Théorie cinétique des plasmas interaction matière-rayonnement III. Interaction entre un rayonnement intense et un plasma par effet compton induit

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Submitted on 1 Jan 1968

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Théorie cinétique des plasmas interaction matière-rayonnement III. Interaction entre un rayonnement intense et un plasma par effet compton

induit

J. Peyraud

To cite this version:

J. Peyraud. Théorie cinétique des plasmas interaction matière-rayonnement III. Interaction entre un

rayonnement intense et un plasma par effet compton induit. Journal de Physique, 1968, 29 (10),

pp.872-876. �10.1051/jphys:019680029010087200�. �jpa-00206726�

THÉORIE CINÉTIQUE DES PLASMAS

INTERACTION MATIÈRE-RAYONNEMENT

III.

INTERACTION ENTRE

UN RAYONNEMENT INTENSE ET

UN PLASMA

PAR EFFET

COMPTON

INDUIT

Par

J. PEYRAUD,

Laboratoire de Physique ^des Plasmas, Faculté des Sciences, Orsay.

(Reçu

^{le 29 mars}

1968.)

Résumé. 2014 Cet article fait suite à deux articles

précédents [1],

[2] ^{où l’on a} montré que l’interaction

Compton

n’était pas

négligeable

pour les rayonnements

monochromatiques

intenses.

On étudie

plus spécialement

l’interaction entre un

plasma

^{et un} rayonnement ^{laser. On}

prévoit

^un

décalage

^vers les basses

fréquences

^du faisceau laser

(perte d’impulsion

^des

photons)

et un

chauffage

^des électrons, lors de la traversée du

plasma

par ^le faisceau laser. On compare

qualitativement

^l’effet

Compton

^{et le «}

bremsstrahlung

^{» sur les neutres.}

Abstract. ²⁰¹⁴ This paper ^is the continuation of two

previous

papers

[1], [2]

^{where we have}

shown that the

Compton

interaction was not

negligible

for intense monochromatic radiation.

Here, ^we

mainly study

^the interaction between a

plasma

^{and a laser} radiation. We

predict

^{a shift to the low}

frequencies

of the laser beam

(photon

^momentum

loss)

^{and a}

heating

of the electrons

during

the interaction between the

plasma

^and the laser beam.

We compare

qualitatively

^the

Compton

^{effect and the inverse}

bremsstrahlung

^{on the}

neutrals.

Cet article fait suite

(1)

^a deux articles

prece-

dents

[1]

^et

[2].

¹¹

reprend

^{les memes notations et la}

meme num6rotation des formules.

On fait les

hypotheses

fondamentales suivantes :

a)

^La fonction de distribution

electronique

^{est iso-}

trope

^{et sa}

temperature cin6tique

moyenne ^est fixée _par le bilan

energetique;

b)

^Le

rayonnement

^est suffisamment intense _pour que les ^termes d’6mission induite

(cf. § 1.2)

^soient

dominants.

Avec ces

hypotheses,

^{la formule}

(80) qui

^{fixe le}

transfert

6nerg6tique Compton

^{s’6crit :}

(1)

^{Il constitue le} § ^IV de l’etude

entreprise

^en

[1]

et [2].

et la relation

(76)

caractérise 1’action des electrons sur

la distribution

N(v)

^des

photons (2) :

I V.I. Cas des

rayonnements

tres monochroma-

tiques.

^{- Pour un}

rayonnement

absolument mono-

chromatique (N(v)

⁼

N(9) 8(v

^-

vo)),

les calculs

precedents (cf. §§ I,

^{II et}

III) qui portent

^{sur des}

d6veloppements

^limites par

rapport

^a l’infiniment

petit :

ne sont pas valables.

