Pénétration du flux dans un alliage supraconducteur de concentration modulée spatialement

HAL Id: jpa-00208388

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Submitted on 1 Jan 1976

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Pénétration du flux dans un alliage supraconducteur de concentration modulée spatialement

L. Dobrosavljević

To cite this version:

L. Dobrosavljević. Pénétration du flux dans un alliage supraconducteur de concentration modulée

spatialement. Journal de Physique, 1976, 37 (1), pp.23-33. �10.1051/jphys:0197600370102300�. �jpa-

00208388�

PÉNÉTRATION DU FLUX DANS UN ALLIAGE SUPRACONDUCTEUR

DE

CONCENTRATION MODULÉE SPATIALEMENT

L.

DOBROSAVLJEVI0106

Institut de

Physique, Belgrade,

^B.P.

57, Yougoslavie

et Laboratoire de

Magnétisme, C.N.R.S.,

^B.P.

166,

^{Centre de}

tri,

38042 Grenoble

Cedex,

^France

(Reçu

^le

5 juillet 1974,

^{révisé le 14 aofit}

1975, accepté

^{le 3}

septembre 1975)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous étudions la pénétration du flux dans les supraconducteurs inhomogènes ^{de struc-}

ture périodique. ^Nous considérons les alliages supraconducteurs ^ayant la concentration d’impurités

modulée périodiquement ^{dans une} direction. Dans un modèle de London, ^nous étudions la structure

magnétique ^{d’un vortex} isolé, la variation de sa self-energie ^et de l’interaction entre deux vortex en présence de la modulation. Nous étudions d’autre part ^le couplage ^{résonnant entre} le réseau de vortex et la modulation

périodique

^de la concentration : pour certaines valeurs du champ ^extérieur

H ⁼

Hn1,n2,

^{les vortex se} placent dans les maxima de la concentration, ^{formant un réseau}

triangulaire.

La projection ^de

chaque

^{côté du} triangle ^{est alors un}

multiple

^{de la} période L0 de modulation. A H ⁼

Hn1,n2,

l’énergie libre de Gibbs du système ^est abaissée, ^ce

qui

^{conduit à un} ancrage des vortex.

Nous discutions la possibilité ^du

couplage

^{résonnant en} champ ^faible (H ~ Hc1) ^{et en} champ ^inter- médiaire

(Hc1 ~

^{H ~} Hc2).

Abstract. ²⁰¹⁴ We study ^{the flux} penetration ⁱⁿ inhomogeneous superconductors ^with periodic

structure. We consider superconducting alloys ^{with the} impurity concentration varying periodically

in one direction. In a London model we study ^the magnetic ^{structure of a} single vortex, ^the change

of its self-energy ^{and of} the interaction between two vortices due to the concentration modulation.

We study ^{also the} matching between the vortex lattice and the periodic modulation of the concentra- tion : at some definite values of the external field, ^{H =}

Hn1,n2,

the vortices are arranged ^{in a} triangular

lattice in such a way that all the vortices lie in the

high

concentration regions. ^The

projection

^{of the}

sides of the triangles ^on the modulation direction is then a multiple of the modulation period L0.

At H ⁼

Hn1,n2 the

Gibbs’ free energy

G(Hn1,n2)

^{of the system} is lowered and a

pinning

of vortices takes

place.

^We discuss the

possibility

^{of such a} matching

effect

in the low field region (H ~

Hc1)

and in the intermediate field region

(Hc1 ~

^{H ~} Hc2).

Classification Physics ^Abstracts

8.420

1. Introduction. ^- Dans la

plupart

^des supra- conducteurs

(s.c.) inhomogenes

^la distribution

spatiale

des

inhomogénéités

^est difficile a controler. R6cem- ment, deux

systemes

^{avec une variation} contr6l6e de structure ont ete realises :

- d’une part, par H.

Raffy et

^al.

[1]

^{sous forme de}

films

6pais

^de

Pb/Bi,

^la concentration de Bi variant

p6riodiquement

^suivant

1’6paisseur

^du

film ;

- d’autre part, par 0. Daldini et al.

[2]

^{sous forme}

de films de Al

granulaire, 1’6paisseur

^{de film variant}

p6riodiquement.

Les mesures du courant

critique

dans les deux cas

(en champ parallele

^{au film dans le 1 er cas, et en}

champ perpendiculaire

^{au film dans le}

second)

^{montrent un ’}

effet de resonance entre le reseau de vortex et la structure

p6riodique,

^{le courant}

critique

^{en fonction}

du

champ

^{extérieur H}

pr6sente

^des

pics

pour certaines valeurs de

H,

^{H =}

Hl, H2... [1, 2].

A une

temperature donn6e,

^les

positions

^{de ces}

pics dependent

^en

premier

lieu de la

p6riode

^{de la}

modulation : _{pour H =}

Hl, H2...

^un

couplage

^r6son-

nant entre le r6seau

(bi-dimensionnel)

^{de vortex et}

la modulation

p6riodique (uni-dimensionnelle)

^{de la}

concentration conduit a un ancrage des ^vortex.

Dans cet

article,

^{nous 6tudions la}

penetration

^du

flux dans un

alliage supraconducteur

^{de concen-}

tration modul6e

p6riodiquement

^{dans une} direction X donn6e :

c X - )

c . o

(1

^{+ b.cos}

2 nX .

Notre appro-

B

L

0 / ^pp

che est bas6e sur la th6orie de

London;

ceci suppose des mat6riaux avec le

paramètre K grand [3].

