Application de la Commande Prédictive Généralisée Cas- d'un Procédé de l'industrie Pétrochimique

REPUBLIQUE ALGERIENNEDEMOCRATIQUE & POPULAIRE

U n i v e r s i t é d e 2 0 A o û t 1 9 5 5 S k i k d a F a c u l t é d e T e c h n o l o g i e

D é p a r t e m e n t G é n i e E l e c t r i q u e

MEMOIRE

En vue de l’obtention de diplôme de Magistère Filière :

Automatique Option :

Diagnostic et Surveillance des Systèmes Automatiques Par :

Nafir Nourreddine

Soutenu publiquement le 20/11/2012 devant le Jury composé de

Président Mehennaoui Lamine M.C.A U. Skikda Rapporteur Arbaoui Fayçal M .C.A U. Annaba Examinateurs Bouden Toufik M.C.A U. Jijel

Boussiala Noureddine M.C.A U. Skikda

Application de la Commande Prédictive Généralisée

Cas- d'un Procédé de l'industrie Pétrochimique

D é d i c a c e s s

J e d é d i e c e m é m o i r e

A m a f a m i l l e

A t o u t m e s a m i s e t t o u s q u i m e c o n n a i t

A m o n n e v e u A b d e n o u r A l i " A l l i l o "

R e m e r c i e m e n t s s

Avant tout je voudrai remercier ALLAH qui ma permis d'arriver là où je suis en menant à terme ce modeste travail, et remercier mes parents pour leurs sacrifices, durant toute ma scolarité.

Je voudrai témoigner ma grande gratitude envers mon directeur de mémoire,le docteur ARBAOUI FAYÇAL qui ma apporté toute l'aide dont j’avais besoin, et pour toute les connaissances que j’ai pu acquérir sous sa direction. Je voudrai tout spécialement le remercier pour sa patience ses grandes valeurs humaines et surtout pour sa haute éducation.

Mes vifs remerciements vont aussi au membre de jury qui on accepter de juger ce modeste travail Mer : BOUDEN TOUFIK maître de conférences à l'université de JIJEL Mer MEHENNAOUI LAMINE maître de conférences à l'université de Skikda et Mer BOUSSIALA NOURREDDINE maitre de conférence a l'université de Skikda.

Je tiens à adresser mes plus vifs remerciements au doctorant BOURAGHDA ALEXANDRE pour leur grande compréhension pendant la période de préparation de cette thèse.

Ma gratitude va également aux différentes personnes qui ont contribué de prés ou de loin à l’élaboration de ce travail. Mes remerciements vont tout spécialement à mon ami le docteur BENYERBAH SAID, professeur a l'université de Constantine, pour ces encouragements et son aide pendant tout mon cursus universitaire. enfin, cet avant propos serait incomplet sans des remerciements affectueux pour ma famille, pour leur appui, leur patience et leur grande compréhension.

MERCI

NAFIR NOURREDDINE

:صخلم

يؤبنتلا مكحتلا ةٌجٌتارتسإ قٌبطتب انمق لمعلا اذه ًف عم ًئاٌمٌك ورتب رصنع ًلع ةصاخ ةلاحك و ممعملا

عون نم تلادعملا مادختساب طبضلا بولسأ عم ةنراقم مكحتلا نم بولسلأا اذه قوفت ىلع ءوضلا طٌلست ) ةقتشم ، ةٌلماكت، ةٌبسانتلا

- . دوٌق دوجو مدع وأ دوجوب مكحتلا نم عونلا اذه ذٌفنت

- مكحتلا نم ةمدقتملا ةٌنقتلا هتاه زٌٌمت تاذ ةرقتسملا رٌغلا مظنلا عم ةلوهسب فٌكتت نأ نكمٌ ًتلا

. اٌنمز ةرٌغتملا طئاسولا تاذ مظنلا ىتح و اٌنمز ةرخأتملا مظنلا ادك و ىندلأا روطلا

تابرقملاب ةفورعملا ةٌنوبصعلا تاكبشلا ةامسملا ةلاعفلا باسحلا ةادأ عم ةٌجٌتارتسلإا هتاه جوازت رٌدقت ام اذه و ةلماشلا

ةٌطخلالا مظنلا ةجلاعمب ةٌجٌتارتسلإا هتاهل حمسٌ

تاملك

ةٌحاتفم لعافم ،بٌردت ،نوبصع ،ًطخ لا ،تارٌغملا ددعتم ،دوٌق ،ةفلكلا ةلاد ،يؤبنت، مكحت :

RESUME:

Dans ce travail, on a appliquée la stratégie de la commande prédictive généralisé, dans le cas d’un procédé pétrochimique tout en mettent en évidence : - la supériorité de cette méthode de contrôle par rapport à la régulation par

contrôleur PID (proportionnelle, intégrale, dérivée)

- la mise en œuvre de la commande GPC sans et avec contraintes.

- la distinction de cette technique évoluée de commande , qui peut facilement s'adapter avec les systèmes a phase nom minimum , les systèmes instable ayant des retards important et même des paramètres variant dans le temps . L’appréciation du mariage de cette stratégie avec l'outil de calcul puissant qu'est les réseaux de neurone connus pour être des approximateurs universels, ce qui permet à la GPC de traiter des modèles nom linaires

Mots- Clés

ABSTRACT

In this work, we have applied the strategy of generalized predictive control, in the case of a petrochemical element while highlighting:

- The superiority of this method compared to the control by PID controller - The implementation of the GPC control with and without constraints.

