Position des bandes d'énergie d'un alliage binaire dans l'approximation du potentiel auto-cohérent

HAL Id: jpa-00208740

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00208740

Submitted on 1 Jan 1978

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Position des bandes d’énergie d’un alliage binaire dans l’approximation du potentiel auto-cohérent

C. Koenig, T.P. Eggarter, E. Daniel

To cite this version:

C. Koenig, T.P. Eggarter, E. Daniel. Position des bandes d’énergie d’un alliage binaire dans l’approximation du potentiel auto-cohérent. Journal de Physique, 1978, 39 (1), pp.69-76.

�10.1051/jphys:0197800390106900�. �jpa-00208740�

POSITION DES BANDES D’ÉNERGIE D’UN ALLIAGE BINAIRE

DANS L’APPROXIMATION ^DU POTENTIEL AUTO-COHÉRENT

C.

KOENIG,

T. P. EGGARTER et E. DANIEL

Laboratoire de Structure

Electronique

des Solides

(*),

Université

Louis-Pasteur, 4,

^rue

Blaise-Pascal,

⁶⁷⁰⁰⁰

Strasbourg,

^France

(Reçu

^{le 8}

juillet 1977, accepté

^{le 14}

septembre 1977)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous montrons que dans

l’approximation

^{à un site du}

potentiel

auto-cohérent pour

un alliage binaire totalement désordonné, ^{il n’est} pas nécessaire d’effectuer le calcul itératif de la

self-énergie pour déterminer les limites de bandes de l’alliage ^et la condition de séparation ^{des bandes.}

Les bords de bandes sont déterminés

simplement

par les intersections d’une courbe universelle propre à la structure cristalline considérée et d’une droite dont la pente ^et l’ordonnée à l’origine

ne dépendent ^que de la concentration de

l’alliage

^{et de la} séparation des niveaux d’énergie atomiques

des deux composants.

Abstract. ²⁰¹⁴ In the single ^site

approximation

of the CPA for a completely disordered binary

alloy,

the band edges and the condition for the splitting of the bands in the

alloy

^can be found without

solving

iteratively

^{the Soven} equation ^{for the} self-energy. The band limits are

simply

^determined by the intersections of a universal curve characteristic of the

crystalline

^structure under consideration and of a straight line, ^the slope and the ordinate at the origin ^{of which} depend only

üpon

^the alloy

concentration and the atomic energy levels of both components.

Classification

Physics ^Abstracts

71.25

1. Introduction. ^- Selon un résultat valable _pour le type d’hamiltonien habituellement utilisé dans la

description

^des

alliages concentrés,

^le _spectre ^des états

d’énergie électronique

^{dans un}

alliage

^métal-

lique

^binaire

Ax Bl -x

^{se situe entre} le minimum le

plus

^{bas et} le maximum le

plus

haut des bandes des deux métaux _purs

[1], [2], [3].

^On peut ^évaluer la densité d’états de

façon approchée

pour ^un

alliage

totalement désordonné en faisant

l’approximation

du

potentiel

auto-cohérent

(CPA)

introduite _par Soven

[4].

^Cette méthode fait intervenir une self-

énergie

^{E dont les}

propriétés

^{ont été}

largement

étudiées _par la suite

(cf.

^par

^exemple

l’article de

Velicky et

^al.

[5], désigné

dans la suite _par

VKE).

Müller-Hartmann

[6], puis

Ducastelle

[7]

^{ont notam-}

ment montré _que

l’équation

^{de Soven}

pour 1

^admet

une solution

analytique unique

^{dans le}

demi-plan supérieur

^des

énergies complexes (Im

^E >

0).

^La

CPA ne donne

qu’une représentation imparfaite

des bords du spectre ^{du fait}

qu’elle néglige

^{les fluc-}

tuations dans l’environnement de

chaque

^atome.

Ducastelle

[8]

^{a montré} que la densité d’états calculée

en CPA respecte bien les bornes inférieure et

supé-

rieure définies

théoriquement plus haut, indépen-

damment de la concentration ^x.

