Anneaux d’entiers stablement libres sur $\mathbb {Z}[H_8 \times C_2]$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

C

OUGNARD

Anneaux d’entiers stablement libres sur Z[H

8

× C

2

]

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

10, n

o

_{1 (1998),}

p. 163-201

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_1_163_0>

© Université Bordeaux 1, 1998, tous droits réservés.

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Anneaux d’entiers stablement libres

sur

Z[H8

x

C2]

par JEAN COUGNARD

RÉSUMÉ. Le _{groupe H8} x

C2

est le

_{plus petit}

_{groupe pour}

_lequel

existent des modules stablement libres non libres. On montre _que toutes les classes

_{d’isomorphisme}

de tels modules _peuvent être

représentées

une infinité de fois _par des anneaux d’entiers. On

applique

un travail de classification de

Swan,

_pour cela on doit

construire

_{explicitement}

des bases normales d’entiers d’extensions à groupe

H8;

cela se fait en liant un critère de Martinet avec une

construction de Witt.

ABSTRACT. The smallest group which posseses

stably

free and

non free modules is H8 x _C2. In each

_isomorphism

class of such

modules one exhibits

_infinitely

_many

_rings

of

_integers.

To use

the classification done

_{by Swan,}

we need an

_explicit

construction

of normal

_integral

bases for

_rings

of

_integers

of

_H8

extensions of

Q.

That is done

_by

_comparing

Martinet’s criterion and Witt’s construction of such extensions.

Soit

_N/Q

une extension

_galoisienne

modérément ramifiée de groupe de Galois

G,

son anneau des entiers

dN

est un

z [G]-module

projectif

de _rang

1 localement

_{libre ;}

on lui associe sa classe

[ON]

dans le groupe des classes

projectives

M.J.

_Taylor

_[T]

montre _que cette classe est d’ordre au

_plus

_2,

_prouvant

une

_conjecture

de A. Frtihlich. Il en

_déduit,

_grâce

à la

_description

de donnée _par A. Frôhlich

_[F3],

une méthode de calcul de cet ordre via les constantes

_{d’équations}

fonctionnelles des fonctions

A(s, x)

d’Artin liées aux caractères

symplectiques

de G.

La classe

_{[ON ]}

est élément neutre de si et seulement si

Z[G] ~

Z[G].

Pour certains groupes il est

_possible

de

_{«simplifier»}

([J], [F2])

et d’en déduire

_{l’isomorphisme}

de

ON

et

_{7~ (G~ :}

_ON

est alors un

z [G]-module

libre de rang

1,

il

_possède

une base sur Z formée des

_conjugués

g(a),

g e G d’un élément a

(une

base

normale).

La

_{simplification}

_{des Z[G]-modules}

n’est pas

toujours possible :

Swan

[Sw2]

a donné un

exemple

de module stablement libre et non libre _pour un

Z[H32]-module

où

H32

est le _groupe des

_quaternions

d’ordre 32. En

_dépit

de la

_{spécificité}

des anneaux d’entiers mise en évidence _par le théorème de

Taylor

on a donné un

exemple

d’anneau d’entiers stablement libre et non

libre sur

7~ (H32j [CO].

La

_question

se _pose de savoir si toutes les classes

_{d’isomorphisme}

de stablement

_isomorphes

à

_Z[G]

_peuvent

être

_{représentées}

par

des anneaux d’entiers.

Dans ce travail on étudie cette

_{question lorsque}

_{le groupe} G est le

_produit

direct

_H8

x

_C2

d’un groupe de

_quaternion

d’ordre 8 et _{d’un groupe}

_cyclique

d’ordre

_{2 ;}

le choix de ce _groupe au lieu du groupe

H32

de

[Co]

est

_guidé

par l’étude faite dans

[Sw4]

et des considération d’effectivité des calculs.

Dans

_[Sw4]

_(théorème

_IV,

_§15

_{et §16)}

il est montré _{que le groupe des} classes

_projectives

est

_isomorphe

à

_Z/4Z

x

_Z/2Z

x

_Z/2Z

et

_qu’il

y a

_quarante

classes

d’isomorphisme

de

ces Z[G]-modules

de rang 1 dont

quatre sont stablement libres. Il résulte du même article _que tout _groupe G d’ordre strictement inférieur à 16

_possède

la

_propriété

de

_{simplification.}

Le groupe que l’on considère est en

quelque

sorte minimal _pour le

_problème.

On se _propose de démontrer :

Théorème 1. Chacune des

_quatre

classes

_{d’isomorphisme}

de

_7L(H8

x

C2]-module stablement hbre

_peut

être

_{représentée}

_par une

_infinité

d’anneaux d’entiers.

Le

_premier

_chapître

donne les notations et les

_grandes

_lignes

de la métho-de

_suivie,

utilisant à la fois les

_produits

fibrés et les discriminants. On utilise une factorisation de discriminants basée sur une

décomposition

de la trace introduite dans

_[Mal].

L’étude de l’anneau des entiers d’une extension

_galoisienne

_{de Q}

de groupe

H8

x

C2

nécessite de connaître

précisément

la structure

_galoisienne

des idéaux

_ambiges

de certains _sous-corps.

Les

_chapitres

II et III décrivent des bases normales d’idéaux

_ambiges

dans des extensions

_{de Q}

_{de groupe de} Galois

_isomorphe

à

_Z/2Z

et

_Z/2Z

x

_Z/2Z

(dans

toute extension

_galoisienne

modérément ramifiée les idéaux

_ambiges

sont des modules

_{galoisiens projectifs}

_[U]

_prop.

_1-3).

On aurait pu utiliser

le

_chapitre

_I,

mais il a _paru

_{plus rapide}

de

procéder

directement.

Le

_chapitre

IV

_reprend

avec

_quelques

modifications le travail de Witt

[W]

sur la construction des extensions

galoisiennes

de Q

de groupe

H8.

Ces résultats sont utiles pour

produire

des

exemples

et construire de manière

explicite, lorsqu’elles

existent,

des bases normales de l’anneau de leurs en-tiers ou de certains idéaux

_ambiges.

Le

_chapitre

V est consacré à la détermination de bases normales pour

les idéaux

_ambiges

des extensions construites au

chapitre précédent.

Pour

l’essentiel le critère est celui de

_[Mal],

le

_chapitre

_précédent

_permet

de le

Le

_chapitre

VI donne la

_description

_{du groupe des classes de G} =

H8

x

C2

et des classes

_{d’isomorphisme}

des

_{Z [G]-modules}

_{de rang} un stablement libres. Il

_s’agit

d’un extrait des

_paragraphes

15 et 16 de

_[Sw4].

Il a _paru nécessaire de

_rappeler

ces résultats

_techniques

car c’est sur eux _que

_reposent

en définitive les _{identifications.}

Le

_chapitre

VII

_applique

les

_précédents

aux anneaux d’entiers des exten-sions

_galoisiennes

_{de Q}

de _groupe de Galois

H8

x

_C2.