- The distinction of this advanced technique of control, which can be easily adapt with unstable systems , systems with minimum stage and systems with important delays and of time-varyin parameters.

The appreciation of the marriage of this strategy with the powerful computational tool Neural networks , known to be universal approximators, which allows the following GPC to process noun linear models .

Key -Words

T a b l e s d e s m a t i è r e s

Dédicaces

Remerciements Liste des tableaux Liste des figures Symboles

Acronymes

Introduction générale

Chapitre 1 formulation de la commande prédictive généralisée

1.1 Philosophie de la commande prédictive. 21

1.2 Mise en œuvre de la commande 24

1.2.1 Fonction de coût quadratique. 25

1.3 Calcul des sorties prédîtes. 26

1.3.1 Résolution d'équation diophantienne. 26

1.3.2 Prédicateur optimal matricielle. 26

1.3.3 Critère d'optimisation. 28

1.4 Régulateur équivalent. 29

1.5 La commande prédictive généralisée avec contraintes. 30

1.6 Remarque concernant le chois des paramètres de GPC. 31

1.7 Exemple de simulation. 33

1.7.1 Etude de l'influence des paramètres de synthèse. 33

1.7.2 Etude de l'effet des contraintes. 35

Chapitre2 2Commande prédictive généralisé multi variables

2.1 Introduction. 40

Model de définition. 40

Factorisation d'une matrice de transfert. 41

Fonction de cout. 42

Commande prédictive dans l'espace d'état. 44

Calcul des prédictions. 44

Calcul de commande. 45

Commande prédictive généralisée en cascade. 46

.1 Définition des modèles. 47

Expression des critères. 48

Résolution du GPC en cascade. 49

Chapitre3 3

Neurone biologique. 53

Neurone formel. 53

Réseau de neurone artificiel. 54

Architecture des réseaux de neurones. 54

Réseaux nom bouclé. 54

Réseaux récurrents 55

Apprentissage des réseaux de neurones 56

Définition 56

Type d'apprentissage 57

Méthode d'apprentissage. 58

Introduction à la commande prédictive généralisée neuronale. 63

Formulation de NGPC 64

Fonction de cout 64

Algorithme de minimisation de la fonction cout 65

Réseaux de neurone pour la prédiction 66

Prédiction utilisant le réseau de neurone 68

Calcul des éléments de Jacobien 69

Calcul des éléments de Hessien 69

Chapitre 4 Applicationde le GPC pour un procédé pétrochimique

Description du réacteur 76

4.2.1 Modélisation du réacteur CSTR. 77

4.2.2 Model linaire du réacteur CSTR. 79

Résultats de simulation. 83

Conclusion générale

Bibliographie

Liste des tableaux

Tableau 1.1 List des Symboles.

Tableau 1.2 List des acronymes.

Tableau 1.3 algorithme de Levemberg –Marquardt.

Liste des Figure

Figure 1.1 Comportement naturel d'un conducteur au volant 21

Figure 1.2 Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle 22

Figure 1.3 Schéma de principe d'une commande prédictive à base de modèle 23

Figure 1.4 Modèle CARIMA 25

Figure 1.5 Régulateur polynomial équivalent 30

Figure 1.6 Valeur de N1 pour un système à déphasage non minimal 32

Figure 1.7 Choix de N2 pour un système à déphasage non minimal 32

Figure 1.8 Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=5, NU=1, λ=0 34

Figure 1.9 Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=1, λ=0 34

Figure 1.0 Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=3, λ=0 34

Figure 1.11 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes 36

Figure 1.12 Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes sur la commande et l’incrément de Commande 36

Figure 1.13 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes 37

Figure 1.14 Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes la sortie 37

Figure 2.1 Principe de fonctionnement du GPC MIMO 40

Figure 2.2 Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle 43

Figure 2.3 Structure d’une commande prédictive généralisée cascade 46

Figure 1.1 Modèle utilisée pour la prédiction 11

Figure 3.1 Neurones biologiques 53

Figure 3.2 Neurone formel et fonctions d’activation usuelles 53

Figure 3.3 Réseau PMC à deux couches 55

Figure 3.4 Système dynamique à une entrée et une sortie 55

Figure 3.5 Exemple d’un réseau récurrent 56

Figure 3.6 Illustration de l’apprentissage supervisé 57

Figure 3.7 Illustration de l’apprentissage non supervisé 57

Figure 3.8 Schéma fonctionnel de la NGPC 64

Figure 3.9 Diagramme d'apprentissage d'un réseau de neurones hors ligne 67

Figure 3.10 Exemple d'architecture d'un réseau de neurones 67

Figure 3.11 Sortie prédite et sortie actuelle du procédé 71

Figure 3.12 Signaux de commande pour le système non linéaire 71

Figure 4.1 Une classification des techniques de commande avancées 75

Figure 4.2 Caractéristiques principales des procédés chimiques industriels 75

Figure 4.3 : Schéma du réacteur complètement agité exothermique irréversible 77

Figure 4.4 : Evolution des sorties du réacteurs (température & concentration 81

Figure 4.5 : Signaux de commande (flux d’alimentation et de refroidissement 81

Figure 4.6 CSTR à deux réactants en entrée 82

Figure 4.7 Comparaison de performances entre les stratégies PID et GPC 84

Figure 4.8 Comparaison entre performances et efforts de commande entre les stratégies PID et GPC 84

