Supergravities in Superspace

Texte intégral

(1)Supergravities in Superspace Bertrand Souères. To cite this version: Bertrand Souères. Supergravities in Superspace. Mathematical Physics [math-ph]. Université de Lyon, 2018. English. �NNT : 2018LYSE1141�. �tel-01998725�. HAL Id: tel-01998725 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01998725 Submitted on 29 Jan 2019. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) /Ć EPSESF //5 ǺǸǹȀ-:4&ǹǹǼǹ. 5)µ4& %& %0$503"5 %& -6/*7&34*5² %& -:0/ PQÏSÏF BV TFJO EF M6OJWFSTJUÏ $MBVEF #FSOBSE -ZPO ǹ ²DPMF %PDUPSBMF ǽǺ 1IZTJRVF FU "TUSPQIZTJRVF EF -ZPO 4QÏDJBMJUÏ EF EPDUPSBU 1IZTJRVF ɥÏPSJRVF %JTDJQMJOF 1IZTJRVF .BUIÏNBUJRVF 4PVUFOVF QVCMJRVFNFOU MF ǹǿǸȁǺǸǹȀ QBS . #FSUSBOE 4PVÒSFT. 4ĦġĖģĘģĒħĚĥĚĖĤ Ěğ 4ĦġĖģĤġĒĔĖ 4ĦġĖģĘģĒħĚĥţĤ Ėğ 4ĦġĖģĖĤġĒĔĖ %FWBOU MF KVSZ DPNQPTÏ EF %&"/%3&" "MEP 1SPGFTTFVS 6OJWFSTJUÏ -ZPO ǹ. 1SÏTJEFOU EV KVSZ. (3"/ 6MG 1SPGFTTFVS $IBMNFST 6OJWFSTJUZ PG 5FDIOPMPHZ 4VÒEF )08& 1BVM 1SPGFTTFVS ,JOHT $PMMFHF -POEPO (SBOEF#SFUBHOF ,"4)"/*1003 "NJS,JBO .BÔUSF EF $POGÏSFODFT &/4 1BSJT 4".5-&#&/ )FOOJOH 1SPGFTTFVS &/4 EF -ZPO 54*.1*4 %JNJUSJPT 1SPGFTTFVS 6OJWFSTJUÏ -ZPO ǹ. 3BQQPSUFVS 3BQQPSUFVS &YBNJOBUFVS &YBNJOBUFVS %JSFDUFVS EF UIÒTF. ǹ.

(3) B B B 3ţĤĦĞţ. -FT DPSSFDUJPOT EPSESF TVQÏSJFVS FO EÏSJWÏFT BQQMJDBCMFT Ë MB UIÏPSJF EF TVQFSHSBWJUÏ Ë PO[F EJ NFOTJPOT DPOTUJUVFOU VO QVJTTBOU PVUJM QPVS ÏUVEJFS MB TUSVDUVSF NJDSPTDPQJRVF EF MB UIÏPSJF . 1MVT QBSUJDVMJÒSFNFOU MJOWBSJBOU TVQFSTZNÏUSJRVF Ë MPSESF IVJU FO EÏSJWÏFT FTU OÏDFTTBJSF Ë MB DP IÏSFODF RVBOUJRVF EF MB UIÏPSJF NBJT JM OFO FYJTUF Ë DF KPVS BVDVOF FYQSFTTJPO DPNQMÒUF %BOT DFUUF UIÒTF BQSÒT VOF JOUSPEVDUJPO GPSNFMMF BVY UIÏPSJFT EF TVQFSHSBWJUÏ OPVT QSÏTFOUPOT VOF UFDIOJRVF BQQFMÏF QSJODJQF EBDUJPO EPOU MF CVU FTU EF HÏOÏSFS MF TVQFSJOWBSJBOU DPNQMFU BTTPDJÏ BV UFSNF EF $IFSO4JNPOT EPSESF IVJU FO GBJTBOU VTBHF EV GPSNBMJTNF TVQFSFTQBDF #JFO RVF DF SÏTVMUBU OF TPJU QBT FODPSF BUUFJOU OPVT FO EÏUFSNJOPOT DFSUBJOFT DBSBDUÏSJTJRVFT FU PVWSPOT MB WPJF Ë VOF SÏTPMVUJPO TZTUÏNBUJRVFT EFT ÏUBQFT EF DBMDVM Ë WFOJS %BOT MF DIBQJUSF TVJWBOU OPVT QSÏTFOUPOT MFT QSJODJQBMFT GPODUJPOOBMJUÏT EV QSPHSBNNF JOGPSNBUJRVF ÏMBCPSÏ QPVS HÏSFS MFT JN QPTBOUT DBMDVMT MJÏT BV QSJODJQF EBDUJPO $F QSPHSBNNF FTU QBSUJDVMJÒSFNFOU BEBQUÏ BV USBJUFNFOU EFT NBUSJDFT HBNNB EFT UFOTFVST FU EFT TQJOFVST UFMT RVJMT TVSWJFOOFOU FO TVQFSFTQBDF &OmO Ë MBJEF EF DFU PVUJM OPVT BCPSEPOT VO BVUSF TVKFU DBMDVMBUPJSF MB DPOEFOTBUJPO GFSNJPOJRVF FO TVQFSHSBWJUÏ **" NBTTJWF &O VUJMJTBOU MB GPSNVMBUJPO TVQFSFTQBDF EFT TVQFSHSBWJUÏT **" OPVT EÏ SJWPOT MFT UFSNFT EF MBDUJPO RVBSUJRVFT FO GFSNJPOT QVJT FO JNQPTBOU VOF WBMFVS NPZFOOF EBOT MF WJEF OPOOVMMF OPVT NPOUSPOT RVJM FTU QPTTJCMF EF DPOTUSVJSF VOF TPMVUJPO EF HÏPNÏUSJF EF 4JUUFS EBOT EFVY DBT TJNQMFT. "ēĤĥģĒĔĥ. )JHIPSEFS EFSJWBUJWF UFSNT JO FMFWFO EJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ BSF B QPXFSGVM UPPM UP QSPCF UIF NJDSPTDPQJD TUSVDUVSF PG .UIFPSZ *O QBSUJDVMBS UIF TVQFSJOWBSJBOU BU PSEFS FJHIU JO OVNCFS PG EFSJWBUJWFT JT SFRVJSFE GPS RVBOUVN DPOTJTUFODZ CVU IBT OPU CFFO DPNQMFUFMZ DPOTUSVDUFE UP UIJT EBZ *O UIJT UIFTJT BGUFS B GPSNBM JOUSPEVDUJPO UP TVQFSHSBWJUZ XF GPDVT PO B UFDIOJRVF DBMMFE UIF BDUJPO QSJODJQMF XJUI UIF BJN PG HFOFSBUJOH UIF GVMM TVQFSJOWBSJBOU BTTPDJBUFE UP UIF $IFSO 4JNPOT UFSN BU PSEFS FJHIU VTJOH UIF TVQFSTQBDF GPSNBMJTN PG TVQFSHSBWJUZ "MUIPVHI XF EP OPU DPOTUSVDU UIF TVQFSJOWBSJBOU XF EFUFSNJOF TPNF PG JUT DIBSBDUFSJTUJDT BOE QBWF UIF XBZ GPS B TZT UFNBUJD USFBUNFOU PG UIF DPNQVUBUJPOT MFBEJOH UP UIF EFTJSFE SFTVMU ɥFO XF QSFTFOU UIF NBJO GFBUVSFT PG UIF DPNQVUFS QSPHSBN XF CVJMU GPS EFBMJOH XJUI UIF DBMDVMBUJPOT FODPVOUFSFE JO UIF BQQMJDBUJPO PG UIF BDUJPO QSJODJQMF *U JT TQFDJmDBMMZ EFTJHOFE UP EFBM XJUI HBNNB NBUSJDFT UFOTPST BOE TQJOPST BT UIFZ BQQFBS JO TVQFSTQBDF 'JOBMMZ XJUI UIF IFMQ PG UIJT QSPHSBN XF UBDLMF BOP UIFS DPNQVUBUJPOBMMZ JOUFOTJWF TVCKFDU UIF GFSNJPOJD DPOEFOTBUJPO JO **" NBTTJWF TVQFSHSBWJUZ 8F VTF UIF TVQFSTQBDF GPSNVMBUJPOT PG **" TVQFSHSBWJUJFT UP mOE UIF RVBSUJD GFSNJPO UFSN PG UIF BDUJPO BOE CZ JNQPTJOH B OPOWBOJTIJOH WBDVVN FYQFDUBUJPO WBMVF GPS UIJT UFSN XF SFBMJ[F B EF 4JUUFS TPMVUJPO JO UXP TJNQMF DBTFT. Ǻ.

(4) B B B 3ţĤĦĞţ ţĥĖğĕĦ. -B TVQFSHSBWJUÏ SFHSPVQF VO FOTFNCMF EF UIÏPSJFT BZBOU QPVS QBSUJDVMBSJUÏ EÐUSF JOWBSJBOUFT QBS USBOTGPSNBUJPO EF TVQFSTZNÏUSJF MPDBMF "VUSFNFOU EJU MBMHÒCSF EF TVQFSHSBWJUÏ JODMVU FO QMVT EFT USBOTMBUJPOT FU EFT USBOTGPSNBUJPOT EF 40 ǹ E VO FOTFNCMF EF HÏOÏSBUFVST GFSNJPOJRVFT BOUJDPNNVUBOUT BQQFMÏT TVQFSDIBSHFT -BMHÒCSF BJOTJ GPSNÏF EJUF EF TVQFS1PJODBSÏ JOUÒHSF MFT USBOTMBUJPOT MPDBMFT FU EÏDSJU EPOD EFT UIÏPSJFT JODMVBOU MB SFMBUJWJUÏ HÏOÏSBMF -F OPNCSF EF TVQFSDIBSHFT EÏOPUÏ / FTU DPOUSBJOU QBS MB EJNFOTJPO EF MFTQBDFUFNQT E -F TVQFSHSBWJUÏ / ǹ Ë PO[F EJNFOTJPOT GPSNVMÏF FO ǹȁǿȀ QBS & $SFNNFS # +VMJB FU + 4DIFSL $+4 FTU QBSUJDVMJÒSF Ë QMVT EVO UJUSF %BCPSE PO[F FTU MB EJNFOTJPO NBYJNBMF EF MFTQBDFUFNQT QPVS MBRVFMMF JM FTU QPTTJCMF EF EÏDSJSF VOF UIÏPSJF EF TVQFSHSBWJUÏ QFSUJOFOUF EV QPJOU EF WVF QIZTJRVF FO FĊFU MB QSÏTFODF EF QMVT EF ǻǺ TVQFSDIBSHFT DPOEVJSBJU Ë JODMVSF EFT DIBNQT EF TQJO TVQÏSJFVS Ë Ǻ DPOTJEÏSÏT OPOQIZTJRVFT &OTVJUF MB UIÏPSJF FTU VOJRVF FU KPVF VO SÙMF QBSUJDVMJFS EBOT MF SÏTFBV EF EVBMJUÏT MJBOU MFT EJĊÏSFOUFT UIÏPSJFT EF DPSEFT MFT TVQFSHSBWJUÏT FU MB UIÏPSJF . 1MVT QBSUJDVMJÒSFNFOU FO QMVT EÐUSF MJÏF Ë MB TVQFSHSBWJUÏ **" QBS SÏEVDUJPO EJNFOTJPOOFMMF MB TVQFSHSBWJUÏ $+4 FTU DPNQSJTF DPNNF ÏUBOU MB MJNJUF Ë CBTTF ÏOFSHJF EF MB UIÏPSJF . &O DF TFOT JM FTU BUUFOEV RVF TPO -BHSBOHJFO BENFUUF EFT DPSSFDUJPOT EPSESF TVQÏSJFVS Ë EFVY FO EÏSJWÏFT FO UBOU RVF EÏWFMPQQFNFOU BVUPVS EF DF QPJOU EF CBTTF ÏOFSHJF BmO EF SFOESF DPNQUF EV DPNQPSUF NFOU NJDSPTDPQJRVF EF MB UIÏPSJF . $FT DPSSFDUJPOT DPOTUJUVFOU VO NPZFO EÏUPVSOÏ EF TPOEFS MB TUSVDUVSF EF MB UIÏPSJF . EPOU MB GPSNVMBUJPO NJDSPTDPQJRVF OFTU QBT ÏUBCMJF -F QSFNJFS DIBQJUSF EF MB UIÒTF DPOTJTUF FO VOF JOUSPEVDUJPO HÏOÏSBMF BVY UIÏPSJFT EF TVQFSHSBWJUÏ BJOTJ RVVOF QSÏTFOUBUJPO EFT QSJODJQBVY PVUJMT OÏDFTTBJSFT Ë MB DPNQSÏIFOTJPO EFT DIBQJUSFT TVJ WBOUT 5PVU EBCPSE Z TPOU EÏmOJT MFT DIBNQT JNQMJRVÏT EBOT EJĊÏSFOUFT UIÏPSJFT EF TVQFSHSBWJUÏ MF HSBWJUPO FU TPO TVQFSQBSUFOBJSF MF HSBWJUJOP MFT nVY FUD FU MFT TUSVDUVSFT NBUIÏNBUJRVFT RVJ MFT TVQQPSUFOU &OTVJUF MBMHÒCSF EF TVQFS1PJODBSÏ FTU JOUSPEVJUF FU QBSUJDVMBSJTÏF BVY EFVY DBT ÏUVEJÏT QBS MB TVJUF MB TVQFSHSBWJUÏ $+4 Ë PO[F EJNFOTJPOT FU MB TVQFSHSBWJUÏ **" Ë EJY EJ NFOTJPOT &OmO MF TVQFSFTQBDF FTU CSJÒWFNFOU EÏDSJU FU RVFMRVFT PVUJMT EF UIÏPSJF EFT HSPVQFT BQQMJRVÏF BV DBMDVM UFOTPSJFM TPOU QSÏTFOUÏT -F EFVYJÒNF DIBQJUSF QPSUF TVS MF DBMDVM EFT TVQFSJOWBSJBOUT EF MB TVQFSHSBWJUÏ $+4 &O QSFNJFS MJFV MB GPSNVMBUJPO DMBTTJRVF EF MB TVQFSHSBWJUÏ Ë PO[F EJNFOTJPOT FTU QSÏTFOUÏF FO EÏUBJMT QVJT MB GPSNVMBUJPO FO TVQFSFTQBDF TVS MBRVFMMF TF CBTFOU MFT QBSUJFT Ë WFOJS -F QSJODJQF EBDUJPO FTU BMPST ǻ.