On donne

_{l’algorithme}

de détermination d’une classe et on en déduit _que si une classe est

représen-tée par un anneau d’entiers elle l’est une infinité de fois. On illustre la démarche en étudiant les anneaux des entiers des _corps

_composés

de deux

corps

quaternioniques

purs

(définition

en

IV-4)

contenant

_{Q( vI001,}

_v2805).

Ces _corps sont au nombre de

28,

on _{constate que}

chaque

structure est

représentée

par un anneau d’entiers : trois le sont six fois et une l’est dix

fois,

ce

_qui

assure la démonstration du théorème en

_composant

ces _corps avec des _corps

quadratiques

de discriminant

_premier

à

ppcm(1001, 2805).

Les calculs ont été effectués avec Pari

[P].

I.

GÉNÉRALITÉS

L 1.

_Groupes

et extensions. Le _groupe

_C2

est

_engendré

par s,

H8

l’est

par les éléments x, y vérifiant les relations

x4

= _e,

x2

=

y2,

1 xyx- 1

=

Le centre de G =

Hg

_x

C2

_a

pour

générateurs

x2

et s,

~e, x2 ~

est le sous-groupe dérivé.

Soit une extension

galoisienne

de groupe G =

H8

x

_C2.

Le

sous-corps de N formé des invariants par

H8

est

_{appelé k,}

il existe un entier d non divisible _par un carré tel _que l~ =

Q( v’d).

Le _sous-corps des invariants

par

C2

est noté

_Nl.

Le _sous-corps de

_Nl

invariant _par

x2

est noté

_I~,

celui invariant par x

(resp.

y,

x y)

est

kx

(resp. ky,

Le corps N est une extension

_{biquadratique bicyclique}

de K. On note K’ le

_{composé Kk,}

c’est la sous-extension abélienne maximale

_{de Q}

incluse dans N son _{groupe de}

Galois

sur Q

est

_isomorphe

à

Le

_quotient

de G _par le _sous-groupe

_distingué

est

_engendré

_par les classes de x et de _y

_qui

vérifient les mêmes relations que x et y, il est

isomorphe

au _groupe

_H8.

Le _sous-corps

_Nd

de N

quadratique

sur K formé des éléments de N invariants _par

sx2

est aussi une extension

quaternionique

de

_Q.

Pour

_chaque

_{corps de nombres}

_L,

on note

_OL

son anneau des entiers. Pour un réseau

,C,

muni d’une forme bilinéaire non

dégénérée

T on note

L1T

son discriminant. Dans les cas

_particuliers

de

ON

(resp. ON,,

OK),

munis de la forme trace des corps

correspondants,

on note A

_(resp.

Le groupe G est

_produit

direct de deux groupes, ses

_{représentations}

irréductibles sur C sont obtenues _par tensorisation de celles de chacun des deux groupes. On obtient huit

_{représentations}

de

_degré

un

_qui

sont celles de

_Gal(

_{K’ /Q),}

une

représentation

irréductible

el

de

degré

2

(soit

xl son

caractère )

_qui

se factorise _par le groupe de Galois

Gal(Ni/Q)

et une

représentation

irréductible

lbd

de

degré

2

(soit

_xd son

caractère)

_qui

se factorise par le groupe de Galois

Gal(Nd/Q) :

cette dernière est le

produit

tensoriel de

_el

avec la

représentation

irréductible non triviale de _noyau

Gal(N/k).

On suppose modérément

ramifiée,

son anneau des entiers

C~N

sta-blement libre. Cela

_implique

_que

sont stablement

libres,

donc libres

_([Mal]

Th.

_II-1).

On sait _que ces deux dernières conditions

_équivalent

à =

W (xd) -

1 étant la

constante de

_{l’équation}

fonctionnelle de la fonction d’Artin

étendue

_{A( , Xi)}

associée

_{à xz}

_[Fl]).

Réciproquement,

si ces deux conditions sont

vérifiées,

la classe

[ON

]

est l’élément neutre de

_{(voir [F4]}

Ch 1

_§5

et 6 ou

[T]).

On veut connaître les classes

_{d’isomorphisme représentées}

_par

ON

dans la classe des modules stablement

libres;

celle de

_Z[G]

s’obtient de manière évidente :

Il suffit de composer une extension

galoisienne

de groupe de Galois

faire dans

_[Ma3])

avec une extension

quadratique

modérément ramifiée de discriminant

_premier

à celui de

_{Ni /Q.}

On souhaite savoir si d’autres classes

d’isomorphisme

de

_{z [G]-stablement}

_{libre de rang} un sont ainsi

_{représentées.}

1.2. Produits fibrés et classes

_{d’isomorphisme.}

Soit r un _{groupe fini}

et M un

Z[r]-module

_projectif

stablement libre de rang 1 :

Tous les _groupes n’ont _pas la

_propriété

de

_{simplification}

_{([Sw2], [Sw3],}

[Sw4]).

On

_peut

déterminer dans un certain nombre de cas l’ensemble des classes

_{d’isomorphisme}

de tels modules. On retrouve

_plusieurs

fois la situation suivante : le centre de r contient un élément s d’ordre 2. Soit H =

r/~1, s}.

Les éléments

(1+s)

_et

(1-s)

engendrent

des idéaux bilatères

L’algèbre

s)

est

_isomorphe

à

_Z[B],

on note A

l’algèbre

Z[r]/(l

+

_s)

d’où les

_diagrammes

commutatifs :

Le second se déduisant du

_premier

en tensorisant _par M.

Le module M est

_{cohomologiquement}

trivial. En

_particulier

le _noyau de la trace m H

₍₁

+

_s)m

est

_égal

à

_{(1 -}

_s)M

et donc

_{M/(1 - s)M}

=

M/ker (%)

est

_isomorphe

à

_l’image

de la trace :

₍₁

+

s)M.

La nullité du groupe dit que

(1+s)M

est aussi

(les

éléments de M

invariants _par s

_&#x3E;);

c’est un stablement libre de rang un. D’autre

_part,

comme s est dans le centre de

_r,

_{(1 -}

_s)m

est un

morphisme

de

_Z[r]-modules

dont le _noyau est formé des éléments invariants

par s dont on vient de voir _que c’est

(1+s)M;

on en déduit _que

M/(1+s)M

est

_isomorphe

à

_{(1 - s)M.}

Le second

_diagramme

devient :

On suppose, ce

_qui

est le cas dans les

applications

_que nous avons en _vue,

que

Mis 1

est de rang un et _que

_{(1 - s ) M}

est t-libre de rang

un. Ces deux modules ont _{donc des groupes}

_{d’automorphismes égaux}

Réciproquement,

étant donné un A-module

Mi

libre de rang _un,

_M2

un

Z[H]-module

libre de rang un et un

_isomorphisme

_cp de

Mi/2

sur

_{M2/2 :}

La

_propriété

de recollement de Milnor

_[M]

montre

_qu’il

est

_possible

de

compléter

ce

diagramme

avec un

z [r]-module

localement libre de rang un :

M(Ml,

M2,

cp).