^Dans

ce cas on peut considerer l’interaction entre les vortex comme une interaction

électromagnétique.

^{Pour avoir}

un effet de

couplage, qui

^{est un effet}

coop6ratif,

^il

faut _{que la}

port6e

^de l’interaction entre les vortex

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197600370102300

Ào(T) (1)

^soit

sup6rieure

^ou

comparable

^{a la}

periode Lo

de la modulation :

Ao (T) Z ^{Lo .}

Nous supposons ^ces conditions realisees dans le domaine des

temperatures

^{de travail. D’autre} part, dans notre modele de

London,

^nous supposons les c0153urs. de vortex de dimensions -

ço(T) (1), petits devant Ào(T)

^{et devant}

Lo.

Nous travaillons dans le domaine des

champs

^ou

les vortex sont bien

s6par6s,

^H

He2.

En

presence

^{de la} modulation

p6riodique

de compo-

sition,

^{la structure}

magn6tique

^d’un vortex est chan-

g6e;

^sa

self-6nergie

^varie

p6riodiquement

^{en fonction}

de sa

position X,

^{H* est un}

parametre (de

^dimension

d’un

champ) proportionnel

^a

1’amplitude b

^{de la} modulation ;

est la

self-énergie (par

^{unite de}

longueur)

^{d’un vortex}

en absence de la

perturbation [3].

^De

meme,

^l’inter- action entre deux vortex varie ^en fonction des

posi-

tions de deux vortex par rapport ^{a la} modulation.

Nous calculons ^ces

modifications,

pour b

petit,

dans la section 2. Dans la section

3,

^{nous cherchons}

la distribution du flux a l’intérieur du milieu inho-

mogène

^a

1’equilibre thermodynamique;

^{nous dis-}

cutons les

possibilit6s

^du

couplage

^{r6sonnant entre}

le reseau de vortex et les

inhomogeneites (section 3.2).

Bien _{que c’est} surtout 1’etude de ces resonances

qui

est interessante au

point

^{de vue de’}

1’ancrage

^des

vortex, ^le comportement ^en dehors du

couplage

r6sonnant illustre bien l’influence de

l’inhomogénéité

du milieu sur la

penetration

^{du flux}

(sections

^3.3

et 3. 4).

2.

Propri6t6s

^{d’un vortex isol6 et} l’interaction entre deux vortex en

presence

^{de la} modulation. ^- 2.1

STRUCTURE MAGNTTIQUE

^{D’UN VORTEX. - Dans} la theorie de London

[3], 1’energie

libre d’un _supra- conducteur est donnee _par

l’intégrale

^{sur son volume}

Vs:

Vs :

ou h ⁼

h(R)

^{est le}

champ

^{local et A =}

À(R, T) 1’epaisseur

^de

penetration

^{locale. R =}

(X, Y) specifie

les coordonnees dans le

plan perpendiculaire

^au

champ

ext6rieur H ⁼ H. ez;

h(R)

^est

parallele

^{à H. Dans}

le cas considere de la concentration

d’impuretes

modulee

spatialement,

1’epaisseur

^de

penetration

^est modulee aussi :

e) ^{Nous designons par} AO(T), ço(T) 1’epaisseur ^de penetration

et la longueur ^{de coherence} [3] correspondant ^{a la} concentration moyenne.

22 varie comme

1/1 [3],

^{ou I est Ie libre} parcours moyen des electrons dans l’état normal

(’),

^done

^A’

est

proportionnel

^d la concentration _c,

A’ = A’ I 2 nx) ^(2.2)

2 ⁼

20

^{1 + b cos}

Lo )’ ^{(2 .}

²

A2 = A2 2 nX ^(2.2)

À

⁼

AO 1

^{+ b Cos}

----r;;. ^(2.2)

Le

champ

^{autour d’un vortex} isole satisfait d une

equation

^{de London avec A variable :}

avec

ou nous avons

pris l’origine

^{au centre du vortex, un}

maximum de la concentration etant d X ⁼ X’

(Fig.1).

FIG. 1. ^- Interaction de vortex en presence ^{de la} modulation.

Pour de faibles variations relatives de

l’amplitude

de

concentration, b 1,

^on peut ^resoudre

1’equation

pour h par ^une méthode de

perturbation.

Au 1 er ordre

en b,

^{on obtient :}

of[3

et

ou

nous

exprimons

par la suite toutes les

longueurs

^en

unite de

Ao.

(2) ^{Dans le cas considere I} o Lo ;5 Ao.

Ce resultat montre que

- la distribution du

champ

^{autour d’un vortex}

n’est pas

isotrope

^en

presence

^{de la}

modulation,

-

Ah(R) depend

^{de la}

position

^{du vortex consid6r6}

par rapport ^{a la}

modulation; Ah(R) =A

0 pour

chaque position

^{de vortex.}

En

particulier,

pour ^{un vortex} situe dans ^une

region

fortement concentree

(R’ = 0),

la variation du

champ Ahn,,,x(R)

^est

egale

^{en valeur}

absolue,

^{mais de}

signe oppose,

^a la variation

Ah.i.(R)

^{autour d’un vortex}

situe dans une

region

^de concentration minimale

(R, = LO/2) :

L’illustration de ces resultats est donnee sur la figure 2.

FIG. 2a. ^- Distribution du champ magnetique ^{autour d’un vortex}

en presence ^{de la} modulation, pour h ⁼ 285 Oe, b ⁼ 0,3, Lo ^{= 1000} A.