(5) JOUSPEVJU FO TF CBTBOU TVS MB GPSNVMBUJPO EF MB UIÏPSJF FO TVQFSFTQBDF FU FO VUJMJTBOU MF UFSNF EF $IFSO4JNPOT JM FTU QPTTJCMF EF HÏOÏSFS MJOWBSJBOU TVQFSTZNÏUSJRVF Ë VO PSESF EPOOÏ WJB MB SÏTPMVUJPO EVOF TÏSJF EÏRVBUJPOT FO TVQFSFTQBDF $F QSJODJQF BVTTJ BQQFMÏ TVQFSTZNÏUSJTBUJPO EV UFSNF EF $IFSO4JNPOT FTU FOTVJUF BQQMJRVÏ Ë MB HÏOÏSBUJPO EFT JOWBSJBOUT Ë MPSESF Ǻ QVJT ǽ FO EÏSJWÏFT -BQQMJDBUJPO EV QSJODJQF Ë MJOWBSJBOU EPSESF Ȁ EPOU MB QSÏTFODF FTU SFRVJTF QPVS MB DPIÏSFODF RVBOUJRVF EF MB UIÏPSJF FTU JOBDIFWÏF 5PVUFGPJT MF EÏWFMPQQFNFOU FĊFDUVÏ QFSNFU UPVU EF NÐNF Ë EÏUFSNJOFS DFSUBJOFT DBSBDUÏSJTUJRVFT QSPCBCMFT EF MJOWBSJBOU FU PVWSF MB WPJF Ë VOF SÏTPMVUJPO TZTUÏNBUJRVF EFT ÏRVBUJPOT Ë WFOJS -F USPJTJÒNF DIBQJUSF QSÏTFOUF FO EÏUBJM MF QSPHSBNNF JOGPSNBUJRVF DPOTUSVJU QPVS HÏSFS MFT DBM DVMT MJÏT Ë MB TVQFSTZNÏUSJTBUJPO EV UFSNF EF $IFSO4JNPOT &O FĊFU MFT ÏRVBUJPOT EF TVQFSFTQBDF SFODPOUSÏFT EBOT MF TFDPOE DIBQJUSF POU EFT QBSUJDVMBSJUÏT RVJ SFOEFOU EJċDJMF MFVS NBOJQVMBUJPO FMMFT DPOUJFOOFOU EFT BOUJ TZNÏUSJTBUJPOT TVS EF HSBOET OPNCSFT EJOEJDFT GPOU JOUFSWFOJS EFT UFOTFVST EPOU MFT JOEJDFT TQJOPSJFMT EPJWFOU ÐUSF USBJUÏT FYQMJDJUFNFOU FU JNQMJRVFOU EF OPN CSFVTFT NBUSJDFT HBNNB SFRVÏSBOU EFT USBOTGPSNBUJPOT OPOUSJWJBMFT -FT QSJODJQBMFT GPODUJPOT EV QSPHSBNNF Z TPOU MJTUÏFT FU RVFMRVFT BQQMJDBUJPOT QSBUJRVFT Z TPOU EPOOÏFT Ë UJUSF EFYFNQMF -F RVBUSJÒNF DIBQJUSF TF DPODFOUSF TVS MFT UIÏPSJFT EF TVQFSHSBWJUÏ Ë EJY EJNFOTJPOT FU QMVT QBSUJDVMJÒSFNFOU MB UIÏPSJF **" NBTTJWF EF 3PNBOT *M FYJTUF EFVY UIÏPSJFT NBTTJWFT EF TVQFS HSBWJUÏ **" Ë EJY EJNFOTJPOT OPNNÏFT 3PNBOT FU )-8 RVJ EBOT MFVS MJNJUF EF NBTTF OVMMF SFEPOOFOU MB TVQFSHSBWJUÏ **" TBOT NBTTF RVJ FMMF FTU PCUFOVF QBS SÏEVDUJPO EJNFOTJPOOFMMF EF MB UIÏPSJF Ë PO[F EJNFOTJPOT $FT USPJT UIÏPSJFT BENFUUFOU VOF EFTDSJQUJPO VOJmÏF RVJ QSFOE GPSNF EBOT MB SÏTPMVUJPO EFT JEFOUJUÏT EFT #JBODIJ FO TVQFSFTQBDF BQSÒT BWPJS JNQPTÏ VOF DPOUSBJOUF DPOWFOUJPOOFMMF TVS MB UPSTJPO $FUUF NÏUIPEF FO QMVT EF SFHSPVQFS MFT USPJT TVQFSHSBWJUÏT PĊSF VOF NBOJÒSF TZTUÏNBUJRVF EF USPVWFS MFT ÏRVBUJPOT EV NPVWFNFOU DPNQMÒUFT EFT UIÏPSJFT Ë EJY EJNFOTJPOT JODMVBOU MFT UFSNFT GFSNJPOJRVFT "JOTJ FO TF DPODFOUSBOU TVS MB TVQFSHSBWJUÏ **" EF 3PNBOT FU FO GBJTBOU VTBHF EFT PVUJMT JOGPSNBUJRVFT EÏWFMPQQÏT EBOT MF USPJTJÒNF DIBQJUSF JM FTU QPTTJCMF EF EÏUFSNJOFS MFT UFSNFT RVBSUJRVFT FO GFSNJPOT JOUFSWFOBOU EBOT MFT ÏRVBUJPOT EV NPVWFNFOU FU MB QSPDÏEVSF QFVU ÐUSF GBDJMFNFOU HÏOÏSBMJTÏF BVY BVUSFT TVQFSHSBWJUÏT &O JNQPTBOU VOF WBMFVS NPZFOOF EBOT MF WJEF OPO OVMMF QPVS MF UFSNF RVBSUJRVF BJOTJ PCUFOV PO NPOUSF RVJM FTU QPTTJCMF EBOT EFVY DBT TJNQMFT EF SÏBMJTFS EFT TPMVUJPO EF HÏPNÏUSJF j EF 4JUUFS x TF CBTBOU TVS MB WBMFVS OPOOVMMF EV DPOEFOTBU EF GFSNJPOT &OmO FO QMVT EF EÏmOJUJPOT FU EF DPOWFOUJPOT MFT BOOFYFT EF MB UIÒTF DPOUJFOOFOU VOF QBSUJF EFT DBMDVMT EV QSFNJFS DIBQJUSF RVJ OF TPOU QBT EÏWFMPQQÏT EBOT MF DPSQT EF UFYUF BJOTJ RVVO CSFG SÏQFSUPJSF EFT GPODUJPOT BDDFTTJCMFT EBOT MF QSPHSBNNF JOGPSNBUJRVF EV USPJTJÒNF DIBQJUSF. Ǽ.

(6) 5BCMF EFT NBUJÒSFT. ǹ 4VQFSHSBWJUJFT ǹǹ 'PSNBM GSBNFXPSL PG TVQFSHSBWJUZ ǹǺ (FPNFUSJD PCKFDUT 'JFMET PG TVQFSHSBWJUZ ǹǻ "MHFCSB PG TVQFSTZNNFUSZ ǹǼ 4VQFSTQBDF GPSNVMBUJPO ǹǽ " XPSE BCPVU JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT ǹǽǹ 4ZNNFUSJD HSPVQ Sn ǹǽǺ -PSFOU[ HSPVQ SO(1, d 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǻ 4VQFSTZNNFUSJ[BUJPO PG UIF $IFSO4JNPOT UFSN JO FMFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ Ǻǹ 4VQFSHSBWJUZ JO 11 EJNFOTJPOT Ǻǹǹ $SFNNFS+VMJB4DIFSL $+4 TVQFSHSBWJUZ ǺǹǺ &MFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ JO TVQFSTQBDF GPSNBMJTN ǺǺ 4VQFSTZNNFUSJ[BUJPO PG UIF $IFSO4JNPOT UFSN ǺǺǹ %F 3IBN DPIPNPMPHZ BOE 8FJM USJWJBMJUZ ǺǺǺ τ DPIPNPMPHZ ǺǺǻ 4QJOPSJBM DPIPNPMPHZ Ǻǻ ɥF BDUJPO QSJODJQMF Ǻǻǹ $+4 TVQFSHSBWJUZ JO UIF BDUJPO QSJODJQMF GPSNVMBUJPO ǺǻǺ ɥF O(l3 ) DPSSFDUJPO mWF EFSJWBUJWFT ǺǼ ɥF O(l6 ) DPSSFDUJPO FJHIU EFSJWBUJWFT ǺǼǹ "SHVNFOU GPS UIF FYJTUFODF PG O(l6 ) JOWBSJBOU ǺǼǺ )PX NBOZ TVQFSJOWBSJBOUT ǺǼǻ *OUFHSBCJMJUZ Ǻǽ " TZTUFNBUJD BQQSPBDI UP UIF O(l6 ) JOWBSJBOU Ǻǽǹ 0WFSWJFX PG UIF FRVBUJPOT UP DPNF ǺǽǺ "O BOTBU[ GPS UIF EFDPNQPTJUJPO ǻ ɥF 44(BNNB QBDLBHF 5FOTPST TQJOPST BOE HBNNB NBUSJDFT ǻǹ .PUJWBUJPOT BOE SFRVJSFNFOUT ǻǺ .BJO GFBUVSFT BOE GVODUJPOT ǻǺǹ 4QBDFUJNF EJNFOTJPOT BOE DPOWFOUJPOT ǻǺǺ (BNNB NBUSJDFT ǻǺǻ 5FOTPST BOE TQJOPST ǻǺǼ (FOFSBM GVODUJPOT . ǽ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ǹǽ ǹǽ ǹȀ ǺǺ ǺǼ ǺǾ ǺǾ Ǻȁ. . ǻǹ ǻǹ ǻǹ ǻǼ ǻǾ ǻȀ ǻȁ Ǽǹ Ǽǹ Ǽǻ ǼǾ Ǽǿ Ǽȁ ǽǼ ǽǽ ǽǿ ǽǿ ǽȀ. . Ǿǹ Ǿǹ ǾǺ ǾǺ Ǿǻ ǾǾ ǿǹ.

(7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ǿǽ ǿǿ ǿǿ ǿȁ ȀǸ. Ǽ 'FSNJPOJD DPOEFOTBUJPO JO **" TVQFSHSBWJUZ Ǽǹ **" TVQFSHSBWJUJFT Ǽǹǹ #BTJD GFBUVSFT PG **" TVQFSHSBWJUJFT ǼǺ %JMBUJOP DPOEFOTBUFT JO NBTTJWF **" TVQFSHSBWJUZ ǼǺǹ 'FSNJPOJD DPOEFOTBUJPO JO **" TVQFSHSBWJUZ ǼǺǺ .BTTJWF **" JO TVQFSTQBDF XJUI GFSNJPOJD mFMET ǼǺǻ (FOFSBM EJMBUPOJD WBDVB ǼǺǼ EF 4JUUFS WBDVB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ȀǺ ȀǺ ȀǺ ȀǼ ȀǼ Ȁǽ ȁǻ ȁǾ. ǻǻ. ǻǺǽ (SPVQ UIFPSZ GVODUJPOT 4PNF OFBU FYBNQMFT ǻǻǹ HBNNBNBUSJY JEFOUJUJFT BOE 'JFS[JOH ǻǻǺ 3FQMBDFNFOU SVMFT ǻǻǻ 4VQFSTQBDF OPODPNNVUBUJWF mFMET. . . . . " 8FJM USJWJBMJUZ JO FMFWFO EJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ ǹǸȀ 0 "ǹ 8FJM USJWJBMJUZ BU O(l ) ǹǸȀ "Ǻ 8FJM USJWJBMJUZ BU O(l3 ) ǹǹǻ "ǻ 4VQFSTZNNFUSJ[BUJPO BU O(l6 ) XJUI IBMG PG UIF X8 UFSN ǹǺǸ # &MFWFO EJNFOTJPOBM $+4 TVQFSHSBWJUZ #ǹ $POWFOUJPOT 'JFMET JO FMFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ #ǹǹ (BNNB NBUSJDFT #ǹǺ &MFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSTQBDF mFMET #ǹǻ 'JFS[ JEFOUJUJFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ǹǺǻ ǹǺǻ ǹǺǻ ǹǺǼ ǹǺǼ. $ (SPVQ UIFPSZ 5FOTPSJBM SFQSFTFOUBUJPOT ǹǺǿ $ǹ 5FOTPS SFQSFTFOUBUJPO PG :PVOH EJBHSBNT ǹǺǿ % 5FO EJNFOTJPOBM **" TVQFSHSBWJUJFT %ǹ %JMBUPO BOE &JOTUFJO FRVBUJPOT GSPN 3PNBOT HFOFSBMJ[FE BDUJPO %Ǻ $POWFOUJPOT 'JFMET JO UFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ %Ǻǹ (BNNB NBUSJDFT %ǺǺ ɥF TVQFSTZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPOT %Ǻǻ " OPUF PO DPOWFOUJPOT & 3FQFSUPSZ PG (BNNB GVODUJPOT. . . . . . . . . . . . . . . . . ǹǻǸ ǹǻǸ ǹǻǹ ǹǻǹ ǹǻǹ ǹǻǻ ǹǻǽ. Ǿ.

(8) "DLOPXMFEHNFOUT 3FNFSDJFNFOUT &O QSFNJFS MJFV KF TPVIBJUFSBJT FYQSJNFS NB HSBUJUVEF Ë %JNJUSJPT 5TJNQJT EPOU MFT RVBMJUÏT IVNBJOFT TDJFOUJmRVFT FU QÏEBHPHJRVFT POU ÏUÏ MFT DPNQPTBOUFT FTTFOUJFMMFT EV CPO EÏSPVMFNFOU EF DFT USPJT BOOÏFT +BJ BQQSÏDJÏ MB QBUJFODF FU MJOEVMHFODF EPOU JM B GBJU QSFVWF MPST EF NFT OPNCSFVY ÏHBSFNFOUT +BJ BQQSÏDJÏ MF TPVDJ EF GBJSF DPNQSFOESF RVJM B UPVKPVST NBOJGFTUÏ MPST EF OPT ÏDIBOHFT FU TPO JNQMJDBUJPO EBOT MBWBODÏF EF NFT USBWBVY +BJ BQQSÏDJÏ FOmO MFOUIPVTJBTNF FU MPQUJNJTNF RVJM B UPVKPVST BċDIÏ FU RVJ NPOU EPOOÏ VO ÏMBO TBMVUBJSF EBOT MFT NPNFOUT EF QJÏUJOFNFOU FU EF GSVTUSBUJPO +F MF SFNFSDJF DIBMFVSFVTFNFOU QPVS TB TZNQBUIJF TPO BJEF FU QPVS BWPJS QBSUBHÏ BWFD NPJ VOF QBSUJF EF TFT DPOOBJTTBODFT +BJNFSBJT FOTVJUF SFNFSDJFS QMVTJFVST EF NFT DBNBSBEFT EF UIÒTF TBOT MB DPNQBHOJF EFTRVFMT KBVSBJT HBSEÏ EF DFUUF QÏSJPEF VO TPVWFOJS NPJOT UFOESF +F SFUJFOESBJ MB CJFOWFJMMBODF RVF 1JFSSF NB UÏNPJHOÏ EÒT NPO BSSJWÏF TB TZNQBUIJF RVF KF OF MVJ BJ QBT UPVKPVST SFOEV FU MFT BQSÒTNJEJ QBTTÏFT UBOUPU Ë DBODBOFS UBOUPU Ë EÏCBUUSF NBJT EVSBOU MFTRVFMMFT KBJ UPVKPVST BQQSÏDJÏ TPO PVWFSUVSF EFTQSJU FU TB mOFTTF +F SFNFSDJF EF NÐNF 3PCJO FU #SJDF BWFD RVJ KBJ FV MF QMBJTJS EF QBSUBHFS EFT NPNFOUT SÏDPOGPSUBOUT TBOT MFTRVFMT NFT KPVSOÏFT BVSBJFOU ÏUÏ CJFO QMVT NPOPUPOFT /PT EJTDVTTJPOT FU OPT EÏCBUT NF NBORVFOU EÏKË FU KFTQÒSF RVF OPVT BVSPOT EBVUSFT PDDBTJPOT EF SFGBJSF MF NPOEF VOF GPJT FODPSF +F MFVS TPVIBJUF BJOTJ RVË "MCFSU MF DPVSBHF OÏDFTTBJSF QPVS BSSJWFS Ë CPVU EF MFVS EFSOJÒSF BOOÏF +F TVJT BVTTJ QBSUJDVMJÒSFNFOU SFDPOOBJTTBOU FOWFST NFT QBSFOUT EPOU MF TPVUJFO JODPOEJUJPOOFM NB QFSNJT EF NFOFS Ë CJFO DF QSPKFU EBOT EFT DPOEJUJPOT JEÏBMFT FU QMVT HÏOÏSBMFNFOU QPVS MB TUJNVMBUJPO FU MFT FODPV SBHFNFOUT RVJMT NPOU UPVKPVST EPOOÏT EBOT MFT ÏUVEFT DPNNF BJMMFVST &OmO KF UJFOT QMVT RVBVUSF DIPTF Ë SFNFSDJFS $BSPMJOF QPVS BWPJS QBSUBHÏ BWFD NPJ DFT USPJT BOOÏFT FU DF RVFMMFT POU DPNQPSUÏ EF EPVDFVS FU EF QFJOF $FTU TB QSÏTFODF MF SÏDPOGPSU FU MÏQBOPVJTTNFOU RVFMMF NB BQQPSUÏ RVJ POU EPOOÏ EV DPSQT Ë DFUUF QÏSJPEF EF NB WJF FU RVJ KF MFTQÒSF BOJNFSPOU BVTTJ MFT TVJWBOUFT. ǿ.

(9) 1VCMJDBUJPOT. ɥF GPMMPXJOH XPSL MFE UP UISFF QVCMJDBUJPOT . "DUJPO QSJODJQMF BOE UIF TVQFSTZNNFUSJ[BUJPO PG $IFSO4JNPOT UFSNT JO FMFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ # 4PVFSFT % 5TJNQJT 1IZT 3FW % ȁǽ ǸǺǾǸǹǻ ǺǸǹǿ. %F 4JUUFS TQBDF GSPN EJMBUJOP DPOEFOTBUFT JO NBTTJWF **" # 4PVFSFT % 5TJNQJT 1IZT 3FW % ȁǿ ǸǼǾǸǸǽ ǺǸǹȀ. 4VQFSTQBDF (BNNB 1BDLBHF 5FOTPST 4QJOPST BOE (BNNB NBUSJDFT # 4PVFSFT 8PSL JO QSPHSFTT ǺǸǹȀ. Ȁ.