L’ensemble des classes

_{d’isomorphisme}

des

_{Z [r]-modules}

de rang un vérifiant ces

hypothèses

est en

bijection

[Sw3]

avec l’ensemble des

doubles classes

im C7G (H *) B1F2 (H * / im (A*)

où

_{im( )}

_{désigne l’image}

dans

1F2

[H]*.

1.3. Un cas

_particulier.

On conserve les notations et

_hypothèses

de la seconde section et on _{suppose que}

L/Q

est une extension

galoisienne

de

groupe de Galois r. On note F le sous-corps de L formé des éléments

invariants _par s. On _{suppose que} le module M est un idéal

_ambige

_J

de

L /Q (dont

on connaît la

décomposition

en

produit

d’idéaux

premiers)

_qui

vérifie les mêmes

_hypothèses

_que dans la section

_{précédente :}

Connaissant la

_{décomposition}

en idéaux

_premiers

de

_J,

il n’est _pas dif-ficile de déterminer

On obtient

_également

des

_précisions

sur

( 1 -

Tout d’abord c’est un

OF-module

de _rang un. Il existe un

élément -y

entier de F tel _que L =

F ~ .

L’élément

_est

un entier de L

_{qui appartient}

au _{noyau de} la trace de L sur F. De ceci résulte l’existence d’un idéal fractionnaire 2l de F tel _que

_{( 1- s ) ~ _}

_2l.¡;ÿ.

La détermination de 2l est un _pas

_important

dans la connaissance de

_{(1 - s)I.}

Elle est favorisée _par la _remarque suivante

que l’on

emprunte

à

_{[Mal] :}

On note D le discriminant de

_L/Q,

D celui de

_F/Q.

Soit

T,

T’,

T" trois

formes bilinéaires

_symétriques

définies

_{respectivement}

sur

L, F,

(1 - s)L

par :

La dernière

_ayant

un sens car si x =

(1 - s)m, y

=

(1 - s)n

le

produit

_xy

invariant _{par s}

_appartient

_{à F. Les sous-espaces vectoriels F} et

_{(1 -}

_s)L

Il 1 1 1

et on a :

soit _pour la

_{décomposition}

_orthogonale

_(relative

à

_T)

de L = F0153

(1- s)L :

Calculons l’indice

_{dans éI}

de

_{y~~ 0(12013}

la formule dit _que c’est une

_puissance

de 2. Localisons en

~ ~

2,

comme 2 n’est pas ramifié dans

L/F

cela entraîne que

_,7(2~

possède

une normale formée d’un a et de son

_conjugué

s(a) :

~(2~ -

OF(2)

a e

_OF(2)

S

(a) .

On

_peut

récrire cette

_{décomposition :}

_OF(2)

_(a

+

ce

qui

_{prouve que}

(1 -

s),7

est d’indice dans

,7.

On a donc :

On sait _par ailleurs _{que ,}

D’où la formule :

qui

donne

_{A~/((l 2013}

_{s) J)}

sur

lequel

nous avons d’autres informations dans chacun des cas

envisagés.

II. BASE NORMALE D’UN

IDÉAL

AMBIGE D’UNE EXTENSION QUADRATIQUE

Soit k = d - 1 mod4 un _corps

quadratique

modérément

ram-_el

ifié et Z un idéal

_ambige

de l~. On écrit

pi avec

_{n é z,}

p?

=

(pi) -

On

_peut

_{supposer n} = 1. La

struc-- J

Lemme 2. L’idéal l admet une base normale dont un

_générateur

est cz =

, 1

Preuve. Soit et L le réseau

_Zwj

+ Ce réseau

est un idéal entier de

Ok :

le

produit

des _pi

(i

E

_T)

étant

_impair,

le réseau

est constitué d’entiers

_{algébriques.}

Il suffit de vérifier

_qu’il

est stable _par

multiplication

par

(1

+

~)/2,

pour cela :

Le

_produit

d de tous les _{pi par} E étant congru à 1 mod

_4,

les deux

_produits

partiels

sont

_impairs

_congrus entre eux modulo 4. Les coefficients sont donc entiers. Il en va de même _pour Le réseau L est un idéal. La construction du réseau montre à l’évidence

_qu’il

est inclus dans

_{I ;}

son discriminant _pour la trace dans

_{k /Q}

est :

égal

à celui de I d’où

_{l’égalité}

du réseau et de l’idéal. D III.

IDÉAL

AMBIGE D’UNE EXTENSION _{BIQUADRATIQUE BICYCLIQUE} Soit une extension

biquadratique

bicyclique

de groupe

Y4

-le,

x, y,

xy} ;

pour

chaque

9 =1

e de

_V4,

on note

_I~g

le _.sous-corps de K

formé des éléments invariants _{par g.} On suppose modérément ra-mifiée. Soit

_d9

l’entier non divisible _par un carré tel

_{que k.}

=

les

_dg

sont _{des entiers congrus à} 1 modulo 4. Si ô =

pgcd(dx,

dy)

on note Si le

_premier

_p divise son _{groupe de ramification} est

_Gal(K/ky)

et _p n’est _pas ramifié dans

Si le

_premier

_p divise

_by,

son _groupe de ramification est et _p n’est _pas ramifié dans

_{kx /Q.}

Si le

_premier

_p divise

_6,

son _{groupe de} ramification est

_Gal(K/kxy)

et p

n’est _pas ramifié dans

On note

_9tx

_(resp.

_~,

_9txy)

l’ensemble des

_premiers

_p ramifiés dans

(resp.

K/ky, K/kxy) ;

ces ensembles sont

disjoints.

Un idéal

ambige 1

de

K/Q

est de la forme :

La ramification modérée de

_implique

_que ces idéaux

ambiges

sont des

Z[V4]-modules

projectifs

([U]

prop.

I-3).

Le groupe des classes

projectives

de Z [V4]

est réduit à son élément neutre

_[S],

les idéaux

_ambiges

1 ont donc des bases normales. On les construit en

_partant

du cas où les sont vides

(cas

de l’anneau des

_entiers)

de la

_façon

suivante :

1 modulo

_4,

on construit le _corps modérément ramifié

v’6),

ce _corps est le

_composé

_{de trois sous-corps}

_quadratiques

de discriminants 2 à 2

_premiers

entre eux et _congrus à 1 modulo 4. Son anneau des entiers admet une base normale

dont la trace sur K donne (

Si d - 3 modulo

_4,

on

remplace &#x26;

_pax

6’

= -6 _et on _pose m =

x/8’,

n = dy/8’,

on

procède

alors de la même manière et on obtient

r-=-

r-:-w

_peut

être

remplacé

_par

~g(w), g

E v4

(les

~g

sont les seules unités de

_Z[V4]).