Ao ^{= 900} A, ^{a X’ = 0} (vortex ^{dans un maximum de} concentration)

et a X’ ⁼ Lo/2 (vortex ^{dans un minimum de} concentration).

FIG. 2b. ^- Variation du champ dans la direction de la modulation pour ^{un vortex} situ6 dans ^un maximum de concentration (X’ ⁼ 0),

en unites reduites : h ⁼ h(X/ Lo, 0), ^{b =} 0,35. Courbe I :

LOIAO ⁼ 2/3. ^{Courbe II :} LOIAO ^{= 2.}

2.2 INTERACTION ENTRE DEUX VORTEX EN PRE-

SENCE DE LA MODULATION. ^- En

presence

^{de la}

modulation,

^la distribution du

champ

^{autour de}

chaque

vortex est

chang6e :

^nous considerons un

vortex

(1)

^{situ6 a}

l’origine (R1

⁼

0),

^{et un vortex}

(2)

situ6 a

R2,

^un maximum de la concentration

d’impu-

ret6s 6tant A X ⁼ X’

(Fig. 1).

^Le

champ

total cree par ^ces deux vortex au

point

^{R est}

Pour la variation de leur

energie d’interaction,

^calculee

a

partir

^des

eq. (2. 1), (2. 5)

^et

(2. 6),

^{on trouve}

Cette variation

depend

^non seulement de la

position

relative d’un vortex par rapport ^a

1’autre,

^{mais aussi} de leurs

positions

par rapport ^a la modulation de la concentration. Pour

expliciter

^cette

dependance,

^nous

6crivons

(2.7)

^{sous la forme}

ou

qJ1 (R)

^et

qJ2(R)

sont,

respectivement,

^{les transfor-}

m6es de

Fourier

de

et de

On remarque les

propri6t6s

^{suivantes de}

AFi 2 a)

^{Si l’un des vortex de la}

paire

consid6r6e est

situ6 dans un maximum de la

concentration,

^la

variation de l’interaction est la meme en valeur

absolue,

^{mais de}

signe opposé à

^celle

qui

^se

produit lorsqu’un

^des vortex est dans un minimum de concen-

tration,

b)

L’interaction entre deux vortex, dont 1’un dans

un maximum et 1’autre dans un minimum de la concen-

tration,

^{est la meme}

qu’en

absence de

modulation;

c)

^{Les vortex situes dans les}

positions

^ou

c(X)

⁼ co

interagissent

^{de meme}

faqon qu’en

^{absence de la}

modulation :

AF,, 2 X’ = Lo, X2

⁼

nLo =

^0.

2.3 VARIATION DE LA SELF-ENERGIE D’UN VORTEX EN PRESENCE DE LA MODULATION. ^- Procedant _par

analogie

^{avec le cas non}

perturb6

^on peut ^6valuer

AFr,elf A partir

^de

1’expression

^calculee pour

Fl,2,

en

prenant R2 -+ ç(Ri),

^of

Ri

^{est la}

position

^{du vortex}

par rapport ^{a un} maximum de la concentration choisie pour

origine (Ri

^{= -}

R’,

^cf.

Fig. 1).

^{Nous intro-}

duisons

((RJ

pour tenir compte ^{de la variation de la}

self-6nergie

^{due aux} variations locales

de ç = ç(Ri),

car la variation de

1’energie

d’interaction

AF,,2,

calculee dans

I’approximation

^{de London}

(eq. (2.7)),

tient compte

uniquement

des variations locales de A ⁼

À(Ri).

Au 1 er ordre

en b,

^{on a}

Ici,

(Cf.

^aussi

1’appendice A.)

On trouve

T, 6tant defini _par

(2. 8).

^La variation totale est

avec H*

= H* - 4 H!.

^{Pour H*} >

0,

^{la diminution} de

Fself

^{est la}

plus grande

pour

Ri

^{= 0 : un vortex}

isole aurait tendance a se

placer

^{dans une}

region

^de

forte concentration. H*

repr6sente

la variation du

champ

^de

premiere penetration, H,,

⁼

H ° -

^H*.

Dans le cas limite ou la

p6riode Lo

^{de modulation} devient

infinie,

^{H* donne bien}

l’amplitude

^{de la}

variation

ðHc1(Ri)

^du

champ

^{local de}

premiere penetration (cf. Fappendice A).

L’amplitude

H* de la variation

p6riodique AF, , elf depend

^en

premier

^{lieu de}

1’amplitude (relative) b

de la

modulation;

^{dans notre}

approche

par pertur-

bation,

^{elle est}

proportionnelle

^{a b. D’autre} part, H*

depend

^des

propri6t6s

de la matrice de

1’alliage (par

interm6diaire de _K,,

io),

^{de la}

temperature

^T

et de la

p6riode Lo

^{de la} modulation.

La variation de

1’energie

d’interaction entre deux

vortex

AF12

^est

proportionnelle

^{a b}

6galement,

^et

depend

^{des memes}

param6tres

que

AF, ,elf-

3.

Configuration

^du

champ magnétique

a l’intérieur de 1’echantillon en

equilibre thermodynamique.

^{- Dans}

le cas de

1’alliage supraconducteur

a concentration

modul6e,

^de meme que dans le cas

homogene,

^on

s’attend a une

penetration

^du flux a l’int6rieur de 1’echantillon sous forme de vortex. Notre but est ici :

- de determiner la distribution des vortex dans le milieu

inhomog6ne

^en

question,

^{en fonction du}

champ

^ext6rieur

H,

- de detecter les resonances 6ventuelles entre la structure

p6riodique

^{du milieu et} le reseau de vortex.

