GENERATION D’ONDES MODALES DANS UNE STRUCTURE MULTICOUCHE PERIODIQUE, PAR UN FAISCEAU ULTRASONORE BORNE SOUS INCIDENCE

(1)

Conférence Internationale sur le Soudage, le CND et l’Industrie des Métaux, IC-WNDT-MI’10 Oran, 27 - 28 novembre 2010

1

GENERATION D’ONDES MODALES DANS UNE STRUCTURE MULTICOUCHE PERIODIQUE, PAR UN FAISCEAU ULTRASONORE

BORNE SOUS INCIDENCE

Fahim Rahmi⁽¹⁾, Nacera Bedrici-Fraï⁽²⁾⁽³⁾, Philippe Gatignol⁽²⁾, Catherine Potel⁽⁴⁾, Med Ouali Si-Chaib⁽¹⁾

(1)Laboratoire Dynamique Des Moteurs et Vibroacoustique, Université M. B. de Boumerdès 35000, Algérie. rahmifahim@gmail.com , mosichaib@hotmail.com

(2)Laboratoire Roberval, UMR CNRS 6253, Université de Technologie Compiègne, BP 20529, 60205 Compiègne Cedex, France. philippe.gatignol@utc.fr

(3)ESTACA, BP 76121, 53061 LAVAL Cedex 9, France. Nacera.Bedrici@estaca.fr

(4)LAUM, UMR CNRS 6613, Université du Maine, 72 085 LE MANS Cedex 9, France.

catherine.potel@univ-lemans.fr

Résumé

L’objectif de ce travail est de modéliser, en géométrie bidimensionnelle et en régime monochromatique, un problème d’interaction d’un faisceau acoustique émis par un transducteur plan, immergé dans un fluide, avec d’autres milieux de type fluide et en présence d’interfaces planes infinies. Pour cela, on a utilisé la méthode de décomposition en ondes planes basée sur l’intégrale de Fourier pour représenter le faisceau et pour résoudre le problème de la traversée des interfaces infinies. Dans le cas d’une structure multicouche périodique on trouve des angles d'incidence privilégiés pour lesquels le faisceau génère dans la structure des ondes modales mises en évidence dans un travail antérieur et appelées modes de période.

Mots clés : Ultrasons, Ondes Modales, Multicouche, Intégrale de Fourier.

1. Introduction

Les multicouches et les matériaux composites offrent de nombreux avantages par rapport aux matériaux métalliques conventionnels. Ils sont utilisés comme matériaux de structure dans l’aéronautique, le transport automobile, les constructions navales ou dans le bâtiment. Un matériau composite soumis à une sollicitation permanente (prolongée) (contrainte mécanique, choc thermique, agression chimique, irradiation prolongée, …) voit son comportement modifié. La fatigue induite par une telle sollicitation peut se manifester par des signes visibles (micro- fissures, fissures) ou non. Les signes non visibles correspondent néanmoins à une modification des propriétés mécaniques

des matériaux. Cette évolution peut conduire à une fragilisation de la structure ou de l’ensemble mécanique. Le contrôle non destructif par ultrasons est un procédé de recherche de manque de matière (défaut) dans un matériau. Il consiste à observer les échos produits par un défaut lors de la propagation d’une vibration de très haute fréquence et de courte durée dans le matériau contrôlé. La vibration peut être émise puis reçue par un même capteur, appelé transducteur, qui comporte un élément piézoélectrique apte à transformer un signal électrique en vibration mécanique et inversement.

L’impulsion acoustique émise va se propager dans le matériau et être réfléchie par tout obstacle se présentant sur son parcours. Ce parcours de l’onde

(2)

