Solutions des questions 572 et 575

(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

K ESSLER

Solutions des questions 572 et 575

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 20 (1861), p. 266-271

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1861_1_20__266_1>

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

SOLUTIONS DES QUESTIONS 572 ET 575

(voir p. 113 et 113);

PAR M. KESSLER, Élève du lycée Saint-Louis.

Question 572.

Sommer

, / i i i i \

^ \ i . 2 . 3 5 . 6 . 7 9 . 1 0 . 1 1 I 3 . I 4 - I 5 / ( E u L E R . )

La fraction

peut représenter un terme quelconque de la série entre parenthèses.

Il faut donc trouver

Décomposons la fraction sous le signe en d'autres fractions rationnelles, par le procédé connu 5 cette fraction est égale

i _ 4 1 4 , ' 4

8 4 « -+- 1 4 (\n -*- ?. 8 4/1 -f- 3

Or la fonction primitive de cette somme sera précisément

(3)

la somme cherchée, car c'est la limite vers laquelle tend la somme de rectangles s'approchant indéfiniment défaire de la courbe

' 4 i 4 * 4

r 8 4-r-i-i 4 4 ^ + 2 8 Cette somme est donc

1 / ( 4 * 4 - Ï) —1/(4*.+-2) H- g / ( 4 et l'aire est nulle pour rc = o, donc

const. = — â l-.\

et par suite

4

Y _ i 4(4*-+-0(4*-+-3) 2* 8 3 i 4 « + 2 )2

et la limite pour n = oo est^ / ï5 / représentant un lo- garithme népérien -, donc

I ,

^{s = 4}

f + + .

2 3 \ i . 2 . 3 4 - 5 - O

On trouverait, de la même façon, la série

1 . 2 . 3 6 . 7 . 8 I I . 1 2 . l 3 * "'

dans laquelle le terme général peut être représenté par

1

) ( 5 m - a ) (5n-+-3) et en général la série

1 1 1 1 . 2 . 3 m (

1

- h . . . ,

(4)

( a 6 8 ) dans laquelle

n—m—2=Z- — n— 2 ou n— m = k — n.

Le dénominateur pourrait renfermer autant de termes qu'on voudrait, et même les nombres qui s'y trouvent pourraient ne pas être consécutifs, pourvu que leur diffé- rence fût constante. Ainsi, par exemple, on trouverait facilement la somme de

1 . 3 . 5 . 7 . 9 1 2 . 1 4 . 1 6 . 1 8 . 2 0 2 3 . 2 5 . 2 7 -29.31 "

dans laquelle le terme constant est

1

(un -\-\) (un-h 2) (un-+- 3) (un-\-4) (un-\-5) et ainsi de suite.

Question 575.

Soient

lx 4- my -4- nz=z o,

les équations d'une ellipse dans l'espace} les axes princi- paux de cette ellipse sont les racines.de l'équation

Pà1 l2b2 Pc7

(SEDLEY TAYLOU.)

Dans Tellipsoide proposé, je mène le diamètre conju-»

gué du plan

/.r -+- my -f- nz = o ;

les deux axes de l'ellipse en question de ce diamètre for-

(5)

meront un système de trois diamètres conjugués de l'el- lipsoïde. Or on sait que la somme des carrés de ces dia- mètres est constante ; le volume du parallélipipède dont ils sont les arêtes est aussi constant.

Soit p la demi-longueur du diamètre auxiliaire conju- gué au plan-, les équations de ce diamètre sont, comme il est facile de le voir,

x __ y __ JB_ p^m

a21 ~~ btm~~ r2 n Ja* P -+- bk m2 -4- c* n* ' d'où, combinant avec l'équation de l'ellipsoïde,

Si a et (3 désignent les longueurs cherchées, le volume du parallélipipède sera

V = app sin Ö (0 étant l'angle du diamètre auxiliaire). Or

sin9=r

* 4 . n7) (a' P - h bk ni1 -f- c4 n2) '

donc

> V l2 H- m2 -f- n2

a et (3 seront donc les racines de l'équation

a* l> + b* m3-+-<* n*\

~" a212 H- b2 m2 -f- c2 w2/ *

(P-)-m'-\-n2) a* b2 c2 __

(6)

ou

z — y â^l*-+-m* b*-\-n'c*~ J

rt2 /* [z4 — ( b2-f- r' ; z2-f- ó* c2 ] -f- 62 w' [z'1 — (a2 -f- c2) z' 4 - «2 f2J

rtVfz2 — *2) ( «a — c ^ + ^ / z i ^ s ' — ri*)(z2 — c2)

a*l2

C. Q. F . D.

Quant aux directions des axes, elles pourront être dé- terminées par les six équations

'— o, a1 -h 82-h 72 =

où (a, (3, y), (a', |3', y') sont les angles de ces directions avec les axes de l'ellipsoïde. Les quatre premiers donne-

i a !3 a' Sr i l !

ront Jes rapports -> — * -r^ —•) et, au moyen des deux der-

r 7 7 7 7

nières, on déterminera enfin les inconnues.

Mais on peut trouver plus vite la direction du grand axe; si en effet on suppose que l'axe maximum de l'el- lipsoïde soit sur Taxe des z, et qu'on pose

pour équations du grand axe, on aura à chercher le maximum de , p et a étant liés par la relation

lp -h mq H- i = o ,

(7)

ou le minimum de (p* -f- q* -f-1). La relation précédente donne

n 4- tnq

p = -

Substituant, il vient

q7 (m2 -h /2) -f- 2mnq -+- n2 -4- /%

qui sera minimum pour

c t par suite

2 7 ~

On obtiendra facilement encore les longueurs de deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.

Dans l'équation écrite plus haut, il faudrait diviser le terme constant par le sinus de cet angle.