Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014
MPSI - Mathématiques Premier Semestre
Feuille d’exercice n° 05 : Notion d’application Exercice 1 Soit f : N → N
x 7→ x+ 1
etg: N → N y 7→
( 0 si y= 0 y−1 si y≥1 1. Préciser l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelle de f etg.
2. Préciserf ◦get g◦f.
Exercice 2 Soit f : R\ {1} → R
x 7→ x+ 1− 1 x−1 1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Déterminer une partieEtelle queg: E → R
x 7→ x+ 1− 1 x−1
soit bijective et expliciter la réciproque.
Exercice 3 Soit E un ensemble.
1. Montrer que pour toutes parties A etB de E, on a
1(A∩B) =1A×1B (1)
1(Ac) = 1−1A (2)
1(A∪B) =1A+1B−1A×1B (3)
2. Montrer que l’application
1: P(E) → {0,1}E A 7→ 1A
est bijective.
Exercice 4 Soient f : E →F etg : F →G. Établir les implications suivantes : 1. g◦f injective⇒f injective.
2. g◦f surjective⇒ g surjective.
3. g◦f injective etf surjective⇒ g injective.
4. g◦f surjective etg injective⇒ f surjective.
Exercice 5 Soient E, E0, F, F0 quatre ensembles et u:E0 →E, v:F →F0 deux applications.
On définit : φ: FE → F0E0 f 7→ v◦f ◦u 1. Vérifier queφ est bien définie.
2. Montrer que si v est injective etu surjective alors φest injective.
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3. Montrer que si v est surjective etu injective alorsφest surjective.
Exercice 6 (X∩A, X∩B)
SoitE un ensemble, et A, B deux parties fixées deE. Soit φ :
( P(E) → P(A)× P(B) X 7→ (X∩A, X∩B).
1. Qu’est-ce que φ(∅) ? φ(E\(A∪B)) ?
2. A quelle condition sur A etB,φest-elle injective ? 3. Est-ce que le couple (∅, B) possède un antécédent parφ ? 4. A quelle condition sur A etB,φest-elle surjective ? Exercice 7 Factorisation d’une application
1. Soitf : F →E et g : G→E deux applications. Montrer qu’il existe une applicationh : G→F telle que g=f ◦h si et seulement si : g(G)⊂f(F).
A quelle conditionh est-elle unique ?
2. Soitf : E→F et g : E →Gdeux applications. Montrer qu’il existe une applicationh : F →G telle que g=h◦f si et seulement si : ∀x, y∈E, f(x) =f(y)⇒g(x) =g(y).
A quelle conditionh est-elle unique ?
Exercice 8 Parties saturées pour la relation d’équivalence associée à f Soitf : E→F une application, etS =X⊂E f−1(f(X)) =X . 1. Pour A⊂E, montrer que f−1(f(A))∈ S.
2. Montrer queS est stable par intersection et réunion.
3. Soient X∈ S etA⊂E tels queX∩A=∅. Montrer queX∩f−1(f(A)) =∅.
4. Soient X etY ∈ S. Montrer que X etY \X appartiennent àS. 5. Montrer que l’application
( S → P(f(E))
A 7→ f(A) est une bijection.
Exercice 9 - Un théorème de Cantor -
Le but de cet exercice est de montrer que si E est un ensemble, il n’existe pas de surjection de E dans P(E). Soitφune application deE dans P(E). On définit l’ensemble :
A={x∈E |x6∈φ(x)}
En raisonnant par l’absurde, montrer que A n’est l’image d’aucun élément de E parφ.
Exercice 10 Soitf :E→I une application surjective. On pose, pour touti∈I,Ai=f−1({i}).
Montrer que les Ai sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale àE.
Exercice 11 SoientE etF deux ensembles et f :E →F une application.
1. a) Montrer que A⊂f−1(f(A)) pour toute partie Ade E.
b) Montrer que f est injective si et seulement si f−1(f(A)) =A pour toute partieA de E.
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2. a) Montrer que f(f−1(B))⊂B pour toute partie B de F.
b) Montrer que f est surjective si et seulement si f(f−1(B)) =B pour toute partie B de F. Exercice 12 Soient E et F deux ensembles et f : E → F. Montrer que f est injective ssi
∀A, A0 ∈P(E),f(A∩A0) =f(A)∩f(A0).
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