Soit

_{L /Q}

une extension abélienne de groupe de Galois r. Pour

chaque

0 E L et

_{chaque caractère X}

de

_r,

on définit la résolvante de

Lagrange

de 8

_{et X}

dans

_L/Q

_par

_{l’expression :}

Les calculs sont basés sur les

_propriétés

élémentaires des résolvantes de

Lagrange :

la linéarité par

rapport

au

_premier

_argument,

les relations

9(8),

X

_&#x3E;L/Q=

8,

X

_&#x3E;L/Q

et,

si le _noyau

_{de X}

contient _{le groupe de}

Galois de

_L/F,

_{8, x}

_~L/Q==

_TrL/F(8),X

_&#x3E;F/Q

_(cette

dernière résolvante étant calculée dans l’extension

_F/Q

pour le caractère de

Gal(F/Q)

dont le

relèvement à

_Gal(L/Q)

donne

_x).

Soit c,~ une base normale de

_I,

on

_peut

l’écrire : _Wz = _{aew +}

axx(w)

₊

ayy(w)

les _ag E Z. On va déterminer ces coefficients en calculant de deux

_façons

différentes les résolvantes de

_{Lagrange :}

de _úJz associées aux

_{caxactères X}

de

_Y4.

Outre xo

(le

caractère

trivial)

ces caractères sont : _x~

_(resp.

_{xy, resp.}

_Xxy)

défini _par

_{= 1,}

_{x~ ( y) _ -1}

Pour le caractère _xo, on obtient : &#x3E;=

_Tr(w)

= _{a, +}

ax + _ay + C’est la trace dans

_K/Q

de Wz elle

engendre l

n

_Q

_(car

le

z [G]-module

1 est

_{cohomologiquement}

_trivial)

ce

_qui

donne une relation :

On _{note iro} le membre de droite. Pour le caractère on obtient :

Le calcul de _{w, xz}

_&#x3E;K1,Q,

en

remplaçant w

_par son

_expression,

donne

si ô -1 mod

_{4, -P;}

si ~ = 3 mod 4. On obtient aussi : _xx

_{&#x3E;~/~_}

wz

+

x (W-T» - (y(wI)

+ or c,~

+ ~ (wz )

est une base normale de

TrK/kz

(1),

idéal entier de

_kx

_ambige

dans Déterminons la

décomposition

de cet idéal en

procédant

localement.

Un idéal

_qui

n’est _pas dans

_Tx

U

_Ty

U

_Txy

ne

figure

_pas dans la trace. Soit

_q3j

_figurant

dans la

_{décomposition}

de

_I,

_(pi)

= z n

_q3j

sous

_q3j

dans

Si

_13i

est ramifié dans dans

_K/kx,

sa trace sur

kx

est si _pi est inerte dans _pi =

(pi);

si pi

est

décomposé

dans divise Z _et

y(pj)

divise aussi

_TrK/kz

_(I)

dans les deux cas

_apparaît

le facteur _pi. Si

q3j

est ramifié dans dans x,

(pi)

est ramifié dans

13j

est soit

_inerte,

soit

_décomposé

dans

_(mais

alors son

_conjugué

et donc le

_produit

_pi

_figure

dans

_I)

la trace de I est donc

exactement divisible par =

Pi - On obtient ainsi :

Le lemme 1 nous donne une base normale de cet idéal :

D’où la seconde

_expression

de

_{qui donne}

On note 7rx le membre de droite. De la même

_manière,

on obtient avec _xy

et _{xzy :}

On note _7r,

_(resp.

_1rxy)

le

_premier

_(resp.

_second)

membre de droite.

Si on

_remplace

_{Wz par} son

opposé,

on

change

les seconds membres en leurs

_opposés.

Si on

_remplace

_{wz par} on

_remplace

_{wz, xz}

&#x3E;x/Q

et _{Wz, Xxy par} leurs

_opposés

sans

changer

_{wz, Xo} ni

wz, _xy

_&#x3E;x/~.

Les nombres

premiers

intervenant dans les

produits

étant

tous

_impairs,

on

_peut

_{supposer que 7ro et 7rx} sont _{congrus à 1 modulo 4} et il reste deux

_{signes qui}

ne _{sont pas}

précisés. La

solution du

_système

_obtenu

est :

Comme _ay et _a~y doivent être

_entiers,

il faut que _1ry - _Jrzy modulo

_4,

ce

qui

laisse un

choix,

(correspondant

à une éventuelle

_conjugaison

_{par x,}

_qui

donc n’ influerait ni sur _iro ni sur

1rx).

Si on

_reporte

les

_expressions

de _{ae, ax , ay, a~~} dans _wz on obtient :

Notons _{que :}

Exemples numériques :

On donne ici des bases normales d’idéaux utilisées dans la dernière

partie.

On considère le corps

biquadratique

-.,/-2-8Ô5),

on note

Q( v1DOI), ky

=

Q(B/2805)

et =

~( 23205),

soit

dz

= 1001 =

7.11.13,

dy

= 2805 =

3.5.11.17,

dzy

= 23205 = 3.5.7.13.17. On _a donc

{ 3, 5,17}, Ry

=

{ 7,13 },

=

{ 11 } .

Une base normale de

C~~

_est

engendrée

par w _

( 1-

B/d~2013 dy -

Avec les notations de _cette

section on obtient des bases normales suivantes _pour les idéaux

_ambiges

_qui

IV. CONSTRUCTION DES EXTENSIONS _{QUATERNIONIQUES}

D’APRÈS

_[W]

Le _groupe

_H8

est _{extension du groupe de Klein}

_v4

par un _{groupe d’ordre}

d’ordre 2. On a donc une suite exacte :

Si on

_prend

dans

_H8

des

_{représentants}

_{ie, ix, ix,}

_ixy

de e _{x, y, xy} avec la convention

_ie

= _e le groupe _est caractérisé

par le

système

de facteurs bien

connu défini _{par :}

On se donne une extension

biquadratique

K/Q

de groupe

Y4

=

{e,

x, y, pour tout élément

g

e de

4,

on

_{note kg}

le _sous-corps de K formé des éléments invariants par g.

Dans k,,

(resp.

ky)

on choisit l’élément

(resp.

~y )

tel

_{que ~~}

= _{0x E} 7~

(resp.

~~

=

~

E

_Q),

entier non divisible _par un carré. On pose

_gxy

=

gxgy,

()xy

=

0z0y

(le changement

de notations _par

rapport

au

_chapitre

III facilite l’écriture des

formules).

La formule

₍₈₎

définit un

deux-cocycle

de V4

à valeurs dans le _groupe

{±1},

qui s’injecte

dans

_K*,

on obtient un

2-cocycle ( de

V’4

à valeurs dans K* et on

_peut

construire

l’algèbre

_St,

produit

croisé de K _par ce

_{2-cocycle :}

2l =

_(~,

_K).

L’existence d’un

_plongement

de K dans une extension à _groupe de Galois

H8

dépend

de la

_{décomposition}

de cette

_algèbre

_{(cf. IV-1).}

L’algèbre %

est un

K-espace

vectoriel de dimension 4 avec une base _que l’on _{note par}

_{abus ie = 1,}

_iy,

et où le

_produit

se déduit _par

Q-linéarité

des relations :

Comme le

_cocycle

est en fait à valeurs dans

Q,

l’algèbre 21

contient la

Q-algèbre

de dimension 4 de même base et définie par les mêmes

relations ;

c’est

_l’algèbre

des

_quaternions

usuels

( 201320132013 ).