2

ultrasonore définit dans le matériau ce qu’on appelle le faisceau acoustique. A haute fréquence, il est relativement directif et limité dans l’espace. Le faisceau acoustique résultant de l’association d’un transducteur et d’un appareil à ultrasons constitue le véritable outil du contrôleur. Il importe donc de pouvoir le décrire au moyen de paramètres représentatifs et aisés à mesurer. Ceux qui ont finalement été retenus sont la largeur de faisceau. Les ondes acoustiques sont provoquées par la propagation d’une perturbation mécanique : une compression-dilatation locale d’un élément du milieu se transmet à un élément adjacent du fait de son élasticité, et ainsi de proche en proche se propage en s’éloignant de la source de la perturbation. Une telle onde nécessite un support matériel élastique pour pouvoir se propager (gaz, liquide ou solide) ; les caractéristiques mécaniques de ce support fixent la rapidité (dite célérité) de la propagation de la perturbation. Le développement des méthodes théoriques et numériques pour la simulation des techniques ultrasonores en Evaluation Non Destructive des matériaux, et notamment des milieux multicouches de type composites, est en plein essor. Ces techniques, qui sont de plus en plus utilisées, notamment dans l’industrie aéronautique, nécessitent des méthodes de contrôle plus performantes dont la mise au point passe en effet par une phase préalable de simulation. Simuler complètement une expérience suppose la maîtrise de la propagation des ondes dans les milieux multicouches, une représentation réaliste du faisceau ultrasonore émis par le transducteur et une bonne analyse de la nature des défauts (géométrie, position, ...) et de leur modélisation. L’interaction d’un faisceau ultrasonore avec une structure multicouche est d’un intérêt certain pour la mise en œuvre de procédés de contrôle non destructifs par ultrasons. Le présent travail concerne des structures périodiques à comportement fluide. L’étude est faite en bidimensionnel pour des ondes

monochromatiques. Il a été montré, dans

[1], que de telles structures sont le siège d’ondes modales de deux types : les ondes de période et les ondes de structure. Pour étudier l’interaction d’un faisceau acoustique borné avec une structure multicouche plane, la méthode générale consiste à utiliser une décomposition du faisceau, émis par un transducteur plan immergé dans un milieu (fluide) externe, en ondes planes monochromatiques^[2]. On détermine aisément l’interaction de chaque onde plane avec la structure multicouche.

Une recomposition de Fourier spatiale permet ensuite d’obtenir les champs de pression dans chaque couche ainsi que dans le milieu externe. Plusieurs exemples sont traités ici, montrant, sur des cartographies, la génération des modes de période pour certains angles d'incidence du faisceau. Un examen attentif des coupes de pression perpendiculaires à la structure permet de préciser la valeur de ces angles.

La génération d’ondes modales dans une structure matérielle trouve son intérêt dans le fait que ces ondes sont capables de se propager assez loin le long de la structure et de permettre ainsi de détecter des défauts, en particulier situés sur les interfaces internes ^[3]. Plus généralement, lors de l’interaction d’un faisceau ultrasonore avec une structure immergée dans un fluide, et sous certains angles d’incidence critiques, on peut observer l’apparition d’ondes modales généralisées, à savoir : une onde de Rayleigh sur une interface fluide/solide ^{[4, 5]}, une onde de Stoneley sur une interface Solide/Solide ^[6]

ou une onde de Lamb dans une plaque immergée dans un fluide. En général, lorsque les structures sont dans le vide (fluide léger) ce type d’onde se propage le long de l’interface jusqu’à l’infini dans le cas de l’onde de Rayleigh ou de l’onde de Stoneley, et le long de la plaque pour une onde de Lamb ^{[5, 7]}. Mais la présence du milieu fluide, externe à ces structures, provoque un rayonnement de ces ondes dans ce fluide au cours de leur

(3)

3

propagation. Ce phénomène induit une perte d’énergie et par suite une atténuation de l’onde modale (d’interface ou guidée).