(2)

^{Le flux dO de}

photons

traversant ^un element dS

a pour

expression :

(xz

est le vecteur unitaire defini par ^{v =}

vn).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019680029010087200

873

Soient Av la

dispersion

^en

frequence, 200 l’ouverture angulaire

^et

Qo

l’étendue solide

(00

⁼

27r (1 -

^cos

00))

du

rayonnement

consid6r6. Les

int6grales (98)

^et

(99) qui donnent B a W,, at )9

^et

^{J,,[N(v)] portent}

^{sur les termes}

d’6missions induites

(termes

^en

N(v) lV (v’)

^{des rela-}

tions

(11)

^et

(62)),

^{et on ne} doit retenir que les inter- actions

Compton qui

^satisfont

l’in6galit6 :

La relation

(100)

^montre que pour les

rayonnements

laser usuels où

/iv

>

hV2)

la relation

(101) peut

s’ecrire :

( ^v mc ) ⁽

(20

^est

F angle (n, 92’)

^et

Pilla

composante ^{de p}

paral-

lèle a

12 - 12’).

Le nombre

An,,

d’61ectrons par unite de volume

qui

satisfont a la relation

(101)

^{est :}

FIG. 1. ^- Geometrie de l’interaction.

Cette relation se

simplifie

^{si l’on suppose :}

et l’on obtient :

electrons _par unite de volume

qui

^{satisfont a la condi-}

tion

(101).

Les relations

(98)

^et

(99) s’appliquent

^a

ces

An,, electrons,

il convient donc

d’y remplacer ne

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. ^- T. 29. No 10. OCTOBRE 1968.

par

flne

^{ou, ce}

qui

^{revient au}

meme,

^{à en}

prendre

la fraction :

Inf

signifie

que l’on

prend

^le

plus petit

^{des deux}

nombres

figurant

dans 1’accolade.

La relation

(105)

^{est une relation}

approch6e qui

donne une valeur

semi-quantitative

pour les

intégrales

consid6r6es.

IV. 2. Action du

rayonnement

^{sur la}

tempdrature électronique.

^- Conform6ment aux

hypotheses

^sim-

plificatrices

^de

depart,

^nous supposerons que la ^tem-

p6rature electronique

^est fixée par le bilan

6nerg6tique (ce

^{cas est celui des «}

plasmas

intermediaires »

[3]).

Le terme de

gain d’6nergie

par effet

Compton

s’6crit a 1’aide des relations

(98)

^et

(105) :

Pour un

rayonnement

uniformément

r6parti

^{dans un}

cone

d’angle

^solide

Qo,

d’ouverture

200 petite,

^on

peut prendre :

et la relation

(106)

^{s’6crit :}

La

poursuite

du calcul demande la connaissance de

N(v) mais,

^{vu les}

approximations ^faites,

^{il est}

logique

d’ecrire :

En introduisant l’intensit6 totale

Io [flux d’6nergie] :

La relation

(107)

^{devient :}

IV . 2 .1. APPLICATION A DEUX CAS PARTICULIERS. ^-

Dans ces deux

applications,

^on

n6glige

^{les termes}

d’6change d’6nergie

^autres que 1’effet

Compton,

^ce

qui

^{revient a} écrire que la

temperature electronique

6volue suivant la loi :

L’ensemble des

6quations (111)

^et

(110)

permet ^de calculer une

fréquence

de transfert de

1’6nergie

par effet

Compton

^et par suite de chiffrer

l’importance

^de

cet effet.

IV.2.1

a)

^{Cas d’un}

rayonnement presque parallèle.

^-

QO

^{est alors tr6s}

petit

^et l’on choisit _[J. ⁼

1,

^{de sorte}

que :

11

Pour un laser a verre au

n6odyme

^{dont les carac-}

t6ristiques

^{seraient :}

on obtient :

ce

qui

^{est tr6s faible.}

IV . 2 .1

b)

^Au

foyer

d’une lentille de courte distance

focale.

^{- Dans ce cas :}

Avec le meme

laser,

pour ^une tache focale de

0,1

mm,

on

peut prendre :

ce

qui

^{donne :}

IV . 2 . 2. CONCLUSION. ^- La relation

(115)

^montre

que 1’effet

Compton prend

^des

proportions impor-

tantes aux hautes densites

d’6nergie.

^{11 est} int6ressant de comparer

l’importance

^{de 1’effet}

Compton

^{a celle}

du «

bremsstrahlung »

^inverse.

Pour chiffrer

l’importance

^{relative du « brems-}

strahlung »

^{inverse et} de 1’effet

Compton,

^{il est int6-}

ressant de comparer les

temps caractéristiques

^pour

qu’un

^electron

d’énergie

^nulle

puisse

atteindre 1’6ner-

gie

d’ionisation

(p6riode

^de

multiplication).