.

Q

Posons

_e,

= 1 et construisons _pour

_{chaque g}

de

_v4

l’élément de 2t

Les relations

₍₉₎

montrent que

ce

_qui

_{prouve que}

l’algèbre 2l

contient aussi la

Q-algèbre ï)

.

-ls

On constate

_également

par l’utilisation des relations

(9)

que les éléments et 0 commutent entre eux et

_{qu’ils engendrent}

_Qt,

on a donc

La

_comparaison

des dimensions montre

_{que 2t}

est

IV.1. Un critère de

_plongement

_(d’après

_[M-N]).

_Rappelons

ce critère de

_plongement

dans le contexte

_qui

nous

intéresse,

on introduit les

_F2

-espaces vectoriels

rK

=

rQ

=

(1

/q*2

sur

_{lesquels opère V4 ;}

la

démonstration du lemme suivant est sans difficulté :

Lemme 3. Les extensions de

_{degré 2}

de

_{K, galoisiennes}

sur

_Q,

s’iden-t2fcerct

aux droites du _sous-espace vectoriel

rG

des vecteurs de

_rK

laissés

par G.

~.

On a une

application

évidente de

_{r Q}

dans

r~

et deux suites exactes :

qui

donnent les suites de

_{cohomologie :}

Ce

_{qui conduit,}

par

comparaison,

à la suite exacte :

où _p est un

_{homomorphisme}

de connexion

_{et 1b}

se déduit de l’inclusion naturelle

_{±1}

C K*. On

_peut

_expliciter

_{im(cp) -}

soit a E K*

_{représentant}

un élément de

rv4,

_{pour tout g} de

_V4,

choisissons _1/9 E K* tel _que

_a-lu(a)

=

1/~,

l’application

de

V4

x

_V4

dans

₍₊₁₎

définie _par

~9~~ _

est un

2-cocycle

dont la classe dans

H2(V4,

{::I::1})

_dépend

uniquement

de la classe de a dans

r~ /im(rQ).

On en déduit donc :

Proposition

4. Le

_plongement

de K dans une extensions

_{quaternionique}

de

_{degré 8}

a lieu si et seulement si

l’algèbre 2l

est

décomposée.

IV.2.

_{Décomposition}

de

_l’algèbre

Comme les

_algèbres

introduites

dans 1 sont des

_algèbres

de

_quaternions,

leurs invariants locaux valent

1/2

ou 0 dans

Q/Z;

ces invariants locaux

_s’ajoutent

_par

_produit

tensoriel

d’algèbres.

On en déduit que

l’algèbre

2l =

( 2013’20132013 )

x 1) est

_décomposée

B

_Q

/

(c’est

à dire

_isomorphe

à

_{M4 () )}

si et seulement si 1) est

_isomorphe

à

( -1Q -1 ) ,

c’est ce

qui

conduit au critère de Witt

_[W]

retouvé par A. Fbôhlich

et

_{qui s’exprime}

ainsi :

Théorème 5. Le

_plongement

de K dans une extension

_{quaternionique}

de

degré 8

a lieu si et seulement si _pour tout

_premier

_p divisant

_ôz0y

on a

l’égalité

_{(2013l,~)p(2013l,~)p(~,~)p}

= 1 où

( ,

)p

désigne

le

_symbole

de Hilbert en _p.

Remarque

1. La formule du

produit

montre alors _que l’on a la même re-lation _pour la

_place

à infini : les formes

_quadratiques

X2

+

y2

+

Z2

et

+

()yy2

+

()xyZ2

sont

_{équivalentes}

sur

_Q.

Rappelons

un résultat

classique

extrait de

[La]

chapitre

3. Soit A =

une

_algèbre

de

_quaternions,

comme

_Q-espace

vectoriel elle

_possède

B

_Q

/

une base

_1,

_{ia, ib,}

₂

et le

_produit

est défini en étendant _par linéarité les

relations iâ

=

a, ib

=

b,

iaib

=

_iab

=

-ibia.

Sur cette

algèbre

il _{y a une}

anti-involution :

on

_{appelle quaternions}

_purs et on note

_Ao

les éléments transformés en leur

opposés

par l’anti-involution. La norme réduite cc d’un élément c munit A d’une structure

_{d’espace quadratique}

pour

laquelle

Ao

est

_orthogonal

à

_Q.

Proposition

6

_([La]

Ch

_3,

prop

2.5).

Pour deux

algèbres

de

_quaternions

A =

, A

= des

_propriétés

suivantes _sont

_{équivalentes}

=

Q

1

=

Q

es

_propnetes

_{sUIvantes sont eqUlva entes:}

(i)

A et

A’

sont

_isomorphes,

et A’ sont des espaces

quadratiques isométriques,

(iii)

les _espaces

_quadratiques

_Ao

et

_A6

sont

_{isométriques.}

Dans _{notre cas,}

_{soit p}

un

_isomorphisme

entre les

_algèbres

de

_quaternions

(-lQ-l)

et 1).

_{Posons v.}

= =

Vxy = _ce

sont des

_images

de

_quaternions

_purs, donc des

_quaternions

_purs. On

_peut

écrire :

On obtient ainsi une matrice M =

passage de la base

ix,

iy, ixy

à _vy,

_Puisque

les

_gxyixy

forment une base

ortho-gonale,

il en est de même de la nouvelle. La matrice de la forme

_quadratique

norme réduite dans cette base est la matrice

_diagonale

_(ax,

_ay,

_{0xy ) ;}

_puisque

cp est un

isomorphisme

d’algèbre

_Vxy =

vxvy et la nouvelle base est de même

sens _que

ix,

_iy,

_2xy.

La matrice M a donc _pour déterminant

_0x0y.

Montrons _que l’on

_{peut apporter}

une

précision

sur les coefficients à

_priori

dans

_Q.

_{L’algèbre 0}

est construite à

_partir

des entiers _0z,

_0y,

en

particulier

le Z-module :

est un ordre de cette

algèbre.

Son

image

_{par cp} est un ordre de

(-1 Q -1 )

Q

l’ordre de Hurwitz

_{(ordre maximal)}

sont tous

_principaux.

Il en résulte _que

tous les ordres maximaux sont

_conjugués

_{([Che] ,[E]) ;}

on

_peut

_{donc, quite}

à _{composer cp} avec un

_{automorphisme}

intérieur de

--- ,

_supposer

que les coefficients de la matrice M sont des entiers. On les obtient en

remarquant

que :

ce

qui

revient à

décomposer 0z

et

_Dy

en sommes de trois carrés d’entiers

formant des vecteurs

_orthogonaux

de

]R3

et à

_prendre

comme troisième colonne le

_produit

vectoriel des deux

_premières,

nous

procédons

désormais

de cette

_façon.

