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Submitted on 1 Jan 1977
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MICROSTRUCTURES (CLUMPS) DANS LES
PLASMAS TURBULENTS
R. Balescu, J. Misguich
To cite this version:
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C3, supplément au no 8 , Tome 38, Août 1977, page C3-209
MICROSTRUCTURES (CLUMPS) DANS LES
PLASMAS TURBULENTS
R. BALESCU
Faculté des Sciences, CP 231, Université Libre de Bruxelles, Association Euratom-Etat Belge, Campus Plaine U.L.B.
1050 Bruxelles, Belgique et
J. H. MISGUICH
Association Euratom-CEA sur la Fusion, DPh-PFC, Centre d'Etudes Nucléaires, BP 6,92260 Fontenay aux Roses, France
Résumé. - Une analyse générale des corrélations binaires dans un plasma turbulent conduit
à une reiation fonctionnelle reliant celles-ci à la fonction de distribution d'une particule. Une telle relation permet de comprendre le mécanisme de génération de microstructures, ou clumps, intro-
duites par Dupree. Nous montrons que les expressions obtenues par cet auteur apparaissent comme une première approximation de nos équations générales, La nature et l'interprétation de ces micro- structures sont brièvement discutées.
Abstract.
-
A general analysis of binary correlations in a turbulent plasma leads us to a functionalrelation relating correlations to the one-particle distribution function. Such a relation allows us to understand the generation mechanism of microstructures or clumps introduced by Dupree. We
show that expressions obtained by this author appear as a lowest approximation of our general equation. The features and interpretation of these microstructures are briefly discussed.
L'idée originale de l'existence d'une microstructure, sous forme d'agrégats de particules (clumps) dans un plasma turbulent a été introduite en 1970 par Dupree [l] et par Kadomtsev et Pogutse [2]. Elle permettait de comprendre qualitativement, d'une part ia résistivité anormale des plasmas turbulents, et d'autre part l'interaction plasma-faisceau. Dans les deux cas la théorie quasi linéaire (QL) se montrait insuffisante. Dupree et ses collaborateurs [3, 4, 51
ont ensuite élaboré ces concepts en grand détail et ont effectué des simulations numériques qui confir- maient l'existence de ces microstructures. Celles-ci ont fait leur apparition aussi dans d'autres contextes ; mais la littérature révèle une certaine confusion d'idées.
Une excellente discussion qualitative apparaît dans l'article de Engelmann et Morrone [6]. Ils y font apparaître notamment une sérieuse difficulté des théories existantes. Pour comprendre la stabilité de ces microstructures il faut pouvoir mettre en évidence un mécanisme de génération des corrélations binaires de particules à partir de la fonction de distribution d'une particule. En effet, la propagation purement ballistique des couples de particules ne peut pas rendre compte de la longue durée de vie des clumps. Alors qu'un tel mécanisme est bien connu dans les
systèmes collisionnels, il est beaucoup moins clair dans les plasmas non (ou peu) collisionnels, caractéris- tiques du régime thermonucléaire.
Dans un travail récent [7-101 nous nous sommes attaqués au problème à partir d'un point de vue mécanique statistique de non-équilibre. Nous vou- drions donner ici un aperçu des résultats obtenus, en renvoyant le lecteur aux références citées pour les détails et les démonstrations.
Le premier article
[q
est consacré à une analyse générale des corrélations dans un plasma turbulent. On part de l'équation bien connue de Klimonto- vich [Il] pour la distribution microscopique f,, qui est séparée en une partie moyenne7,
et une partie fluctuantefi.
On s'intéressera à la fonction de corré-lation
-
C l 2 =
<
fi fi'
>
-
En généralisant très naturellement les méthodes [12, 131 utilisées dans la théorie des fonctions de distribu- tion Tl, on obtient une équation d'évolution pour les corrélations :
atCI2 =
[El
+
E2
+
Gll+
G2,+
G12+
GZ1+
]
,
:
L
C I ZC3-210 R. BALESCU ET J . H. MISGUICH
où
&
est l'opérateur de Vlasov moyen et Gij est unopérateur dont on peut donner une définition générale et qui, dans les cas simples, se réduit à un opérateur de diffusion généralisé dans l'espace des vitesses :
avec un tenseur de diffusion Dij dépendant de la distance r et de la vitesse relative g des particules i et j
(pour i # j ) ainsi que du spectre des fluctuations du champ électrique self-consistant. est un opérateur nettement plus complexe, qui peut être négligé sans que l'on perde l'effet de microstructure. Les conditions de validité de cette équation sont discutées dans la référence [7]. Le trait saillant de cette équation est l'existence d'un terme de source dans le second mem- bre : c'est précisément ce terme qui est responsable de la génération de corrélations à partir du vide.
On peut en effet montrer que la solution de cette équation, pour une classe importante de conditions initiales, est de la forme :
Ici c 2 ( t , tr) est legropagateur associé à l'équation d'évolution (1) et Vl(t, t') est le-propagateur associé à l'équation d'évolution pour
f,.