3.1 1 CONDITIONS

D’EQUILIBRE.

^{- Nous conside-}

rons 1’ensemble des vortex dans un

systeme

^des

coordonn6es

x0’y,

^{dont 1’axe}

O’x,

^en

general,

^ne

coincide pas ^avec 1’axe OX de

modulation,

^mais forme un

angle

^{0 avec ce dernier.}

L’origine

^{0’ se}

trouve en

position

ro par rapport ^{a un maximum de} la concentration

(Fig. 3).

FiG. 3. ^- Les vecteurs fondamentaux al, a2 du reseau de ^vortex orient6 d’un angle 0 par rapport ^a I’axe de modulation.

En

presence

^d’un

champ

^ext6rieur

H,

^{le nombre de}

vortex est N ⁼

2:,

^{les vortex etant numerotes par}

i

l’indice i ; l’induction B ⁼

N(polD, Dy

^{est une fonc-}

tion de H.

Dx

^et

Dy

^sont les dimensions de 1’echantillon

(que

^nous supposons tres

grand)

^{dans le}

plan

perpen- diculaire au

champ

^H.

Pour un

champ H donne,

^{nous calculons la densite}

de

1’energie

^{libre de Gibbs}

[3] :

Nous utiliserons par la suite les unites

reduites, expri-

mant les dcnsitcs

d’energies

^{en unites de}

et les

champs

^{en unites de}

Connaissant

l’énergie

^{des vortex en absence de la}

perturbation [3], Fslf

^et

Fi°t,

^{et calculant}

OFself

^et

ð.Fint

^{a 1’aide des}

eq. (2.7)-(2.10),

^{nous obtenons}

ou

Le terme

proportionnel

^{a H* dans}

(3.1) repr6sente ð.Fself’

^tandis que le terme

proportionnel

^{d b dans}

(3.2) repr6sente AFi., :

^{dans un}

alliage supraconduc-

teur a concentration

modul6e,

^la

self-6nergie

^d’un

vortex, ainsi que

1’energie

^{de son} interaction avec

les autres vortex, ^varient

periodiquement

^{en fonction}

de la

position

^{du vortex considere} par rapport ^{a la} modulation. Le 1 er terme dans

(3.2)

^est

Pour trouver la

configuration d’equilibre,

^nous

minimisons _{G par}

rapport

^aux

positions

^{des vortex} ri.

Les conditions

d’6quilibre 8G/8ri

^{= 0 sont donnees}

sous forme

explicite

^dans

I’Appendice

^B.

3.2 LE COUPLAGE RTSONNANT ENTRE LE RESEAU DE VORTEX ET LA MODULATION

PERIODIQUE

^{DE CONCEN-}

TRATION. ^- Dans cette section nous montrerons que pour certaines valeurs du

champ

^{H =}

Hnt,n2

^les

vortex sont

arranges

^{en reseau}

regulier,

^{de telle}

faqon

que

1’energie G(Hnt,n2)

^{est abaissee par rapport}

au cas

homogene :

^un

couplage

^{r6sonnant entre le}

reseau de vortex et la modulation

periodique

^{de la}

concentration a lieu.

Les conditions

d’equilibre (eq.

^{B .1 de}

1’appen-

dice

B)

^montrent

qu’un

^réseau

regulier existe,

^{si la} condition

est satisfaite. Les vortex se trouvent alors dans les

positions

les vecteurs fondamentaux _a, et a2 du reseau formant

un

angle

^a

(Fig. 3).

Le minimum de

1’energie correspond

^{a la}

configu-

ration ou

dans ce cas,

ou ni

^{et n sont des entiers.}

La

configuration d’equilibre

^{est donc} celle ou q est un des vecteurs du reseau

reciproque,

a*

^et

a*

^{etant les vecteurs} fondamentaux du reseau

.,ciproque.

^D’autre part,

1’eq. (3.3)

^s’6crit

Ceci veut dire _{que la}

projection Xi

du rayon ^vecteur de

chaque

^vortex a l’axe de modulation OX est un

multiple

^{de la}

periode Lo ; l’origine

^{0’ se trouve aussi}

dans une

region

concentree

(ro

⁼

0).

^{Dans ce} cas,

AF,,elf 0, ð.Fint ^0,

^et

^1’energie

libre de Gibbs est

abaiss6e _par rapport ^{au cas}

homogene (b

⁼

0) :

le

couplage

^{resonnant a lieu si tous les vortex se}

trouvent dans’les

regions

^de concentration maximum.

La valeur de G est

la fonction _T, 6tant d6finie _par

(2. 8).

Par contre,

1’arrangement

^{avec les}

rang6es

^de

vortex dans les minima de concentration

augmente

l’énergie

^du

systeme,

^les variations

Fself

et

OFint

^etant

positives

^{dans ce cas.}

Pour

q(ri

⁺

r 0)

⁼

ng .n,

eiq(ri +r) ⁼ 1:

1,

^suivant la

position

ri,

A7

⁼

^0, Fint

⁼

^0,

^{la modulation}

n’a pas d’effet : les vortex sont

places

^{dans les minima}

et dans les maxima de

concentration,

^{et 1’effet}

global

est nul.