Il reste un certain arbitraire dans le

signe

et l’ordre des coefficients

de vz

et _{Vy ;} on reviendra sur cette

_question

en IV-4.

IV.3. Construction du

_plongement.

On suit les calculs de

_[W]

_(une

interprétation

et une

généralisation

en sont donnés dans

_[Cr]

en termes

d’algèbres

de

_CliBbrd).

On construit n constrwt une une nouve e a nouvelle

algèbre

_ge re K 0 @

- -

Soit,

QI

=

K

Olt,

dans cette

_algèbre,

les éléments

On a les relations :

Les éléments

_{jl, jx,}

_{jy, jzy}

forment une K-base avec le même

système

de facteurs que

1,

iy,

~*

La réalisation du

_plongement

de K dans une extension

_{quaternionique}

repose sur les

propriétés

de l’élément

on le

développe

en

exprimant

les

jh

suivant la base

1, ix,

iy, i~~

De la définition de C résulte immédiatement _{que :}

On

_{désigne par}

C le transformé de C par

l’anti-inv_olution ;

la norme réduite

N(C)

= CC _E

K,

la _trace réduite

Tr(C)

= C ₊ C E K : _comme CC E K

on a

N(C)

(

)

= CC

1TÉ(CC).

De la définition

des ’

résulte _que

2

(CC)

3h q

(h)

1,

Tr (jh) =

0 et comme _pour les

_ih.

_Puisque

la

_conjugaison

est une anti-involution :

N(C) =

mais

d’après

(11)

ce

_qui

donne

N(C) _

1’ft(Eh i"h1Cih)

car la trace réduite est _{invariante par}

_conjugaison.

Si on

_{note q}

=

N(C),

_on obtient

d’après

(10) :

car les éléments

_1,

1 /gz ,

1/ey,

forment une

_*base

de

K/Q.

L’élément

C est donc inversible dans et la relation

₍₁₁₎

se récrit :

Le groupe

Gal(K/Q)

opère

sur

_l’algèbre

1-’ 1

(

_par

_conjugaison

des K

coefficients de

_{1, Íx,}

_{iy, 2xy.}

Transformons le membre de

_gauche

de

₍₁₃₎

en

remplaçant

C par

i,Cg,

on Si 9 =

h,

jg

=

eg

et les coefficients de _Vg

_{(dans Q)}

sont invariants

par g, on a

j9

=

jg

ce

_qui

donne :

= les coefficients de _{Vh sont} dans

Q,

invariants _{par g}

alors

_{que eh}

est transformé en son

opposé

on a

donc jh

_{= -- jh}

ce

_qui

donne

/

-1

Il en résulte que les

automorphismes

intérieurs associés à

(igC9)

C

lais-sent invariants

_1,

_~,

_jy,

il existe donc des

_{éléments 6.}

E K tels _que

= les relations

(10)

et

(12)

_permettent

de calculer

explicitement

les

_dg.

Nous avons l’identité :

qui

devient

Si on revient à la définition

_{de ~}

=

N(C)

et que l’on

prend

la _norme réduite

des relations

C-QC-1

= on obtient

= ~9

ce

_qui

avec la relation

(14)

montre que le _corps

_Ni

= est une extension

_{quaternionique.}

Modifions l’écriture

_{de q :}

Comme est un carré dans

K,

on

_peut

remplacer

_{q par} l’entier

algébrique :

IV.4.

_Quelques

remarques

pratiques.

L’extension

biquadratique

K de

Q

étant donnée et

_plongeable

dans un _corps

quaternionique,

il existe des corps

quaternioniques particuliers

que A. Frtihlich

([Fi])

appelle

«purs » :

ceux tels que si p est ramifié dans

N1/Q,

il l’est

déjà

dans

K/Q.

On sait que si

Nl -

est un tel _corps, tous les autres sont de la forme

Nf

= avec t E ~

_(voir

la démonstration donnée dans

_[Ma3]

au début du

_paragraphe

_2).

De tels _corps ne sont _pas

_uniques

et on

_peut

en déterminer le nombre

_{(voir ~F1~,}

Th. 4 et le

_corollaire).

La construction de Witt en donne

_rapidement.

En

_particulier,

si lz et

_ay

ne sont _pas

_premiers

entre eux il est

_pratique

de

_remplacer

_{~1 par}

Comme on l’a laissé entendre

_{plus haut,}

l’ordre et le

_signe

des coefficients

de vz

et

_{de vy}

n’est _pas entièrement

_{imposé. Voyons}

les

_{conséquences}

qu’entraînent

ces modifications.

Si on

_remplace

_par son

opposé,

cela

impose

de

remplacer

aussi _Py,x

par son

_opposé

mais alors l’est aussi de manière

_automatique

_{et q}

devient

_y(-y),

l’extension reste la même.

Si on

_remplace

_{p~~y par} son

opposé,

cela

impose

de

remplacer

aussi _py,y

par son

opposé

mais alors l’est aussi de manière

automatique

_{et q}

devient

_x(,),

l’extension reste la même.

Si on

remplace

_{Px,xy par} son

_opposé,

cela

_impose

de

_remplacer

aussi _Py,xy

par son

_opposé

alors _Pxy,xy

_{et q}

ne

changent

_pas.

Si on effectue une

permutation

des coefficients _vx, on effectue la même sur

ceux de _vy, on obtient de nouveaux vecteurs

orthogonaux

v~,

v~, v~y :

nous avons construit un nouvel

isomorphisme

cp

de 9 sur

( 201320132013 ),

le théorème

B

_Q

/

de Skolem - Noet h e r nous dit

qu’il

existe un élément _p de

B

_Q

/

à le

_multiplier

_par un

entier,

on

_peut

le _supposer dans l’ordre de

_Hurwitz)

tel _{que pour} tout c de D

cp’(c)

= On

_poursuit

la construction

par

i-’C’j’

=

C’ pour

_tout h de

_V4,

_{et on}

pose

-y=

N(C’).

L’automorphisme

intérieur de s’étend à 1 et transforme les

_jh

en les

j’.

Si on _{compare les relations}

₍₁₁₎

et

_(11’)

on obtient =

jh.

La conjugaison

intérieure _par

C C

dans

( -il k -1)

a le même effet _que celle _{par p.} Il existe

_{donc p}

E 1~ tel _que

C’-’C

=

pp et en

_prenant

la norme

réduite -y

=

’Y’ J.t2 N(p).

Le facteur

J.L2

_ne

change

pas l’extension. Comme

N(p)

est un entier rationnel les _corps

quaternioniques

construits à

_partir

de q

et de sont les mêmes. On

_peut

_préciser

des choix d’éléments

p associés à certaines des

permutations :

-qui

sont des éléments de normes réduites

_respectives

_{2, 2,}

4.

V. BASES NORMALES D’UN

IDÉAL

AMBIGE D’UNE EXTENSION QUADRATIQUE QUATERNIONIQUE

Soit

_{Nl /Q}

une extension

_galoisienne

de groupe de Galois

_isomorphe

à

_H8.