Cependant,

^le

problème

de la localisation exacte du spectre pour

, chaque

^{valeur de x, en}

CPA,

^n’avait pas été résolu

jusqu’à présent

^autrement que par le calcul

numérique complet

de la densité d’états dans

chaque

^{cas. En}

particulier,

^{on ne}

disposait

pas de critère

précis

permettant ^{de savoir à}

partir

^de

quelle

concentration la bande d’un

alliage

^{de nature}

chimique

^donnée

se

sépare

éventuellement en deux sous-bandes.

L’objet

de cet article est de montrer que, dans la CPA à un

site _pour un

alliage

binaire totalement

désordonné,

il n’est pas nécessaire

d’effectuer

^le

^{-calcul - itératif}

-de -la

self-énergie pour déterminer

les limites de bandes de

l’alliage

^et la condition de

séparation

^des

bandes. Ces limites de bandes sont déterminées

simplement

par les intersections d’une courbe ^uni- verselle _{propre à} la structure cristalline considérée et d’une droite dont la

pente

^et l’ordonnée à

l’origine

ne

dépendent

^{que de la} concentration ^de

l’alliage

et de la

séparation

des niveaux

d’énergie atomique

des deux constituants.

La connaissance d’une limite de bande permet ^en

principe

^{de ramener} le calcul de la densité d’états à

l’intégration

^d’une

équation

différentielle du

premier

ordre. La connaissance a

priori

^{des autres limites} de bandes fournit un contrôle

supplémentaire

^de

l’exactitude du calcul.

Au

paragraphe 2,

^nous

rappelons

^{les résultats}

(*) Equipe de Recherche Associée au C.N.R.S.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197800390106900

70

de la théorie CPA

qui

^{nous seront utiles et nous}

établissons

l’équation

donnant les limites de bande.

Au

paragraphe 3,

^nous étudions les

principales propriétés

de la courbe universelle mentionnée

plus

haut et aboutissons à l’énoncé du théorème de loca- lisation des bandes.

L’étude

complète

de la localisation des bandes est illustrée au

paragraphe

4 par le cas

particulier

d’une densité d’états

semi-elliptique, qui

offre l’avan- tage ^de

permettre

le contrôle des résultats _par ^un calcul

algébrique

^{direct. Pour}

terminer,

^nous

pré-

sentons les courbes universelles

correspondant

^aux

3 structures

cubiques,

^{et, à titre}

d’exemple simple

de bande

asymétrique,

^{le cas} d’une densité d’états

triangulaire.

2. Limites de bande de

l’alliage.

^{- Nous}

appli-

quons la CPA à un modèle

d’alliage

^{binaire en liaison}

forte,

^tel

qu’il

^{est décrit de}

façon

détaillée dans l’article de VKE. Nous

rappelons

^ici sommairement leurs

principaux

résultats afin de

préciser

les notations.

On suppose que les bandes de valence des deux métaux purs A ^et B ont des densités d’états _po de même forme et de même

largeur

^{2 w, mais centrées}

respective-

ment sur les

énergies

EA et ëo.

où

G °

^est la fonction de Green associée _{à po :}

La fonction de Green de

l’alliage Ax B1-x

^{est donnée}

par

. où

qui

^est la forme donnée _par Soven

[4]

^{à la}

self-énergie

^E.

e est

l’énergie

moyenne à la concentration x :

La densité d’états

p(E)

^de

l’alliage

^{est alors :}

où :

Les limites de bande sont données _par les limites du domaine où : lm

G °(E

^{+ i . 0 -}

E)

^{= 0. Nous}

allons dans un

premier temps

établir le lemme suivant : Lemme. - Les limites de bandes de

l’alliage

^sont

les mêmes que celles du domaine où lm 1 ⁼

0 ;

^elles

satisfont à E -

^Re

⁽¹⁾ 1

> ^w.

En

effet,

la fonction de Green

G °(z)

pour ^un -argu- ment

complexe

^{s’écrit :}

Dans notre cas

Si lm L =1

0,

la deuxième

intégrale

^de

(2.7)

^n’est

pas nulle. Donc Im

G °

^0. Autrement dit :

D’autre part, ^{si on} considère la formule

(2.6b) qui

est une

façon

^d’écrire

(2.4),

^{il est évident} que si lm2;

= 0,

^alors

Im G °(E + i . 0 - 03A3 ) = 0,

^ce

qui

démontre la

réciproque.