^Le

temps

^{Tb relatif au «}

bremsstrahlung »

^inverse

propose

par

Wright [4]

^a pour

expression,

^{dans les cas}

qui

nous interessent :

Uex : 6nergie d’excitation,

no ^: densite des neutres,

a : section efficace moyenne pour les collisions elec- tron-atome.

Le

temps

r,, relatif a 1’effet

Compton

^{se calcule à}

partir

^de la formule

(114) :

et on obtient :

Dans le cas de

F argon

^et pour ^un laser a verre au

n6odyme

^avec

Qo - ^1,

^on

^peut prendre :

On obtient alors :

(no : cm-3 ; 10 : W/cm2).

10

>

0,32

^X 10-6 no : effet

Compton dominant, 10 ^0,32

^X 10-6 no : ^«

bremsstrahlung »

^dominant.

Comparaison

^{entre 1’effet}

Compton

^{et le «}

bremsstrahlung ».

IV . 2.3.

CLAQUAGES

^{LASER CONTROLES PAR L’EFFET}

COMPTON. ^- Le

temps

^de

cascade Tc

de l’effet

Comp-

ton ne

depend

pas de no. Dans le ^cas des

claquages

^à

basse

pression,

^on

peut

^{obtenir un} critere de

claquage

875

independant

^{de la}

pression

^en 6crivant que ^si le nombre :

est au moins

6gal

^au nombre de cascade n6cessaire pour ioniser le

plasma

^considere

(de

^{35 a 45 suivant}

la

pression),

^on

peut

^avoir

claquage.

11 est ais6 de v6rifier que si ^cette condition est

remplie

l’intensit6

Io

^est telle que le

probl6me

^{de la}

creation des electrons initiaux ne se pose pas.

On est donc conduit a penser que si :

on

peut

^avoir

claquage,

^{et ceci}

pratiquement ind6pen-

damment de la valeur de la

pression (3).

Pour un laser au

n6odyme

^{avec :}

on obtient

numériquement :

Si le

profil IO(t)

^{est une}

gaussienne,

^{on 6crira :}

ce

qui

donne la condition :

Pour At - 30 ns

(3

^{X 10-8}

s)

^et

toujours

pour ^un diametre focal de

0,1

mm, la

puissance

^crete

critique

du laser est de 170 MW.

Si l’on note U la densite

d’énergie

dans la tache

focale,

^{on obtient comme critere :}

Ces resultats montrent que 1’effet

Compton

^induit

joue

^{un role}

important

^aux hautes densites

d’énergie

et aux faibles

pressions.

IV. 3. Action des electrons sur le

rayonnement.

^- IV . 3 .1. CALCUL ^{DU TERME} D’INTERACTION. ^- En

tenant

compte

de la relation

(105),

^{la formule}

(75)

s’ecrit :

(3)

^A condition toutefois que les libres parcours moyens des electrons soient

petits

devant les dimensions du

plasma (ce qui

^{est en}

general

^{realise aux}

pressions supe-

rieures a 1 cm de

mercure).

Avec les

hypotheses du §

^{IV. 2}

(rayonnement

^uni-

form6ment

r6parti

^{dans un cone}

d’angle

^solide

Qo)’

on obtient :

L’équation

d’evolution du

rayonnement

^{s’6crit :}

En

regime stationnaire,

^{et dans le cas ou}

N(v)

^{ne d6-}

pend

que de la

coordonnee x,

^les

equations (124)

^et

(125)

permettent ^{d’6crire -}

toujours

^en

supposant °0 petit :

11 est commode d’introduire dans cette

equation 1’intensite

du faisceau lumineux :

ce

qui

^donne

1’equation (4) :

Lorsque

l’on suppose y constant, ^cette

equation

^est

un cas

particulier

^de

1’6quation

^de

Korteweg-de

^Vries.

Sa solution

g6n6rale

^{est :}

La donnee de la condition initiale

determine f

^de

façon unique

par :

On

peut déterminer I(v, x)

^à

partir

^de

f (v)

par

v

la construction

graphique

^{suivante :}

v

FIG. 3. ^- Construction

de 11 (V, x).

v

a est défini _par

tg

^{a =}

1 lAx.