On conserve les notations de I _pour le groupe de Galois et les _sous-corps de

Ni.

On suppose cette extension modérément

_ramifiée,

ses idéaux

ambiges

sont donc des

_{Z[Hg]-modules}

_projectifs.

La caractérisation de

_[Mal]

_qui

permet

de dire si l’anneau des entiers est ou non stablement libre se trans-pose aux idéaux

ambiges

ce

_qui,

couplé

avec la construction des extensions

quaternioniennes

rappelée

dans

_IV,

_permet

de construire

_{explicitement}

les bases normales

_{lorsqu’elles}

existent.

On note

_9~

_(resp.

l’ensemble des

_premiers

_pi totalement ram-ifiés dans

_{NI/kx (resp.}

_{N1/ky, N1/kxy)}

et 9V l’ensemble des

_premiers

pi

ramifiés seulement dans

_NI/K.

Un idéal

_ambige

de

_{Ni /Q}

est de la forme :

(16)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

les

_exposants

_appartenant

à l’ensemble

_{{l, 2, 3}}

et n e

_Q.

Le facteur n

_peut

être

_supposé

_égal

à 1. Ce que l’on fait dans ce

_qui

suit.

Donnons

_quelques

calculs auxiliaires utiles. Soit _p un idéal ramifié dans un idéal

_premier

de

_ON,

au-dessus de _p divisant

(ainsi

_que ses

conjugués)

avec

l’exposant

r l’idéal

ambige

Ll. On

distingue

_plusieurs

cas suivant l’indice de ramification et le

_degré

résiduel de _p. On a besoin de connaître l’intersection de Ll avec K

_(égale

à la trace de U sur

K)

et les normes

_{sur Q}

des différents idéaux

_premiers

au-dessus de _p.

Si on _suppose l’indice de ramification de _p dans

Ni

égal

à

4,

soit :

Dans le cas

(a), nous

avons :

:-Dans le cas

(b),

nous avons :

., , .

., -

..

, -

,

-Dans chacun des cas, est divisible exactement par

p2r .

Dans les cas est divisible

exacte-ment

_{par p2,}

et

si r = 3 par p4 .

Supposons

l’indice de ramification de p dans

Ni

égal

à 2. Nous avons :

Dans le cas

(c),

nous avons :

Dans le

_{cas (d),}

nous avons :

Dans chacun des cas sont

divis-ible exactement par

p4.

’

V. l . Critère de base normale

_~Mal~.

La détermination de la structure de

_Z[H8]-module

de Ll

_et,

s’il est libre la construction de sa base

_normale,

s’appuient

sur le

_produit

fibré suivant

(cf. 1-§2)

et III.

La

_propriété

de recollement de Milnor montre

_{que LI}

est

_Z[H8]-libre

s’il est

possible

de trouver une base deu et une base de

_{(1 -}

_qui

ont

même

_image

dans F2

_{[V4] ;}

on note 71

_{/ ( 1}

+

x2 ),

_isomorphe

classes

_{d’isomorphisme}

sont

_{représentées}

_par les classes de

_F2[V4]*/V4

_qui

sont celles de 1 et de 1 + x + _y. C’est la caractérisation de

_[Mal].

On détermine aisément U n K et on a vu dans le

_chapitre

III comment en construire une base _p

comme Z[V4]-module

libre de rang un.

Si on connaît une

_{base 1/J}

de

( 1- x2 )Ll

comme W-module libre de rang _un, la

_propriété

de recollement revient à dire que si on

_peut

la modifier de sorte que p

m Q

modulo

_2,

alors est une base de Ll

comme Z[H8]-module

libre de rang un.

On

_reprend

la formule

₍₁₎

dans le cas où L =

Ni,

F = K _avec r =

H8,

8 =

x2;

ceci détermine

A~((l 2013

x2 )Ll ) .

Le 1i-module

(1 -

x2 )LI

_est libre

de rang un ce

_qui

conduit à une autre

_expression

de ce discriminant :

Soit £ un 7i-module libre de rang un inclus dans

_{(1 -}

x2)N.

Il

_possède

une li-base _p d’où l’on déduit une Z-base : _li,

y(ti),

On

constate alors _que si

_g(p)

et

_h(p)

sont deux éléments distincts de cette

base = 0 et que les sont

égaux

à

TrK/Q(J.L2).

On a donc

AT" (f-)

= La formule

(1)

_nous donne

au

_{signe près.}

Remarque

2. On connaît la valeur absolue de On connaît

éga-lement son

_{signe :}

si

Ni

est réel

_{M 2est}

totalement

_positif,

il en est de même

pour si

Ni

est

_complexe

la

_{conjugaison complexe égale}

à

_x2,

1

transforme li

en son

opposé : M

est

_imaginaire

pur pour

chaque plongement

complexe

et

_TrK/Q(J.L2)

est

_négatif.

Lemme 7

_([Mal]).

mod 4 où

f = 1 si

NI

est

réel, -1

sinon.

’ ’

Remarque

3. Ceci

permet

de calculer

_x2)U)

et l’indice

Théorème 8. L’idéal

_{ambige U}

_possède

une

Z[H8]-base

normales si et

seule-ment si modulo 4.

Preuve. S’il y a une base normale on modulo 2 ce

_qui

_implique

cp2

_

e2

modulo 4. Cette _congruence est vérifiée _par

_conjugaison

et donc

pour les traces.

S’il

_n’y

a _pas de base normale on

_peut

_{supposer que} l’on

a

_{cp +}

x(cp)

+

_y(cp)

modulo 2 ce _que l’on

_peut

encore

_{écrire : e =-}

_{cp +}

x(cp)

+

y(y2)

+

_{xy(cp) -}

_xy(cp)

= T -

xy(cp);

où _{T, trace} de _cp, est un

_générateur

de u n

_{Q =}

c’est un entier

impair.

En élevant au carré on obtient

on

_prend

la trace dans

_K/Q~

soit :

Rappelons

ce _que donne ce critère dans le cas où Ll est l’anneau des

entiers,

en utilisant le lemme

_précédent

et la formule

_(6).

Théorème 9

_([Mal]).

L’anneau des entiers

_possède

une base normales si

et seulement si

où E = 1 si

Nl

est

_{réel, -1}

sinon.

V.2. Construction de

_~.

Il faut maintenant construire une

_{base 0}

de

( 1- x2 )Ll

comme 1£-module de rang 1.

_Commençons

_par le cas où Ll =

ON,

On

_connaît,

par la construction de l’extension

quaternionique,

un élément

-il tel que

Nl

= Cet élément est _un entier

algébrique

_et il _est de

trace nulle sur K : il

_appartient

à

(1 -

Considérons le 1£-module libre ,C de

_{base Jfi.}

On sait que le

discri-minant de £ pour

T"

est

égal

à

TrK/Q(’Y1)4

que l’on connaît

explicitement.

On a l’inclusion de ,C dans

( 1-

x2)ONl

_qui

est aussi un 1£-module libre.