^{Les limites cherchées sont}

donc celles du domaine où :

on a alors :

L’équation (2. 8b)

^n’est satisfaite _que

lorsque l’argu-

ment E - Re

(1)

^{est en} dehors de la bande associée à

GO,

c’est-à-dire _pour

E -

^Re

^(lù) >

^w.

Dans ce domaine

G °(E - 03A3)

^est

analytique,

^ce

qui

^nous permet d’écrire les _eq.

(2.6)

pour ^toute

énergie

^{réelle sans}

qu’il

^soit nécessaire de lui affecter

une

petite partie imaginaire positive

^{+ i . 0.}

Müller-Hartmann

[6]

^{a montré que la CPA admet}

une solution

physique unique

^à

partie imaginaire négative

^{ou nulle.} Nous posons :

et nous cherchons les limites du domaine où

n(E)

est

nul, pour u >

^{w. Du fait de}

l’analycité

^{de la}

self-énergie,

^{on obtient ces limites en faisant}

tendre 1

de

façon

^{continue vers 0.}

Lorsque il

^est

petit,

la fonction de Green

G °(E -

⁺

in)

^{s’écrit au}

premier

^{ordre :}

où

En effectuant ce

développement

dans les deux membres de

l’équation (2.6b)

^{on obtient un}

système

^{de deux}

équations couplées :

qui

traduit le fait _que u est solution double de

l’équa-

tion

F(u) - K(u)

^{= 0 en} limite de bande.

Ceci s’écrit

explicitement :

On

simplifie

^{les calculs en} choisissant

l’origine

^des

énergies

^telle que :

On déduit du

système (2.14) l’expression

^suivante

de (1 en limite de bande :

Par élimination de ⁶ entre les deux

éq. (2.14)

^{et en} posant :

on obtient

l’équation qui

détermine les limites de bande :

Dans le domaine

considéré : 1 u >

^w,

F(u)

^{est une}

fonction monotone strictement décroissante de ^u.

f (u)

^{est donc monotone} strictement croissante ^et par

conséquent

inversible.

f’ -

^{1 est}

toujours positif.

On peut ^donc

prendre f comme

^{variable et écrire}

(2.17)

sous la forme :

Les valeurs

prises

par la fonction

f

^aux limites de bande de

l’alliage

^sont donc données _par l’inter- section de la courbe universelle

+ 0 (f) qui

^ne

dépend

que de la structure cristalline de

l’alliage

^{avec une}

droite dont la pente

1 /(à xy)

^et l’ordonnée à

l’origine (x - y)/ xy

^ne

^dépendent

^que de la concentration et de l’écart £5 entre les niveaux

atomiques.

^Les

énergies correspondantes

^{E = u + (1 s’en} déduisent immé- diatement.

En

effet,

connaissant

f (u) (formules ^(2.11)

^et

(2.16)),

^{on connaît}

^u(f).

^D’autre part, ^{on tire}

u(f)

soit de

l’eq. (2.15),

^{soit de}

(2.14a).

L’éq. (2.15)

^{s’écrit encore :}

Q n’a _pas de

singularité

^en

f ’

^{= 2} car on a alors aussi

f

^{= - 2 e. Ce}

point

^{est le}

point

de croisement

sur l’axe horizontal des deux branches

+ 03A6 (f) et - 03A6 ( f). Compte

^tenu de la relation

(2.17)

^entre

f et f ’, (2.19)

^{s’écrit :}

le

signe

^{étant le} même que celui de la branche de la courbe universelle sur

laquelle

^{se trouve le}

point

d’intersection

envisagé :

Ces

équations

^ne

présentent plus

de forme indé- terminée

lorsque f ’

^{= 2.}

Par résolution directe de

l’équation

^{du second}

degré (2 .14a)

^où

F(u) = 1 / f,

^on obtient deux solutions :

c’est-à-dire :

Le choix du

signe

^{est le même} pour cette dernière

équation

que pour

l’éq. (2.20),

^mais pas pour

l’éq. (2.21),

^où il faut l’inverser

lorsque

^{F est}

négatif.

On peut remarquer ^tout de suite _que

lorsque

^{ô est}

petit,

c’est-à-dire dans la limite du cristal

virtuel,

le

signe

^à

prendre

^dans

l’éq. (2.21)

^{est +} pour les deux

points

d’intersection. On a alors :

qui

^est

l’éq. (4.26)

^{de VKE. Les}

énergies

^corres-

pondantes

^{tendent vers} les limites du métal _pur

lorsque à

^{tend vers 0. Dans le cas}

général,

^les

éq. (2 . 9b)

72

et

(2.22) permettent

d’obtenir la valeur des

énergies

limites du spectre :

3.