L’écriture des conditions aux limites pour chacune des structures vide/solide, solide/solide et vide/solide/vide puis l’annulation des déterminants permet de trouver les vitesses de phase, d’où les angles critiques correspondant à chaque onde modale vue du fluide externe ^{[3, 8]}. En fonction de la nature des défauts recherchés, il peut s’avérer intéressant d’utiliser ces ondes modales, qui comprennent les ondes guidées, les ondes de surface et les ondes d’interface. Ce sont des modes de propagation pour lesquelles l’énergie acoustique se propage le long de la ou des interfaces tandis qu’elle reste bornée dans une direction perpendiculaire à ces interfaces. Lorsqu’une faible partie de l’énergie de l’onde modale se transmet dans le milieu entourant la structure étudiée (cas d’une pièce plongée dans l’eau), c'est-à-dire lorsque le rapport des impédances acoustiques est assez faible, l’onde se propage le long de la structure pour un nombre significatif de longueurs d’onde. L’onde modale prend alors le nom d’onde modale généralisée. Les méthodes de Contrôle Non Destructif font appel à des techniques ultrasonores qui mettent en jeu des faisceaux acoustiques bornés venant insoner des milieux anisotropes plongés dans un fluide. Selon la configuration de contrôle, des ondes modales, telles les ondes de Lamb ou de Rayleigh, sont excitées localement dans la structure. Le faisceau incident, de par sa nature bornée, va alors donner naissance à un faisceau d’ondes modales dans la structure, faisceau qui rayonne ensuite dans le milieu environnant. En raison de l’anisotropie du matériau, la direction du faisceau d’ondes modales subira en général une déviation par rapport au plan sagittal du faisceau borné incident ^[9]. La méthode de décomposition en ondes planes est déduite d’un formalisme développé initialement en optique ^[10]. Elle est basée

sur la décomposition en ondes planes d’une onde monochromatique quelconque de pulsation . Cette décomposition est obtenue par une simple transformation de Fourier si l’onde est connue dans un plan émetteur. La propagation de chacune de ces ondes puis une recomposition par transformée de Fourier inverse permettent de déduire le champ dans tout autre plan.

Cette méthode à été utilisée par plusieurs auteurs [3, 8, 11, 12, 13]

. Dans un premier temps, le champ ultrasonore est ainsi décomposé en une somme d’ondes planes monochromatiques. On écrit ensuite les conditions aux limites pour chaque onde plane sur les interfaces planes séparant les différents milieux qui constituent la structure à étudier. Cette méthode conduit à un système linéaire qui permet de déterminer les rapports d'amplitude des diverses ondes. Enfin, par sommation des ondes monochromatiques planes ainsi obtenues, on calcule le champ réfléchi ou transmis par la structure, sous l’action du faisceau incident. Pour engendrer les ondes modales généralisées par le faisceau, on recherche un angle d’incidence de l’axe acoustique du faisceau avec la normale aux interfaces proche de l’un des angles critiques définis en ondes planes (Rayleigh, Stoneley ou Lamb). Ces ondes sont très utilisées dans le contrôle non destructif : les ondes de Rayleigh et de Stoneley sont appropriées au contrôle des surfaces et des interfaces entre les milieux

[14, 15]

, les ondes de Lamb sont utilisées pour détecter les défauts situés dans des plaques ou dans des conduites ^{[16, 17]}. 2. Principe de la méthode de décomposition en ondes planes

Le modèle consiste à décomposer en ondes planes un faisceau monochromatique de pulsation . En bidimensionnel, cette décomposition est obtenue par une simple transformation de Fourier si l’onde est connue dans un plan de référence contenant la face vibrante du transducteur

(4)

4

(figure 1). La propagation de chacune de ces ondes planes, puis une recomposition par transformée de Fourier, permet de déduire le champ dans le milieu d’immersion du transducteur. En outre, le champ acoustique peut être déterminé dans un second milieu (dans cette étude il s’agit également d'un fluide), si ce dernier est séparé du milieu contenant le transducteur par une interface plane homogène.

Figure 1. Géométrie du problème Dans l’espace physique, le potentiel de déplacement incident dans le fluide peut être construit en tout point ^{M x z}



_e^, _e



^,

comme une superposition d’ondes planes de vecteur d’onde k0



k_xe,k_ze



.

Pour les milieux fluides parfaits dans lesquels n’intervient aucune viscosité, le tenseur des contraintes est sphérique (on n'a que des contraintes normales et pas de contrainte de cisaillement) [1, 8, 18, 19]

.

2 2

ˆ ˆ

. _z _z _z (1)

T e e T e

  t 

 ^ 

 



  

L’indice 



^ ^^{0,1,... .}



désigne le milieu concerné.

On rappelle que la dépendance temporelle, choisie sous la forme e^^{i t}^, est sous- entendue dans cette écriture.

Le milieu est homogène et supposé isotrope, de vitesse de propagation C₀. La composante k_ze du vecteur se déduit de k_xe par la relation de dispersion :

     

² ² ₀ ² ²

0

(2)

xe ze

k k k

C

 

    

Où k₀: est le nombre d’onde dans le milieu (0).