Lors de resonance les

eq. (3.4)

^et

(3 . 5)

determinent les

angles

^{0 et a en fonction de ai,} a2, n1 et n2 : cos 9 = ⁿ¹

Lo -

cos 0 = ^{- =} a,

Si l’on

neglige

la modification du reseau due a la

modulation,

a1 = a2, a ⁼

60°,

En

fait,

^{la forme et} 1’aire de la maille 616mentaire sont

chang6es

^en

presence

^{de la} modulation. Pour 6valuer ce

changement,

^et determiner les valeurs du

champ

^{ext6rieur H} pour

lesquelles

^le

couplage

^r6son-

nant a

lieu,

^nous minimisons

1’energie

G par rapport

aux

param6tres

a1, a2 et ^a.

L’6q. (3. 7)

^s’6crit

ou v est le nombre de vortex par

maille,

1’ aire de la maille

616mentaire,

^et

H:1

⁼

H, 1 -

^{H* .}

Pour des raisons de

simplicite,

^nous

regardons

pour l’instant le cas v ⁼ 1.

Minimisant G on trouve deux relations entre

et une relation entre un de ces

parametres (a,

par

exemple)

^{et le}

champ H,

Il faut remarquer que le

changement

^de la forme de la maille est du a

1’anisotropie

de l’interaction entre vortex, associ6e ^{a la} modulation de concentration.

Si l’on

n6gligeait

^cet

effet,

^en prenant

I1Fint

⁼

0,

le

systeme

^se

comporterait

^{comme un}

alliage

^homo-

g6ne

^{avec un}

champ

^de

premiere penetration H:1.

Toutefois,

^les variations des

param6tres

^du

reseau,

de l’ordre de

b,

^{sont faibles et} l’induction

Bn,,n2

varie grosso modo suivant

(3.10).

^Pour

0=7r/2,

par

exemple,

Par contre, la variation de

Hnl,n2

^en fonction de n1

Lo,

d6termin6e essentiellement par le ^{terme non}

perturb6

^de

(3.12),

^{ne suit} pas la loi

quadratique.

Pour 0 ⁼

n/2,

la hauteur du

triangle

^{est le}

long

^de

1’axe

de modulation,

tandis que pour 0 ⁼

0,

^{le cote}

du

triangle

^est

parall6le

^{a cet axe.}

Nous avons

represente quelques configurations

de

resonance,

^dans

1’approximation

^des

triangles 6quilat6raux,

^{sur la}

figure

^4.

FIG. 4. ^- Les configurations ^{du reseau : - lors du} couplage

r6sonnant (en ^traits continus), ^{- en} absence du couplage (en pointille).

Il faut remarquer que le choix _{de n1, n2}

qui

^donnent

la meme valeur de B n’est _pas

unique.

^{Pour 0 =}

7r/2,

H ⁼

Hl,

n1 ⁼

1,

n2 ⁼ 1 _{et ni} ⁼

0,

n2 = 1 corres-

pondent

^a

Bi

⁼

l12 ^{L 2,}

^par

exemple; H5

^corres-

pondaBS=4B1etH9aB9=9Bl.Pour6=0,

H, correspond

^a

B4 = i B1.

^{Pour une} orientation

oblique,

^{on a deux}

configurations correspondant

^au

meme

champ H, qui

s’obtiennent _par une r6flexion par rapport ^{a 1’axe OY}

(Fig. 4, configuration H8, correspondant

^a

B -1 B1).

Les

triangles

^en

pointiII6 repr6sentent

^les

configura-

tions ou il

n’y

^a pas de

couplage,

^{les vortex se trouvant}

dans les maxima et dans les minima de la concentra-

tion.

Nous terminerons cette section _par

quelques

^remar-

ques

generales

^{sur les}

champs

de resonance.

Lorsque

^le

couplage

^{r6sonnant a}

lieu,

la distance minimum d entre vortex est de l’ordre de

grandeur

de la

P6riode Lo

de modulation. Pour avoir une

resonance en

champ ^élevé,

^{o-h d}

Åo(T),

^{il faut}

avoir des

p6riodes

de modulation tres

petites

^devant

AO(T) : Lo -

^d

AO(T).

Pour des

periodes Lo comparables

^a

Ào(T) (Lo AO(T)),

^les

champs

^{de resonance sont de}

l’ordre de

He1.

Consid6rons d’abord la

premiere resonance,

^corres-

pondant

^au

champ

^le

plus

^fort

(la

^{distance entre les}

rang6es

^{de vortex 6tant}

egale

^{a la}

p6riode LO).

^Pour

une matrice de

1’alliage donn6e,

la valeur de ce

champ depend,

^en

premier lieu,

^du rapport

LOIAO(T) (cf.

1’6q. (3.12)

^{en unites}

physiques). L’amplitude

^{relative b}

de la modulation determine la

grandeur

^{des correc-}

tions dues aux variations de la

self-6nergie

^{des vortex}

et de

1’energie

d’interaction entre les vortex. Pour des resonances en

champs plus faibles,

^{les valeurs des}

champs

de resonance d6croissent en fonction du nombre

(n1, n2)

de resonance. C’est maintenant les rapports ni

Lo/Ào(T)

^et n2

Lo/Ào(T) qui jouent

^le

role

preponderant.

3.3 CONFIGURATION

D’EQUILIBRE

^EN DEHORS DU COUPLAGE RESONNANT : RESEAU PRESQUE RIGIDE, LÉGÈREMENT DEFORME. ^- En dehors des

resonances,

le

couplage

^{entre les} vortex et les

inhomog6n6it6s

est faible

pour b petit.