Propriétés de 03A6(f).

^{Théorème sur la}

position

^des

bandes. ^- Nous étudions dans ^ce

paragraphe

^la

fonction

Ceci nous permettra ^{de montrer} que

l’éq. (2.18)

n’a _que deux ou quatre solutions suivant les valeurs de x et de b. Les résultats sont rassemblés au para-

graphe

^{3.5 dans un} théorème donnant les limites de bandes exactes de

l’alliage

^binaire

Ax B1 -x

^dans

le cadre de la CPA.

3. 1 COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE ^DE

03A6(f). 2013 Lorsque f

^tend vers’ + cc, ^u tend

également

^vers

+ 00. On peut alors faire un

développement

^en

moments de la fonction

F(u) :

On en

déduit,

par

développement

^limité

quand

^{u - cc}

où

et

Dans le cas d’une densité

po(E) symétrique,

^{tous les}

moments centrés d’ordre

impair

^{sont nuls et il reste :}

La

fonction 03A6 ( f)

^{est alors}

paire : 03A6( f ) = 03A6 (- f ).

Lorsque f

^tend

vers f ( ± w), 03A6 ( f )

^{tend vers + oo.}

Son comportement ^exact

dépend

de la forme ana-

lytique

^de po ^en limite de bande et doit _par

conséquent

être étudié cas par ^cas. Dans tous les cas la

courbe 0 (f)

admet deux

asymptotes

verticales

qui

^sont les droites d’abscisses

f ( ± w).

L’ensemble de la courbe

± 03A6 ( f )

^est donc constitué de quatre branches dont nous venons de caractériser les asymptotes

(Fig. 1-3).

FIG. 1. ^- Courbe ± 0(f) pour ^une densité d’états po(E) ^semi- elliptique. ^Les deux branches de + 0(f) ^sont marquées par ^un

signe (+), les deux branches de - 4’ (/) par ^un signe (-). ^Les

droites en pointillé ^{sont leurs} asymptotes. ^{D est la droite :} f

x-y

pour (b ⁼ 1; ^{x =} 0,1).

à x-y

^{pour (c5 = 1 ; x = 0,1).}

03B4~xy ~xy

[Curve + 0(f) ^{for a} semi-elliptic density ^{of states} po(E). ^The

two branches of + 4’(f) ^are labelled with a (+) sign, ^{the two}

branches of - 0(f) ^{with a} (-) sign. The dashed straight ^{lines are}

their asymptotes. ^{D is the} straight ^{line :}

f ^03B4~xy + x y ^~xy

^for

3.2 NOMBRE DE SOLUTIONS. ^- La courbure de la

fonction 4Y ( f)

^est

positive.

^{Il suffit} pour le montrer de calculer sa dérivée seconde. Le calcul est

long

mais direct. Il en résulte

qu’une

^{droite ne} peut couper chacune des deux branches de la courbe

+ 4Y( f) (ou

^{de la}

courbe - 0 (f » ^qu’en

^deux

^points

^au

^plus.

La

position

^{de ces branches} par rapport ^{à leurs} asymptotes

(voir

^les

figures

^{1 à}

3)

^{ne donne la}

possi-

bilité _que de 2 ou 4

points

d’intersection au total.

Le

spectre d’énergies

^de

l’alliage

^est donc constitué d’une ou deux bandes suivant les valeurs de ^x et ô.

L’étude du nombre de bandes en fonction de la valeur de ces

paramètres

^{sera détaillée sur un}

exemple simple

^au

paragraphe

^4.

3.3 PÔLE DE 1. ^- Un

point

d’intersection de la droite et de la courbe

peut

^{se trouver} à l’infini.