La relation fonc- tionnelle (3) entre corrélations et distribution à une particule est semblable à la relation correspondante de Bogoliubov, valable pour les systèmes collision- nels. Elle décrit la création de corrélations par les interactions internes du plasma turbulent.Les expressions formelles du type (3) peuvent être évaluées explicitement dans le cadre d'une approxima- tion appelée « QL 2 », qui représente la première étape au-delà de l'approximation quasi linéaire renor- malisée (QLR). Elle retient, à l'ordre le plus bas, les corrélations
-
- -
de trajectoires, c.-à-d. la propriété VI, # V, V2. Les propagateurs peuvent être calculés explicitement dans cette approximation [8] et on arrive à mettre les corrélations (3) sous la forme :-
c12(t) =
J
dk eikSr tk (r. v I.
v2) xCette forme est très semblable à celle donnée par Dupree [3]. Ici d, est un coefficient de diffusion, fonctionnelle linéaire du spectre des fluctuations du champ électrique, et t, est une grandeur que, faute de
mieux, on appellera la durée de vie des corrélations :
L'évaluation de l'expression (4) est donc ramenée à la solution d'un problème de diffusion turbulente [8], c.-à-d. à l'étude des moyennes de la distance relative et du carré de la fluctuation des distances. En étudiant ces grandeurs, on constate qu'à l'approximation QLR (qui ne contient pas l'effet de clumps) on a :
où
1,
est l'échelle de longueur caractéristique de la turbulence, et t, le temps correspondant. Le compor- tement en t3 est bien connu et est lié à l'amortissementde Dupree. Par contre, si on tient compte de l'effet de corrélation des trajectoires, on obtient pour de petites valeurs de la distance initiale r et de la vitesse relative initiale g :
Ce coefficient tend vers zéro quand r + 0, g + 0. On constate donc une réduction considérable de la diffusion relative. Cette réduction explique le fait que les particules proches l'une de l'autre dans l'espace des phases tendent à rester anormalement longtemps ensemble et forment un clump. On peut définir le
temps de clump t,,. comme le temps nécessaire pour que deux particules, partant à la distance r et à la vitesse relative g diffusent jusqu'à une dispersion égale à
A,
:Dans la référence [9] nous avons calculé cette grandeur et établi des courbes donnant la dépendance de t , , en r et g. On trouve que l'extension spatiale d'un granule à temps de vie t,,, donné est nettement
plus grande que celle trouvée par Dupree. Dans un plasma thermonucléaire typique où l'échelle de la turbulence est de l'ordre de 103 longueurs de Debye, la dimension caractéristique des microstructures est de plusieurs dizaines de longueurs de Debye.
La réduction de la diffusion entraîne à son tour une augmentation anormale des corrélations des particules à petit r et petit g.
Nous montrons enfin que la présence de micro- structures conduit également à une modification de la constante diélectrique du plasma. Il en résulte une interprétation naturelle de la microstructure comme une généralisation du concept de nuage de polarisa- tion de Debye dans un plasma turbulent.
MICROSTRUCTURES (CLUMPS) DANS LES PLASMAS TURBULENTS C3-211
prédites semi-intuitivement par Dupree, comme pre- l'avantage de fournir une base générale à partir de mière approximation d'une théorie des corrélations laquelle on peut envisager l'élaboration d'approxima- dans un plasma turbulent. Notre approche présente tions supérieures.
Bibliographie
[l] DUPREE, T. H., Report IC/70/40, Internat. Centre for Theor. Phys., Trieste (June 1970).
[2] KADOMTSEV, B. B. et POGUTSE, O. P., Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 1155.
[3] DUPREE, T. H., Phys. Fluids 15 (1972) 334.
[4] HUI, B. H. et DUPREE, T. H., Phys. Fluids 18 (1975) 235. [5] DUPREE, T. H., WAGNER, C. E. et MANHEIMER, W. M., Phys.
Fluids 18 (1975) 1167.
[6] ENGELMANN, F. et MORRONE, T., Comments Plasma Phys. Controlled Fusion 1 (1972) 75.
[7] MISGUICH, J. H. et BALESCU, R., rapport EUR-CEA-FC 849 (août 1976) à paraître dans J. Plasma Phys.
[8] MISGUICH, J. H. et BALESCU, R., rapport EUR-CEA-FC 854 (oct. 1976) et N.I. no 1155, à paraître dans Plasma Phys. [9] MISGUICH, J. H. et BALESCU, R., rapport EUR-CEA-FC 859
(nov. 1976) a paraître dans Plasma Phys.
[IO] MISGUICH, J. H. et BALESCU, R., rapport EUR-CEA-FC 860 (déc. 1976) à paraître dans J. Plasma Phys.
[Il] KLIMONTOVICH, YU. L., The Statistical Theory of Non-Equi- librium Processes in a Plasma (Pergamon) 1967. [12] WEINSTOCK, J., Phys. Fluids 12 (1969) 1045.