^On peut, ^a

partir

^{d’un reseau}

equilateral r6gulier, envisager

^{un reseau}

légèrement

d6form6. Nous supposons que

chaque

^{vortex s’6carte}

legerement

^{de sa}

position

dans le reseau

rigide :

Pour b

petit,

les conditions

d’equilibre

lin6aris6es

(cf.

^les

eq. (B. 4)

^et

(B. 5)

^de

l’ Appendice B)

^donnent

pour

Ari

les solutions

(en

^{dehors du}

couplage

r6sonnant sin

q(r9

⁺

ro) =1=

⁰

dans le cas

general).

Les

amplitudes t1

et t2 ^des

deplacements

^sont

donn6es par les

eq. (B. 8)

^et

(B. 9)

^de

1’appendice B ;

elles sont

proportionnelles

^{a b.}

Toutefois, t1

et t2

divergent

pour

eiqr?

⁼

1,

^ce

qui

^est

justement

^la

condition de resonance. Donc un reseau

16g6rement

d6form6 ne peut ^{etre une}

configuration d’6quilibre qu’en

dehors des resonances.

D’autre part, pour

où ni’

^{est un} nombre entier ou

zero, Ari

^{= 0. Dans}

ce cas, les vortex se trouvent dans les minima et dans les maxima de

concentration,

Il en resulte _que

Fself

⁼

0, AF in,

⁼

0;

^il

n’y

^a pas de

couplage

^{et les} vortex sont

disposes

^en

triangles 6quilat6raux.

^Cette

configuration

^ne peut ^{etre r6alis6e} que pour des valeurs de 0 bien d6termin6es

(Fig. 4,

les

triangles

^en

pointiII6). Toutefois,

^ce n’est pas ^une

configuration d’equilibre ;

^le

systeme

^{des vortex} peut ^{abaisser son}

energie

^en

changeant

l’orientation 0

et en d6formant le r6seau.

En

general,

^la deformation lin6aire du reseau conduit a un

gain d’6nergie

^{du 2nd ordre en}

ampli-

tude de la

perturbation.

^{Dans le cas}

pr6sent,

^la

densité de

1’6nergie

^libre de Gibbs s’6crit

1

ou

H’, t1

et t2 ^{sont donn6s} par les

eq. (B . 8)-(B .11 )

de

1’appendice

^{B. Les distances} moyennes

r°,

^entre

les vortex sont, ^{au 1 er} ordre en

b,

^non

perturb6es :

leurs variations en fonction de b sont du

2nd

ordre.

L’6nergie

que le

systeme

^a

gagnee

par la deformation est

petite,

^{du 2°d ordre en b aussi. Par} contre, ^lors du

couplage r6sonnant,

la variation AG est du 1 er ordre

en

b,

^et l’abaissement de

1’energie

^est d’un ordre de

grandeur plus grand

que dans le ^cas d’un reseau

légèrement

d6form6. Cela laisse _supposer 1’existence d’un passage du 1 er ordre d’un reseau

regulier,

ancr6 _{par les}

inhomogeneites,

^{a un reseau}

legerement

deforme

(3).

^{Dans ce dernier}

cas, l’énergie

^du

systeme

est

ind6pendante

^{de la}

position

ro du reseau _par rapport ^a la modulation.

Toutefois,

^{une faible}

depen-

dance

angulaire

^{existe : dans}

(3.15),

^{les termes du} 2nd ordre en b d6terminent l’orientation 0 du reseau pour

chaque champ

^H.

Pour illustrer le comportement ^du

systeme

^dans

tous les domaines du

champ considere,

nous avons

port6

la densite de

1’energie

^{libre de Gibbs}

G(H)

sur la

figure

^5.

FIG. 5. ^- Densite d’energie libre de Gibbs en fonction du champ

ext6rieur H. Courbe Go : 6nergie ^en absence du couplage, ^corres- pondant ^{a un} alliage homogene ^de concentration co ; Courbe GR :

energie lors de la resonance.

Erratum : sur la courbe de gauche, ^lire GR ^{au lieu de G R.}

(3) ^{Nous ne} pouvons pas determiner exactement la nature de ce

passage, ^ne connaissant _pas les configurations d’equilibre ^au voisinage imm6diat des resonances.

En

champ

^tres

^faible, l’énergie

^de l’interaction entre

les vortex est

n6gligeable

^{et les} vortex sont

pieges

individuellement _{par les}

inhomog6n6it6s.

^{Ils ont}

1’avantage

^{de rentrer dans les}

regions concentrees,

avec un

champ

effectif de 1 re

penetration H: 1.

^En

champ plus ^eleve,

dans les domaines du

champ

^ou

un reseau

16g6rement

^deforme

existe, 1’energie

^du

systeme

^est

proche

^de

1’energie Go(H)

^{en absence de}

perturbation.

^{Lors des}

resonances,

les valeurs de G

se situent sur la courbe

G(H).

3.4 FORCE D’ANCRAGE DUE A LA MODULATION DE CONCENTRATION ET LE COURANT CRITIQUE. ^- Pour calculer la force

d’ancrage, qui

maintient les vortex dans les maxima de concentration lors du

couplage r6sonnant, d6placons

le reseau entier de _ro le

long

^de

1’axe de la modulation. Dans cette

position (qui

n’est pas celle de

1’equilibre) Fenergie

^du

systeme

^est

(cf. (3.1)

^et

(3.7))

La force

d’ancrage (par

^{unite de}

volume) fv

^s’6crit

ou F ⁼ G +

BH/4 nest 1’energie

^{libre. A}

partir

^de

(3.15)

^{on trouve}

La force

d’ancrage

^est

dirig6e

^le

long

de l’axe de

modulation,

^{et a tendance a ramener les vortex dans}

les maxima de concentration.