Soit e

une 1l-base de

(1 -

on

_peut

écrire

_Jfi

=

~1~

avec À _E

1£,

le discriminant de ce module _pour T" est

_égal

à

_qui

nous est

connu _par le lemme 7. Le

_quotient

est connu et

il est

_égal

au carré de l’indice de £ dans

(1 -

x2)ONl’

c’est à dire au carré de la norme de À dans 1l. On connaît par

conséquent

la norme réduite n de À dans 1£. La norme réduite dans 1l est une forme

_quadratique

définie

positive

à coefficients entiers _pour des valeurs entières des variables. Il

_n’y

a

qu’un

nombre fini de

possibilités

_pour À. On teste les

_{~-1 ~y~}

=

l’un d’entre eux doit être

entier,

notons le

1j;.

Le module est formé

d’entiers,

il est inclus dans

_{(1 -}

et a même discriminant _que lui

pour T" : ils coïncident.

En

_pratique,

on _pose À = a +

pi

+

_i7j

+

_pij

(a2

+

~i2

+ r¡2 + y 2

_{= n),}

en

prenant

la même notation pour x, y et un de leurs

_{prolongements}

ÀJfi

=

+ + + Le calcul de nécessite

donc de trouver les _rg E K tels que =

2-yl

(on

_peut

alors contrôler

que l’on a bien construit une extension

quaternionique

en vérifiant _{que r.,}

(resp.

ry,

rxy)

est de norme -1 sur

kz

(resp ky,

- - 1 __ . -- -- 1 - - -- - n

On considère les éléments _-yi de

_K,

cette

on

_peut

fixer a et son

_signe.

Ceci étant

_précisé,

un et un seul

quadruplet

(a,

Q,

’fJ,

IJ)

convient. On a donc

"p2;

_pour obtenir la base

normale,

il suffit de savoir à

_{quel conjugué}

de w est congru

(modulo

2) ~ (où

c.~ est le

_générateur

de la base normale de

_OK

défini dans la section

_III).

Une méthode

_rapide

consiste à construire les

_polynôme

irréductibles des

_{(g(w) - ~)/2.}

Remarque

4.

_Lorsque

_{N /Q}

est

_sauvagement

_ramifiée,

son anneau des en-tiers est libre sur son ordre associé

[Ma2].

Les méthodes mises en évidence ici

_{s’appliquent}

de la même manière pour en construire une base.

Revenons à

_{(1 -}

_~2)Lf;

_c’est,

tout comme

(1 -

x2)ONl’

_@ un 1l-module

projectif

de rang un, donc

libre; soit 0

une base. L’inclusion de U dans

implique

(1 -

C

_{(1 -}

x2)ONl’

il existe _p E 1l tel

_{que 0}

=

po.

Le

_quotient

des discriminants

_{ÂT" ((1 -}

_{~~)~)/A~((1 2013}

_x2)ONl)

est le carré de l’indice de

_{(1 - x 2)U}

dans comme ces deux réseaux ont

une structure de li-module cet indice est

_égal

à

_N(p)

où N est la norme dans 7ï. Comme

précédemment

cela détermine un nombre fini de choix

pour p.

Pour

_chaque

choix

_possible

de _p, on construit les éléments

_PO,

y(po),

qui

forment une Z-base de Si ce ll-module est inclus dans

_{(1 2013~)~/,}

les calculs de discriminants montrent comme ci-dessus

_qu’il

y a

_égalité.

Il faut et il suffit _que l’on vérifie que chacun de ces éléments v est dans

(1-x2)Lf.

Un tel v est de la forme

_{u-x2(u), u}

si et seulement si il existe v E tel _que

v ~ v E

Lf. Les idéaux

_{premiers 93}

divisant U étant ramifiés dans il faut et il suffit _que

Ll f1 K. Cette

propriété

ne

dépend

_que de la classe

de v

E K

n U

modulo

2,

une Z-base de K n U est _connue, un nombre fini de vérifications

_permet

donc de

_répondre

à la

_question

de

_{l’appartenance}

des v à

(1 -

VI. CLASSES D’ISOMORPHISMES ET GROUPES DES CLASSES POUR

H8

X

C2

Soit maintenant G =

H8

x

_C2.

_Appliquons

la

_technique

du

_chapître

I avec G et le _sous-groupe d’ordre 2 du centre

_engendré

_par s.

Reprenons

les

diagrammes

commutatifs du

_chapitre

I avec M un

Z[G]-module

localement libre _{de rang} un :

Les modules

_{(1 - s)M}

et sont des

_{7G(H8)-modules}

localement

_libres,

donc libres

_[Mal].

Leurs

_{automorphismes}

forment un _groupe

_isomorphe

au groupe des éléments inversibles de donc aux éléments

{~g ~ g

E

_H8}

([Mal]

Th 1-2

_{b) ;}

_{(1 - s)M12(l - s)M}

est

_isomorphe

à

F2 [H8] .

Réciproquement,

si on se donne deux

Z [H8]-modules

libres

Ml

et

_M2

de rang un et un

isomorphisme

_cp de

Mi/2Mi

sur

M2/2M2

le

_{diagramme :}

permet

de construire un

Z[G]-module

localement libre

M(Ml,

M2,

cp)

_par la

propriété

de recollement de Milnor

_([M]

_§2,

_[Sw2]

_§4).

On en déduit

([Sw4]

lemme

_{16-1) :}

Lemme 10. L’ensemble des classes

_{d’isomorphismes}

des

_Z[G]-modules

M

projectifs

de

_{rang 1}

tels _que

_(1-s)M

sont des libres

est en

_bijection

avec l’ensemble Cet ensemble admet _pour

représentants

les 10 éléments suivants de

F2

[H8] :

Le

_diagramme

de

_gauche

de

₍₁₈₎

conduit

_également

à une suite de

Mayer-Vietoris

_{([M] §3)}

Comme

1F2

_[H8]

est un anneau local

Ko (F2

[H8])

est

_isomorphe

à

_7G,

_pour les autres

_{Ko ( )}

le _rang donne un

isomorphisme

entre

Ko ( )

et Z 0153

_CI()

ce

_qui

conduit à la suite exacte :

On

_peut

_préciser

la

_plupart

des termes de cette suite exacte :

_{Ct(z [H8])}

est

_isomorphe

à

_Z/2Z

_([Mal]

th I-1 et

_II-1),

on a

rappelé

dans le

chapitre

précédent pourquoi

il _y avait deux classes

_{d’isomorphisme}

de Z

_[H8]-modules

localement libres de rang un, le théorème II-1 de

[Mal]

montre comment stablement

_{isomorphe implique isomorphe}

_(on

_pourrait

aussi conclure par

un calcul direct du groupe des classes utilisant les formules de

[F2]

ou de

[F3]),

l’anneau

IF2

[H8]

est local et la théorie des déterminants de Dieudonné montre _que

_{Kl (IF2 [H8])}

est

_isomorphe

à

_IF2

_Keating

a

prouvé

[K]

_que