A343. En solo,duo,trio,....
Quels sont tous les entiers qui s’écrivent en base 10 en répétant un même chiffre a sous la forme et dont la représentation binaire comporte a fois le chiffre 1 ? Justifiez votre réponse.
…...Première Partie :
Soit G(x) l'expression de x en base 2, H(x) l'expression de x en base 8,
et F(x) le nombre de chiffres 1 dans G(x). Que x soit constitué de n chiffres égaux à 1, 2, 4, ou 8, F(x) est le même, et aussi avec n chiffres égaux à 3 ou 6 . Les calculs ne concerneront que les chiffres 1, 3, 5, 7, 9.
En solo :
x 1 2 4 8 3 6 5 7 9
G(x) 1 10 100 1000 11 110 101 111 1001
F(x) 1 2 2 3 2
Le bon résultat en solo est : 1.
En duo :
x 11 22 44 88 33 66 55 77 99
G(x) 1011 10110 101100 1011000 100001 1000010 110111 1001101 1100011
F(x) 3 (pas 1, 2, 4, ni 8) 2 (pas 3, ni 6) 5 4 4
Le bon résultat en duo est : 55
En trio : ( pour gagner de la place les nombres x = 222 , 444, 888, et 666 ne sont pas explicités )
x 111 333 555 777 999
G(x) 1101111 101001101 1000101011 1100001001 11110111
F(x) 6 (pas 1, 2, 4,ni 8) 5 (pas 3, ni 6) 5 4 7
Le bon résultat en trio est : 555
En quatuor : ( x = 2222 , 4444, 8888, et 6666 ne sont pas explicités )
x 1111 3333 5555 7777 9999
G(x) 10001010111 110100000101 1010110110011 1111001100001 10011100001111
F(x) 6 (pas 1, 2, 4,ni 8) 5 (pas 3, ni 6) 8 7 8
Le bon résultat en quatuor est : 7777
Pour des nombres plus grands, on peut trouver F(x) à partir de H(x) : Partant de F=0, chaque chiffre 1, 2 ou 4 dans H augmente F de 1 chaque chiffre 3, 5, ou 6 dans H augmente F de 2 chaque chiffre 7 dans H augmente F de 3
x 11111 33333 55555 77777 99999
H(x) 25547 101065 154403 227721 303237
F(x) 9 6 7 10 10
Le bon résultat en quintette est : 66666
x 111111 333333 555555 777777 999999
H(x) 331007 1213025 2075043 2757061 3641077
F(x) 8 8 9 12 12
Le bon résultat en sextette est : 888888
L'ensemble recherché comprend donc au moins {1, 55, 555, 7777, 66666, 888888} →page 2
x 1111111 3333333 5555555 7777777 9999999
H(x) 4172107 14556325 25142543 35526761 46113177
F(x) 10 13 11 15 14
Aucun bon résultat en septuor.
…...Deuxième Partie :
Touver d'autres solutions que celles déjà obtenues semble improbable.
Ce qu'on peut prouver c'est que l'ensemble des solutions est fini : On aura remarqué que H(111111) et H(1111111) se terminent par 07.
Quel que soit le nombre n>6 de chiffres 1 pour former x, H(x) se termine par 07.
Cela s'explique par le fait que 1000 est multiple de 8 et 1000000 est multiple de 8².
Si n est le nombre de chiffres 1 dans x, n≥15 implique H(x) se termine par 70707, et il en résulte F(x)>9 donc F(x) différent de 1, 2, 4, et 8.
Résultats analogues :
Si n est le nombre de chiffres 3 dans x, n≥12 implique H(x) se termine par 2525, et il en résulte F(x)>6 donc F(x) différent de 3 et 6.
Si n est le nombre de chiffres 5 dans x, n≥9 implique H(x) se termine par 343, et il en résulte F(x)>5 donc F(x) différent de 5.
Si n est le nombre de chiffres 7 dans x, n≥15 implique H(x) se termine par 16161, et il en résulte F(x)>7 donc F(x) différent de 7.
Si n est le nombre de chiffres 9 dans x, n≥9 implique H(x) se termine par 777, et il en résulte F(x)>9 donc F(x) différent de 9.
Quand le nombre de chiffres a dans x dépasse 15, le nombre de chiffres 1 dans la représentation binaire de x dépasse strictement a. Cela prouve que l'ensemble des solutions est fini.
…...Troisième partie
Pour conclure définitivement il faut encore étudier les nombres x formés de : n chiffres 1 avec n entre 8 et 14
n chiffres 3 avec n entre 8 et 11 n chiffres 5 avec n = 8
n chiffres 7 avec n entre 8 et 14 n chiffres 9 avec n = 8
Avec les chiffres 1 H(x) F(x)
n=8 52305307 2+1+2+2+2+3=12
n=9 647665707 2+1+3+2+2+2+3+3=13
n=10 10216432707 1+1+1+2+1+2+1+3+3=15
n=11 1226214147707 1+1+1+2+1+1+1+1+1+3+3+3=19
n=12 1473657200707 1+1+3+2+2+2+3+1+3+3=21
n=13 20122633041707 1+1+1+1+2+2+2+1+1+3+3=18
n=14 24154016513707 1+1+1+2+1+1+2+2+1+2+3+3=20
→page 3
Avec les chiffres 3 H(x) F(x)
n=8 177120125 1+3+3+1+1+1+1+2= 13
n=9 2367441525 1+2+2+3+1+1+1+2+1+2= 16
n=10 30653520525 2+2+2+2+2+1+2+1+2= 16
n=11 370264446525 2+3+1+2+1+1+1+2+2+1+2= 18
Avec les chiffres 7 H(x) F(x)
n=8 35526761 2+2+2+1+2+3+2+1= 15
n=9 5626771161 2+2+1+2+3+3+1+1+2+1= 18
n=10 71745674161 3+1+3+1+2+2+3+1+1+2+1= 20
n=11 1103372532161 1+1+2+2+3+1+2+2+1+1+2+1=19
n=12 13242712606161 1+2+1+1+1+3+1+1+2+2+1+2+1=19
n=13 161134753476161 1+2+1+1+2+1+3+2+2+1+3+2+1+2+1=25
n=14 '2153641464156161' 1+1+2+2+2+1+1+1+2+1+1+2+2+1+2+1= 23
Et, pour finir :
x H(x) F(x)
55555555 323732743 2+1+2+3+2+1+3+1+2=17
99999999 575360377 2+3+2+2+2+2+3+3=19
Tous les cas étudiés dans cette troisième partie conduisent à F(x) ≥ 12 > a
CONCLUSION :
Tous les entiers qui s’écrivent en base 10 en répétant un même chiffre a sous la forme aaa...a
et dont la représentation binaire comporte a fois le chiffre 1 sont ceux obtenus dans la première partie : ce sont 1, 55, 555, 7777, 66666, 888888.