La force maximum

correspond

^{au courant}

critique.

^En

presence

^d’un

courant de transport ^{de densite}

J,

traversant 1’6chan- tillon dans la direction

perpendiculaire

^{a 1’axe OX}

de

modulation,

^{une force de Lorentz}

agit

^{sur les}

vortex :

Pour desancrer les vortex, ^{cette force} doit _compenser la force

d’ancrage, exprimee

^{en unites}

physiques.

(4) ^En d6plaqant le reseau en bloc on neglige ^les r6ajustements

des positions ^{des vortex au cours du} deplacement ; le calcul de courant critique presente ^{ici n’est} qu’approximatif.

La densite du courant

critique Jc

^{est donc d6ter-}

minee _{par la} condition

Ceci permet ^de

calculer J

^pour

chaque Bnl,-n2.

Nous avons vu que lors des resonances il existe

un reseau

r6gulier,

d’orientation fixe et de

position

determinee _par rapport ^aux

inhomogeneites,

^tandis

qu’en

dehors des resonances la structure de

1’equilibre

est

proche

^{de celle du cas}

homog6ne.

Pour passer de l’une de ces structures a

1’autre,

^une reorientation

et une deformation du reseau doivent avoir lieu : a cause de l’interaction avec les

inhomogeneites, 1’energie

^du

systeme

^{oscille entre la courbe non}

perturb6e Go(H) et la

courbe de resonance

GR(H) (Fig. 5).

L’abaissement de

1’energie

par rapport ^au

cas

homogene

^{est le}

plus grand

^{lors du}

couplage resonnant,

^{ou un} arrangement

regulier

^{des vortex}

conduit aux variations maximales de

I1Fself

^{et de}

AF int. L’ancrage

^des vortex est donc maximum _pour les

champs

^de

resonance,

^{et c’est} pour ^ces valeurs du .

champ qu’on

doit observer les

pics

^{du courant}

critique expérimentalement.

4. Conclusion. ^- Le modele de

London, applique

aux

systemes

^{contenant une} distribution

periodique

des

inhomogeneites,

permet ^{de mettre en evidence} d’une part ^les

consequences physiques

du caractere

inhomogene

^et

anisotrope

du milieu et, d’autre part, les

consequences

^{de la}

periodicite.

Dans un

alliage

^ou la concentration

d’impuret6s

varie

p6riodiquement

^{dans une}

direction,

la distri- bution du

champ

^{autour d’un vortex n’est}

plus isotrope :

Ah(R)

^variant

p6riodiquement

^{avec la}

position

^du

vortex par

rapport

^a la modulation de la concentration

(§ 2. 1).

^La

repulsion

^{mutuelle entre deux vortex} peut ^{etre diminu6e ou}

augmentce

par rapport ^{au cas}

non

perturbe,

^suivant

1’emplacement

^{des vortex}

(§ 2. 2).

La

self-energie

^{d’un vortex varie}

periodiquement

avec sa

position;

la diminution de la

self-energie

est la

plus grande

^{si le vortex se trouve dans une}

region

fortement concentree

(§ 2.3).

^Au

voisinage

^immediat

de

HC1

^la

penetration

^{des vortex commence donc dans}

ces

regions-la.

^{Pour des}

champs plus ^eleves,

^ou

l’interaction entre les vortex conduit a la formation d’un

reseau,

le modele de London

permet

^{de mettre}

en evidence la

possibilite

^d’un

couplage

^résonnant

entre le reseau des vortex et la modulation

perio- dique (§ 3.2).

^{Pour des}

champs

^de

couplage

^resonnant

H

= Hn1,n2

^{les vortex se}

^placent

^{dans les maxima}

de concentration formant un reseau dont la distance entre deux

plans

^est

6gale

^{a un}

multiple

^{de la}

periode

de la modulation. Le reseau ^est

regulier,

^{mais la}

forme et 1’aire de la maille elementaire sont en

general changees

par rapport ^{au cas non}

perturb6,

^et

dependent

des

parametres

^{de la} modulation b et

Lo.

Nous n’avons pas calcule

explicitement

^{la structure}

du réseau en

presence

^{de la} modulation de concen-

tration ;

^un tel calcul

presenterait plus

^{d’int6r8t dans}

le cas d’une

perturbation

relativement

grande (b - 1).

Dans tous les domaines des

champs,

^{on trouve une}

possibilit6

^de

couplage;

^le

couplage

^{resonnant a}

reellement lieu dans le domaine des

champs H

^consi-

dere et a la

temperature

^T

donn6e,

^seulement pour des modulations de

periode Lo appropri6e.

De meme que dans le cas

homog6ne,

^{le modele de}

London se

prete

^{surtout a} 1’6tude des

supraconduc-

teurs

inhomogenes

^en

champ faible (H Z Hc1) :

^il

suffit de calculer directement l’interaction d’un vortex

avec

quelques

^{voisins. Par} contre, dans ^la

region

^des

champs

intermediaires

(HCt

^H

HC2)’

^{il est neces-}

saire de tenir compte ^{d’un tres}

grand

nombre d’interac- tions. Dans ^cette

region

^on peut ^{£valuer la somme} des

energies

d’interaction _par la methode de Shmidt

[4].