(10) *OUSPEVDUJPO. 5. ęĖ 4ĥĒğĕĒģĕ .ĠĕĖĝ <ǹoǻ> JT B UIFPSZ BJNJOH UP EFTDSJCF FMFNFOUBSZ QBSUJDMFT BOE UIFJS JOUFSBDUJPOT BU NJDSPTDPQJD MFWFM 8JUI UIF VTF PG SFMBUJWFMZ GFX FNQJSJDBM BEKVTUNFOUT JU QSPWJEFT B NBUIFNBUJDBM GSBNFXPSL XIJDI BMMPXT UP QSFEJDU UIF CFIBWJPS PG QBSUJDMFT XJUI BT UPVOEJOH BDDVSBDZ 0O UIF PUIFS IBOE UIF UIFPSZ PG (FOFSBM 3FMBUJWJUZ <Ǽ> EFTDSJCFT HSBWJUBUJPO BU MBSHF TDBMF JF UIF EZOBNJDT PG PCKFDUT BU UIF MFWFM PG QMBOFUT TUBST BOE HBMBYJFT "MUIPVHI JU JT GPSNVMBUFE JO WFSZ EJTUJODU UFSNT JUT QSFEJDUJPOT BSF KVTU BT QSFDJTF BT UIF TUBOEBSE NPEFM #PUI UIFPSJFT IBWF NBEF CPME QSFEJDUJPOT XIJDI IBWF CFFO TVDDFTTGVMMZ WFSJmFE GSPN UIF FYJT UFODF PG UIF )JHHT CPTPO JO ǺǸǹǺ <ǽ Ǿ> UP UIF EFUFDUJPO PG HSBWJUBUJPOBM XBWFT JO ǺǸǹǾ <ǿ> #PUI IBWF CFFO FYUFOTJWFMZ UFTUFE BOE QSPWJEF TPNF PG UIF NPTU QSFDJTF BHSFFNFOU XJUI FNQJSJDBM SFTVMUT JO QIZTJDT *O ǺǸǹǸ SFTFBSDIFST NBOBHFE UP NFBTVSF UIF UJNF EJMBUBUJPO EVF UP B ǻǻ DN EJĊFSFODF JO IFJHIU PG BO BUPNJD DMPDL mHVSF " <Ȁ> BOE GPVOE B HPPE BHSFFNFOU XJUI HFOFSBM SFMBUJWJUZ *O ǺǸǹǼ UIF mOF TUSVDUVSF DPOTUBOU XBT DPNQVUFE VTJOH UIF 12 672 ǹǸUI PSEFS 'FZO NBO EJBHSBNT BTTPDJBUFE UP UIF FMFDUSPO QSPQBHBUJPO mHVSF # <ȁ> BOE BHSFFT XJUI FYQFSJNFOUBM WBMVF CZ NPSF UIBO 10 EJHJUT ¤. X _2HiBp2 b?B7i BM 7`2[m2M+v Q7 M iQKB+ +HQ+F i i?2 bm`7+2 Q7 i?2 2`i?- i?2M HB7i2/ #v jj +KX. "X aKTH2 Q7 i?2 62vMKM /B;`Kb +H+mHi2/ iQ Q#iBM i?2 MQKHQmb K;M2iB+ KQK2Mi Q7 i?2 2H2+i`QM ae = 0.001156652181643(764). ǹ %FQFOEJOH PO XIBU JT UBLFO JOUP BDDPVOU UIF TUBOEBSE NPEFM JT VTVBMMZ TBJE UP IBWF 19 UP 29 GSFF QBSBNFUFST ɥFJS WBMVF JT EJSFDUMZ BEKVTUFE GSPN FYQFSJNFOUT BOE NBJOMZ DPOUBJOT UIF QBSUJDMF NBTTFT BOE UIF DPVQMJOH DPOTUBOUT Ǻ $VSSFOUMZ UIPTF SFTVMUT NJHIU OPU CF UIF NPTU QSFDJTF UFTUT PG UIF UIFPSJFT CVU UIFZ BSF QBSUJDVMBSMZ TUSJLJOH GPS HSBTQJOH UIF MFWFM PG BDDVSBDZ NFOUJPOFE. ȁ.

(11) ɥF TUBOEBSE NPEFM JT B SFMBUJWJTUJD RVBOUVN mFME UIFPSZ XIPTF MBTU CSJDLT XFSF MBJE JO UIF MBUF ǹȁǿǸT *U JODPSQPSBUFT mFME UIFPSZ RVBOUVN NFDIBOJDT BOE TQFDJBM SFMBUJWJUZ . JU JT B mFME UIFPSZ UIF CBTJD PCKFDUT BSF TQBDFUJNFEFQFOEFOU mFMET PG WBSJPVT LJOET ɥF UIFPSZ NBLFT VTF PG B -BHSBOHJBO EFOTJUZ GSPN XIJDI UIF EZOBNJDT PG UIF mFMET DBO CF EFEVDFE 1BSUJDMFT BSF SFQSFTFOUFE CZ FYDJUFE TUBUFT PG UIPTF mFMET JU JT B RVBOUVN NFDIBOJDBM UIFPSZ UIF mFMET BSF PQFSBUPST BDUJOH PO B 'PDL TQBDF BOE UIFJS EZOBNJDT DBO CF EFTDSJCFE VTJOH UIF QBUI JOUFHSBM GPSNVMBUJPO GPS B HJWFO BDUJPO BOE JOJUJBM TUBUF ɥF SFTVMUT NVTU CF VOEFSTUPPE BT B QSPCBCJMJUZ PG USBOTJUJPO GSPN BO JOJUJBM TUBUF UP B mOBM TUBUF JU JT B TQFDJBM SFMBUJWJTUJD UIFPSZ JUT GPSNVMBUJPO JT UIF TBNF JO FWFSZ JOFSUJBM SFGFSFODF GSBNF BOE TQBDFUJNF JT FOEPXFE XJUI B .JOLPXTLJ NFUSJD XIJDI BMMPXT GPS -PSFOU[ USBOTGPSNB UJPOT (FOFSBM 3FMBUJWJUZ. JT B DMBTTJDBM HFPNFUSJD UIFPSZ PG HSBWJUZ GPSNVMBUFE JO ǹȁǹǽ . JU JT B HFPNFUSJD UIFPSZ PG HSBWJUZ JOTUFBE PG EFTDSJCJOH UIJT JOUFSBDUJPO UISPVHI QBSUJDMFT PS GPSDFT JU EFTDSJCFT IPX UIF TIBQF PG TQBDFUJNF JUTFMG JT BĊFDUFE CZ NBTT BOE FOFSHZ UISPVHI UIF NFUSJD XIJDI JOUVJUJWFMZ EFmOFT IPX TQBDFUJNF CFOET JU JT DMBTTJDBM UIF UIFPSZ DBO CF EFTDSJCFE VTJOH mFME UIFPSZ CVU TPMVUJPOT BSF GPVOE VTJOH UIF MFBTU BDUJPO QSJODJQMF BOE UIF VTVBM RVBOUVN BQQBSBUVT DBOOPU CF BQQMJFE " TZNNFUSZ JT B USBOTGPSNBUJPO UIBU DBO CF BQQMJFE PO B QIZTJDBM PCKFDU TQBDFUJNF PS BOZ mFME XIJDI EPFT OPU BMUFS UIF PCTFSWBCMF DPOUFOU PG UIF UIFPSZ *O UIF 4UBOEBSE .PEFM TZN NFUSJFT EJDUBUFT B MPU BCPVU UIF OBUVSF BOE QSPQFSUJFT PG QBSUJDMFT ɥFZ BSF VTVBMMZ TQMJU JO UXP HSPVQT TQBDFUJNF BOE JOUFSOBM TZNNFUSJFT 4QBDFUJNF PS FYUFSOBM TZNNFUSJFT PCWJPVTMZ BSF TZNNFUSJFT UIBU DBO CF BQQMJFE PO TQBDFUJNF 6TJOH TPNF HSPVQ UIFPSFUJDBM BSHVNFOUT UIPTF TZNNFUSJFT DBO CF TIPXO UP BUUBDI QSPQFSUJFT UP UIF QBSUJDMFT PG UIF UIFPSZ *OUFSOBM TZNNFUSJFT PS HBVHF TZNNFUSJFT BSF TQBDFUJNFEFQFOEFOU USBOTGPSNBUJPOT UIBU BQQMZ PO UIF mFMET UIFN TFMWFT ɥFZ HJWF SJTF UP UIF GVOEBNFOUBM JOUFSBDUJPOT CFUXFFO QBSUJDMFT BOE SFRVJSF UIF FYJTUFODF PG NFEJBUJOH CPTPOT. *O UIF 4UBOEBSE .PEFM BOE JO NPTU PUIFS UIFPSJFT UIF FYUFSOBM TZNNFUSJFT JODMVEF -PSFOU[ USBOTGPSNBUJPOT BOE TQBDFUJNF USBOTMBUJPOT UIVT GPSNJOH UIF 1PJODBSÏ HSPVQ PG USBOTGPSNBUJPOT ɥF JOUFSOBM TZNNFUSJFT CFMPOH UP 46 3 × 46 2 × 6 1 BOE HJWF SJTF UP UIF DPSSFTQPOEJOH GVOEBNFOUBM GPSDF TUSPOH XFBL BOE FMFDUSPNBHOFUJD JOUFSBDUJPOT (FOFSBM 3FMBUJWJUZ JT POMZ EJĊFPNPSQIJTN JOWBSJBOU NFBOJOH JUT GPSNVMBUJPO JT VODIBOHFE VOEFS BOZ DPPSEJOBUF USBOTGPS NBUJPO 7JB UIF DVSWBUVSF PG TQBDFUJNF JU EFTDSJCFT UIF HSBWJUBUJPOBM GPSDF BMPOF .PTU PG UIF UJNF BDUVBMMZ JO BMM DVSSFOU QIZTJDBM FYQFSJNFOUT UIF EJTTPDJBUJPO CFUXFFO HSBWJUZ BOE UIF PUIFS GPSDFT EPFT OPU QSFWFOU SFTFBSDIFST GSPN EPJOH FYUSFNFMZ QSFDJTF QSFEJDUJPOT GPS HSBWJUZ JT PSEFST PG NBHOJUVEF XFBLFS UIBO UIF PUIFS GPSDFT © "U UIF TVSGBDF PG UIF FBSUI BMM ǻ 0OF TJNQMF XBZ UP QFSDFJWF UIJT JT UP DPOTJEFS UXP FMFDUSPOT BU UIF TVSGBDF PG UIF FBSUI ǹ DFOUJNFUFS BQBSU GSPN FBDI PUIFS *O UIJT DPOmHVSBUJPO UIF UXP QBSUJDMFT BSF TFWFSBM IVOESFE UIPVTBOE UJNFT NPSF BUUSBDUFE UP FBDI PUIFS CZ FMFDUSPNBHOFUJD FĊFDUT UIBO UIFZ BSF UP UIF FOUJSF FBSUI CZ HSBWJUZ . ǹǸ.

(12) TUBOEBSE NPEFM DBMDVMBUJPOT NBLF VTF PG B nBU .JOLPXTLJ NFUSJD OFHMFDUJOH UIF FĊFDU PG HSBWJUZ PO UIF QBSUJDMFT 0O UIF PUIFS IBOE XIFO EFBMJOH XJUI DPNQVUBUJPOT BU DPTNPMPHJDBM TDBMF POF SBSFMZ DBSFT BCPVU XFBL RVBOUVN FĊFDUT IBQQFOJOH BU NJDSPTDPQJD TDBMF ɥFSF BSF TPNF QMBDFT JO UIF VOJWFSTF UIPVHI XIFSF POF DBO FODPVOUFS TUSPOH TQBDFUJNF DVS WBUVSF BU NJDSPTDPQJD TDBMF OBNFMZ OFBS CMBDL IPMFT "T PVU PG SFBDI BT UIFZ BSF B DPNQMFUF UIFPSZ TIPVME CF BCMF UP IBOEMF UIFN BOE EFTDSJCF IPX HSBWJUZ CFIBWFT XJUI UIF PUIFS GPSDFT BU NJDSPTDPQJD TDBMF .PSFPWFS UIF TUBOEBSE NPEFM IBT TPNF TIPSUDPNJOHT XIJDI NJHIU TVHHFTU JU JT JODPNQMFUF JUT NBUIFNBUJDBM DPIFSFODF SFNBJOT UP CF QSPWFO BOE JU MBDLT B GFX GFBUVSFT UIBU BSF OPX UIPVHIU UP FYJTU TVDI BT EBSL NBUUFS PS OFVUSJOP NBTTFT #VU NPSF JNQPSUBOUMZ JU JT OPX CFMJFWFE UIBU UIF TUBOEBSE NPEFM JT BO FĊFDUJWF UIFPSZ POMZ WBMJE CFMPX B DFSUBJO FOFSHZ TDBMF ɥFSF JT JOEFFE B DBOPOJDBM XBZ UP GPSNVMBUF HSBWJUZ BT B RVBOUVN mFME UIFPSZ CVU BMM BUUFNQUT UP RVBOUJ[F JU JO UIF DPOWFOUJPOBM XBZ BT B RVBOUVN mFME UIFPSZ IBWF GBJMFE BU SFOPSNBMJ[BUJPO BOE JOFTDBQBCMZ MFBE UP JOmOJUF RVBOUJUJFT 1IZTJDJTUT BUUFNQUFE UP XJEFO UIF TUBOEBSE NPEFM CZ MPPLJOH GPS B HSPVQ PG USBOTGPSNBUJPOT UIBU DPOUBJOT JOUFSOBM BOE TQBDFUJNF TZNNFUSJFT JO B OPO USJWJBM XBZ )PXFWFS UIF $PMFNBO.BOEVMB UIFPSFN QVCMJTIFE JO ǹȁǾǿ <ǹǸ> TUBUFE UIBU JO B DPIFSFOU BOE QIZTJDBMMZ SFMFWBOU RVBOUVN mFME UIFPSZ UIF JOUFSOBM BOE FYUFSOBM TZNNFUSJFT DPVME POMZ CF DPNCJOFE BT B EJSFDU QSPEVDU )PXFWFS JU XBT TPPO SFBMJ[FE JO <ǹǹ> UIBU UIF VOEFSMZJOH BMHFCSB DPVME JODMVEF BOUJDPNNVUJOH HFOFSBUPST PG USBOTGPSNBUJPOT PS GFSNJPOJD DIBSHFT UIBU MFE UP B OFX DMBTT PG UIFPSJFT FTDBQJOH UIF SFBDI PG UIF QSFNJTFT PG <ǹǹ> 4VQFSTZNNFUSZ JT B UIFPSZ JO XIJDI UIF 1PJODBSÏ BMHFCSB JT FYUFOEFE UP B Z2 HSBEFE MJF BMHFCSB JODMVEJOH UIF BOUJDPNNVUJOH GFSNJPOJD HFOFSBUPST F BOE UIF VTVBM CPTPOJD HFOFSBUPST B ɥF TVQFSBMHFCSB UIVT GPSNFE JT TDIFNBUJDBMMZ [B, B] = B,. [B, F ] = F,. {F, F } = B.. 4FWFSBM TVQFSTZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPOT DBO CF JODMVEFE JO UIF BMHFCSB UIFJS OVNCFS JT EFOPUFE CZ N 5P UIJT OFX BMHFCSB PG FYUFSOBM USBOTGPSNBUJPOT DBO CF BUUBDIFE PUIFS JOUFSOBM HBVHF TZN NFUSJFT BOE UIVT DPOTUSVDU B UIFPSZ XJUI JOUFSBDUJPOT ɥF mSTU SVEJNFOUBSZ Ǽ% TVQFSTZNNFUSJD UIFPSZ JT UIF 8FTT;VNJOP NPEFM <ǹǺ> BOE XBT TPPO FYUFOEFE UP JODMVEF JOUFSOBM TZNNFUSJFT 0G DPVSTF TVQFSTZNNFUSZ IBT IFBWZ QIFOPNFOPMPHJDBM JNQMJDBUJPOT 'JSTU PG BMM FBDI QBSUJDMF JT SFRVJSFE UP IBWF B TVQFSQBSUOFS PG FRVBM NBTT XJUI B 12 EJĊFSFODF JO TQJO 'PS FYBNQMF JO UIF .JOJNBM 4VQFSTZNNFUSJD 4UBOEBSE .PEFM UIF ; CPTPO PG TQJO 1 JT QBJSFE XJUI UIF ;JOP GFSNJPO PG TQJO 12 UIF CPUUPN RVBSL PG TQJO 12 JT QBJSFE XJUI B CPUUPN TRVBSL PG TQJO 0 FUD 4JODF OPOF PG UIPTF OFX QBSUJDMFT IBT CFFO EFUFDUFE B SFBMJTUJD TVQFSTZNNFUSZ NVTU CF CSPLFO UP BMMPX QBSUJDMFT BOE UIFJS QBSUOFST UP IBWF EJĊFSFOU NBTTFT DPOWFOJFOUMZ UIPTF IZQPUIFUJDBM IFBWZ QBSUOFST QSPWJEF B DBOEJEBUF GPS EBSL NBUUFS .PTU OPUBCMZ UIJT OFX TZNNFUSZ BMMPXT UIF UISFF DPVQMJOH DPOTUBOUT PG UIF TUBOEBSE NPEFM UP NFFU BU IJHI FOFSHJFT TFF mHVSF BCPWF FODPVSBHJOH UIF FMFHBOU JEFB PG B VOJGZJOH HBVHF HSPVQ ǹǹ.