Ceci se

produit lorsque

^{la droite est}

parallèle

^à

l’asymp-

tote commune des

branches - 0 (f)

pour

f

> 0 et

+ 0(f)

pour

f 0,

c’est-à-dire _pour

Lorsque xy£52

^{franchit cette}

valeur,

^le

point

^d’inter-

section

envisagé

part ^{à + oo sur la}

branche - 0 (f )

et

réapparaît

^{à - oo sur} la branche

+ 0 (f ). f est

alors

équivalente

^{à u et}

l’équation (2.19)

^{se réduit à :}

Q saute donc de - oo à + oo. Ce cas

correspond

^à

l’apparition

^du

pôle

^{de E}

(E

--> oo, E ^{= -}

e)

déjà signalée

^{dans VKE.}

Puisque

^{la valeur}

de f corres- pondante

^est solution de

l’éq. (2.18)

^le

pôle apparaît ’

en limite de bande avant de s’en

éloigner

^{vers le centre}

de la bande interdite. La condition d’existence de ce

pôle

^{s’écrit :}

ce

qui

^se réduit à :

XYÔ’ >1

^,u2

(cf.

^VKE

4.38)

pour

une bande

symétrique.

3.4 CAS LIMITE OÙ £5 EST PETIT

(«CRISTAL

^VIR-

TUEL

»).

^{- La droite}

correspondante,

^de pente

1/(ô Blx-y),

^{est alors presque verticale et il}

^n’y

^{a donc}

que deux

solutions,

c’est-à-dire une bande

unique

dans

l’alliage.

^{Dans le cas}

fréquent

^où la densité d’états a un

comportement parabolique

^{en limite}

de

bande,

^la

divergence

^de

f ’

^au

voisinage

^{de cette}

limite

provient

^{de la}

partie parabolique

^{de po. C’est}

le _{cas, par}

exemple,

^des structures

cubique simple (c.s.)

et

cubique

^centrée

(c.c.)

^et du bas de bande de la structure

cubique

faces centrées

(c.f.c.). L’énergie

de la limite de bande

peut

^alors

s’exprimer

par ^un

développement

^{limité en £5.}

Nous choisissons

ici,

^comme dans tous les

exemples

traités _par la

suite,

^l’échelle

d’énergie

^{de sorte} que w soit

égal

^{à 1. La} densité d’états

s’écrit,

^au

voisinage

d’un bas de bande

parabolique :

On en déduit le

comportement

^de

F(u)

^et

F’(u) lorsque

^{u tend vers - 1 :}

La condition

(2.17)

^s’écrit

pour à petit :

ce

qui donne,

compte ^{tenu de}

(3.6) :

où Â est une constante

positive,

c’est-à-dire :

On peut alors écrire :

F(u)

⁼

F(- 1)

⁺

o(ô2 ), ^d’où,

par substitution dans

(2.23) :

L’énergie

^{E -} du bas de bande s’écrit alors :

Le même traitement peut ^{être fait} pour ^un haut de bande

parabolique,

^en

particulier

pour les structures c.s. et c.c. :

- Le cas du haut de bande d’un

alliage

^{de structure c.f.c.}

doit être traité à

part

^car la densité d’états _po

diverge

comme

Log (1 - E) lorsque

^{E tend vers 1.}

F(u) diverge

^{alors comme}

Log2 (u - 1) lorsque

^{u tend}

vers 1 :

La condition

(2.17)

^{s’écrit :}

car on ne

peut plus négliger

^e

devant f qui

^{tend vers 0.}

On n’obtient _pas, dans ce cas,

d’expression analytique simple

^{de E valable} pour ^toute concentration.

3.5 THÉORÈME ^DE LOCALISATION DES BANDES. -

Nous avons établi en

(2.18)

^et

(2.24)

^deux

équations

donnant les valeurs

de f et

^{de E aux} limites du spectre

d’énergies

^de

l’alliage.

^{Nous avons} par la suite montré que

(2.18)

^{a deux ou} quatre solutions suivant les valeurs de b et de x. Nous

rappelons

ici les définitions des fonctions introduites dans ce calcul et nous

énonçons

le théorème donnant les limites exactes du spectre ^dans

l’approximation

^CPA.

La densité d’états _po des métaux _purs a une lar- geur 2 ^w. Pour un argument ^{u réel de module}

supérieur

ou

égal

^à w, la fonction :

est réelle et la fonction

est inversible.

On connaît donc

u(f).

