Questions

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Questions

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 10 (1851), p. 181-183

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QUESTIONS.

230. Deux polygones quelconques de 2 n côtés sont équivalents quand leurs côtés ont les mêmes milieux.

(PROUHET.)

(3)

( Ife )

231. La surface d'un polygone de 2 n côtés ne change pas lorsque tftus les sommets de rang pair ou tous les sommets de rang impair décrivent des droites égales et parallèles* ( PROUHET. )

332. Pt étant l'aire d'un polygone convexe de n côtés ; Pt l'aire d'un polygone ayant pour sommets les milieux des côtés du premier polygone; P8 Taire d'un polygone ayant pour sommets les milieux des côtés du second po- lygone , et ainsi de suite ; on a

p <— O ^ ' "4" 2.3.4.5 P3

2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7

1 2 Jr, 1

1 . 2 J 1 2 . 3 4

(PROUHET.)

233. T étant l'aire d'un triangle rectiligne; r et R les rayons des cercles inscrit et circonscrit $ a, è, c, les trois côtés : ceux-ci sont racines de l'équation

oT /T2

Les quantités a - f - 4 — c, a-f-c — fc, i •+- c — « , sont racines de l'équation

3

• + 4

r) « — Sr Tt= o.

Si l'on applique à ces équations le théorème de Sturm, il faut, pour la réalité des racines, que l'on ait : i° R ^ ir\

(4)

que T ne tombe pas hors des limites

Lorsque R > 2 r et que T est égal à une de ces limites, le triangle est isocèle ; si R = 2 r, les deux limites se con- fondent, T devient égal à cette limite, et h triangle est équilatéral. (C. RÀMTJS, de VUniv* de Copenhague, )

234. Soit l'équation

-+-b^m[x— a²) [x— «<).. .(x — ö²ⁿ) = oj

& est un nombre positif; m un nombre entier positif*, les 2«— 1 différence a^-^a^ a%—a9, as—#4v">as»-i—a*«

sont positives 5 les n racines de l'équation sont réelles et comprises entre a^± et a^%, *r^s et a^k, •.., a⁵ et a«....

(RlCHELOT.)

235. Résoudre en nombres rationnels l'équation

Xy=. Jx. (GOLDBACH.)

236. Si x* -h 2 ay* est un carré^ x* -f- ay* est la somme de deux carrés.

237. Soit

i i i 1 n\

s

»

= I 4

-;+3

+

4

"--

4

-«' "' = (^r«

5

-

où /i ! désigne le produit 1 . 2 . 3 . . . n. On a

Sn — n{ Sf t_, -f- n2 S«_2 — . . . - + - (— i ) * -1 W/,-t Si = (ARHDT.)