(13) AMp2`b2 +QmTHBM; +QMbiMib 2pQHmiBQM Q#iBM2/ #v irQ@HQQT `2MQ`KHBxiBQM T2`7Q`K2/ BM i?2 aiM/`/ JQ/2H U/b?2/ HBM2bV M/ BM i?2 JB@ MBKH amT2`bvKK2i`B+ aiM/`/ JQ/2H UbQHB/ HBM2bVX h?2 Kbb2b Q7 i?2 ?2pv bmT2`T`iM2`b Bb p`B2/ #2ir22M d8y :2o M/ kX8 h2oX am@ T2`bvKK2i`B+ +QmTHBM; +QMbiMib K22i i i?2 2M2`;v Q7 1016 :2o- r?2`2b i?2B` mbmH 2[mB@ pH2Mi M2p2` BMi2`b2+iX h?Bb };m`2 Bb iF2M 7`QK (Rj). DPNQSJTJOH 46 3 × 46 2 × 6 1 <ǹǼ> )PXFWFS BMUIPVHI TVQFSTZNNFUSJD UIFPSJFT BSF QSPNJTJOH BOE EJWFSTF UIFZ EP OPU BEESFTT UIF JTTVF PG HSBWJUZ BOE DBOOPU RVBMJGZ BT DPNQMFUFMZ VOJGZJOH UIFPSJFT 4VQFSHSBWJUZ JT B MPDBM PS HBVHFE TVQFSTZNNFUSZ NFBOJOH UIBU XIBU QSFWJPVTMZ XBT B HMPCBM USBOTGPSNBUJPO GSPN B CPTPO UP B GFSNJPO BOE WJDF WFSTB OPX BDRVJSFT B TQBDFUJNF EFQFOEFODZ &RVJQQFE XJUI UIJT VODPOWFOUJPOBM USBOTGPSNBUJPO UIF BMHFCSB PG TZNNFUSJFT DBO CF TIPXO UP JODMVEF MPDBM USBOTMBUJPOT XIJDI BSF UIF JOmOJUFTJNBM WFSTJPOT PG EJĊFPNPSQIJTNT UIVT EFTDSJ CJOH HSBWJUZ. ɥF mSTU NPEFM XJUI B MPDBM TVQFSTZNNFUSZ JO Ǽ EJNFOTJPOT DPOUBJOJOH GPVS TDBMBST BOE B TQJOPS mFME XBT CVJMU JO ǹȁǿǾ *U XBT TPPO FYUFOEFE UP QSPQFS TVQFSHSBWJUZ UIFPSJFT JOWPMWJOH B TQJOǺ HSBWJUPO BOE B TQJOǻǺ TVQFSQBSUOFS UIF HSBWJUJOP <ǹǽ ǹǾ> HFOFSBMJ[FE UP IJHIFS EJNFOTJPOT BOE IJHIFS OVNCFS PG TVQFSHSBWJUZ USBOTGPSNBUJPOT N > 1 &WFO UIPVHI BU mSTU UIPTF UIFP SJFT XFSF DPOTJEFSFE WJBCMF NPEFMT GPS VOJGZJOH BMM GVOEBNFOUBM GPSDFT UIFJS QPPS CFIBWJPS VOEFS SFOPSNBMJ[BUJPO EJTDBSEFE UIJT QPTTJCJMJUZ 4VQFSHSBWJUJFT BSF OPX NBJOMZ TUVEJFE XJUI SFHBSE UP UIFJS SFMBUJPO UP TUSJOH UIFPSZ 4USJOH UIFPSZ JT DVSSFOUMZ DPOTJEFSFE UP CF POF PG UIF NPTU QSPNJTJOH GSBNFXPSLT JO XIJDI PVS DVSSFOU EFTDSJQUJPO PG BMM GPSDFT BOE QBSUJDMFT DBO CF VOJmFE *O TUSJOH UIFPSZ GVOEBNFOUBM PCKFDUT BSF OPU EFTDSJCFE CZ QPJOU QBSUJDMFT CVU TUSJOHT QSPQBHBUJOH UISPVHI TQBDFUJNF ɥJT BQQSPBDI IBT UIF BEWBOUBHF PG EFTDSJCJOH HSBWJUZ OBUVSBMMZ XJUIPVU SVOOJOH JOUP UIF EJWFSHFODFT QSFWJPVTMZ NFOUJPOFE *U XBT mSTU CVJMU XJUI CPTPOJD TUSJOHT JO 26 TQBDFUJNF EJNFOTJPOT BOE UIFO FYUFOEFE UP TVQFSTZNNFUSJD TUSJOHT MJWJOH JO B UFOEJNFOTJPOBM 10E TQBDFUJNF "U MPX FOFSHZ UIF TUSJOH FYUFOTJPO DBO CF JHOPSFE BOE POF SFDPWFST B UIFPSZ EFTDSJCJOH QPJOUMJLF PCKFDUT QSPQBHBUJOH JO UFO EJNFOTJPOT XJUI MPDBM TVQFSTZNNFUSZ JOWBSJBODF ɥVT 10E TVQFSHSBWJUJFT DBO CF WJFXFE BT MPXFOFSHZ FĊFDUJWF UIFPSJFT ņ BOE JO UIBU TFOTF UIFZ BENJU IJHI FOFSHZ DPSSFDUJWF UFSNT EVF UP UIF FYUFOEFE DIBSBDUFS PG TUSJOHT Ǽ *O UIJT SFHBSE UIFJS OPOSFOPSNBMJ[BCJMJUZ JT BDDFQUBCMF TJODF UIFZ XPVME SFRVJSF BO JOmOJUF TFSJFT PG DPSSFDUJPOT UP CF i67DPNQMFUFw. ǹǺ.

(14) "MM LOPXO 10E TUSJOH UIFPSJFT BSF SFMBUFE CZ EVBMJUJFT DG mHVSF CFMPX XIFSF UIF BSSPXT SFQSFTFOU UIF EVBMJUJFT DPOOFDUJOH EJĊFSFOU UIFPSJFT NFBOJOH UIBU B QBSUJDVMBS MJNJU PG POF PG UIFTF MFBET UP UIF TBNF PCTFSWBCMF RVBOUJUJFT JO BOPUIFS S T ←→ )FUFSPUJD 5ZQF * ←→ )FUFSPUJD SO(32) E8 ×E8. T. 5ZQF **" ←→ 5ZQF **# . . .ɥFPSZ ↓ 11E 4V(SB ɥJT MFE UP UIF DPOKFDUVSF UIBU BMM PG UIFN FNFSHF BT QBSUJDVMBS MJNJUT PG BO FMFWFOEJNFOTJPOBM 11E UIFPSZ XIPTF MPXFOFSHZ MJNJU JT 11E TVQFSHSBWJUZ <ǹǿ> ɥJT UIFPSZ DBMMFE .UIFPSZ JT TUJMM MBDLJOH B DPNQMFUF NJDSPTDPQJD EFTDSJQUJPO *O UIJT SFHBSE TVQFSHSBWJUJFT DBO CF TUVEJFE BT MJNJUT PG TUSJOH UIFPSJFT PS .UIFPSZ BOE DPVME MFBE UP MPX FOFSHZ FĊFDUJWF Ǽ% UIFPSJFT VQPO EJNFOTJPOBM DPNQBDUJmDBUJPO <ǹȀ> "OPNBMJFT BSF WJPMBUJPOT PG HBVHF TZNNFUSJFT PG UIF DMBTTJDBM BDUJPO BU UIF RVBOUVN MFWFM JF XIFO DPNQVUJOH MPPQ EJBHSBNT *O PSEFS GPS B UIFPSZ UP CF DPOTJTUFOU JU NVTU CF BOPNBMZ GSFF ɥJT SFRVJSFNFOU DBO FJUIFS MFBE UP UIF JOUSPEVDUJPO PG OFX UFSNT PS OFX DPOTUSBJOUT PO UIF UIFPSZ JO PSEFS UP QSFTFSWF DMBTTJDBM TZNNFUSJFT 0OF OPUBCMF FYBNQMF PG UIJT JT UIF (SFFO 4DIXBS[ NFDIBOJTN <ǹȁ> XIJDI DBODFMT EJĊFSFOU UZQFT PG BOPNBMJFT JO N = (1, 0) TUSJOH UIFPSZ CZ BEEJOH B XFMMDIPTFO UFSN JO UIF DMBTTJDBM BDUJPO BOE BMTP SFRVJSFT UIF HBVHF HSPVQ PG UIF UIFPSZ UP CF SO(32) PS E8 × E8 . *O UIF TBNF XBZ 11E TVQFSHSBWJUZ JT TVCKFDU UP BOPNBMJFT UIBU TIPVME WBOJTI GPS UIF DPOTJTUFODZ PG JUT RVBOUVN MJNJU )PXFWFS TJODF .UIFPSZ JT OPU GVMMZ GPSNVMBUFE UIF OFDFTTBSZ DPSSFDUJPOT UP 11E TVQFSHSBWJUZ DBOOPU CF DPOTUSVDUFE iNJDSPTDPQJDBMMZw BOE NVTU CF DPNQVUFE VTJOH NF UIPET JOUSJOTJD UP TVQFSHSBWJUZ "MUIPVHI EJċDVMU CVJMEJOH UIPTF UFSNT JT B QPXFSGVM UPPM UP QSPCF .UIFPSZ DIFDL JUT DPOTJTUFODZ BOE MFBSO BCPVU JUT NJDSPTDPQJD TUSVDUVSF 4FWFSBM NFUIPET IBWF CFFO VTFE TP GBS CVU UIFZ POMZ MFBE UP B GSBDUJPO PG UIF UFSNT UIBU TIPVME DPOTUJUVUF UIF GVMM DPSSFDUJPO ɥF UIFTJT JT TUSVDUVSFE BT GPMMPX $IBQUFS ǹ FTUBCMJTIFT UIF GPSNBM GSBNFXPSL PG TVQFSHSBWJUJFT JO BOZ EJNFOTJPO JU CSJFnZ EFTDSJCFT UIF mFMET PG TVQFSHSBWJUZ JUT BMHFCSB UIF TVQFSTQBDF GPSNBMJTN BOE B GFX DPN QVUBUJPOBM UPPMT UIBU XJMM CF VTFGVM JO UIF GPMMPXJOH $IBQUFS Ǻ GPDVTFT PO 11E TVQFSHSBWJUZ JU QSFTFOUT UIF PSJHJOBM GPSNVMBUJPO PG UIF UIFPSZ JUT DBTUJOH JO TVQFSTQBDF BOE NPTU JNQPSUBOUMZ EFTDSJCFT IPX UP DPNQVUF UIF TVQFSJOWBSJBOU VTJOH UIF TVQFSTZNNFUSJ[BUJPO PG UIF $IFSO4JNPOT UFSN $IBQUFS ǻ JT NPSF UFDIOJDBM JU QSFTFOUT UIF DPNQVUBUJPOBM QBDLBHF UIBU XBT CVJMU XIFO USZJOH UP EFBM XJUI UIF DBMDVMBUJPOT PG UIF QSFWJPVT DIBQUFS 4JODF JU JT QBSUJDVMBSMZ XFMM TVJUFE GPS UIF QVSQPTF PG TVQFSTQBDF DPNQVUBUJPO BOE HBNNB NBUSJDFT HZNOBTUJD JU DBO CF VTFGVM NPSF HFOFSBMMZ ǹǻ.

(15) $IBQUFS Ǽ NBLFT VTF PG UIF WBSJPVT UPPMT GPS TVQFSTQBDF NBOJQVMBUJPOT BTTFNCMFE JO UIF QSFDFEJOH DIBQUFST UP UBDLMF BOPUIFS DPNQVUBUJPOBMMZ JOUFOTJWF XPSL SFMBUFE UP TVQFSHSB WJUZ UIF EFUFSNJOBUJPO PG RVBSUJD GFSNJPOJD UFSNT JO 10E NBTTJWF **" TVQFSHSBWJUZ GPS UIF QVSQPTF PG HFOFSBUJOH GFSNJPOJD DPOEFOTBUFT UIBU DBO BMUFS UIF DPTNPMPHJDBM TPMVUJPOT PG UIF UIFPSZ. ǹǼ.

(16) 1. 4VQFSHSBWJUJFT. ɥJT DIBQUFS JT EFWPUFE UP UIF QSFTFOUBUJPO PG TPNF PG UIF HFOFSBM GFBUVSFT PG TVQFSHSBWJUZ ɥF HFPNFUSJD TUSVDUVSFT BOE UIF VTVBM mFMET UIBU XJMM QMBZ B SPMF JO UIF GPMMPXJOH DIBQUFST BSF JOUSP EVDFE BMPOH XJUI UIF CBTJD QSJODJQMFT PG TVQFSTQBDF 'JOBMMZ TPNF UFDIOJRVFT BOE EFmOJUJPOT PG HSPVQ UIFPSZ XJEFMZ VTFE JO DIBQUFS Ǻ BOE Ǽ BSF EFmOFE. ǹǹ. 'PSNBM GSBNFXPSL PG TVQFSHSBWJUZ. %FmOJOH UIF mFMET PG TVQFSHSBWJUZ JO B SFMBUJWFMZ QSFDJTF XBZ SFRVJSFT UIF JOUSPEVDUJPO PG B GFX NBUIFNBUJDBM TUSVDUVSFT *OFWJUBCMZ UIPTF UIFPSJFT DPOUBJO B HSBWJUPO BOE B HSBWJUJOP XIPTF TUSVDUVSF BOE QSPQFSUJFT DBO POMZ CF HSBTQFE BEFRVBUFMZ XJUI UIF IFMQ PG TPNF GPSNBMJTN " mCFS CVOEMF HFOFSBMJ[FT UIF OPUJPO PG EJSFDU QSPEVDU CFUXFFO UXP TQBDFT UP NBLF JU BQQMJDBCMF GPS NBOJGPME XIPTF DPPSEJOBUFT DBO POMZ CF EFmOFE MPDBMMZ BOE BDDPSEJOHMZ B mCFS CVOEMF DBO POMZ CF MPDBMMZ JEFOUJmFE UP B QSPEVDU TQBDF 'PSNBMMZ JU JT B TUSVDUVSF XSJUUFO (E, B, F, π) XIFSF E JT B TNPPUI NBOJGPME DBMMFE UIF UPUBM TQBDF UIF MPDBM FRVJWBMFOU PG B × F B BOE F BSF TNPPUI NBOJGPMET DBMMFE UIF CBTF BOE UIF mCFS &MFNFOUT PG E DBO CF QSPKFDUFE PO B VTJOH UIF TVSKFDUJPO π 'PS FWFSZ x ∈ E UIFSF JT B OFJHICPSIPPE U ⊂ B BSPVOE π(x) XIPTF JOWFSTF JNBHF CZ π DBO CF USJWJBMJ[FE CZ UIF EJĊFPNPSQIJTN ϕ : π −1 (U ) → U × F TVDI UIBU ϕ(x) = π(x). ǹǽ.