^Nous

notons f ’

la dérivée

de f

par rapport ^{à u}

pour u >

^{w, et nous} définissons la

fonction 4Y( f)

^{dans ce domaine} par :

ô est l’écartement entre les niveaux

atomiques 8A

et EB des deux constituants de

l’alliage,

^{et x sa concen-}

tration

(y

^{= 1 -}

x). L’origine

^des

énergies

^{est fixée}

de sorte que :

74

Le théorème s’énonce alors :

Théorème. ^- Dans

l’approximation

^du

potentiel

auto-cohérent à un site, le spectre

électronique

^d’un

alliage

binaire totalement désordonné

Ax B1-x

^est

-constitué d’une ou de deux bandes

d’énergie.

^Les

limites de ces bandes sont données _par l’intersection de la droite

f - + =

^{avec la} courbe universelle

à

Jxy xy

:t 4> ( f ) qui

^ne

dépend

que de la structure cristalline de

l’alliage.

Les

énergies

^{de ces} bords de bande ont pour valeurs :

Le

signe

^à

prendre

^{dans cette}

équation

^{étant celui}

de la branche de la courbe

+ 0 (f)

^sur

laquelle

^se

trouve le

point

d’intersection considéré.

3.6 REMARQUE ^{SUR LE} CALCUL DE LA DENSITÉ D’ÉTATS. ^-

L’équation

^{de Soven}

(2.4)

^donnant

¿(E)

peut

s’exprimer

^en fonction de la variable

complexe

^{u = E - ¿ :}

G - E + u = (GA - E + u) GO(U)(GB - E + u). (3.13)

En dérivant cette

équation

par rapport

à E,

^{on obtient}

une

équation

différentielle du

premier

^{ordre en u.}

Avec le choix

d’origine

^des

énergies

^fait

plus ^haut,

elle s’écrit :

La concentration de

l’alliage n’apparaît

pas

explicite-

ment dans cette

équation

^mais intervient dans la valeur

numérique

^{u° de u au}

point

^{E° de}

départ

^de

l’intégration.

La résolution de

l’équation

donne simultanément les fonctions

u(E), E(E)

^et

G °(u),

^ce

qui

permet d’obtenir la densité d’états de

l’alliage,

par ^{une autre} méthode _que le calcul itératif utilisé

jusqu’à présent.

^Les limites de bande données _par le théorème de localisation semblent à

première

vue être des

points

^de

départ

^naturels pour l’inté-

gration numérique, puisqu’on

^connaît

uO(EO)

^en

ces

points.

^En

fait,

^{en ces} limites de

bande, G0(u0)

et

dG 0

^{sont reliées par}

l’équation (2.14b),

^Cette

du uo

^{p q}

équation

^{s’écrit :}

Le coefficient de

du/dE

^dans

(3.14)

^{est donc nul}

en limite de bande ce

qui

rend délicate

l’intégration numérique

^à

partir

de l’un de ces

points.

4.

Exemples.

^{- Nous}

présentons

ci-dessous les courbes

+ 0(f)

pour différentes formes de bandes.

Comme on peut ^{le constater sur les}

figures,

^l’allure

générale

^{de ces courbes est} peu sensible aux détails de la forme de

po(E).

La

figure

¹ donne la résolution

graphique

^de

l’équation (2.18)

^{dans le cas}

particulier

d’une bande

semi-elliptique, déjà

étudiée de

façon classique

par VKE :

La droite

f ^{+ x y}

^{a une}

^{pente positive,}

^variant

yxy£5 -,/X-y

de + oo

pour £5

⁼ 0 à 0 pour £5 infini. Son ordonnée à

l’origine

^est

négative

pour x

1/2

^et

positive

^si

x >

1/2.

^Les résultats étant dans ce cas

symétriques

si on

échange

^{A et}

B,

^{nous nous bornons à discuter} le cas x

1/2.

Pour £5 très

petit,

^on obtient deux solutions

f =

+

f (1) qui

donnent les limites Et ⁼ ± 1 du métal _pur.

Lorsque £5

augmente ^à concentration

fixe,

^{la droite}

pivote

^{autour du}

point (0, ^{(x -} y)llx-y-). Lorsqu’elle

est tangente ^{à la}

branche - 4> (f),

^il

apparaît

^une

solution double

supplémentaire qui correspond

^à

la formation d’une bande interdite dans le spectre

d’énergie

^de

l’alliage, £5

^est alors donnée _par la pente de la droite. Pour x ⁼

0,1

par

exemple,

^{on obtient}

£5 ⁼

0,84.