On distingue deux cas de selon la valeur de

0_ze: k

 Si k_xe k₀, k_ze prend des valeurs purement réelles : l’onde correspondante est propagative.

Le signe de k₀_ze est choisi positif de telle sorte que les ondes soient rayonnées vers les z_e positifs.

 Si k_xe k₀, k_ze prend des valeurs purement imaginaires : l’onde correspondante est évanescente.

Le signe de la partie imaginaire est choisi positif de telle sorte que les ondes décroissent vers les z_e positifs.

Le champ de déplacement dans le milieu se déduit de l’expression du potentiel (pour un milieu fluide) :

   

0_inc , _inc , (3) u x z grad x z

En particulier, pour la composante selon l’axe Oz_e:

   

^ ^

, , ^{i k x}^{xe e} ^{k z}^{ze e} ,(4)

ze inc e e ze e xe xe

u x z ik A k e dk

 







On déduit le déplacement sur le plan émetteur 0, 0



, 0 .



e zeinc e e

z  u x z 

   

, , 0 ^{ik x}^{xe e} , (5)

ze inc e e ze e xe xe

u x z ik A k e dk





 



Où le premier membre est supposé de forme Gaussian donnée comme suit :

 

²

, , 0 0exp ^e (6)

ze inc e

u x U x

a

   

   

On reconnaît dans cette expression une transformation de Fourier spatiale de variables conjuguées k_xe, .x_e On déduit l’amplitude A ke

 

xe du potentiel de déplacement en utilisant la transformée de Fourier inverse :

(5)

5

 

¹ _,



^, ⁰



2

. ^{xe e} (7)

e xe ze inc e e

ze

ik x e

A k u x z

i k

e dx















L’amplitude A ke

 

xe étant désormais connue, le potentiel 



x ze^, e



et les autres grandeurs physiques qui s’en déduisent peuvent être déterminés par le calcul d’intégrale de Fourier telles que :



^,

  

^{i k x}^^{xe e} ^{k z}^{ze e}^ ⁽⁸⁾

inc x ze e A ke xe e dkxe

 ^ ^







3. Interaction d’un faisceau ultrasonore avec une structure multicouche

3. 1. Changement de repère

Soit ^{R O x z}



^{, ,}



le nouveau référentiel orthonormé, lié à une interface située à une profondeur d₀ séparant le fluide F0 d’un fluide F1, _inc l’angle d’inclinaison de la normale au plan du transducteur par rapport à la normale à l’interface (voir figure 1). On note

 

^{x z}^, les coordonnées d’un point dans ce repère et



k kx^, z



les composantes du vecteur d’onde k

dans la base associée. Le module de k

est égal à

0

k k

C

  précédemment défini. Les valeurs



k kx^, z



sont données en fonction de



kxe^,kze



^; et de l’angle d’incidence _inc. sous la forme :

cos sin

(9)

sin cos

x xe inc ze inc

z xe inc ze inc

k k k

 

 

   



Dans le nouveau repère, l’expression du potentiel (9) s’exprime sous la forme :

 

^,

 

^{i k x k z}^^x ^z ^ (10)

inc x z A ke xe e dkxe

 ^ ^







Avec :

 



OM . k₀

xe e ze e x z ,

k x k z k x k z

En raison de l’invariance du produit scalaire et où k_x et k_z dépendent de k_xe par les relations (9), et par la relation de dispersion (2).

3.2. Détermination des champs réfléchi et transmis

La méthode de décomposition en ondes planes exposée ci-dessus permet de déduire les potentiels de déplacement, dans le cas d’un milieu fluide, des ondes transmises à travers l’interface fluide/fluide sous incidence oblique. En traversant l’interface, chaque onde plane se réfracte et donne naissance dans le milieu fluide F1 à une onde de compression, et se réfléchit pour donner naissance à une onde de compression également dans le milieu fluide F0 (voir figure 2).

