Etude des champs de Beltrami linéaires et non linéaires dans des domaines tridimenssionnels

Ministèredel'EnseignementSupérieuret delaReherheSientique

ÉoleNormale Supérieur,Kouba-Alger

DépartementdeMathématiques

MÉMOIRE

Pourl'obtentiondugradede

MAGISTER

SPÉCIALITÉ :MATHÉMATIQUES

OPTION:Analysenonlinéaire

Présentépar:AIT-MAHIOUT LATIFA

Intitulé

Étude des hamps de Beltrami linéaires et non linéaires

dans des domaines tridimensionnels

Soutenupubliquementle28-02-2010àl'ENS-Kouba

devantlejuryomposéde:

Mr.Y.Atik Professeur ENS-Kouba Président.

Mr.A.Mokrane Professeur ENS-Kouba Rapporteur.

Mr.T.Z.Boulmezaoud Professeur ParisVI Co-Rapporteur.

Mr.M.Bousselsal Professeur ENS-Kouba Examinateur.

Mr.D.Teniou Professeur USTHB Examinateur.

Notations 3

1 Introdution 4

2 Rappelset dénitions 9

2.1 Quelquesrappelsdebase . . . 9

2.2 Quelquesthéorèmesfondamentaux . . . 11

2.3 Théorèmedupointxe . . . 17

2.4 UnthéorèmedeStampahia.Prinipedumaximum . . . 18

2.4.1 UnthéorèmedeStampahia . . . 18

2.4.2 Prinipedemaximum . . . 21

3 Espaes

H (div)

^et

H (rot),

^{problèmesde potentiels veteurs 28} 3.1 Espaes

H (div)

^et

H (rot)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28}

3.2 Problèmesdepotentielsveteurs . . . 30

4 Leshamps de Beltrami linéairesdans un domaine borné 41 4.1 Étudeduproblème(4.1)lorsque

α

^{estonnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43}

4.1.1 Cas

α = 0

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43}

4.1.2 Cas

α ∈ R ^⋆

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44}

4.2 Uneformulationpotentielveteur . . . 53

4.3 Deuxproblèmesave

α

^{inonnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54}

4.3.1 ProblèmeA . . . 55

4.3.2 ProblèmeB . . . 60

4.4 Exemple:Un hampdeBeltramilinéaireàl'intérieurd'unesphére . . . 62

4.4.1 Harmoniquessphériques . . . 62

4.4.2 ÉquationdeHelmholtzàl'intérieuretàl'extérieurdelasphèreunité . . . 64

6 Champsde Beltrami nonlinéaires dans un domaine borné 95

7 Stratégieitérative 123

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Lestravauxprésentésdansemémoireportentsurunthèmes'insrivantdansledomainedeséquations

auxdérivéespartielles.CethèmeonerneleshampsdeBeltrami(ouhampsans-fore)linéairesetnon-

linéaires.

LeshampsdeBeltramisontdeshamps tridimensionnelsàdivergenenulle etvériantl'équation

rot B = αB

où

α

est une onstante réelle onnue ou inonnue dans le as linéaires, et une fontion dans le as

non-linéaires.Ils apparaissentdansplusieursdomainesdelaphysiquetelsquelaméaniquedesuides,

la physique des plasmas, l'astrophysique, l'életromagnétisme, et la physique solaire, dans lesquels ils

susitentplusieursquestionsetfontainsil'objetdenombreusesétudes.

Nousprésentonsiiquelquesrésultatsd'existene, d'uniitéet derégularitédeshampsdeBeltrami

linéaires solutions de problèmes aux limites dans un domaine borné de dimension trois multiplement

onnexe,et dansundomainetridimensionnelextérieur.

Demême,nousprésentonsunrésultatd'existenedeshampssansforenon-linéairesdansundomaine

bornédedimensiontrois,simplementoumultiplementonnexe,etnousproposonsunalgorithmeitératif

pourapproherlasolutiondee problèmenon-linéaire.

Nous espérons pouvoirprohainement étudier le as axisymétrique dont on parle très peu dans la

littérature.Nous tenterons ensuitedetrouverune méthode itérativemoins oûteusequi nous permette

d'approherlessolutionsduproblèmenonlinéaire.Nousnouspenheronségalementsurl'étudedel'uni-

itépourleproblèmenonlinéaire.

Motslés:

Champssansfore,ChampsdeBeltrami,OpérateurRot,Élémentsnis,EDPnonlinéaire,approximation

itérative.

ThememorypresentedhereonernsBeltramiorfore-freeelds,bothlinearandnonlinear,in

thegeneralontextofpartial dierentialequations.

Beltramieldsarethree-dimensional,divergene-freeeldssatisfyingtheequation

rot B = αB

where

α

isaknown orunknownonstantin thelinearase,andafuntion in thenonlinearase.They

arerelevantinseveralareasofphysis,suhasuidmehanis,plasmaphysis,astrophysisandeletro-

magnetism.Theirstudyraisesmanyquestions andisthesubjetofmanyworks.

Wepresenthereafewexistene,uniquenessandregularityresultsforlinearBeltramieldsthatsolve

boundary value problems in a multiply onneted, bounded three-dimesional domain as well as in an

exteriordomain.

Similarly,wepresentanexisteneresultfornonlinearfore-freeelds inaneithersimplyormultiply

onneted, three dimensional bounded domain. We propose an iterative algorithm to approximate the

solutionofthisnonlinearproblem.

Wehopetostudytheaxisymmetriproblemwhihisnotonsideredveryoftenintheliterature.We

also hopeto ndthe best iterativeapproximationmethod for the nonlinear problem. We also plan to

addresstheuniquenessproblem inthenonlinearase.

Key words:

Forefreeelds,Beltramiows,CurlOperator,NonlinearPDE,niteelements,iterativeapproximation.