Figure 4.9 Système de deux (CSTR) en série 85

Figure 4.10 Sorties-référence et commande 87

Figure 4.11 Sorties-référence et commande avec fluctuations e température d'eau de Refroidissement 89

Figure 4.12 : Evolution des états de système 90

Figure 4.13 Sorties-référence, commande avec changement des points de référence 91

Figure 4.14 Très bon apprentissage du réseau (faible erreur) 94

Figure 4.15 Sortie et consigne 94

^1

̂

)

B f

Commande du système Opérateur retard

Bruit blanc Opérateur de différance.

Fonction de cout.

Coefficient de pondération.

Horizon de prédiction minimal ; Horizon de prédiction maximal

Horizon de commande Sortie prédite.

Temps continu Incrément de commande.

La consigne (Référence).

Matrice identité de dimension Matrice de transfert.

Température dans le réacteur.

Concentration du produit résultant.

Débit d'alimentation Période d'échantillonnage.

Débit de refroidissement Bais

Fonction d'activation Connexion Poids d'une connexion

LIST des symboles

Acronymes

Generalized Predictive Control

Functional Predictive Control

Model Predictive Control

Single Input Single Output Multiple Input Multiple Output

Non linear Generalized predictive control

Non linear Cascade Predictive Control

Non linear Network Generalized Predictive control

CSTR Continous Stirred Tank Reactor

PMC Perceptron multicouche

Tableau 1.1 List des acronymes

Gradient Hessien

Introduction Générale

La commande prédictive ou commande à horizon glissant est une technique de commande avancée de l'automatique, elle est née d'un besoin réel dans le monde industriel. Un besoin de système de régulation capable de performances plus élevées que les contrôleurs classiques tel que le régulateur de type PID tout en respectant des contraintes de fonctionnement et de production toujours plus sévères. Sa mise en œuvre pratique dans l’industrie a vu le jour dans le domaine pétrolier et pétrochimique, notamment avec les travaux pionnier de Richelet en 1976.

L’appellation GPC a été depuis largement adoptée comme une dénomination d’une classe de méthodes de contrôles prédictifs à caractères adaptifs.

Si la commande prédictive a connu très tôt un vif engouement dans le secteur de l'industrie chimique et pétrolière, une des raisons tient en partie au fait que c'est la seule technique fournissant une méthodologie susceptible de prendre en compte d'une façon systématique les contraintes lors de la conception et de l'implantation de la loi de commande.

La commande prédictive présente un certain nombre d’avantages, par rapport aux autres méthodes, parmi lesquels on trouve :

 son principe intuitif et le réglage relativement facile de ses paramètres la rendent accessible aux personnes avec des connaissances limitées en automatique.

 elle peut être utilisée pour commander une grande variété de processus, ceux avec des dynamiques simples à ceux plus complexes, par exemple les systèmes à grand retard, à phases non minimales ou instables.

 elle est capable intrinsèquement de compenser de compenser les retards et les temps morts.

 le correcteur obtenu est une loi de commande linéaire facile à implémenter et qui requiert peu de temps de calcul.

 le traitement de contraintes sur le système à commander peut être inclus systématiquement dans la définition du correcteur.

16

 elle est très utile lorsque les consignes ou trajectoires à suivre sont connues à l’avance (cas de la commande de robots industriels).

La GPC est une structure complète qui s’assure de fournir un système corrigé stable pour un jeu de paramètres élaboré. Cette méthodologie permet de résoudre des problèmes de :

 Processus à déphasage non minimal.

 Système intrinsèquement instable ou possédant des pôles mal amortis.

 Système avec temps morts variables ou inconnus.

 Système d’ordre inconnu.

Elle a montré son efficacité, sa flexibilité et son succès dans des applications industrielles, même pour des systèmes à faible période d’échantillonnage.

Le principe de la commande prédictive réside dans la création d’un effet anticipatif.

La mise en place de cette commande nécessite :

 L’élaboration d’un modèle du système à contrôler en vue de réaliser la prédiction du comportement futur de celui-ci.

 La mise en œuvre d’une séquence de commandes futures via l’utilisation d’un critère de minimisation (fonction de coût quadratique).

 Le renouvellement de la procédure à chaque itération. Seule la première commande est prise en compte et appliquée sur le système.

Depuis la fin des années 70, de nombreuses catégories et dénominations de la commande prédictive ont été proposées. La liste ci-dessous propose un aperçu non exhaustif des plus classiques:

 MPHC (Model Predictive Heuristic Control) formulé en Europe par Richal et al. en (1976,1978)[23] ; connue ensuite sous le nom de MAC (Model Algorithmic Control) (26). Cette approche, appliquée aux systèmes industriels multi variables, basée sur des prédictions sur un horizon temporel long,

impose des trajectoires de référence pour les sorties et minimise la variance de l’erreur. Le MAC utilise la réponse impulsionelle du système tronquée aux premiers échantillons [7] cette approche c’est vite étendu et connu un grand succès dans l'industrie pétrolière sérieusement éprouvée par des raisons économique.