^{Cette valeur}

numérique

^est intéressante

car elle montre que les bandes peuvent ^se

séparer

même

lorsque £5

^{est inférieur à la}

demi-largeur (w

⁼

1)

des métaux _purs.

Cette bande interdite

s’élargit jusqu’à

^ce

que à atteigne

la valeur

V Jl2/XY ^(ô

⁼

^1,66

^{pour x =}

^0,1).

La droite est alors

parallèle

^à

l’asymptote

^{et l’une des}

solutions est à l’infini. On a montré _que cela corres-

pond

^{à E = - e,} c’est-à-dire au

pôle

^{de 1. Le}

pôle apparaît

^{donc en} limite de bande

après

^la

séparation

en deux bandes sauf _pour x ⁼

1/2

^{où le}

pôle

^{et la}

séparation

des bandes

apparaissent

pour la même valeur de £5 £5 ⁼ 1.

Lorsque £5

^{tend vers}

^l’infini,

la droite devient horizontale et les solutions

f

^{tendent vers} quatre valeurs limites

symétriques

² à 2 par rapport ^{à l’axe}

vertical, qui correspondent

à deux bandes très

sépa- rées.

Les deux

points

^sur les branches +

0(f)

^donnent

la bande

supérieure

^{et les deux}

points

^sur les branches

- 03A6 ( f )

la bande inférieure.

Comme

exemple numérique

nous avons traité le cas

(x

⁼

0,1

^{£5 =}

1).

^La résolution

graphique

^de

l’équation (2.18)

donne les solutions :

On obtient donc deux bandes délimitées _par

[- 1,456; 0,400]

^et

[0,456; 1,009].

^{Ces résultats sont}

aisément vérifiables car les

énergies

^des limites de bande sont calculables

algébriquement

pour ^ce modèle

particulier.

^La fonction de Green G de

l’alliage

^est

en effet solution d’une

équation

^de

degré

³

(VKE 4.32) :

Il suffit _pour avoir les limites de bande d’écrire _que cette

équation

^{admet une} racine double. On est alors à la limite du domaine où

(4.3)

n’a pas de solution

complexe.

Cette condition est

équivalente

^au sys- tème

(2. 8) qui

traduit le fait _que u est racine double de

F(u) - K(u)

^{= 0. On} obtient alors une

équation

de

degré

^{4 en E :}

Cette

équation

^{a deux ou} quatre racines réelles dans le domaine de variation de b. Pour ô ⁼

1,

^{elle a une} solution évidente E = - e

= 0,400,

^ce

qui

permet de calculer les trois autres : -

1,465 6, 0,456

^{3 et}

1,009

^3.

Remarquons

que la solution E ^{= -} e ne

correspond

pas à ^un

pôle

^de

E,

la condition

(3.4)

n’étant _pas satisfaite.

Ce modèle étant un peu

académique,

^{nous avons}

tracé les courbes

± (/) correspondant

^{aux trois}

structures

cubiques (Fig. 2)

^à l’aide des densités d’états données _par Jelitto

[9].

^{Pour ces réseaux il}

n’existe pas

d’équivalent analytique

^de

l’éq. (4.4)

et seule la méthode

analytique (ou

^{sa version gra-}

phique) développée

^au

paragraphe

^{2 est}

possible.

La densité d’états du réseau

cubique

faces centrées est

asymétrique

^et

présente

^{une infinité au bord}

supérieur

de la bande. Nous pouvons illustrer l’effet d’une densité d’états très

asymétrique

^{sur le cas}

analytiquement plus simple

^{d’une densité}

triangulaire :

représenté

^{sur la}

figure

^{3. Dans ces deux}

modèles,

la densité est forte en haut de bande et chute verti- calement à E ⁼

1,

^tandis

qu’elle

^{tend lentement}

vers 0 en bas de bande. Du fait de cette

asymétrie,

on peut ^montrer

qu’il

^est

beaucoup plus

facile d’ex- traire une

petite

sous-bande du haut _que du bas de la bande

majoritaire. Kirkpatrick et

^al.