En

champ fort,

^au

voisinage

^de

/ PL

^une

approche

basce sur la th6orie

Ginzburg-Landau [3] (G. L.) pourrait

^{etre utilisee. Une telle}

approche, d’ailleurs, pourrait

^tenir compte ^des effets du c0153ur de vortex;

qui

^sont

importants

^a

temperature

^elevee

[1]

^et

qui

^sont

n6glig6s

^{dans le} modele de London.

Ce travail

achev6,

^{nous avons}

pris

connaissance d’un travail de ^S. Ami et K.

Maki, inspire 6galement

par des

experiences

^{de H.}

Raffy et al.,

^{et base sur la} theorie G. L.

[5].

Une

comparaison

^{de nos resultats avec les}

exp6-

riences

[1]

^est

presentee

par ailleurs

[6].

Appendice

^{A. -} Variation de la

self-6nergie

^{d’im vortex dans le cas limite de tres}

grandes p6riodes

^{de modu-}

lation. ^- Dans la limite de tres

grandes periodes, Lo --+

^{oo, la}

self-6nergie

^d’un vortex est

proportionnelle

au

champ

^{local de}

premiere penetration,

^et

Dans ce cas, le milieu est localement

homogene

^et

Hc1 (Ri)

^{est determine par} les valeurs locales

de ç

^{et A :}

Puisque ç

^{varie en fonction de} la concentration en sens inverse

de 2,

Ceci donne

ou

Ko et K1

^{sont les} fonctions de Bessel modifiees

[3].

D’autre part,

donc

Pour de tres

grandes p6riodes,

Appendice

^{B. - Les} conditions

d’6quilibre thermodynamique.

^{- B. 1 LES} CONDITIONS

D’EQUILIBRE

^ET RESONANCES. ^- On considere les vortex, situes ^en

positions

^{r =}

(x, y)

^{dans un}

systeme

de coordonnees

xO’y,

dont 1’axe 0’x fait un

angle

^{0 avec 1’axe OX de} modulation. Les conditions

d’equilibre

^en

presence

^de

champ

exterieur H s’6crivent sous forme

d’equations

vectorielles :

Ces

equations

^sont satisfaites si les vortex dans le

systeme xOy

^{forment un reseau}

regulier,

^tel que

En

effet,

^si

ou a, ^et a2 ^sont les vecteurs fondamentaux du reseau

(cf. Fig. 3),

^on peut effectuer la somme

sur j

^dans

(B .1)

a 1’aide de la relation

-

Dans ce cas

et 1’eq. (B .1 ) s’ecrit

ou

kl, k2

^et ql, q2 ^sont les composantes ^{de k} et q,

respectivement,

^{suivant les vecteurs} fondamentaux _a1 et a2 du reseau

r6ciproque,

^{et la}

somme £

^est

^remplac6e par Y- -

j I’m

Utilisant

(B. 3)

^{on trouve}

La somme allant ^sur tous les vecteurs du reseau

reciproque,

B. 2 EN DEHORS DES RESONANCES : EXISTENCE D’UN RESEAU LtGtREMENT DEFORME. ^- Pour des

champs H

ne

correspondant

pas ^aux

resonances,

^on peut supposer que le r6seau est deforme d’une maniere

periodique,

et chercher des solutions de

(B .1)

^{sous forme}

(3.13)

^et

(3.13’).

^Les

amplitudes t1

^{et t2, faibles}

pour b 1,

^se calculent a

partir

^{des deux}

equations scalaires,

provenant ^de

(B .1) :

ou

Les fonctions _(p, et (P2 sont les transformees de Fourier de

(2.8)

^{et de}

(2.9) respectivement.

Les

eq. (B .5)

^et

(B. 6)

linéarisées ont bien des solutions de forme

suppos6e.

^Pour t1 ^et t2 ^{on trouve}

ou

et

Remerciements. ^- Nous sommes tr6s reconnaissants aux Professeurs P. G. de Gennes et M.

Cyrot

pour des discussions sur ce travail. Nous tenons a remercier H.

Raffy

pour de nombreuses discussions sur les resultats

exp6rimentaux.

Le calcul

num6rique

^{de la} distribution du

champ

^{autour d’un vortex a} ete effectu6 au Centre de Recherches de la

Compagnie

^G6n6rale

d’Electricit6,

Laboratoires de Marcousis.

Nous remercions les Laboratoires de Marcousis de ce concours.

Bibliographie [1] RAFFY, H., GUYON, ^E. and RENARD, ^J. C., Solid State Comm. 14

(1974) 427, ^431.

[2] DALDINI, O., MARTINOLI, P., OLSEN, ^{J. L. and} BERNER, G., Phys. Rev. Lett. 32 (1974) ^{218 et} les références citées dans cet article.

[3] FETTER, ^{A. L. and} HOHENBERG. P. C., in Superconductivity, ed. by ^{R. D.} Parks, ² (Marcel ^Dekker Inc., New York) 1966 et les références citées dans cet article.

[4] SHMIDT, V. V., ^Sov. Phys. ^{JETP 34} (1972) ^211.

[5] AMI, ^S. and MAKI, K., Prog. ^Theor. Phys. ⁵³ (1975) ^1.

[6] DOBROSAVLJEVI0106, ^{L. and} RAFFY, H., Proceedings ^{of the Inter-}

national Discussion Meeting ^{on Flux} Pinning ⁱⁿ Super- conductors (ed. by P. Haasen and H. C. Freyhardt, Götingen) ^1975.