 DMC (Dynamic Matrix Control) proposée par les ingénieurs de Shell en et développé aux états- unis-en (1980) cette technique utilise l’incrément de commande à la place de la commande dans le critère de performance pour un horizon fini de prédiction; cet algorithme est appliqué à des systèmes multi variables linéaires sans contraintes ; l'erreur de poursuite est minimisée en spécifiant le comportement futur des sorties; les commandes optimales sont calculées par la méthode des moindres carrés. Cet algorithme était appliqué sur craqueur cathodique.

 EHAC (Extended Horizon Adaptive Control) stratégie de commande prédictive pour les systèmes mono variables, utilise des modèles E/S pour maintenir la sortie future (calculée via la résolution d’une équation diophantienne) le plus près possible de la consigne pendant une période donnée au-delà du retard pur du système.

 EPSAC (Extended Prediction Self-Adapted Control) proposé par de Keyser et van cauwebberghe en 1979 le EPSAC introduit une commande constante pour un système non-linéaire (en linéarisant le système) et utilise un prédicteur sous-optimal à la place de la résolution de l’équation diophantienne ; l’article offre également une démonstration de stabilité.

 GPC (Generalized Predictive Control) présentée par Clark et Mohtadi [9].

cette méthode la plus connue, basée sur un modèle de type CARIMA, introduit un horizon de prédiction sur la commande, agit conformément au principe de l’horizon fuyant et peut être appliquée aux systèmes à non minimum de phase, aux systèmes instables en boucle ouverte, aux systèmes avec retards purs variables ; cette méthode permet donc la prise en compte des contraintes sur les entrée et les sorties en posant un problème d'optimisation quadratique ; le GPC est en ce

18

moment la méthode la plus populaire des méthode de prédiction ,particulièrement pour les processus industrielle pétrolière, elle combine la prédiction du comportement futur du procède avec la commande du rétroaction.

 PFC (Predictive Functional Control) [38] est un algorithme prédictif simple, utilisé surtout pour des systèmes SISO industriels rapides et/ou non linéaires, s’avérant pratique pour l’ingénieur en permettant le réglage des paramètres (par exemple la constante de temps) associées au temps de monté; pour garder la simplicité, une manque de rigueur en performance et surtout dans la garantie des contraints est associée avec cet algorithme.

 CRHPC (Constrained Receding Horizon Predictive Control) propose de prendre en compte des contraints terminales sous forme « égalité » sur la sortie sur un horizon fini Au-delà de l’horizon de prédiction.

 MPC (Model Predictive Control) formulée dans l’espace d’état par Morari utilise le formalisme de la représentation d’état pour faciliter l’analyse de la stabilité et de la robustesse.

En fait, toutes ces variantes de stratégies de commande prédictive sont aujourd’hui regroupées sous le terme générique MPC, illustrant ainsi le rôle fondamental du modèle. Par ailleurs, les dernières années ont été marquées par la mise en œuvre de lois de commande prédictives robustes, un exemple important se trouvant dans qui utilise la technique LMI pour résoudre un problème de type min-max. La commande prédictive non-linéaire (NMPC) a également connu un essor conséquent, avec des applications convaincantes en termes de qualités de réglage, voir par exemple une mise en œuvre très récente dans [37],[39].

Ce bref rappel historique a permis de donner une idée de l’évolution de la commande prédictive, depuis les stratégies « classiques » bien connues maintenant jusqu’aux développements les plus récents en termes de robustesse et d’application à des systèmes non-linéaires.

Parmi toutes les méthodes prédictives reprenant bien sûr les principes exposés précédemment, La commande Prédictive Généralisée est peut-être

celle qui a connu le plus grand nombre d’applications [13] et qui demeure une référence dans le cas de la commande prédictive des systèmes mono variables aujourd’hui, la commande prédictive référencée modèle est une stratégie largement admise et acceptée dans les milieux industriels est particulièrement dans les industries chimiques et pétrochimiques. Avec plus de 2OOO application en 1998 et plus de 4000 application en ; Dans le monde ; sans rajouter les solutions locales développées en interne des entreprises c’est pourquoi ce paragraphe propose une description des idées principales de cette stratégie.

Organisation du mémoire

Ce travail est divisé en quatre chapitres:

Le premier chapitre, introductif, précise le contexte général de la commande prédictive généralisée sans et avec contraintes de point de vu général et conceptuel, il a pour but

de préciser les bases théorique nécessaires à la compréhension de cette technique.

Le deuxième chapitre est consacré à la commande prédictive généralisée multivariable

appliquée à un réacteur chimique ouvert complètement agitée . Le troisième chapitre traite la commande prédictive généralisée non linéaire

où une étude approfondie sur les réseaux de neurone été faite.

Enfin, au quatrième chapitre, des applications sur un procédé pétrochimique sont présentées.

Nous terminerons par une conclusion générale et nous proposerons des perspectives pour travaux éventuels futurs.

Le travail est organisé comme suit:

 Introduction générale.

 Chapitre 1 : Formulation de la commande prédictive généralisée.

