomalie de Schottky.– Calculer la capacit´e calorifique C(T) ^def= ∂E^C_cristal/∂T. D´eduire les comportements limites pour k_BT εB etk_BT εB. Expliquer physiquement ces compor- tements limites en s’appuyant sur ceux des probabilit´esp±. Tracertr`es soigneusement C(T) en fonction deT et comparer aux donn´ees exp´erimentales de la figure.

6/ A.N. : La fonctionx²/ch²x a son maximum en x∗ '1.2. Le facteur gyromagn´etique s’ex- prime en terme du facteur de Lang´eg(adimensionn´e) commeγ =g µ_B/~o`uµ_B=|q_e|~/(2m_e)' 0.927×10⁻²³J/Tesla est le magn´eton de Bohr. D´eduire de la courbe exp´erimentale la valeur du facteur de Land´eg pour le chlorure de c´erium. [Rq : calculatrice inutile.]

2 D´ etente de Joule-Thomson (∼ 1h20 min)

Introduction.–La d´etente de Joule-Thomson est une transformation adiabatique (sans ´echange de chaleur) au cours de laquelle du gaz est ´echang´e entre deux volumes `a travers un petit canal bouch´e par un milieu poreux (ou une valve) : cf. figure 2. L’´echange de gaz se produit si l’on pousse sur un piston, jusqu’`a ce que le syst`eme ait atteint un nouvel ´equilibre (les gaz n’´echangent alors plus rien). On peut montrer qu’`a l’´equilibre, l’enthalpie par particule, H/N, est la mˆeme dans les deux gaz ; on rappelle que l’enthalpie d’un gaz d’´energie E et de pression p dans un volume V est H ^def= E +pV. L’´etat thermodynamique des deux gaz est donc sur la mˆeme isenthalpe, c’est-`a-dire la courbe H/N = cste dans le plan (p, T).

Pour un gaz parfait, on peut facilement montrer que l’isenthalpe a pour ´equation p T^5/2 = cste. L’objet du probl`eme est d’´etudier l’effet de l’interaction entre atomes sur les isenthalpes.

matériau poreux

p T

p₁, _{1 2},T₂

Figure 2 : D´etente de Joule-Thomson. Deux gaz sont s´epar´es par un mat´eriau poreux.

Si on pousse sur un piston sans qu’il y ait ´echange de chaleur, les gaz ´echangent des particules jusqu’`a atteindre l’´equilibre o`uH₁/N₁=H₂/N₂ (´egalit´e des enthalpies par particule).

On consid`ere un gaz de N atomesen interaction d´ecrit par l’hamiltonien H =

N

X

i=1

~ p_i² 2m +X

i<j

v(r_ij), (2)

o`u v(r<sub>ij</sub>) est un potentiel d’interaction `a deux corps, avec r_ij ^def= ||~r_i−~r_j||. Le gaz est contenu dans une enceinte de volume V maintenue `a temp´eratureT.

1/ Quels sont les micro´etats du syst`eme (d´ecrit classiquement) ?

2/ Montrer que la fonction de partition canonique peut se mettre sous la forme Z =Z_GP

Z d³~r₁

V · · ·d³~r_N V

Y

i<j

(1 +f_ij) avec f_ij = e^−βv(rij)−1 (3) le facteur de Mayer. ZGP est la fonction de partition du gaz parfait monoatomique dont on donnera l’expression en fonction de V,N et la longueur thermique λ_T =p

2π~²/(mk_BT).

2

3/ Coefficient du viriel.–On se place dans un r´egime dilu´e o`u il est l´egitime de consid´erer que f_ij 1, ce qui permet d’´ecrire Q

i<j(1 +f_ij) '1 +P

i<jf_ij. En utilisant cette approximation, exprimer la fonction de partition canonique en fonction de Z_GP,N, V et dusecond coefficient du viriel

B₂(T)^def= 1 2

Z

d³~r₁₂

1−e^−βv(r12)

. (4)

Si le potentiel d´ecroˆıt `a l’infini comme v(r) ∝r<sup>−α</sup>, quelle condition sur l’exposant α assure la convergence de l’int´egrale `a l’infini ?

4.a) L’approximation pr´ec´edente est valable `a basse densit´en=N/V →0. D´eduire que 1

N lnZ = 1

N lnZGP−n B2(T) +O(n²). (5) b) Donner l’´energie libre par atome F/N. Rappeler la d´efinition de la pression canonique p et montrer qu’elle pr´esente le comportementp=nkBT

1 +n B2(T) +O(n²)

. Discuter le lien entre la nature attractive ou r´epulsive de l’interaction entre atomes et l’´equation d’´etat (on pourra tracer des isothermes dans le diagramme (p, n) pour aider la discussion).

c) Rappeler comment obtenir l’´energieE `a partir deZ (on se place `a la limite thermodynamique o`u l’´energie est identifi´ee avec l’´energie moyenne canonique : E ≡ E<sup>C</sup>). De mˆeme que pour la pression, on ´ecrira E sous la forme E =EGP+Eint, o`u EGP est l’´energie du gaz parfait et Eint

la contribution de l’interaction, dont on donnera la forme approch´ee (pour n→0) en fonction de B₂ et des autres param`etres.

5/ Enthalpie.– Obtenir une expression de l’enthalpie par atome H/N, o`u H <sup>def</sup>= E +pV, en fonction deT etn(`a partir de4.a et4.b). D´eduire l’expression de l’enthalpieH/N, en fonction de T etp(utiliser qu’`a l’ordre le plus bas enp, on passe de H/N = ˜h(T, n) `aH/N =h(T, p) en

´

ecrivant simplement p'nk_BT).

6/ D´etente de Joule-Thomson.– On ´ecrit le coefficient du viriel sous la forme B₂(T) =b− a

k_BT (6)

o`u a et b sont deux param`etres microscopiques (positifs) caract´erisant l’interaction : b est le volume exclu par l’effet de la forte r´epulsion `a petite distance etacaract´erise l’effet de l’attraction

`

a grande distance (force de van der Waals). (6) correspond au mod`ele de van der Waals.

a) En utilisant cette expression de B₂(T), montrer que la condition H/N = cste correspond `a une famille de lignes dans le plan (p, T), s´epar´ees par une ligne verticale pour la temp´erature T∗= 2a/(k_Bb). Comparer aux isenthalpes du gaz parfait (cf.§ d’introduction).

A.N. : Pour l’h´elium, on donnea'0.146 meV.nm³ etb'0.096 nm³. D´eduire T∗ en Kelvin.

b) Dans la d´etente de Joule-Thomson (p diminue `a H/N fix´ee), comment varie la temp´erature ? Distinguer les cas o`u la temp´erature initiale est sup´erieure ou inf´erieure `a T∗. Quelle pourrait ˆ

etre une application pratique ?

Annexe

• Une int´egrale :

Z

R

dxe^−12ax2 = r2π

a

• On donnek_B= 1.38×10⁻²³J/K et|q_e|= 1.6×10⁻¹⁹C.

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