1 EXERCICE N°1
En utilisant le principe de récurrence, montrer que : 1°)Pour tout n∈N* :
2 ) 1 n ( n n ...
2
1+ + + = +
2°)Pour tout n∈N* :
6
) 1 n 2 )(
1 n (
² n n ...
² 2
²
1 + + + = + +
3°)Pour tout n∈N* :
2 3
3 3
2 ) 1 n ( n n ...
2
1
+
= + + +
4°) Pour tout n∈N* : 1.(1!)+2(2!)+...+n(n!)=(n+1)!−1 EXERCICE N°2
On considère la suite réelle u définie sur N par :
+
=
=
+ 1
2 u u
1 u
n 1 n 0
1°) Montrer que la suite u n’est ni arithmétique ni géométrique.
2°) Montrer que , pour tout n de N : 1≤un ≤2 3°) Montrer que u est croissante sur N.
4°)Soit pour tout n de N : vn =un −a
a) Déterminer a pour que la suite (vn) soit géométrique.
b) Exprimer alors u en fonction de n. n c) Calculer alors n
nlimu
+∞
→
5°)Soit
∑
=
= n
0 k
k
n u
s . Exprimer sn en fonction de n.
EXERCICE N°3
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par :
= +
=
+ 2
v u u
3 u
n n 1 n 0
et
= +
=
+ +2
v v u
3 v
n 1 n 1 n 0
1°) Calculer u1, v1, u2 et v2.
2°) Soit la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par : wn = vn – un.
Montrer que w est une géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
3°)Etudié le sens de variation des suites (un) et (vn).
4°)Montrer que (un) est majoré par 4 et (vn) est minoré par 3.
5°) On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par :tn = 3
v 2 un + n
. Démontrer que la suite (tn) est constante.
6°)En déduire un et vn en fonction de n.
7°)Calculer alors la limite des suites (un) et (vn).
EXERCICE N°4
On considère la suite réelle u définie sur N par :
+
= +
∈
+ u 1
a u u
R u
n n 1 n 0
Parti I. Dans cette partie on prend u0 =1 et a = 0 1°) Montrer que , pour tout n de N : un >0
2°)Soit pour tout n de N :
n
n u
w = 1 .
a) Montrer que w est une arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison b) Exprimer alors un en fonction de n.
Séries d’exercices
3ème techniqueSuites reelles
Suites reelles Suites reelles Suites reelles
Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee
Maths au lycee *** Ali AKIR Ali AKIR Ali AKIR Ali AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/2 Partie II.Dans cette partie on prend u0 =0 et a =
4 1
1°) Montrer que , pour tout n de N :
2 u 1 0≤ n <
2°)Etudier la monotonie de u.
3°)Soit pour tout n de N :
1 u 2
1 u v 2
n n
n −
= + .
a) Montrer que v est suite une géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison b) Exprimer alors u en fonction de n. n
c) Calculer alors n
nlimu
+∞
→
EXERCICE N°5
On considère la suite (un) définie pour tout n∈N par :
+
− +
= +
=
+ 1 u 2u 4
u
2 1 u
n 2 n 1
n 0
1°) Justifier que pour tout n ≥ 1, un≥ 1.
2°) On pose vn = (un – 1)2.
a) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique b) Calculer vn puis un en fonction de n.
EXERCICE N°6
On définit la suite (un) par :
+ ∈
= +
=
+ ,n N
1 u 2
8 u u
1 u
n n 1 n 0
1°) Calculer u1 et u2.
2°) Soit la fonction h définie sur [0; 5] par :
1 x 2
8 ) x
x (
h +
= + a) Étudier les variations de h.
b) Résoudre l’équation h(x) = x.
c) Tracer la courbe (H) représentative de h et la droite (∆) d’équation y = x dans un repère orthonormal (O;i,j
) (unité graphique : 2 cm).
3°) a) Construire à l’aide de (H) et de (∆) les points de (O;i
) d’abscisses u0, u1, u2 et u3 en expliquant leur construction.
b) Que peut-on supposer pour la monotonie et la convergence de (un) ? c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1≤ un≤ 4.
4°) On définit la suite (vn) pour tout entier naturel n par :
2 u
2 v u
n n
n +
= − a) Calculer v0 et v1.
b) Démontrer que (vn) est une suite géométrique que l’on caractérisera.
c) Exprimer alors u en fonction de n. n d) Calculer alors n
nlimu
+∞
→
EXERCICE N°7
On considère la suite réelle u définie sur N par :
+
=
=
+1 n
n 0
u 3 4 u
0 u
1°)Montrer que , pour tout n de N : 0≤un ≤4 2°) Etudier la monotonie de u.
3°) Montrer que , pour tout n de N : u 4 4 4 3
un+1− ≤ n − 4°)En déduire que pour tout n de N : u 4
4 4 3
4 n
n
≤
≤
− . Calculer alors n
nlim u
+∞
→
5°)Soit pour tout n de N :
∑
=
= n
0 k
k
n u
s . Montrer que pour tout n de N* :
n 4 4 n s n 12 4
3 n
4 12 n
n
+
≤
≤
−
+
Calculer alors n
nlim s
+∞
→