 Chapitre2 : Commande prédictive généralisée multivariable.

 Chapitre 3 : Commande prédictive généralisées non linéaire neuronale.

 Chapitre 4: Application à un procédé de l'industrie pétrochimique.

 Conclusion générale.

 Références bibliographiques.

Chapitre1

Formula tion de l a Com m ande Prédicti ve Génér alisée

1.1 Philosophie de la commande prédictive :

Le principe de la commande prédictive est le suivant : un modèle discret du processus permet dans un premier temps de prédire la sortie du système sur un horizon fini. Puis, à chaque instant, en minimisant un critère de performance sur cet horizon fini, une séquence de commande est obtenue dont seul le premier élément est appliqué au système. La même procédure est enfin reprise à la période d’échantillonnage suivante, selon le principe de l’horizon fuyant. Le but est de maintenir la sortie du système la plus près possible de la référence désirée, supposée connue sur l’horizon fini de prédiction de façon à mettre en évidence un certain caractère anticipatif.

La technique prédictive permet en fait de reproduire de façon théorique le comportement intuitif naturellement prédictif ou anticipatif de l’être humain: en

conduisant une voiture le conducteur connaît la trajectoire de référence désirée (le tracé de la route) sur un horizon de commande fini (celui de son champ visuel), le conducteur décide quelle action (accélérer, freiner ou tourner le volant) faut- il réaliser afin de suivre la trajectoire désirée. Seule la première action de conduite est exécutée à chaque instant, et la procédure est répétée à nouveau pour les prochaines actions voir (figure 1.1).

Figure 1.1 : Comportement naturel d'un conducteur au volant

Cette conception consiste à prendre en compte, à l'instant présent, le comportement futur, en utilisant explicitement un modèle numérique du système afin de prédire la

22 sortie dans le futur sur un horizon fini. Cependant il n'existe pas une stratégie unique mais plutôt tout un ensemble de méthodes de commande prédictive, assez similaires bâties autour de principes communs, mais présentant néanmoins quelques différences dans l'interprétation des concepts clés.

Une des richesses de ces méthodes provient du fait que, pour une consigne connue ou pré calculée (au moins sur un certain horizon), il est ainsi possible d'exploiter pleinement les informations de trajectoires prédéfinies situées dans le futur, puisque le but de la stratégie prédictive est de faire coïncider la sortie du processus avec cette consigne dans le futur, sur un horizon fini, en accord avec le diagramme temporel de la figure 1.2.

C'est pourquoi cette méthode apparaît tout indiquée dans les problèmes de poursuite et plus spécialement de suivi de trajectoire. C'est le cas de nombreux servomécanismes et notamment de la commande d'axes en machine outil ou en robotique, domaines où les trajectoires à suivre sont parfaitement connues.

Figure 1.2 : Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle N2

NU

La référence W

La sortie prédite ŷ

Variable de commande U

Temps

K-1 K K+1 …….. K+Nu ……….. K+N2

La sortie précédente y

La mise en œuvre de ce concept nécessite la considération des points suivants.

 Définition d’un modèle numérique du système permettant de réaliser la prédiction du comportement futur du système. Ce modèle peut être obtenu par une discrétisation de la fonction de transfert continue du modèle ou par une identification préalable hors ligne du système. Cette particularité permet de classer la commande prédictive dans la grande famille des commandes à base de modèle, dite ‘MBC’ (Model Based Control).

 Elaboration d’une séquence de commandes futures. Elle est obtenue par minimisation d’une fonction de coût (critère) quadratique, sur un horizon fini, portant sur les erreurs de prédiction futures, écarts entre la sortie prédite du système et la consigne ou une trajectoire de référence future, et sur un terme dépendant de la commande.

Le rôle du calculateur est de générer cette commande, qui sera optimale au sens du critère précédent. La figure 1.3 illustre le principe de la commande prédictive, où l’on observe les commandes u(k) à appliquer au système pour obtenir le ralliement autour de la consigne w(k).

 Seul le premier élément u(k) de la séquence optimale de commande est appliqué sur le système, tous les autres éléments de la séquence sont oubliés.

A la période d’échantillonnage suivante, une nouvelle sortie est mesurée et la procédure complète est répétée. Ce procédé s’appuie sur le principe de l’horizon fuyant (receding horizon).

Les principes de la commande prédictive qui viennent d’être exposés permettent d’établir le schéma de fonctionnement de la figure 1.3.

Figure 1.3 : Schéma de principe d'une commande prédictive à base de modèle Calculateur

(algorithme prédictif) CNA Processus CAN

Modèle P a r t i e n u m e r i q u e

) w(k)

u(k)

24 Avec

: Consigne

: Sortie du processus : Sortie prédite

: Commande appliquée sur le système.

Remarque : Pour les systèmes multi variables, cet algorithme est appliqué simultanément à chaque sortie, il en résulte une commande différente pour chaque entrée du système.

1.2 Mise en œuvre de la commande GPC :

La commande GPC utilise pour la prédiction du comportement un modèle entrée/sortie par fonction de transfert de type CARIMA (Controlled Auto Regressive Moving Average) [9], [10] :

 : Sortie du processus.

 : Commande appliquée au système.

 q^-1 : Opérateur retard.