(17) ɥJT JT PGUFO TVNNFE VQ CZ UIF SFRVJSFNFOU UIBU UIF GPMMPXJOH EJBHSBN TIPVME DPNNVUF π −1 (U ) −−→ U × F π p1 U ϕ. XIFSF p1 JT UIF QSPKFDUJPO POUP UIF mSTU FMFNFOU JF PWFS FBDI U JO B π −1 (U ) JT EJĊFPNPSQIJD UP U × F UISPVHI ϕ )PXFWFS UIJT EFDPNQPTJUJPO JT SFTUSJDUFE UP BO PQFO TFU U BOE DBOOPU JO HFOFSBM CF FYUFOEFE UP UIF XIPMF TQBDF B #FTJEFT EJĊFSFOU USJWJBMJ[BUJPOT ϕ1 ϕ2 PO U IBWF UP CF DPNQBUJCMF JO UIF TFOTF UIBU GPS FBDI QPJOU u ∈ π −1 (p) ϕ1 (u) = (p, f1 ) ϕ2 (u) = (p, f2 ). ⇒. f2 = g21 r f1 ,. XIFSF g12 CFMPOH UP B HSPVQ G DBMMFE UIF TUSVDUVSF HSPVQ " QSJODJQBM CVOEMF JT B TQFDJBM DBTF PG mCFS CVOEMF UIBU JODMVEFT B GFX NPSF SFRVJSFNFOU *U JT B mCFS CVOEMF (P, B, G, π) JO XIJDI UIF mCFS QSFWJPVTMZ DBMMFE F JT UIF TBNF BT UIF -JF HSPVQ G ɥJT TUSVDUVSF JT FRVJQQFE XJUI B TNPPUI BOE GSFF HSPVQ BDUJPO PG G PO UIF UPUBM TQBDF P × G → P BOE UIJT BDUJPO JT DPNQBUJCMF XJUI UIF MPDBM USJWJBMJ[BUJPO GPS u ∈ P TVDI UIBU ϕ(u) = (p, h) ϕ(ug) = ϕ(u)g = (p, h)g = (p, hg) "MUIPVHI XF TIBMM OPU VTF JU FYQMJDJUMZ UIF EFmOJUJPO PG UIF QSJODJQBM CVOEMF JT BU UIF DFOUFS PG UIF GPSNBMJTN PG HBVHF UIFPSJFT JO XIJDI UIF MPDBM USBOTGPSNBUJPOT GSPN G BSF FODPEFE JO UIF mCFS PWFS FWFSZ QPJOU p PG TQBDFUJNF " TFDUJPO PG B mCFS CVOEMF BTTPDJBUFT UP FWFSZ QPJOU JO B B TQFDJmD FMFNFOU PG UIF mCFS JO F UIVT GPSNJOH BO FMFNFOU PG E " TFDUJPO PG B mCFS CVOEMF (E, B, F, π) JT B TNPPUI NBQ s : B → E TVDI UIBU π ◦ s = IB NFBOJOH UIBU GPS BOE FMFNFOU p ∈ B s(p) HJWFT BO FMFNFOU PG E XIJDI JT JOEFFE PWFS p *O QSBDUJDF UIF TFDUJPO JT EFmOFE MPDBMMZ GPS U ⊂ B s JT B TNPPUI NBQ U → π −1 (U ) TVDI UIBU GPS p ∈ B ϕ(s(p)) = (p, f ) XJUI f ∈ F &WFSZ TNPPUI NBOJGPME JT OBUVSBMMZ FRVJQQFE XJUI B WFDUPS CVOEMF DBMMFE UIF UBOHFOU CVOEMF *U JT UIF CVOEMF UIBU IPTUT UIF HSBEJFOU PG GVODUJPOT EFmOFE GSPN B UP R ɥF UBOHFOU CVOEMF PG B d EJNFOTJPOBM NBOJGPME B JT UIF 2dEJNFOTJPOBM CVOEMF (T B, B, Rd , π) XIFSF UIF mCFS BU B QPJOU p JO BJT DBMMFE Tp B " MPDBM TFU PG DPPSEJOBUFT {xm , m = 1 . . . d} PO U ⊂ B EFmOFT UIF DPPSEJOBUF. CBTJT. ∂ ∂xm ,. m = 1 . . . d GPS p ∈ U BO FMFNFOU V PG Tp B JT XSJUUFO V = vm. ∂ = v m ∂m . ∂xm. ɥJT WFDUPS CVOEMF IBT B EVBM TJNQMZ DPOTUSVDUFE CZ BUUBDIJOH UP FBDI QPJOU p UIF EVBM PG Tp B Tp∗ B ɥJT EVBM WFDUPS CVOEMF JT DBMMFE T ∗ B BOE JUT FMFNFOU DBO CF FYQSFTTFE JO B CBTJT {dxm , m = 1 . . . d} DPNQMFNFOUBSZ UP UIF DPPSEJOBUF CBTJT JF dxm , ∂n = δnm TVDI UIBU FMFNFOUT PG UIF. ǹǾ.

(18) EVBM CVOEMF BSF XSJUUFO L = lm dxm .. " QTFVEP3JFNBOOJBO NBOJGPME JT B TNPPUI NBOJGPME JT FRVJQQFE XJUI BO JOOFS QSPEVDU PO JUT UBOHFOU TQBDF GPS FWFSZ p ∈ B UIFSF JT B OPOEFHFOFSBUF CJMJOFBS GPSN gp : Tp B × Tp B → R TVDI UIBU JG V BOE W BSF TNPPUI WFDUPS mFMET p → gp (Vp , Wp ) JT TNPPUI ɥJT JOOFS QSPEVDU BMMPXT UP UBML BCPVU UIF MFOHUI PG WFDUPST BOHMFT FUD &WFSZ TNPPUI NBOJGPME DPNFT FRVJQQFE XJUI B QSJODJQBM CVOEMF DBMMFE UIF GSBNF CVOEMF 'PS FBDI p ∈ B UIF CBTJT PG UIF UBOHFOU WFDUPS TQBDF Tp B DBO CF DIBOHFE WJB BO BDUJPO PG UIF HSPVQ GL(d, R) TVDI UIBU B WFDUPS V DBO CF XSJUUFO ¤ V = vm. n ∂ ∂ m ∂y = v m m n ∂x ∂x ∂y ∈ GL(d,R). n. ∂y GPS UXP CBTJT ∂x∂m BOE ∂y∂m SFMBUFE CZ UIF JOWFSUJCMF +BDPCJBO NBUSJY ∂x m ɥJT GSBNF CVOEMF DBO CF XSJUUFO (P, B, GL(d, R), π) BOE SFQSFTFOUT BMM UIF CBTJT USBOTGPSNBUJPOT BMMPXFE PWFS FBDI QPJOU p. #FTJEFT JG UIF NBOJGPME JT QTFVEP3JFNBOOJBO JU DBO CF BTTPDJBUFE UP B NPSF TQFDJmD QSJODJQBM CVOEMF DBMMFE UIF PSUIPOPSNBM GSBNF CVOEMF *O NPTU QIZTJDBM DBTFT QTFVEP3JFNBOOJBO NBOJGPMET IBWF B NFUSJD PG TJHOBUVSF (1, d−1) NFBOJOH UIBU BU FBDI QPJOU p ∈ M UIFSF FYJTUT B CBTJT JO Tp M JO XIJDI UIF NFUSJD JT EJBHPOBM XJUI WBMVFT ±(1, −1, . . . , −1) 4JODF UIFSF JT B WBTU SBOHF PG CBTJT XIJDI QSFTFSWF UIJT QSPQFSUZ POF DBO EFmOF UIF QSJODJQBM CVOEMF DPNQPTFE BU FBDI QPJOU PG UIF DIBOHF PG CBTJT UIBU QSFTFSWF UIF EJBHPOBM NFUSJD 4VDI FMFNFOUT BSF NFNCFST PG O(1, d−1) BDUVBMMZ SFTUSJDUFE UP SO+ (1, d−1) TJODF XF BSF JOUFSFTUFE JO CBTJT XJUI UIF TBNF PSJFOUBUJPO BOE UJNF EJSFDUJPO ɥF TQJO CVOEMF JT B DPNQMFY WFDUPS CVOEMF UIBU DBO CF CVJMU GSPN UIF PSUIPOPSNBM GSBNF CVOEMF 0OF mSTU IBT UP MJGU UIF SO(1, d−1) CVOEMF UP JUT EPVCMF DPWFS UIF Spin(1, d−1) QSJODJQBM CVOEMF PS BOE NBLF UIF Spin(1, d−1) HSPVQ BDU PO B 2[d/2] EJNFOTJPOBM DPNQMFY WFDUPS TQBDF V UISPVHI B SFQSFTFOUBUJPO ρ ɥF RVPUJFOU PS × V )/G JT B DPNQMFY WFDUPS CVOEMF XJUI UIF FRVJWBMFODF. (u, v) ∼ ug, ρ(g −1 )v. XJUI. (u, v) ∈ PS × V g ∈ Spin(1, d−1). ɥJT DPNQMFY WFDUPS CVOEMF JT FRVJQQFE XJUI B $MJĊPSE BDUJPO GPSN T M WFSJGZJOH v1 , v2 ∈ T M,. Γ(v1 )Γ(v2 ) + Γ(v2 )Γ(v1 ) = 2g(v1 , v2 ). ǹǹ. ǹ " 3JFNBOOJBO NBOJGPME SFRVJSFT UIF CJMJOFBS GPSN UP CF B QSPQFS TDBMBS QSPEVDU JF JU NVTU CF EFmOJUF QPTJUJWF Ǻ ɥF OPUBUJPO ∂x∂m DPNFT GSPN UIF GBDU UIBU WFDUPST DBO CF WJFXFE BT PQFSBUPST BDUJPO PO GVODUJPOT f : B → R BT ∂f V [f ]|p = v m ∂x m p $POWFSTFMZ EFSJWBUJWFT PG UIPTF GVODUJPOT GPSN B WFDUPS TQBDF PWFS FBDI QPJOU PG UIF NBOJGPME. ǹǿ.

(19) XIJDI DBO CF XSJUUFO JO DPNQPOFOUT XJUI HBNNB NBUSJDFT BT Γm Γn + Γn Γm = 2gmn I .. 'JOBMMZ UIF BDUJPO PG Spin(1, d−1) PWFS V JT CVJMU VTJOH UIJT SFQSFTFOUBUJPO PG UIF $MJĊPSE BMHF CSB VQPO B MPDBM -PSFOU[ USBOTGPSNBUJPO QBSBNFUFSJ[FE CZ UIF GVODUJPO mn (x) FMFNFOUT PG V USBOTGPSN VTJOH UIF SFQSFTFOUBUJPO 12 Γmn PG spin(1, d−1) Γmn = Γ[m Γn] ,. ǹǺ. 1. ψ −→ e 2 mn (x)Γ. mn. ψ.. (FPNFUSJD PCKFDUT 'JFMET PG TVQFSHSBWJUZ. 8F OPX IBWF UIF SFRVJSFE TUSVDUVSFT UP EFmOF UIF QIZTJDBMMZ SFMFWBOU PCKFDUT UIBU BSJTF JO TVQFS HSBWJUZ UIFPSJFT TQBDFUJNF JT B TNPPUI QTFVEP3JFNBOOJBO NBOJGPME M XIPTF NFUSJD IBT TJHOBUVSF ±(1, −1 . . . −1) B SFBM DPNQMFY TDBMBS mFME JT B GVODUJPOT GSPN M UP R C B WFDUPS mFME JT B TFDUJPO PG UIF WFDUPS CVOEMF PWFS M B UFOTPS mFME JT B TFDUJPO PG UFOTPS QSPEVDUT PG UIF WFDUPS CVOEMF BOE JUT EVBM T M ⊗ · · · ⊗ TM∗ ⊗ · · · B TQJOPS mFME JT B TFDUJPO PG UIF TQJO CVOEMF PWFS M ɥF mFMET EFmOFE JO UIJT MJTU BSF BCTUSBDUMZ EFmOFE HMPCBMMZ PWFS UIF XIPMF TQBDFUJNF NBOJGPME 0G DPVSTF JO NPTU DBTFT UIPTF mFMET BSF DPOTJEFSFE UISPVHI MPDBM TFDUJPOT BOE EFQFOE PO B MPDBM DPPSEJOBUF DIBSU JO M . 7JFMCFJO "U BOZ QPJOU p PG B QTFVEP3JFNBOOJBO NBOJGPME DPOTJEFS UXP WFDUPST V BOE W MPDBMMZ XSJUUFO v m ∂m BOE wn ∂n ɥF CJMJOFBS GPSN g DBO CF FYQSFTTFE BT BO FMFNFOU PG T ∗ M ⊗ T ∗ M BDUJOH PO WFDUPST g = gmn dxm ⊗ dxn. BOE. g(v m ∂m , wn ∂n ) = gmn v m wn := v m wm .. )PXFWFS BU FBDI QPJOU p POF DBO EFmOF B CBTJT PG {ea , a = 1 . . . d} JO Tp∗ M TVDI UIBU g JT EJBHPOBM BOE BDDPSEJOHMZ B CBTJT {ea , a = 1 . . . d} PG Tp∗ M TVDI UIBU g = ηab ea ⊗ eb. BOE. g(v a ea , wb eb ) = ηab v a wb := v a wa .. ɥF EVBM CBTJT PG ea JT EFOPUFE ea BOE WFSJmFT ea , eb = δba ɥF DPPSEJOBUF BOE nBU CBTJT BSF SFMBUFE CZ UIF WJFMCFJO eam BOE UIF JOWFSTF WJFMCFJO em a ea = eam dxm. BOE ǹȀ. ea = em a ∂m.

(20) 6TVBMMZ XIFO UFOTPST BSF VTFE XJUIPVU SFGFSFODF UP UIF CBTJT JOEJDFT GSPN B UP M SFGFS UP UIF nBU CBTJT PG UIF UBOHFOU TQBDF XIJMF MFUUFST GSPN N UP [ SFGFS UP UIF DPPSEJOBUF CBTJT 'PS FYBNQMF UIF SFMBUJPO ǹǹ EFmOJOH HBNNB NBUSJDFT JO DVSWFE TQBDFUJNF DBO CF FYQSFTT JO UIF nBU CBTJT BT Γa Γb + Γb Γa = 2ηab I. XIFSF UIF NBUSJDFT Γa BSF SFMBUFE UP Γm UISPVHI UIF SFMBUJPO Γm = eam Γa *U NVTU CF SFNBSLFE UIBU FBDI WJFMCFJO PWFS B QPJOU PG UIF NBOJGPME JT EFmOFE VQ UP B -PSFOU[ USBOTGPSNBUJPO *OEFFE UIF USBOTGPSNBUJPO eam → Λa b ebm JOEVDFT B WJFMCFJO XIJDI TUJMM EJBHPOB MJ[F UIF NFUSJD gmn = eam ηab ebn. −→. ecm Λa c ηab Λb d edn = gmn , ηcd. TJODF UIF -PSFOU[ HSPVQ JT EFmOFE BT UIF TFU PG NFUSJD QSFTFSWJOH USBOTGPSNBUJPOT ɥVT UIF WJFM CFJO mFME IBT B HBVHF GSFFEPN DPOTJTUJOH PG MPDBM -PSFOU[ USBOTGPSNBUJPOT. 4QJO DPOOFDUJPO 0O BOZ 3JFNBOOJBO NBOJGPME POF DBO EFmOF B DPOOFDUJPO Γm np BOE EFmOF UIF DPWBSJBOU EFSJWB UJWF PG WFDUPST DPWFDUPST BOE UFOTPST UISPVHI Dm Tn p = ∂m Tn p + Γqnp Tq p − Γpnq Tn q ,. XIJDI JT FBTJMZ HFOFSBMJ[FE GPS BOZ UZQF PG UFOTPST *O UIF nBU CBTJT JU JT QPTTJCMF UP EFmOF BOPUIFS PCKFDU DBMMFE UIF TQJO DPOOFDUJPO ω TP UIBU JU JT DPNQBUJCMF XJUI UIF DPOOFDUJPO Γ CZ JNQPTJOH UIF DPOEJUJPO Dm V n = enb Dm V b XIFSF UIF EFSJWBUJWF PO UIF MIT VTFT Γ XIFSFBT UIF EFSJWBUJWF PO UIF SIT VTFT UIF TQJO DPOOFDUJPO ɥJT MFBET UP ωm a b = ean Γnmp epb − enb ∂m ean ,. XIFSF ω JT UIF DPOOFDUJPO POFGPSN PWFS UIF SO(1, d−1) PSUIPOPSNBM GSBNF CVOEMF QSFWJPVTMZ EFmOFE *U DBO CF WJFXFE BT B UIF HBVHF mFME PG UIF MPDBM -PSFOU[ USBOTGPSNBUJPOT UIBU DBO CF BQQMJFE PO UIF WJFMCFJO BOE JT B so(1, d−1) WBMVFE POFGPSN ω a b = (ωm )a b dxm ,. ωab = −ωba .. XIJDI EFmOFT B DPWBSJBOU EFSJWBUJWF BDUJOH PO WFDUPST DPNQPOFOUT FYQSFTTFE JO UIF nBU CBTJT XIJMF UIF DPWBSJBOU EFSJWBUJWF EFmOFE XJUI HBNNB BDUT XJUI WFDUPST XJUI DPPSEJOBUF JOEJDFT. D m Ta b = ∂ m Ta b + ωm c a Tc b − ωm b c Ta c .. ǹȁ.