Figure 2. Problème d’interaction d’un faisceau ultrasonore avec un milieu semi-

infini

Ces ondes sont obtenues par multiplication de l’amplitude de l’onde incidente (calculée au niveau de l’interface) par le coefficient de transmission de d’onde dans le milieu fluide F1 et par le coefficient de réflexion dans le milieu F0. Pour trouver ces coefficients on commence par écrire les potentiels de déplacement complexes des ondes monochromatiques dans chaque milieu. Les coefficients sont tels que les amplitudes de déplacement des ondes incidentes, réfléchies et transmises soient référencées à l’interface, c’est-à-dire en

0. zd

(6)

6

On a ainsi pour les champs globaux dans les milieux (0) et (1) :

Milieu fluide F0

    

^ ^

 

^ ^



0 0

0

,

(11)

z

z x

ik z d e xe

ik z d ik x

xe xe

x z A k e

B k e e dk

 ^ ^



 

 





^

 

   



Milieu fluide F1

   

¹^ ⁰^

1 x z, A k1 _xe e^ik^z ^{z d} e^{ik x}^x dk_xe (12)

 ^ ^







^ ^

   

Avec :

0 0 (13)

ik dz

e e

A  A e ^

3. 3. Conditions aux limites et calcul des champs de déplacements

L’interaction de chaque onde plane monochromatique constituant le faisceau incident avec une structure à trois milieux fluides (figure 2) peut être calculée en écrivant le système des conditions aux limites sur chaque interface.

Ces conditions expriment la continuité de la composante normale des déplacements ainsi que de la pression (contrainte normale) en zd₀ et zd₁:

   

0 0 1 0 0

1 1 2 1 1

, ; , ; , ;

z z

u x z d t u x z d t x z d t

T x z d t T x z d t x z d t

u x z d t u x z d t x z d t

T x z d t T x z d t x z d t

     

Le champ de déplacement réfléchi dans le milieu fluide (0) est donné sous forme d’une intégrale de Fourier :

 

, 0 0

 

^{i k x k}^ ^x ^z⁰^^{z d}⁰^^ (14)

ref z xe xe

u x z ik B k e dk

  



 



De la même façon, on peut écrire les deux expressions des champs de déplacement dans les deux autres milieux (1) et (2) :

    

^ ^

 

^ ^



1 0

1 1

1 1 1

1

,

, (15)

z

z x

ik z d

z z xe

ik z d ik x

xe xe

u x z ik A k e

B k e e dk

 



 







   

²^ ¹^

2_z , _z2 2 _xe ^ik^z ^{z d} ^{ik x}^x _xe, (16)

u x z ik A k e e dk

 







4. Génération d’ondes modales dans une structure multicouche

L'espace physique est à présent structuré en plusieurs milieux de types fluides, séparés par des interfaces planes.

4. 1. Géométrie du problème

Considérons un transducteur de type plan, de rayon a, incliné d’un angle _inc par rapport à la normale à l’interface de la structure. Ce transducteur est immergé dans un milieu fluide (0). Le champ de déplacement sur la face avant du transducteur est supposé connu. Il est simulé dans ce travail par une expression de type gaussien (équation (6)). Les autres milieux de propagation sont de types fluides avec des caractéristiques différentes. Comme cas particulier, on considérera une structure multicouche périodique à comportement fluide (voir référence ^[1]) insérée entre deux milieux fluides identiques.

On généralise le formalisme mathématique écrit dans le cas d’une structure à trois milieux.

On peut décrire le champ dans l’une des couches du multicouche, par exemple la couche ^{n q}



^z^q¹ ^z ^z^q



^, qui pourra être représentée, dans l’hypothèse d’une structure à comportement fluide, par son potentiel de déplacement sous la forme de deux intégrales d’ondes planes (les ondes qui évoluent vers les z croissants, dites de

‘’type A’’ et celles qui évoluent vers les z décroissants, de ‘’type B’’).

Donc, on aura comme expression du potentiel de déplacement :

(7)

7

    

^ ^

^{ }

 



^ ^

1

, ;

. (17)

zq q

zq q x

ik z z

q q xe q x

ik z z i k x t

xe

x z t A k e B k

e e ^ dk

 ^



 



  





^{ } 

  

    

Où k_zq: est le nombre d’onde, selon la direction z constituant la couche et où l’on a choisi l’origine des phases d’amplitudes sur l’interface d’entrée de la couche :

q. zz

 

L’expression du déplacement est donnée par l'intégrale suivante :

    

^ ^

 

^ ^



^ ^

1

, ;