[2]

^ont

étudié de

façon

^{détaillée cet effet sur un autre modèle}

FIG. 2. ^- Courbes ± (P(f) pour les trois structures cubiques,

avec leurs asymptotes : --- : pour c.s. ; ^{---- :} pour c.c. ; - - - : pour c.f.c. La deuxième asymptote ^verticale pour le c.f.c. est l’axe vertical lui-même. Les densités d’états _correspon-

dantes sont rappelées ^à gauche ^{de la} figure [9].

[Curves + 0 (f) for the three cubic structures, with their asymp- totes : --- : for _{s.c. ;} --- : for c.c. ; ^{- - - :} for f.c.c.

The second vertical asymptote for the f.c.c. is the vertical axis.

The corresponding densities of states [9] ^{are shown on the left}

side of the figure.]

FIG. 3. ^- Courbes ± 0(f) pour ^une densité d’états triangulaire.

Les droites D1 et D2 correspondent ^{à x =} 0,1 ^{et x =} 0,9 dans le tableau I.

[Curves + 0(f) ^{for a} triangular density ^{of states. The} straight

lines Dl ^and D2 correspond respectively ^{to x = 0.1 and x = 0.9}

in table I].

simple

^en calculant la densité d’états de

l’alliage

de

façon

^itérative pour ^toute la _gamme de concen-

tration et

plusieurs

^{valeurs de ô. Par notre}

méthode,

la résolution

graphique

^de

l’éq. (2.18)

donne directe- ment les limites exactes de la bande à x et ô donnés.

D’autre part ^{la valeur}

bo

de ô nécessaire à la

séparation

des bandes à concentration donnée est

particulière-

ment

simple

^à

obtenir ;

^{elle est donnée} par la pente

76

TABLEAU 1

Valeurs

bo

^{de b} nécessaires à la

séparation

^des

bandes _{pour les} deux densités

asymétriques

^{étudiées :}

densité

triangulaire

^et densité d’un

c.f.c.

[Values bo

of b for which the band

splitting

^occurs

for the two

asymmetrical density

^{cases :}

triangular density

and f.c.c.

density.]

de la droite

lorsqu’elle

^est tangente ^{à l’une} des branches de la courbe universelle. Les résultats _pour les deux

modèles des

figures

^{4 et 5 sont} donnés dans le tableau 1 pour deux concentrations

symétriques

par rapport à 1 /2.

5. Conclusion. ^- Nous avons montré dans cet article _que, dans le cadre de la

CPA,

^on obtient les limites exactes du

spectre d’énergie

^d’un

alliage

binaire de concentration x _par un calcul

analytique

direct. Une fois construite la courbe 0 associée à la structure cristalline des

alliages étudiés,

^{il suffit} de tracer la droite

correspondant

^aux

paramètres x

et b de

l’alliage particulier

considéré. Le théorème établi au

paragraphe

3 donne alors les bords de bandes.

On

peut

ainsi suivre aisément l’évolution des limites de bandes en fonction de la concentration. En

parti- culier,

^{comme on l’a vu au}

paragraphe ^4,

^{on obtient}

la condition de

séparation

^du

spectre

^en deux bandes par ^une

simple

construction

graphique, qui

^{met bien}

en évidence l’effet d’une éventuelle

asymétrie

^{de la}

densité d’états des métaux _purs.

Bibliographie

[1] LIFSHITZ, I. M., Usp. ^{Fiz. Nauk. 83} (1964) 617 ; ^Adv. Phys. ¹³

(1964) 483.

[2] KIRKPATRICK, S., VELICKY, ^{B. et} EHRENREICH, H., Phys. ^Rev.

B 1 (1970) ^3250.

[3] THOULESS, ^D. J., ^J. Phys. ^{C 3} (1970) 1559 ; Phys. Reports ^13C (1974) 94.

[4] SOVEN, P., Phys. ^{Rev. 156} (1967) ^809.

[5] VELICKY, B., KIRKPATRICK, S. et EHRENREICH, H., Phys. ^Rev.

175 (1968) ^747.

[6] MULLER-HARTMANN, E., Solid State Commun. 12 (1973) ^1269.

[7] DUCASTELLE, F., ^J. Phys. ^{C 7} (1974) ^1795.

[8] DUCASTELLE, F., ^J. Phys. ^{C 8} (1975) ^3297.

[9] JELITTO, ^R. J., J. Phys. Chem. Solids 30 (1969) ^609.