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50 pe ¶ et la droite (D) d’équationy=x

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Academic year: 2022

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Externat Notre Dame Ape (Tle S) Vendredi 22 mars

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O;→−

i ;−→ j´

. On considère les points B (100 ; 100) et C

µ 50 ; 50

pe

et la droite (D) d’équationy=x.

On notef la fonction définie surRdont la courbe représentative, notéeΓ, est donnée en annexe.

On suppose de plus qu’il existe deux réelsaetbtels que : 1. pour toutxréel,f(x)=xeax+b.

2. les points B et C appartiennent à la courbeΓ.

1. a. B(100; 100)∈Γ⇐⇒ 100=f(100)⇐⇒ 100=100e100a+b ⇐⇒1=e100a+b ⇐⇒ 0=100a+b C

µ 50 ; 50

pe

⇐⇒ 50

pe=f(50)⇐⇒ 50

pe=50e50a+b ⇐⇒e 1

2=e50a+b ⇐⇒50a+b= −1 2 Le couple (a;b) est donc solution du système :

( 100a+b=0 50a+b= −1

2 b.

( 100a+b=0 50a+b= −1

2

⇐⇒

½ 100a+b=0

100a+2b= −1 ⇐⇒

½ 100a+b=0

b= −1 ⇐⇒

½ 100a=1 b= −1 ⇐⇒

½ a=0, 01 b= −1

Donc, pour toutxréel,f(x)=xe0,01x1.

2. limx→+∞0, 01x−1= +∞et limy→+∞ey= +∞d’où limx→+∞e0,01x−1= +∞et limx→+∞x= +∞

donc limx→+∞f(x)= +∞

3. a. Pour toutxréel,f(x)=xe0,01x−1=100×0, 01xe0,01xe−1=100

e ×0, 01xe0,01x b. limx→−∞0, 01x= −∞et limy→−∞yey=0 d’où limx→−∞f(x)=0

4. f est dérivable surRet pour toutxréel on a :

f0(x)=1×e0,01x−1+x×0, 01e0,01x−1=(1+0, 01x)e0,01x−1 5. Pour toutxréel on a :f(x)−x=x¡

e0,01x−1−1¢ .

Avece0,01x−1−1>0⇐⇒ e0,01x−1>1 ⇐⇒e0,01x−1>e0⇐⇒ 0, 01x−1>0⇐⇒ x>100.

On peut donc établir le tableau de signes suivant :

La courbeΓest donc en dessus de la droite (D) sur ]− ∞; 100]∪]100 ; +∞[ et au dessous sur l’intervalle ]0 ;+100[.

6. a. On souhaite obtenirF0(x)=f(x)=xe0,01x−1; pour cela, on dériveF(x)=(c x+d)e0,01x: F0(x)=c e0,01x+0, 01(c x+d)e0,01x=(c+0, 01d+0, 01c x)e0,01x

Par identification avecf(x)=xe0,01x−1=1

e x e0,01x, on obtient :c+0, 01d=0 et 0, 01c=1 e Cela donne au final :c=100

e etd= −10 000 e b. R100

0 f(t) dt=100 e

£(x−100)e0,01x¤100

0 =100

e (0−(−100))=10 000 e

c. La courbeΓest donc en dessous de la droite (D) sur [0; 100] donc on a A =R100

0 tf(t)d t

=R100

0 t d t−R100 0 f(t)d t

=

·t2 2

¸100

0

−10 000 e

=5 000−10 000 e '1 321

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