 : Terme lié aux perturbations, choisi généralement sous la forme ^1 Avec ξ(t) : séquence aléatoire non corrélée centrée.

^{1 1} : Opérateur différence.

Les polynômes ^{1 1 1} sont définis par :

( ^1) ₁ ^1 _na ^na ( ^1) _{0 1} ^1 _{n b} ^nb

( ^1) ₁ ^1 _{n c} ^nc

é .

Figure1.4 : Modèle CARIMA 1.2.1 Fonction de coût quadratique :

Une fois définie l’équation de prédiction, la méthode implique la minimisation d’un critère quadratique à horizon fini. La stratégie GPC minimise une somme pondérée des carrés des erreurs futures entre la sortie prédite et la consigne, et des incréments des commandes futures ce critère est donnée par :

∑ ( ̂ ) ∑ [ ]

Sous l’hypothèse : Avec

 ̂ : sortie prédite à l’instant

 : Incrément à l’instant

 : Consigne appliquée à l’instant Le critère nécessite la définition de quatre paramètres de réglage :

 Horizon de prédiction minimal.

 Horizon de prédiction maximal.

 Horizon de commande.

) (

) (

1 1

q C q







) ( ¹

1 q

q^ B ^

) (

1 q 1

A ^

 



 

 

u + ⁺

26

 Coefficient de pondération. (𝛌 > 0)

1.3 Calcul des sorties prédites:

1.3.1 Résolution d'équation Diophantienne:

Soit l’équation Diophantienne :

(1.6) Avec ( )

En multipliant l'équation (1.1) par on aura :

[ ].

Donc =

(1.8) On utilise l’équation Diophantienne on trouve :

[ ] = (1.9) La meilleure prédiction du bruit, ξ (k), est sa moyenne (nul ici), donc les meilleurs prédictions sont donnée par:

̂ =

1.3.2 Prédicteur optimal matriciel:

En se basant sur le modèle mentionnée en (1.1) et en appliquant les idées de modélisation présentée par Clark et ce coauteur, un prédicteur peut être construit sous forme matricielle avec l’hypothèse .

On se base sur le principe de séparation des commandes, soit alors :

) ( Équation diophantienne) Le prédicteur obtenu en (1. 10) peut réécrit et prendre la forme :

̂(t+j)=









 









 



libre réponse

j

J q y t H q u t

F ( ^1) ( ) ( ^1) ( 1)+













 













 



forcé réponse

j

j q u t j j q t j

G ( ^1) (  1) ( ^1)(  ) (1.12)

Avec :

, , Sont les polynômes solutions uniques des équations diophantienne Suivantes:

{ Pour obtenir le prédicteur optimal, il suffit alors de considérer que la meilleure

prédiction du bruit, ξ(k), est sa moyenne (nul ici), et l’on obtient son équation [30]:

̂

{

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Alors l’équation (1.15) peut être écrite sous forme matricielle ou vectorielle condensée [1]:

̂ ̂ Posons pour cela :

[ ] [ ] ̂ [ ] ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ]

28

G =

 

 







 

 





















2 2 2

2 2

2

1 1 1

1

1 1 1

1

1 1

1 1

1

1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

N N N N

N N

N

N N N

N

N N N

U N

g g

g

g g

g g

=

 

 







 

 



















1 1

1 1

1

2 2

2

1 1

1

1 1 1

1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

U N

N N N

N

N N

N

N

g g

g

g g

g g

(1.23)

La matrice est triangulaire inferieure formée à partir du coefficient des polynômes ; s’identifie en fait aux coefficients de la réponse indicielle du modèle étant la Période d’échantillonnage, avec ces notations le prédicteur optimal à pas ; peut s’écrire Sous forme matricielle :

̂ ̂ )

1.3.3 Critère d’optimisation (la loi de commande prédictive)

La loi de commande est obtenu est calculée à fin de minimiser le critère quadratique suivant:

∑ ( ̂ ) ∑ [ ] Le critère peut s'écrire sous forme matricielle comme suit:

(1.25) La relation du prédicteur est : (1.26) En remplaçant cette dernière dans (1.5) on trouve:

(1.27) est minimal si

qui donne la solution optimal suivant:

[ ] ] (1.28) Où représente la matrice d'identité.

Cette dernière équation fournie les incréments futures de contrôle pour les instants ' à basée sur les informations disponibles à l'instant '. Seulement sera appliquée au système et la commande est telle que :

(1.29) Ainsi seulement G et F sont nécessaires pour déterminer le vecteur des incréments control optimal à appliquer, dont qui représente le premier élement du vecteur qui sera confirmée à l'entrée du processus commandée [30]:

Avec [ ]

La séquence de contrôle future prédite sera : ̂

Avec les matrices:

[ ]

Ou: [ ] de dimension +1) (1.32) Avec : [ ] de dimension (1.33)

1.4 Régulateur RST équivalent :

Selon le principe de l’horizon fuyant, seul la première valeur de cette séquence est applique au système

[ ] ) Avec première ligne de la matrice

il est enfin possible, à partir de la relation ci- dessus, de déduire la représentation polynomiale du régulateur équivalent, comme il est indiqué sur la figure 1.5.