(18)

zq q

zq q x

ik z z

q zq q x

ik z z i k x i t

q x

u x z t ik A k e

B k e e ^



  





 

  

   



La contrainte s'exprime simplement sous la forme :

 

²



^{, ;}



(19)

q q q

T z     x z t 

4. 2. Mise en œuvre informatique

On a développé un modèle numérique écrit sous le logiciel Matlab qui permet de calculer les champs acoustiques dans les milieux de propagation étudiés théoriquement. Ces champs résultent de la superposition d’ondes planes monochromatiques. Le modèle permet de calculer le champ dans le premier milieu (fluide F0) ou après la traversée de plusieurs interfaces de type fluide/fluide de caractéristiques différentes sous une incidence normale ou oblique. Les calculs numériques ont été effectués en géométrie bidimensionnelle. Au niveau du transducteur, on a choisi de modéliser la répartition du déplacement normal par une Gaussienne (voir figure 1 et équation (6)).

Cette hypothèse a l’avantage d’être facile à mettre en œuvre grâce à son expression analytique connue. Le calcul de la transformée de Fourier est largement utilisé dans cette méthode pour décomposer le champ en ondes planes et

pour le recomposer. Le calcul des intégrales de Fourier est basé sur un algorithme utilisant une méthode de trapèzes. Cet algorithme nécessite un bon choix d’échantillonnage, avec un pas suffisamment petit afin d’éviter les problèmes de repliement. Dans certaines circonstances, il peut être avantageux de calculer l'intégrale sur un trajet complexe de la variable k_xe (voir référence ^[11]).

5. Résultats numériques

5. 1. Cas d’une structure bi-couche

Dans cette partie, on génère les ondes modales de période dans une structure multicouche périodique. On commence avec une structure à période bi-couche. On a considéré trois cas de configuration pour générer ce type d’onde modale. En faisant varier progressivement l’angle d’incidence degré par degré, à partir de  0 ,⁰ puis plus finement si besoin est, et en observant la cartographie, on peut voir à peu près à quels angles les modes sont générés. La coupe du champ réfléchi en module de pression donne aussi des renseignements, car lorsqu’un mode est généré, elle présente un creux marqué, de valeur presque nulle, séparant deux maxima.

Celle de gauche correspond à la réflexion directe du faisceau incident sur l’interface supérieur, et la bosse droite à la réémission progressive dans le fluide supérieur du mode qui a été généré dans la structure.

Cette dernière décroît plus lentement que celle de gauche.

Tableau 1. Ondes modales de période et leurs angles modaux pour une période bi- couche.

1^er Cas de configuration

(8)

8

0 1 2 3

0 1 2 1...2

60, 40, 20, 60,

310, 32, 210, 0.5

k k k k

   h

   

  

Mode de période Angles modaux

[6-3]  _7.72⁰

[6-2]  _14.85⁰

[5.5-1]  _18.22⁰

2^ème Cas de configuration

0 1 2 3 0

1 2 1 2

60, 40, 20, 60, 3 ,

10

3 , 2 , 0.3, 0.7

2 10

k k k k

h h



 

    

   

[4-4]  _7.55⁰

[4-3]  _13.23⁰

[4-2]  _15.77⁰

[3-2]  _17.66⁰

[3-1]  _19.3⁰

3^ème Cas de configuration

0 1 2 3

0 1 2 1...2

120, 80, 40, 120,

110, 32, 115, 0.5

k k k k

   h

   

[13-6]  _4.55⁰

[12-6]  _8.4⁰

[12-5]  _11.98⁰

[12-4]  _14.83⁰

[12-3]  _16.42⁰

[11-3]  _17.35⁰

[11-2]  _18.46⁰

[11-1]  _19.22⁰

1^er Cas de configuration

a)

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/a

P

Ps0r

Figure 3. Génération du mode [6-3], a) Cartographie des champs de pression,

b) Coupe longitudinale du module de pression réfléchie dans F0 pour une

structure bi-couche avec  7.72⁰ 2^ème Cas de configuration

a)

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/a

P

Ps0r

structure bi-couche avec  7.55⁰ 3^ème Cas de configuration

a)

(9)

9

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x/a

P

Ps0r

structure bi-couche avec  4.55⁰ 5. 2. Cas d’une structure tri-couche Dans le cas d’une structure à cinq milieux, on aura une période unique, cette période étant constituée de trois couches.