(21) 4QJOPST XIJDI BSF OBUVSBMMZ EFmOFE JO nBU TQBDFUJNF DBO CF DPWBSJBOUMZ EFSJWBUFE VTJOH UIF TQJO DPOOFDUJPO BT XFMM BT Dm ψ α = ∂m ψ α +. 1 ωm ab (Γab )α β ψ β 4. ǹǺ. 5PSTJPO *O HFOFSBM SFMBUJWJUZ UIF DPOOFDUJPO JT SFRVJSFE UP CF NFUSJD DPNQBUJCMF NFBOJOH Dp gmn = 0 TVDI UIBU UIF TRVBSFE OPSN PG B DPWBSJBOUMZ DPOTUBOU WFDUPS V m V n gmn JT QSFTFSWFE VQPO QBSBMMFM USBOTQPSU ɥJT JNQPTFT UIF GPSN. 1. 1 mr Γm ∂n grp + ∂p grn − ∂r gnp + T m np + Tn m p + Tp m n , np = g 2 2 ˆm Γ np. C m np. ˆ JT UIF -FWJ$JWJUB DPOOFDUJPO BOE C m np JT DBMMFE UIF DPOUPSTJPO ɥF UPSTJPO T JT BO XIFSF Γ VODPOTUSBJOFE UFOTPS EFmOFE JO UFSNT PG UIF DPOOFDUJPO BT T m np = 2Γm [np] (FOFSBMMZ UIF UPSTJPO JT EFmOFE PO BOZ CBTJT PG UIF UBOHFOU TQBDF BT UIF UFOTPS BTTPDJBUFE UP UIF BQQMJDBUJPO Tp M 2 → Tp M T (u, v) = ∇u v−∇v u−[u, v] XIFSF u, v BOE T (u, v) BSF WFDUPST JO T M 'PSN UIF QSJODJQBM CVOEMF QPJOU PG WJFX UIF UPSTJPO ǺGPSN DBO CF EFmOFE VTJOH UIF WJFMCFJO BT T a = Dea = Eea + ω a b ∧ eb 1 = Tmn a dxm ∧ dxn . 2. $MBTTJDBM HFOFSBM SFMBUJWJUZ JNQPTFT UIF UPSTJPO UP CF [FSP CVU BT XF XJMM TFF JO UIF OFYU DIBQUFST OPOWBOJTIJOH UPSTJPOT BSF FYUFOTJWFMZ VTFE JO IJHIFSEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUJFT. $VSWBUVSF 4JNJMBSMZ UIF DVSWBUVSF DBO CF EFmOFE JO UIF DPPSEJOBUF CBTJT BT B UFOTPS. Rmn,p q = 2 ∂[m Γqn]p + Γq[m|s Γs|n]p. PS NPSF HFOFSBMMZ JO BOZ TFU PG DPPSEJOBUFT CZ UIF UFOTPS BTTPDJBUFE UP UIF BQQMJDBUJPO Tp M 3 → Tp M R(u, v)w = ∇u ∇v w − ∇v ∇u w − ∇[u,v] w XIFSF u, v, w BOE R(u, v)w BSF WFDUPST JO T M 'SPN UIF QSJODJQBM CVOEMF QPJOU PG WJFX JU DBO CF EFmOFE BT UIF DVSWBUVSF ǺGPSN VTJOH UIF gWBMVFE DPOOFDUJPO Ra b = Dω a b = Eω a b + ω a c ∧ ω c b = Rmn a b dxm ∧ dxn .. ǺǸ.

(22) #PUI UIF DVSWBUVSF BOE UIF UPSTJPO DBO CF FYQSFTTFE JO UIF DPPSEJOBUF PS UIF nBU CBTJT *O BOZ DBTF UIFZ NVTU SFTQFDU TPNF HFPNFUSJDBM SFMBUJPOT DBMMFE UIF #JBODIJ JEFOUJUJFT #*. ET a + ω a b ∧ T b = eb ∧ Ra b ERa b + ω a c ∧ Rc b − ω c b ∧ Ra c = 0 .. ǹǻ. ɥF 3JDDJ UFOTPS BOE UIF TDBMBS DVSWBUVSF UIBU BQQFBS JO UIF HSBWJUBUJPOBM QBSU PG UIF BDUJPO BOE FRVBUJPOT PG NPUJPOT BSF PCUBJOFE WJB UIF GPMMPXJOH DPOUSBDUJPOT ab Rmn = g nq Rmn,pq = em a Rmn ab n R = g mp g nq Rmn,pq = em a eb Rmn. 'PSN mFMET )JHIFS EJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUJFT BMTP JODMVEF mFMET DBMMFE nVYFT PS QGPSN mFMET XIPTF CFIB WJPS NJNJD UIPTF PG F BOE A JO .BYXFMMT FMFDUSPNBHOFUJTN (FOFSBMMZ B GPSN JT B TNPPUI TFDUJPO PG UIF UPUBMMZ BOUJTZNNFUSJ[FE UFOTPS QSPEVDU PG UIF EVBM UBOHFOU CVOEMF *O QSBDUJDF B QGPSN ω JT XSJUUFO

(23) p. 1 dxm1 ∧ . . . ∧ dxmp ωm1 ...mp PO UIF DPPSEJOBUF CBTJT ω= ω∈ Tp∗ M . p! ea1 ∧ . . . ∧ eap ωa1 ...ap PO UIF nBU CBTJT. 4ZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPOT -FUT DPOTJEFS B TZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPO BQQMJFE PO UIF DPPSEJOBUFT PG UIF GPSN x → y XJUI y = t(x) "OZ UFOTPS JT BCTUSBDUMZ EFmOFE XJUIPVU SFGFSFODF UP UIF DPPSEJOBUF TZTUFN BOE DBO CF FYQSFTTFE JO CPUI 'PS B UFOTPS GSPN T M ⊗ T ∗ M JU SFBET T = Ta b (x) dxa ⊗. ∂ ∂ = Ta b (y) dy a ⊗ b , b ∂x ∂y. ǹǼ. XIFSF Ta b (x) BOE Ta b (y) BSF EJĊFSFOU GVODUJPOT PG EJĊFSFOU DPPSEJOBUFT #FJOH POMZ JOUFSFTUFE JO ∂ UIF MPDBM WBSJBUJPO PG UIF mFME POF DBO FYQSFTT UIF SIT PG ǹǼ JO UIF (dx, ∂x ) CBTJT BT Ta b (y). ∂y a ∂xd ∂ dxc ⊗ d , c b ∂x ∂y ∂x. BOE SFDPWFS UIF WBSJBUJPO δTc d BU x DBVTFE CZ UIF USBOTGPSNBUJPO x → y BT δTc d (x) = T (t−1 (y))a. b. ∂y a ∂xd (x) (x) − Tc d (x) . ∂xc ∂y b. ǹǽ. *O UIF GPMMPXJOH DIBQUFS XF XJMM CF DPODFSOFE BCPVU UIF WBSJBUJPO PG GPSNT *O UIBU DBTF BOE XJUI UIF USBOTGPSNBUJPO x → y CFJOH JOmOJUFTJNBM (y(x) = x + ξ) UIF WBSJBUJPO PG B LGPSN φ JT. Ǻǹ.

(24) FYQSFTTFE VTJOH ǹǼ BOE SFBET δξ (x)φm1 ...mk = ξ p ∂p φm1 ...mk + n (∂[m1 | ξ p ) φp|m1 ...mk ] ,. ǹǾ. XIJDI DPSSFTQPOET UP UIF -JF EFSJWBUJWF L PG φ "MUIPVHI -JF EFSJWBUJWFT DBO CF BQQMJFE PO BOZ UZQF PG UFOTPST UIFZ UBLF B QBSUJDVMBSMZ TJNQMF GPSN XIFO BQQMJFE PO EJĊFSFOUJBM GPSNT VTJOH UIF FYUFSJPS EFSJWBUJWF d BOE UIF JOUFSJPS QSPEVDU ι

(25) Lφ = (E ιξ + ιξ E)φ ,. ǹǻ. XIFSF. ιξ φ =. Eφ =. 1 p m2 ∧ . . . ∧ dxmk (n−1)! ξ φp m2 ...mk dx 1 p m1 ∧ . . . ∧ dxmk (n+1)! ∂p φm1 ...mk dx ∧ dx. .. ǹǿ. "MHFCSB PG TVQFSTZNNFUSZ. ɥF BMHFCSB PG USBOTGPSNBUJPOT JO TVQFSTZNNFUSJD UIFPSJFT JT DPNQPTFE PG UIF HFOFSBUPST PG -P SFOU[ USBOTGPSNBUJPOT Mnr USBOTMBUJPOT Pm BOE TVQFSTZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPOT Q XJUI B IJE EFO TQJOPS JOEFY *U DBO BMTP IPTU XIBUT DBMMFE DFOUSBM DIBSHFT EFOPUFE Z XIJDI DPNNVUF XJUI BMM PUIFS NFNCFST BOE 3TZNNFUSZ DIBSHFT R BDUJOH PO UIF QT ɥF CPTPOJD QBSU PG UIF BMHFCSB IBT UIF TBNF TUSVDUVSF JO BMM EJNFOTJPOT [p. q]. [Mnr , M pq ] = 4 δ[n Mr] [Pm , Mpq ] = ηm[p Pq] [Pm , Pn ] = 0. ɥF TQJOPSJBM PQFSBUPST Qα DBMMFE TVQFSDIBSHFT IBWF UIF TBNF TUSVDUVSF BT UIF DPSSFTQPOEJOH TQJOPST PG UIF UIFPSZ BOE DIBOHF BDDPSEJOHMZ XJUI UIF EJNFOTJPO PG TQBDFUJNF ɥF UXP FYBNQMF CFMPX BSF UIF BMHFCSBT PG 11E BOE 10E **" TVQFSHSBWJUZ *O 10E UIFSF BSF 2 × 16 .BKPSBOB8FZM TVQFSDIBSHFT PG DIJSBMJUZ (+) BOE (−) XIFSFBT JO 11E UIFSF BSF ǻǺ SFBM .BKPSBOB TVQFSDIBSHFT 1 {Q± , QT± } = (1 ± Γ11 )Γm CPm 2 1 {Q± , Mnr } = (Γnr ) Q± 2. {Q, QT } = (Γm C) Pm 1 {Q, Mnr } = (Γnr ) Q 2. {Q+ , QT+ } = 0. 4PNF GVOEBNFOUBM QSPQFSUJFT DBO CF EFSJWFE POMZ GSPN FYBNJOBUJPO PG UIJT BMHFCSB 'PS FYBNQMF [Pm , Qα ] = 0 JNQMJFT [P 2 , Qα ] = 0 XJUI P 2 CFJOH POF PG UIF $BTJNJS JOWBSJBOU PG UIF 1PJODBSÏ HSPVQ UIBU SFQSFTFOU UIF JOWBSJBOU NBTT PG B TUBUF ɥVT BMM mFMET SFMBUFE CZ B TVQFSTZNNFUSJD USBOTGPSNBUJPO IBWF UIF TBNF NBTT UIJT SFRVJSFT UIF TZNNFUSZ UP CF CSPLFO GPS UIJT UIFPSZ UP CF QIFOPNFOPMPHJDBMMZ SFMFWBOU #BTJD GFBUVSFT PG 11E TVQFSHSBWJUZ DBO BMTP CF EFSJWFE XJUI B GFX NBOJQVMBUJPOT *G XF DPOTJEFS B NBTTMFTT SFQSFTFOUBUJPO (P m Pm = 0) POF DBO BMXBZT EFTDSJCF TVDI B TUBUF CZ UIF JNQVMTJPO (E, E, 0, . . . , 0) CZ HPJOH UP UIF TVJUBCMF SFGFSFODF GSBNF "DDPSEJOH UP 8JHOFST DMBTTJmDBUJPO ǺǺ.

(26) UIPTF TUBUFT XJMM CF JOEFYFE CZ UIF JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT PG UIFJS MJUUMF HSPVQ ɥF CPTPOJD QBSU PG UIF HSPVQ JT SFEVDFE GSPN SO(1, d−1) UP SO(d−2) BOE TQJOPST TVQFSDIBSHFT BOE HBNNB NB USJDFT BMTP IBWF UP CF EFDPNQPTFE JO B MFTT USJWJBM XBZ JG UIF NBUSJDFT γm WFSJGZ {γm , γn } = δmn JO (d−2) &VDMJEFBO EJNFOTJPOT UIFO UIF NBUSJDFT Γm Γ0 = iσ 2 ⊗ I,. Γ1 = σ 1 ⊗ I ,. Γm = σ 3 ⊗ γm−1. (m = 2, . . . , d−1),. WFSJGZ {Γm , Γn } = ηmn JO dEJNFOTJPOBM .JOLPXTLJ TQBDFUJNF *O UIJT QBSUJDVMBS SFQSFTFOUB UJPO HPJOH GSPN (d−2) UP (1, d−1) EJNFOTJPOT TQMJUT UIF TQJOPST BOE UIF TVQFSDIBSHFT JO UXP DPNQPOFOUT PG UIF TBNF TJ[F 'PS FYBNQMF JO d = 11 ψ=. ψ (+) ψ (−). . Q=. Q(+) Q(−). ,. XIFSF ψ BOE Q DPOUBJO 32 DPNQPOFOUT XIJMF UIF RVBOUJUJFT XJUI (+) PS (−) DPOUBJO 16 ɥF DPOKVHBUJPO NBUSJY C(11) DBO BMTP CF TQMJU BT iσ 2 ⊗ C9 TVDI UIBU UIF BOUJDPNNVUBUPS PG UIF TVQFSDIBSHFT CFDPNFT JO NBUSJY GPSN . {Q, Q} = E (Γ0 − Γ1 ) C(11). I16 0 = 2E . 0 0. 8SJUUFO JO UFSNT PG Q(+) BOE Q(−) POF IBT (+). {Q(+) α , Qβ } = 2E I16 ,. (−). (−). (+) {Q(−) α , Qβ } = {Qα , Qβ } = 0 .. (+). ɥF BOUJDPNNVUBUJPO PG Qα )FMJDJUZ © Ǻ ǻǺ ǹ ǹǺ Ǹ ǹǺ ǹ ǻǺ Ǻ. TUBUF |0 Qi1 |0 Qi1 Qi2 |0 Qi1 Qi2 Qi3 |0 Qi1 . . . Qi4 |0 Qi1 . . . Qi5 |0 Qi1 . . . Qi6 |0 Qi1 . . . Qi7 |0 Q1 . . . Q8 |0. BMMPXT UP CVJME B $MJĊPSE BMHFCSB JO B DBOPOJDBM XBZ IBMG PG UIF DIBSHFT BSF TFU UP CF DSFBUJPO PQF SBUPST UIF PUIFS IBMG BSF EFTUSVDUJPO PQFSBUPST .VMUJQMJDJUZ XIPTF BDUJPO DBODFM UIF $MJĊPSE WBDVVN TUBUF ǹ |0 ɥVT JO PVS 11EJNFOTJPOBM FYBNQMF UIF Ȁ QIZTJDBM TUBUFT BSF DSFBUFE CZ UIF 8 DIBSHFT ǺȀ Q(+) BDUJOH PO UIF WBDVVN BOE BEE VQ UP B ǽǾ UPUBM PG 256 TUBUFT DPSSFTQPOEJOH UP UIF UP ǿǸ UBM EFHSFFT PG GSFFEPN PG 11E TVQFSHSBWJUZ DG ǽǾ DIBQUFS Ǻ ɥSPVHI EJNFOTJPOBM SFEVDUJPO UP ǺȀ Ǽ EJNFOTJPO DG DIBQUFS Ǽ UIF FYJTUFODF PG Ȁ NPSF TVQFSDIBSHFT XPVME IBWF MFE UP IFMJDJUJFT HSFBUFS UIBO Ǻ MFBEJOH UP QIZTJDBM JODPOTJTUFO ǹ DJFT ņ. ǻ )FMJDJUZ JO OPU EFmOFE JO EJNFOTJPOT PUIFS UIBO Ǽ ɥJT OVNCFS SFGFST UP UIF IFMJDJUZ PG UIF SFQSFTFOUBUJPOT PODF DPNQBDUJmFE UP ǼE XIFSF JU JT FBTZ UP QSPWF UIBU UIF PQFSBUPST Q SBJTF IFMJDJUZ Ǽ " TVQFSTZNNFUSZ UIFPSZ JOWPMWJOH B TQJOǺ BOE B TQJOǽǺ QBSUOFS XBT DPOTJEFSFE JO <ǺǸ> *U XBT EJTDBSEFE BT B QIZTJDBMMZ SFMFWBOU UIFPSZ EVF JUT JOBCJMJUZ UP EFTDSJCF B OPO[FSP HSBWJUPOHSBWJUPO TDBUUFSJOH BNQMJUVEF. Ǻǻ.