A partir de la relation (1.31) il vient :

[ ] [ ] Cette relation doit correspondre, d’après la figure ( à l’équation :

30

Ce qui fournit par identification les trois polynômes R, S et T constituant le régulateur linaire équivalant :

( ) [ ]

Degré de ( )= max ( . ( ) [ ( )] Degré de ( )= max ( ( ) ] Degré de

1.5 La commande prédictive généralisée avec contraintes :

Dans toutes les techniques de commande prédictive, les variables d’entrées, d’états et de sorties d’un système sont souvent contraintes par leurs domaines de définitions. Ces contraintes sont de natures diverses: limitation physique des actionneurs, spécification de la qualité d'un produit, exigence de sécurité et domaine

T (q)

CNA Processus CAN

R (q^-1)

w u y

+

Figure 1.5 : Régulateur polynomial équivalent

de tolérance pour une sortie, ...etc. Par exemple, en pratique, le Signal de commande doit satisfaire la contrainte du domaine de validité de l’actionneur (son domaine de Fonctionnement). Dans ce cas, si on suppose l’intervalle [ , ] comme le domaine de validité de l’actionneur, alors la contrainte de commande sur s écrit:

≤ ≤ (1.37) Cette contrainte peut aussi s’exprimer par l’incrément de commande )

< < (1.38) Les contraintes sur la sortie sont donnée par :

̂ (1.39) Dans ce cas le problème de la avec contraintes est de minimiser en tenant compte de (1.27) donc en peut écrire J sous la forme [2],[30]:

(1.40)

(1.41) w (1.42) (1.43) Pour résoudre ce problème on utilise la programmation quadratique de Matlab [5].

1.6 Remarques concernant le choix des paramètres du GPC :

 Choix de l’horizon minimal de prédiction

Pour un système ne présentant pas de retard, sinon prend la valeur du retard pure du procédé. Pour un système à déphasage non minimal, est pris égal au nombre maximal d’échantillons durant lequel ce phénomène se produit (valeur de la figure (1.6). Si le retard du système est mal connu ou variable, on convient de choisir

32

 Choix de l’horizon maximal de prédiction

Est choisi de sorte que le produit (T_e période d’échantillonnage) soit égal au temps de réponse désirée du système. Notons que plus est grand, plus le temps de calcul est long.

 Choix de l’horizon de prédiction sur la commande NU

Dans [9], l’auteur a choisi égal au nombre d’états du système mais soulignent que la valeur est très souvent suffisante pour beaucoup d’applications, on choisit en général un horizon de commande relativement réduit. Puisque l’augmentation de l’horizon de commande pose néanmoins un problème au niveau du conditionnement et du temps de calcul. En effet, fixe la dimension des matrices à inverser dans le calcul de voir fig (1.8)

Figure 1.6: Valeur de N1 pour un système à déphasage non minimal

Figure 1.7: Choix de N2 pour un système à déphasage non minimal N0

t y

( t ) y

( t )

N1 N2

Horizon min de prédiction Horizon max de prédiction

 Choix du facteur de pondération de la commande

C’est le paramètre le plus compliqué à régler puisque il influence sur la stabilité du système bouclé. En effet, si est très élevé, il permet de pondérer l'influence des commandes dans l’optimisation et ainsi permet de générer un correcteur plus ou moins énergique donc plus ou moins rapide.

1. 7 Exemples de simulation:

1.7.1 Etude de l’influence des paramètres de synthèse :

Le système utilisé est un système stable en boucle ouverte et à phase minimale a pour fonction de transfert :

La référence est un signal carré périodique d’amplitude 5.

Le fait d’augmenter la valeur de l’horizon de prédiction final N2, nous obtenons une bonne dynamique du système (poursuite du signal de référence) ainsi qu’une commande appréciable.

D’après la figure (1.10), nous avons constaté que l’augmentation de l’horizon de prédiction de commande ne donne pas une bonne poursuite (divergence du signal de sortie).

Donc d’après les simulations réalisée (Figures (1.8), (1.9), (1.10) nous avons constaté que le bon choix des paramètres du synthèse est (N₁, N₂, N_U, )=(1,10,1,0) o nous avons obtenus des résultats nettement meilleur que les autres choix (dynamique de sortie et le temps de réponse).

34 Signaux de Commande Signaux Consigne & Sorties

Figure 1.8: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=5, NU=1, λ=0

Figure 1.9: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=1, =0

Figure 1.10: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=3, =0

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-6 -4 -2 0 2 4 6

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-6 -4 -2 0 2 4 6

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400

-6 -4 -2 0 2 4 6

1.7.2 Etude de l’effet des contraintes :

[a] Contraintes sur la commande et l’incrément de commande :

Dans cette section, on présente l’étude en simulation de la méthode proposée pour commander un système instable linéaire invariant dans le temps.

L’objectif de cette étude est de montrer l’efficacité de l’algorithme pour la commande du procédé en tenant compte des contraintes sur la commande ainsi que sur son incrément.

Le modèle considéré, disposant d’un retard pur d’une période d’échantillonnage (Te=0.1s) est décrit par les polynômes suivants :

Pour effectuer les tests, la référence considérée est un signal carré périodique d’amplitude 2 et 0.