(4)

^Pour des raisons évidentes, ^on r6introduit ici la

dépendance spatiale

^{de I.}

Cette construction montre que la

largeur

^{de la}

bande de

frequence

n’est pas alteree

(ce qui justifie

que ^{l’on ait}

choisi u constant).

^La valeur du maximum

de - _I(v, x)

^reste constante, ^et la valeur du

déplacement

v p

de

frequence

^{est :}

c’ est-à-dire :

11 est clair que si

1 lAx

^est

plus petit

que la

pente

minimale de la

fonction f( v),

il existe des valeurs de v

auxquelles correspondent plusieurs

valeurs de

I(v, x).

L’interprétation

d’un tel resultat est delicate. 11 est

inacceptable physiquement

d’obtenir des fonctions

I(v)

multivalentes ou discontinues.

Un artifice

classique

^en theorie de la

propagation

non lin6aire consiste a

ajouter

^a

1’6quation primitive

un terme interdisant a la fonction I de devenir multi- valente. Un choix

simple

^{consiste a écrire :}

Ce choix

respecte

^le

changement

^{x - - x, il} permet d’obtenir des solutions

analytiques

^de

1’6quation (132),

et par

ajustage

^{de la constante K on} peut ^astreindre les solutions de

l’equation

^{a une} condition du

type :

ce

qui

^assure la coherence des calculs

precedents.

La discussion de

1’6quation (132)

^est

longue

^et

detaillee;

^{elle a ete faite} par

Zabusky

^{et Kruskal}

[5].

Leur etude diffère de la _{notre par} le seul fait que l’on

a ici une «

propagation »

^du

profil I(v, x)

^dans

1’espace

des _x, alors que dans 1’etude

pr6cit6e

^la

propagation

a lieu en fonction du

temps.

On retiendra des resultats de

Zabusky

^{et Kruskal}

que la ^«

propagation »

^du

profil I(v, x)

^le

long

^{de Ox}

am6ne une dissociation de ce

profil

^en

plusieurs profils Ia,... independants,

^dont

l’équation

^{est :}

avec :

Vrx

depend

^{de x} par la relation :

La relation

(136)

^montre que ^ces

profils

^{se «} pro-

pagent »

^sans alteration de

forme,

c’est-a-dire _que la

frequence

maximum diminue lin6airement _{avec x,} et ceci

proportionnellement

^a

l’amplitude

^du

profil

consid6r6.

La relation

(136)

^montre

egalement

que

l’équa-

tion

(131)

^{reste valable en ordre de}

grandeur

^car

l’amplitude A«

^des

profils

^{est du meme ordre de}

grandeur

que

l’amplitude

^{de l’onde}

incidente,

^{et on}

6crira _pour un

deplacement

^de

frequence

^moyen

(5) :

11 est int6ressant de définir une

longueur

^caract6-

ristique

^du

phénomène

par la valeur L de x _pour

laquelle

^le

deplacement

^de

frequence

^{8v est}

6gal

^{a la}

largeur

^Av de la bande de

frequence

^du rayonnement considere :

IV.3.2. APPLICATIONS. ^- IV.3.2

a)

^{Cas d’un}

rayonnement presque parallèle.

^-

00

^est

petit

^{et l’on} peut

prendre

f1. ⁼

1,

^avec les mêmes donn6es

qu’au

§

^{3.2. 1}

a),

^{on trouve :}

IV . 3 . 2

b)

^{Cas d’un}

rayonnement convergent.

^{- Avec} la valeur de _fL donn6e _par

(105) :

En choisissant X - _{1 y;}

kTe N

^{10 eV et}

Qo - 1,

on obtient

numériquement :

(5)

^Relation

qui

s’obtient directement a l’aide d’un bilan

6nerg6tique

^{realise sur}

l’equation (110)

^{en tenant}

compte

^{de la} conservation du flux de

photons.

BIBLIOGRAPHIE

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(J.), J. Physique,

^{1968, 29, 88.}

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(J. J.)

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(M. D.),

Phys. Letters, 1965, 15, 240.