(27) ǹǼ. 4VQFSTQBDF GPSNVMBUJPO. 4VQFSTQBDF DBO CF WJFXFE BT BO FYUFOTJPO PG VTVBM TQBDF JO XIJDI TVQFSHSBWJUZ USBOTGPSNBUJPOT BSJTF JO B NPSF OBUVSBM XBZ BOE XIFSF UIF TQJOPST BSF USFBUFE PO BO FRVBM GPPUJOH XJUI WFDUPST BOE UFOTPST #FTJEFT BT XF XJMM TFF JO UIF OFYU DIBQUFS JU JT BMTP B QPXFSGVM DPNQVUBUJPOBM UPPM JO XIJDI BMM UIF DBMDVMBUJPOT PG UIJT UIFTJT BSF JNQMFNFOUFE ɥF CBTJD JEFB PG TVQFSTQBDF DPOTJTU JO TVQQMFNFOUJOH UIF VTVBM TQBDF XIPTF QPJOUT BSF MBCFMFE d CZ DPPSEJOBUFT {xm , m = 0 . . . d−1} XJUI BOUJDPNNVUJOH DPPSEJOBUFT {θμ , μ = 1 . . . 2[ 2 ] } *OUSPEVDJOH BOUJDPNNVUJOH WBSJBCMFT BMMPXT UP XSJUF UIF TVQFSBMHFCSB JO UFSNT PG DPNNVUBUPST POMZ BOE B HFOFSBM USBOTGPSNBUJPO DPSSFTQPOEJOH UP BO FMFNFOU PG UIF TVQFSBMHFCSB DBO CF XSJUUFO BT BO FYQPOFOUJBM XJUI UIPTF WBSJBCMFT θ BT QBSBNFUFST " mOJUF TVQFSUSBOTMBUJPO UIFO UBLFT UIF GPSN. m ¯ ¯ G x, θ, θ¯ = e−i(−x Pm + θ r Q + θ r Q) ,. XIFSF UIF HSBZ QBSU DBO CF EJTDBSEFE XIFO EFBMJOH XJUI .BKPSBOB TQJOPST ɥVT UIFTF BOUJ DPNNVUJOH WBSJBCMFT NVTU CF BT OVNFSPVT BT UIF TQJOPS DPNQPOFOUT BOE NVTU CF PG UIF TBNF UZQF .BKPSBOB 8FZM FUD *O 11E TJODF TQJOPST BSF .BKPSBOB POF OFFET ǻǺ SFBM θα XIJMF JO 10E **" UIF .BKPSBOB8FZM TQJOPST SFRVJSF 2 × 16 WBSJBCMFT PG PQQPTFE DIJSBMJUZ θα BOE θα 5P EJTUJOHVJTI UIF UXP QBSUT PG UIF TVQFSTQBDF UIF VTVBM DPNNVUBUJWF QBSU JT PGUFO DBMMFE FWFO QBSU PS UIF CPEZ BOE UIF BOUJDPNNVUBUJWF QBSU JT DBMMFE UIF PEE QBSU PS NPSF FYPUJDBMMZ UIF TPVM 0G DPVSTF UIPTF DPPSEJOBUFT HJWF SJTF UP UIFJS PXO QBSU PG UIF UBOHFOU TQBDF EVBM UBOHFOU TQBDF BOE GSBNF CVOEMF 5FOTPST DBO OPX CFMPOH UP CPUI QBSUT PG UIF UBOHFOU TQBDF BOE DBO UBLF UIF GPSN GPS FYBNQMF T = Taα bβ dxa ⊗ Eθα ⊗. ∂ ∂ ⊗ β . b ∂x ∂θ. 6TJOH UIF HFOFSBMJ[FE DPPSEJOBUFT Z M = (xm , θμ ) XF FYUFOE UIF nBU CBTJT BOE JUT EVBM BT A E A = EM dZ M ,. M EA = EA. ∂ , ∂Z M. A JT UIF TVQFSWJFMCFJO WFSJGZJOH XIFSF EM. A EM. N EA. =. N δM. =. n δm 0 0 δμν. .. " HFOFSBM TVQFSmFME JT XSJUUFO XJUI DBQJUBM JOEJDFT FBDI PG XIJDI DBO UBLF WBMVFT JO CPUI QBSUT PG UIF TVQFSTQBDF *O UIF GPMMPXJOH XF XJMM NBJOMZ DPOTJEFS TVQFSGPSNT XSJUUFO JO nBU TVQFSTQBDF XJUI UIF GPMMPXJOH DPOWFOUJPO H=. 1 Ak E ∧ . . . ∧ E A1 HA1 ...Ak , k!. ǺǼ.

(28) XIFSF UIF TVQFSWJFMCFJO JOIFSJU UIF BOUJDPNNVUBUJPO QSPQFSUZ PG UIF DPPSEJOBUFT. E. A. ∧. E. B. =. (−1) JG " PS # JT FWFO (+1) JG " BOE # BSF PEE. × EB ∧ EA ,. BOE DPOWFSTFMZ DPNNVUJOH ∂A ∂B CSJOHT UIF PQQPTJUF TJHO " TVQFSmFME IJEFT B IVHF OVNCFS PG EFHSFFT PG GSFFEPN FBDI DBQJUBM JOEFY DBO CF QBSUJDVMBSJ[FE UP BO FWFO PS PEE WBMVF FH E A ∧ E B HAB = E b ∧ E a Hab + 2 E a ∧ E α Hαa + E β ∧ E α Hαβ. ǹȀ. BOE FBDI PG UIPTF H EFQFOE PO θ BOE x TVDI UIBU JO 11E TVQFSTQBDF UIF 5BZMPS FYQBOTJPO PG HAB JT HAB (x, θ) = HAB (x) +. 32 1 μ1 θ . . . θμi (Hμ1 ...μ2 )AB . i!. ǹȁ. i=1. *O UIF SFNBJOEFS PG UIF UIFTJT XF BSF OPU TP NVDI JOUFSFTUFE JO UIF θ 5BZMPS FYQBOTJPO PG UIF mFME BT XF BSF JO UIF JOEFY FYQBOTJPO *O UIF GPMMPXJOH XF XJMM NBJOMZ CF JOUFSFTUFE JO UIF GPSNT BU θ = 0 NFBOJOH UIBU UIF EFWFMPQNFOU ǹȀ JT WBMJE CVU UIF MBTU QBSU PG ǹȁ WBOJTIFT "MM UIF HFPNFUSJD PCKFDUT EFmOFE BCPWF BSF HFOFSBMJ[FE UP TVQFSTQBDF UIF TQJO DPOOFDUJPO Ωa b UIF UPSTJPO UFOTPS T a BOE UIF DVSWBUVSF UXPGPSN Ra b CFDPNF. Ω. A. B. = dZ (ΩM ) M. A B. −→. RA B = DΩA B = EΩA B + ΩA C ∧ ΩC B T A = DE A = EE A + E B ∧ ΩB A ,. ǹǹǸ. BOE BMM PG UIFN DBO CF FYQBOEFE BT JO ǹȀ *O UIF GPMMPXJOH XF TIBMM FTUBCMJTI TPNF SFTUSJDUJPOT PO UIF TUSVDUVSF PG UIF TVQFSNBOJGPME CZ JNQPTJOH UIF -PSFOU[ NBOJGPME DPOEJUJPO JF Ωα β =. 1 (Γa b )α β Ωa b , 4. Ωα b = Ω a β = 0 .. ǹǹǹ. ɥF MBTU DPOEJUJPO PG ǹǹǹ DBO CF WJFXFE BT UIF SFRVJSFNFOU UIBU UIFSF CF OP NJYJOH CFUXFFO UIF PEE BOE FWFO QBSU PG UIF NBOJGPME VQPO QBSBMMFM USBOTQPSU XIJMF UIF mSTU DPOEJUJPO TJNQMZ TUBUFT UIBU UIF TVQFSDPWBSJBOU EFSJWBUJWF PG B TQJOPS D M ψ α = ∂ M ψ α + ωM α β ψ β. DPSSFTQPOET UP UIF EFSJWBUJWF ǹǺ GPS M = m 4VQFSTQBDF EJĊFPNPSQIJTN USBOTGPSNBUJPO PG UIF DPPSEJOBUFT Z M → Z M = Z M + ξ M BDUT PO TVQFSGPSNT BT JO ǹǾ BOE ǹǿ XIFSF UIF -JF %FSJWBUJWF JT HFOFSBMJ[FE UP TVQFSTQBDF "T BO FYBNQMF UIF TVQFSTZNNFUSZ USBOTGPSNBUJPOT PG UIF HSBWJUJOP BOE UIF TQJOPS DBO CF GPVOE JO %Ǽ. BOE %ǽ PG BQQFOEJY %ǺǺ JO UFOEJNFOTJPOBM **" TVQFSTQBDF *O UIF SFNBJOJOH PG UIF UIFTJT XF. Ǻǽ.

(29) TIBMM VTF UIF DPOWFOUJPOT PG <Ǻǹ> XIFSF BMM GPSNT BSF HJWFO JO iTVQFSTQBDF DPOWFOUJPOTw Φ(p) =. 1 Φm1 ...mp Exmp ∧ . . . ∧Exm1 , p!. E Φ(p) ∧Ψ(q) = Φ(p) ∧ EΨ(q) + (−1)q EΦ(p) ∧Ψ(q) .. ɥFTF BSF CFUUFS TVJUFE GPS UIF EJTDVTTJPOT PG UIF OFYU DIBQUFST JO XIJDI XF NBJOMZ NBOJQVMBUF FMFNFOUT JO UIF TVQFSTQBDF GPSNVMBUJPO PG 11E BOE **" TVQFSHSBWJUJFT XIFSF UIFTF DPOWFOUJPOT BSF UIF OBUVSBM POFT *OUFHSBUJPO PG BDUJPOT JO TVQFSTQBDF BSF EFmOFE VTJOH FJUIFS UIF DBOPOJDBM WPMVNF GPSN JF UIF )PEHF EVBM PG 1 PS UIF XFEHF QSPEVDU PG B GPSN BOE JUT )PEHF EVBM ɥF )PEHF TUBS JT EFmOFE BT GPMMPXT (Exa1 ∧ . . . ∧Exap ) =. 1 εa1 ...ap b1 ...b10−p Exb1 ∧ . . . ∧Exb10−p , (d−p)!. TP UIBU Φ(p) ∧ Φ(p) = (1). ǹǽ. 1 Φm1 ...mp Φm1 ...mp . p!. " XPSE BCPVU JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT. *O UIF OFYU DIBQUFST XF NBLF VTF PG TPNF HSPVQ UIFPSFUJD OPUJPOT UIBU XF CSJFnZ SFDBMM JO UIJT TFDUJPO " SFQSFTFOUBUJPO PG B HSPVQ G JT B NBQ ρ GSPN G UP B WFDUPS TQBDF V TVDI UIBU UIF HSPVQ TUSVDUVSF JT QSFTFSWFE ρ : G → GL(V ) g1 , g2 ∈ G, ρ(g1 )ρ(g2 ) = ρ(g1 g2 ). ǹǹǺ. XJUI B NBUSJY QSPEVDU PO UIF MIT BOE B HSPVQ QSPEVDU PO UIF SIT 4VDI B SFQSFTFOUBUJPO JT SFEVDJCMF JG POF DBO mOE B TVCTFU H PG V TVDI UIBU H JT TUBCMF CZ UIF BDUJPO PG G ∀h ∈ H, ∀g ∈ G, ρ(g)h ∈ H .. 0O UIF DPOUSBSZ BO JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPO PS JSSFQ POMZ IBT USJWJBM TUBCMF TVCTFUT 0 BOE V JUTFMG NFBOJOH JU USBOTGPSNT iBT POFw VOEFS UIF HSPVQ BDUJPO *SSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT PG HSPVQT QMBZ BO JNQPSUBOU SPMF JO QIZTJDT BOE JO UIJT UIFTJT XIFSF JU JT FYUFOTJWFMZ VTFE JO UFOTP SJBM DBMDVMBUJPOT -FUT GPDVT PO UIF UXP HSPVQT UIBU XJMM BQQFBS JO UIF GPMMPXJOH UIF TZNNFUSJD HSPVQ Sn BOE UIF dEJNFOTJPOBM -PSFOU[ HSPVQ SO(1, d−1). ǹǽǹ. 4ZNNFUSJD HSPVQ Sn. ɥF TZNNFUSJD HSPVQ Sn DPOTJTUT PG BMM QFSNVUBUJPO PG n EJTUJOHVJTIBCMF FMFNFOUT *U JT mOJUF DPOUBJOT n! NFNCFST BOE JU JT QPTTJCMF UP NBLF JU BDU PO UFOTPST XJUI n JOEJDFT 'PS FYBNQMF B ǺǾ.

(30) NFNCFS s = 13 21 32 PG S3 BDUT PO B ǻJOEJDFT UFOTPS T BT s. −→. T a1 a2 a3. T a3 a1 a2 .. "DUVBMMZ EFmOJOH UIJT BDUJPO POMZ SFRVJSF T UP CF B SFQFSUPSZ PG PSEFSFE JOEJDFT SBUIFS UIBO B USVF UFOTPS *G UIPTF PCKFDUT DBO CF TVNNFE JU CFDPNFT QPTTJCMF UP EFmOF JOWBSJBOU RVBOUJUJFT 0OF PG UIF TJNQMFTU FYBNQMF JT B GVMMZ BOUJTZNNFUSJ[FE UFOTPS 1 1 1 T[a1 a2 a3 ] = Ta1 a2 a3 − Ta2 a1 a3 + · · · − Ta3 a2 a1 6 6 6. S. n −→. ±T[a1 a2 a3 ] .. XIJDI XJMM MFBE UP ± JUTFMG XIFO BDUFE VQPO CZ BOZ NFNCFS PG S3 :PVOH EJBHSBNT BOE ZPVOH UBCMFBVY BSF VTFGVM UP HFOFSBMJ[F UIJT BOE mOE BMM TVCTFUT PG JOWBSJBOU UFOTPST GPS Sn 'JSTU MFUT DPOTJEFS B SFQSFTFOUBUJPO PG Sn PO Rn! QSPWJEFE XJUI UIF CBTJT DPOTJTUJOH PG BMM UIF UFOTPS QSPEVDU PG UIF CBTJT WFDUPST {e1 , · · · , en } PG Rn {e1 ⊗ · · · ⊗ en , · · · , en ⊗ · · · ⊗ e1 } := {e1···n , · · · , en···1 } .. *O UIJT CBTJT B WFDUPS (−4, . . . , 7) JT UIFO −4 e1...n + . . . + 7 en...1 'PS FYBNQMF PO S3 UIF TZNNF USJD HSPVQ BDUT PO R6 BOE UIF FMFNFOU g = 12 23 31 DPSSFTQPOET UP UIF GL(R6 ) NBUSJY ⎡. 0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ρ(g) = ⎢ ⎢1 ⎣0 0. 0 0 0 0 0 1. 0 1 0 0 0 0. 0 0 0 0 1 0. 1 0 0 0 0 0. ⎤ 0 0⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 0. e123 e132 e213 e231 e312 e321. XIFSF UIF TIBEFE FMFNFOUT DPSSFTQPOE UP UIF CBTJT WFDUPST 'PS FYBNQMF FRVJQQFE XJUI UIJT SF QSFTFOUBUJPO UIF BDUJPO ρ(g) r ( 2 e123 −3 e231 ) = ( 2 e312 −3 e123 ) DPSSFTQPOET UP ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ρ(g) r ⎢ ⎢ 1⎥ = ⎢ 0⎥ ⎣ 0⎦ ⎣ 1⎦ 0 0. e123 e132 e213 e231 e312 e321. 8IFUIFS PS OPU UIJT SFQSFTFOUBUJPO PG S3 JT SFEVDJCMF DBO UIFO CF TUBUFE DMFBSMZ TJODF JU DPSSFT QPOET UP mOEJOH B CBTJT PG R6 GPS XIJDI UIF XIPMF HSPVQ BDUJPO BDUT BT B CMPDL EJBHPOBM NBUSJY 'PS FYBNQMF UIF DBTF PG S2 JT WFSZ TJNQMF UIF CBTJT JT {e12 , e21 } BOE UIF UXP FMFNFOUT PG UIF HSPVQ BDU BT 1 0 e 12 1 2 ρ 1 2 = 0 1 e21. 0 1 e 12 1 2 ρ 2 1 = . 1 0 e21. Ǻǿ.