Le signal de commande doit être compris entre -0.5 et +0.5 et l’incrément de la commande ne doit être toléré qu’entre -0.1 et +0.1.

On considère, en premier lieu, le problème de la commande prédictive sans contraintes où on utilise la GPC standard (figures 1.11), puis en deuxième lieu on prend en considération les contraintes mentionnées ci-dessus par l’application de l’algorithme de la programmation quadratique sous contraintes (figure 1.12).

Le coefficient de pondération de la commande est fixé à 0.55, l’horizon de commande Nu est fixé à 1 alors que l’horizon de prédiction N2est fixé à 5.

Ces figures montrent qu’avec la GPC standard, la réponse ne présente pas d’erreur en régime permanent, seulement le signal de commande a violé les contraintes imposées sur la valeur maximale, chose essentielle à respecter.

Pour le deuxième algorithme, i.e. la GPC avec contraintes (CGPC), ces dernières sont bien respectées tout en ayant de bonnes réponses.

36

Commande Consigne & Sortie

Figure 1.11: Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes

Figure 1.12: Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes sur la commande et l’incrément de commande

[b] Contraintes sur la sortie :

On propose, maintenant, le système instable à phase non-minimale décrit par la fonction de transfert discrète suivante (Te=0.1s) :

Ce système présente des dépassements en régime dynamique (figure 1.13). Pour traiter ce problème, on imposera des contraintes sur la variable de sortie qui devrait être comprise entre -2 et 0 (figure 1.14).

Le coefficient de pondération de la commande est fixé à 0.85, l’horizon de commande N_u = 2 et l’horizon de prédiction N₂ = 3.

Commande Consigne & Sortie

Figure 1.13 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes

Figure 1.14: Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes la sortie

38

R é s u m é :

Le début du chapitre constitue une synthèse sur les différents travaux réalisé dans le cadre de la commande prédictive des systèmes. Cette synthèse retrace les contributions importantes qui ont marqué le développement de la commande prédictive.

Il a été question ici des généralités sur la commande prédictive et l'état de l’art concernant cette approche de commande ; ainsi après avoir présenté le principe de base de la commande prédictive ; nous avons détaillée les différents éléments d’une commande prédictive ainsi que les paramètres de réglage, en l'occurrence l'instant de début de prédiction, l’horizon de prédiction, l’horizon de commande et l'horizon du système. En se basant sur ces prédictions, un critère de performance est construit et ensuite minimisée afin d'obtenir une séquence de commande futures; conformément au principe de l'horizon glissant. Seule la première séquence est appliquée au système.

Toute cette démarche prédictive étant réitérée à la période d'échantillonnage suivante.

Pour illustrer le principe de la commande prédictive le modèle a été présenté d’une manière détaillé cette modèle sera appliqué sur un système alors que les résultats de simulation seront présenté pour démontrer les performances du par rapport a un et pour illustrer l'influence des paramètres de réglage.

Chapitre2

Com man de Prédi ctive Générali sée Mu lt ivariabl e

40

2.1 Introduction :

Sans perte de généralités, le principe de la commande prédictive généralisée présenté dans le cas monovariable reste le même dans le cas multivariable.

Cependant, pour traiter les systèmes multivariables, on doit tenir compte de certain spécificités tel que :

 Le modèle utilisé.

 Le calcul du prédicateur.

 Le critère de performance.

 la méthode d’optimisation adoptée.

On présente dans ce paragraphe le cas d’un système à m entrées et m sorties.

Le schéma de principe de l’algorithme du GPC MIMO est représenté par la figure2.1.

Figure 2.1 : Principe de fonctionnement du GPC MIMO

2.2 Modèle de définition :

Identiquement au cas monovariable la structure CARIMA pour un système MIMO adopte le modèle numérique suivant :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Avec

 ( ) : vecteur de m sortie du processus.

 ( ) : vecteur de m signal de commande appliquée au système.

 Opérateur retard.

x(t) : terme lié aux perturbations, choisi généralement sous la forme x(t) = c( ) ξ(t) avec ξ(t) : séquence aléatoire non corrélée centrée.

= ∆ avec est une matrice identité d’ordre m.

∆ ( ) = : opérateur différence.

A ( ), B ( ) sont des polynômes matriciels à operateur de retard ( ^1) ^{1 na} (2.2) ( ^1) ^1 (2.3) ( ^1) ^1 (2.4)

On suppose que ( ) et ( ) est inversible [ ( ) ( ) ] Les Ai et Ci sont des matrices carrées réelles de dimension m, les Bi sont des matrices carrées réelles de dimensions m. De plus la séquence B1,..,Bnb





2.2.1 Factorisation d’une matrice de transfert:

Il s’agit ici de transformer une matrice de transfert en un modèle CARIMA pour étendre l’application de cette méthode de commande sur un système présenté par une matrice de transfert. Pour réaliser cette opération, on suppose que tous les coefficients de la matrice de transfert P ( ) sont irréductibles sachant que :

( ) (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ))

(2.5)

Le lien de u(t) par y(t) sera donnée à l’aide de la matrice transfert ( ) sous la forme:

( ) ( ) ( ) ( )

Utilisant les deux équations (2.5) et (2.6) pour construire le modèle CARIMA comme suit:

( ) ( ) ( ) ( )