Tableau 2. Ondes modales de période et leurs angles modaux pour une période tri- couche.

0 1 2 3 4

0 1..2 3 1...2

60, 40, 30, 20, 60,

3 , 3 , 2 , 1 .

10 2 15 3

k k k k k

   h

    

   

  

Mode de période Angles modaux

[4-3-2]  _8.6⁰

[3-2-2]  _16.6⁰

[3-2-1]  _19.6⁰

a)

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

z/a

P

Ps0r

Figure 6. Génération du mode [4-3-2], a) Cartographie des champs de pression, b) Coupe longitudinale du module de

pression réfléchie dans F0 pour une structure tri-couche avec  8.6⁰

a)

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

z/a

P

Ps0r

Figure 7. Génération du mode [3-2-1], a) Cartographie des champs de pression, b) Coupe longitudinale du module de

pression réfléchie dans F0 pour une structure tri-couche avec  16.6⁰

a)

(10)

10

b) ^-2 ⁰ ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

z/a

P

Ps0r

Figure 8. Génération du mode [3- 2-1],

a) Cartographie des champs de pression, b) Coupe longitudinale du module de

pression réfléchie dans F0 pour une structure tri-couche avec  19.6⁰ 5. 3. Discussion des résultats

Les modes de période exacts correspondent aux ondes modales qui se propagent dans une telle bi-couche (ou tri-couche) placée dans le vide (pression nulle sur les deux interfaces extrêmes). Mais rien n’indique qu’il doit y avoir un nombre exact de lignes de ventre dans chaque couche de la période. Ainsi, dans le cas de la période bi- couche, comme le milieu fluide F2 est plus dense, il va un peu se comporter pour F1 comme une paroi rigide sur laquelle au contraire la pression dans F1 serait maximale ^[1]. C’est pourquoi, à peu de choses près, on pourra observer des modes de période pour lesquels le nombre de maxima de pression observé dans F1 sera un nombre entier plus 1

2 puisque sur l’interface avec F2 la pression sera maximale. Mais ce maximum ne sera pas symétrique du fait de la décroissance rapide dans F2. Par contre, dans F2, on peut assez nettement compter les lignes de ventre.

Les ondes modales de période sont indépendantes du nombre de périodes dans le cas d'une structure effectivement périodique, présentant une répétition du motif bi-couche étudié en 5. 1. Cette étude est donc applicable à une telle structure, et les angles modaux sont les mêmes On

montre que ces modes sont localisés dans les bandes d’arrêt ou sur leurs frontières ^[1]. Toutefois, pour une structure à plusieurs périodes, le motif de période ne s’installe pas immédiatement après la zone d’impact, mais progressivement de la première période vers les suivantes. Il serait intéressant d’aller plus loin en x, jusqu’à 15 ou 20, et de faire une coupe perpendiculaire à cette distance pour voir si les amplitudes s’équilibrent sur trois périodes, comparativement à ce que donne une coupe perpendiculaire assez proche de la zone d’impact.

En réalité, le transducteur émet un faisceau (faisceau borné) centré sur un axe acoustique parallèle au vecteur d’onde principal du faisceau (qui véhicule le maximum d’énergie dans le faisceau). Pour cette raison, l'angle effectif pour lequel un mode est généré ne correspond pas exactement à l'angle qui serait calculé à l'aide de la relation de dispersion modale.

6. Conclusion

Le formalisme de décomposition en ondes planes monochromatiques, en utilisant une transformation de Fourier spatiale, d’un faisceau ultrasonore borné émis par un transducteur est un outil très puissant pour la simulation des techniques de contrôle ultrasonores. Il permet d’étudier l'interaction d’un tel faisceau avec une structure multicouche plane.

Dans le cas d’une structure constituée de couches à comportement fluide, et présentant une propriété de périodicité, on a pu déterminer les angles d’incidence pour lesquels ce faisceau génère des ondes modale dites de période.

Dans les configurations étudiées, avec deux types de périodes, le premier de type bi-couche, le second de type tri-couche, on a réussi à générer les modes de vibration dans la zone intermédiaire d’une structure multicouche et à déterminer leurs angles d’apparition.

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11

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