(31) *U JT USJWJBM UP FYQSFTT UIJT HSPVQ BDUJPO JO UIF CBTJT {e12 + e12 , e21 − e12 } PO XIJDI UIF HSPVQ BDUT EJBHPOBMMZ ρ. . 1 2 = 1 0 e12 +e21 1 2 0 1 e12 −e21. 1 0 e +e 12 21 1 2 ρ 2 1 = . 0 −1 e12 −e21. ɥVT UIF BDUJPO PG S2 PO R2 DBO CF TQMJU PO UXP JSSFEVDJCMF TFQBSBUF TVCTQBDFT PG EJNFOTJPOT ǹ ɥF DBTF PG S3 JT MFTT PCWJPVT BOE IJHIFS EJNFOTJPOT BSF BCTPMVUFMZ OPOUSJWJBM ɥBUT XFSF :PVOH EJBHSBNT DPNF JOUP QMBZ FBDI EJBHSBN DPNQPTFE PG n CPYFT SFQSFTFOUT BO JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPO PG Sn BOE UIF NVMUJQMJDJUZ PG UIF BTTPDJBUFE TUBOEBSE :PVOH UBCMFBV HJWF CPUI UIF NVMUJQMJDJUZ PG UIF SFQSFTFOUBUJPO BOE UIF EJNFOTJPO PG UIF JOWBSJBOU TVCTQBDF Ň PO Rn! (PJOH CBDL UP S3 BOE XSJUJOH BMM UIF BTTPDJBUFE TUBOEBSE :PVOH UBCMFBVY BMMPXT UP EFUFSNJOF UIF EJBHPOBM GPSN PG UIF HSPVQ BDUJPO FWFOUIPVHI UIF XBZT PG mOEJOH UIF TVCTQBDFT JT TUJMM VOTQFDJmFE. :PVOH EJBHSBN. 4UBOEBSE :PVOH UBCMFBV −→. 1 2 3 1 2 3. . =⇒. 1 3 2. −→. ⎡. ⎤. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. ǹǹǻ. 1 2 3. ɥF CBTJT PO XIJDI UIJT DPOmHVSBUJPO JT SFBMJ[FE DBO CF CVJMU GSPN UIF TUBOEBSE UBCMFBVY VTJOH B TJNQMF QSPDFEVSF &BDI FMFNFOU PG UIF iOBJWFw CBTJT NVTU CF (1) TVDDFTTJWFMZ TZNNFUSJ[FE PWFS UIF JOEJDFT OVNCFST TQFDJmFE JO FBDI SPX PG UIF UBCMFBV (2) BOUJTZNNFUSJ[FE PWFS UIF JOEJDFT TQFDJmFE JO FBDI DPMVNO (3) QFSNVUF UIF JOEJDFT PG UIF ei s UP TQBO UIF TVCTQBDF "QQMJFE PO UIF mSTU FMFNFOU e123 XJUI UIF UBCMFBV. (1). 1 2 3. JU HJWFT. (2). e123 −→ e123 + e213 −→ e123 − e321 + e213 − e231. ⎧ e123 − e321 + e213 − e231 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ e213 − e312 + e123 − e132 (3) −→ e132 − e231 + e312 − e321 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ . 'SPN UIF TJY QPTTJCMF JOEJDFT QFSNVUBUJPOT PG UIF MBTU TUFQ POMZ Ǻ XJMM CF JOEFQFOEFOU BT FY QFDUFE TJODF UIF TVCTQBDF BTTPDJBUFE UP UIJT EJBHSBN JT ǺEJNFOTJPOBM %PJOH UIF TBNF GPS UIF 1 2 3. 1 3 2. XJMM MFBE UP BO JTPNPSQIJD CVU EJĊFSFOU TVCTQBDF XIJMF 1 2 3 BOE TFDPOE TUBOEBSE UBCMFBV CPUI MFBE UP B ǹEJNFOTJPOBM TVCTQBDF DPSSFTQPOEJOH UP UIF GVMMZ TZNNFUSJD BOE BOUJTZNNFUSJD DPOmHVSBUJPOT ɥF OFX CBTJT JT DPNQPTFE PG JOEFQFOEFOU FMFNFOUT TQBO UIF XIPMF TQBDF BOE JOEFFE MFBET UP B HSPVQ BDUJPO PG UIF GPSN ǹǹǻ ǽ " TUBOEBSE ZPVOH UBCMFBV JT B :PVOH EJBHSBN XJUI CPYFT MBCFMFE CZ OVNCFST TUSJDUMZ JODSFBTJOH GSPN MFGU UP SJHIU BOE UPQ UP CPUUPN ɥF MJOLT CFUXFFO :PVOH EJBHSBNTUBCMFBVY BOE UIF JSSFQT PG Sn JT B OPOUSJWJBM TUBUFNFOU ɥF QSPPG DBO CF GPVOE JO <ǺǺ>. ǺȀ.

(32) #Z EPJOH TP GPS FBDI TUBOEBSE :PVOH EJBHSBN PG n CPYFT POF DBO mOE BMM UIF JSSFQT PG Sn 8IBU IBWF CFFO EPOF PO UIF ei1 ⊗ · · · ⊗ ein DBO CF FBTJMZ USBOTMBUFE GPS B UFOTPS Ti1 ...in CZ BQQMZJOH PO UIF JOEJDFT BMM UIBU IBT CFFO BQQMJFE UP UIF CBTJT ɥVT UIFSF JT B TZTUFNBUJD XBZ UP EFDPNQPTF BMM UFOTPST BDDPSEJOH UP UIF JSSFQT PG UIF TZNNFUSJD HSPVQ 1SBDUJDBM FYBNQMFT PG EFDPNQPTJUJPO DBO CF GPVOE JO "QQFOEJY $ǹ . ǹǽǺ. -PSFOU[ HSPVQ SO(1, d 1). ɥF -PSFOU[ HSPVQ SO(1, d−1) JT UIF HSPVQ PCUBJOFE BGUFS SFEVDUJPO PG UIF GSBNF CVOEMF UP UIF PSUIPOPSNBM GSBNF CVOEMF ɥVT UFOTPST FYQSFTTFE JO UIF OPODPPSEJOBUF CBTJT BSF SO(1, d−1) UFOTPST FYQSFTTFE JO UIF WJFMCFJO CBTJT "T TVDI UIFZ GPSN B TQBDF PO XIJDI SO(1, d−1) BDUT Ta1 ...an −→ Λa1 b1 . . . Λa1 b1 Tb1 ...bn. (n < d) ,. BOE UIFZ DBO CF EFDPNQPTFE BDDPSEJOH UP JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT PG UIJT HSPVQ *SSFEVDJCMF SF QSFTFOUBUJPOT PG TJNQMF -JF BMHFCSBT BSF JOEFYFE CZ %ZOLJO MBCFMT XIPTF HFOFSBM GPSN JT (i1 . . . in ) XIFSF FBDI i JT BO JOUFHFS BOE n EFQFOET PO UIF EJNFOTJPO PG UIF BMHFCSB ň ɥF %ZOLJO MBCFMT DPOUBJOJOH 1 BT TJOHMF OPO[FSP FOUSZ SFQSFTFOU UIF GVOEBNFOUBM SFQSFTFOUBUJPO GSPN XIJDI UIF PUIFS DBO BSJTF UISPVHI UFOTPS QSPEVDUT *O UIF GPMMPXJOH XF XJMM SFTUSJDU UIF EJTDVTTJPO UP HSPVQT VTFE JO UIF UIFTJT SO(1, 10) BOE SO(1, 9) XIPTF DPSSFTQPOEJOH DPNQMFY BMHFCSBT BSF SFTQFDUJ WFMZ B5 BOE D5 ɥF %ZOLJO MBCFMT PG B5 BOE D5 BSF PG UIF GPSN (i1 . . . i5 ) 0G DPVSTF JU QPTTJCMF UP FTUBCMJTI B TUBOEBSE DPSSFTQPOEFODF CFUXFFO GVOEBNFOUBM %ZOLJO MBCFMT BOE TPNF VTVBM SFQSFTFOUBUJPOT SO(1, 10) EJN (00000) 1 TDBMBS (10000) 11 WFDUPS (01000) 55 ǺGPSN (00100) 165 ǻGPSN (00010) 330 ǼGPSN (00001) 32 TQJOPS. SO(1, 9) EJN (00000) 1 TDBMBS (10000) 10 WFDUPS . (01000) 45 ǺGPSN (00100) 120 ǻGPSN (00010) 16 DIJSBM TQJOPS (+) (00001) 16 DIJSBM TQJOPS (−). ɥF UFOTPS QSPEVDU PG UXP JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT MFBET UP BOPUIFS SFQSFTFOUBUJPO XIJDI JT JO HFOFSBM SFEVDJCMF 'PSUVOBUFMZ JU JT QPTTJCMF UP TZTUFNBUJDBMMZ EFDPNQPTF SFQSFTFOUBUJPOT PCUBJOFE CZ QSPEVDU PG JSSFQT JOUP EJSFDU TVNT PG JSSFQT <ǺǺ> 'PS FYBNQMF B ǺUFOTPS XJUIPVU TZNNFUSZ JO JUT JOEJDFT JF MJWJOH JO B UFOTPS QSPEVDU PG B WFDUPS TQBDF XJUI JUTFMG V ⊗ V JT EFDPNQPTFE BT (10000) ⊗ (10000) = (20000) ⊕ (01000) ⊕ (00000) T mn 121. = =. S mn 65. + +. Amn 55. + +. I 1,. Ǿ .PSF QSFDJTFMZ JU EFQFOET PO UIF EJNFOTJPO PG JUT $BSUBO TVCBMHFCSB 'PS B DPNQMFUF SFWJFX PG UIF DMBTTJmDBUJPO PG JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPO PG TFNJTJNQMF -JF BMHFCSBT TFF <ǺǺ>. Ǻȁ.

(33) XIFSF S JT USBDFMFTT TZNNFUSJD A JT BOUJTZNNFUSJD BOE I JT B TDBMBS ɥPTF EFDPNQPTJUJPOT JOUP JSSFEVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT BSF FYUSFNFMZ VTFGVM XIFO USZJOH UP TPMWF FRVBUJPOT JOWPMWJOH UFO TPST GPS UIFZ BMMPX UP TFQBSBUF UIF FYQSFTTJPO JOUP VOSFMBUFE TVCQBSUT -FUT DPOTJEFS UIF FRVBUJPO Fabc Gd = Hab Hcd JOWPMWJOH UFOTPST JO 11 EJNFOTJPOT XIPTF SIT BOE MIT EFDPNQPTF JOUP JSSF EVDJCMF SFQSFTFOUBUJPOT PG B5 BT (00100) ⊗ (10000) = (00010) ⊕ (01000) ⊕ (10100) (01000)2⊗S = (00000) ⊕ (00010) ⊕ (02000) ⊕ (20000) .. ɥF POMZ DPNNPO JSSFQ TIBSFE PO CPUI TJEFT JT (00010) NFBOJOH UIBU UIJT FRVBUJPO DBO POMZ DPOTUSBJO UIF ǼGPSN QBSU PG JUT DPOTUJUVFOUT )FODF JU DBO CF FRVJWBMFOUMZ XSJUUFO BT F[abc Gd] = H[ab Hcd] ɥF TBNF QSJODJQMF DBO CF BQQMJFE PO BSCJUSBSJMZ MBSHF DBTFT BOE JT XJEFMZ VTF GPS UIF SFTPMVUJPO PG #JBODIJ JEFOUJUJFT JO TVQFSTQBDF. ǻǸ.

(34) 2. 4VQFSTZNNFUSJ[BUJPO PG UIF $IFSO4JNPOT UFSN JO FMFWFOEJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ. Ǻǹ. 4VQFSHSBWJUZ JO 11 EJNFOTJPOT. "T NFOUJPOFE JO UIF JOUSPEVDUJPO TVQFSHSBWJUZ JO FMFWFO EJNFOTJPOT QMBZT B QBSUJDVMBS SPMF JO UIF DPMMFDUJPO PG TVQFSHSBWJUJFT &MFWFO JT UIF IJHIFTU TQBDFUJNF EJNFOTJPO BMMPXJOH GPS B QIZTJ DBMMZ SFMFWBOU TVQFSHSBWJUZ UIFPSZ TJODF B TVQFSTZNNFUSZ JO IJHIFS EJNFOTJPOT XPVME FYDFFE UIF NBYJNBM OVNCFS PG TVQFSDIBSHFT BOE MFBE UP DPNQBDUJmFE ǼE UIFPSJFT XJUI TQJOT HSFBUFS UIBO Ǻ #FTJEFT UIJT E= 11 N = 1 TVQFSHSBWJUZ DBO XJUITUBOE POMZ WFSZ GFX NPEJmDBUJPOT JUT DPOOFD UJPO GPSN DBO CF TMJHIUMZ HFOFSBMJ[FE DG TFDUJPO Ǽǹǹ <Ǻǻ> CVU JU JT VOJRVF EPFT OPU BENJU B DPTNPMPHJDBM DPOTUBOU <ǺǼ> BOE POMZ IBT BO POTIFMM GPSNVMBUJPO <Ǻǻ Ǻǽ>. Ǻǹǹ $SFNNFS+VMJB4DIFSL $+4 TVQFSHSBWJUZ ɥF FMFWFO EJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ BDUJPO <ǺǾ> XBT CVJMU JO ǹȁǿȀ TUBSUJOH XJUI BO BOBMZTJT PG UIF EFHSFFT PG GSFFEPN BWBJMBCMF UP mOE UIF QIZTJDBM PCKFDUT JOWPMWFE *U DPOUBJOT POMZ UISFF mFMET UIF HSBWJUPO gmn UIF HSBWJUJOP ψm BOE B ǻ GPSN mFME Cmnp 0OTIFMM EFHSFFT PG GSFFEPN BSF GPVOE CZ BOBMZ[JOH UIF MJUUMF HSPVQ SFQSFTFOUBUJPOT XIJDI JT SO(9) JO UIF DBTF PG NBTTMFTT mFMET JO ǹǹ EJNFOTJPOT ɥF HSBWJUPO gmn ɥF mSTU mFME UIBU JT SFRVJSFE UP EFTDSJCF B HSBWJUZ UIFPSZ JT UIF HSBWJUPO gmn *U IBE UP CF QSFTFOU JO 11E TVQFSHSBWJUZ TJODF JU XBT LOPXO UIBU ǹǸ JT UIF IJHIFTU TQBDFUJNF EJNFOTJPO JO XIJDI UIFSF DBOOPU CF B TZNNFUSJD UFOTPS mFME <Ǻǿ> ɥF HSBWJUPO JT FJUIFS SFQSFTFO UFE CZ UIF NFUSJD gmn JUTFMG PS JUT BTTPDJBUFE WJFMCFJO eam &JUIFS XBZ FBDI PG UIFN NVTU DPOUBJO ǻǹ.

(35) UIF TBNF OVNCFS PG EFHSFFT PG GSFFEPN XIFO BMM UIF OPOSFMFWBOU POFT BSF SFNPWFE SO(9) TZNN. ǺUFOTPS. gmn eam. det(g)=0. −→ (1/2) r 9 r (9 + 1) − 1. = 44 ,. −→. = 44 .. 9 r 9 − (1/2) r 8 r 9 − 1 SO(9). ǺUFOTPS. -PSFOU[ HBVHF. det(e)=0. μ *U JT B TQJO ǻǺ TQJOPS ɥF HSBWJUJOP ψm ɥF TVQFSQBSUOFS PG UIF HSBWJUPO JT UIF HSBWJUJOP ψm CFBSJOH B TQBDFUJNF JOEFY BOE B TQJOPS JOEFY PGUFO JNQMJDJU *U JT B 3BSJUB4DIXJOHFS mFME MJWJOH JO UIF (10001) SFQSFTFOUBUJPO PG SO(1, 10) JU JT USBDFMFTT Γm ψm = 0 BOE JUT EFHSFFT PG GSFFEPN BSF DPVOUFE BT GPMMPXT μ ψm −→. 9. 9. 2[ 2 ] r 9 − 2[ 2 ] SO(9) TQJOPS. = 128 .. USBDFMFTT. ɥF TVQFSTZNNFUSJD USBOTGPSNBUJPO PG UIF HSBWJUPO BOE UIF HSBWJUJOP IBWF B DPNNPO QBSU JO BMM TVQFSHSBWJUJFT OBNFMZ δ ψm ∝ D m ,. δ eam ∝ ¯ Γa ψm .. Ǻǹ. ɥF ǻGPSN C ɥF FYJTUFODF PG UIF ǻGPSN C XBT EFEVDFE WJB B DPVOUJOH PG UIF SFNBJOJOH EFHSFFT PG GSFFEPN JU DPOUBJOT FYBDUMZ UIF SJHIU OVNCFS UP FRVBUF UIF CPTPOJD BOE GFSNJPOJD. POFT " ǻJOEJDFT BOUJTZNNFUSJD UFOTPS PG SO(9) SFQSFTFOUT 93 = 84 GSFF DPNQPOFOUT 8JUI UIJT mFME UIFSF BSF 128 GFSNJPOJD BOE 84 + 44 = 128 CPTPOJD EFHSFFT PG GSFFEPN POTIFMM ɥF BDUJPO &MFWFO EJNFOTJPOBM TVQFSHSBWJUZ BDUJPO XBT PSJHJOBMMZ GPSNVMBUFE CZ & $SFNNFS # +VMJB BOE + 4DIFSL JO <ǺǾ> 8JUI B GFX DPTNFUJD DIBOHFT UP TVJU PVS DPOWFOUJPOT JU IBT UIF GPSN 1 S= 2 κ. ". 11. d x. √. g. − − − + −. 1 R(ω) 4 ω+ω ˆ i mnr ψm Γ Dn ψr 2 2 1 Gmnrs Gmnrs 48 . 1 ¯ mnrspq ˆ rspq ψm Γ ψn + 12 ψ¯r Γsp ψ q Grspq + G 192 2 r1 ...r8 mnp Gr1 ...r4 Gr5 ...r8 Cmnp √ g(12)4. ǺǺ. Ǻǻ. ǺǼ. Ǻǽ. ǺǾ. XIFSF UIF mSTU ǻ UFSNT BSF GBNJMJBS UIF &JOTUFJO)JMCFSU BDUJPO ǺǺ UIF 3BSJUB4DIXJOHFS BDUJPO ˆ JT UIF TVQFSDPWBSJBOU WFSTJPO Ǻǻ BOE UIF LJOFUJD UFSN GPS UIF ǻGPSN mFME C ǺǼ ɥF mFME G. ǻǺ.