I.151 La mouche et l’araignée
Solution proposée par Philippe Bertran
Telle que la question est posée, la réponse est « un temps infini » ! Par exemple, si l’araignée est, au départ, sur un des côtés et qu’elle vise alternativement les deux extrémités de ce côté, une mouche située sur le côté opposé aura le temps de mourir de vieillesse…
On va donc ajouter l’hypothèse implicite que l’araignée est dotée d’un instinct (ou de connaissances mathématiques supérieures à la moyenne de ses congénères) lui permettant de déterminer le trajet le plus rapide pour atteindre la mouche. Le problème revient alors à trouver le plus petit entier naturel N tel que l’araignée puisse atteindre, à 1 cm près, tout point du plafond en un maximum de N segments. Chaque segment étant parcouru en 5 secondes, le temps maximal demandé sera 5N secondes.
Dans un repère orthonormal d’origine le centre du plafond et dont les axes sont parallèles aux côtés, les 4 coins ont pour coordonnées ( 2, 2).
Soit A0 (a, b) la position initiale de l’araignée et An sa position après n segments.
En fonction du premier coin visé, A1 peut prendre 4 positions de coordonnées [(a 2)/2, (b 2)/2], c'est-à-dire les points d’abscisse (a/2 1) et d’ordonnée (b/2 1). Les 4 positions possibles de A1
sont les nœuds d’un quadrillage centré en (a/2, b/2) et de maille 2 mètres (points rouges sur la figure).
A chaque position de A1 correspondent 4 positions possibles pour A2, milieux des segments joignant A1 à chacun des coins, soit 16 points d’abscisse (a/4 1/2 1) et d’ordonnée (b/4 1/2 1). Les 16 positions possibles de A2 sont les nœuds d’un quadrillage centré en (a/2², b/2²) et de maille 1 mètre (points verts sur la figure).
Ainsi de suite, à chaque position de An-1 correspondent 4 points An d’abscisse (a/2n 1/2n-1 … 1/2² 1/2 1) et d’ordonnée (b/2n 1/2n-1 … 1/2² 1/2 1). An peut prendre 4n positions qui sont les nœuds d’un quadrillage centré en (a/2n, b/2n) et de maille 1/2n-2 mètre. En effet, on remarque
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que, à la translation du centre du quadrillage près, les abscisses et les ordonnées de An sont celles de An-1 diminuées ou augmentées de 1/2n-1
Pour n = 9, la maille du quadrillage est 1/27 mètre, soit 0,78125 cm. La distance maximale d’un point du plafond intérieur au quadrillage à une position possible de A9 est inférieure à cette longueur. En revanche, un point du plafond extérieur au quadrillage peut en être au maximum à une distance égale à la longueur de la maille multipliée par racine de 2 (Cf figure ci-dessus où la distance entre le point (2,2) et le nœud rouge K est supérieure à la longueur de la maille rouge). Il faut donc que le produit de la longueur de la maille par racine de 2 soit inférieur à 1 cm, ce qui impose N = 10.
Ainsi, l’araignée pourra toujours attraper la mouche en 50 secondes au maximum.
