Leçon 234 - Espaces L

Leçon 234 - Espaces L^p,1≤p≤+∞.

On se donne (X,A, µ) un espace mesuré, et K = R ou C. On note λ la mesure de Lebesgue.

1. Définition des espacesL^p et premiers résultats. — 1. Les espacesL^p. —

– Def : Pour 1≤p < +∞, L^p(X) := {f :X → Kmesurable tq R

X|f(x)|^pdµ(x)<

+∞}. On note alorskfkp:= (R

X|f(x)|^pdµ(x))^1p.

EtL^∞(X) := {f : X →Kmesurable tq∃M >0 tqf ≤µ−pp M}. On note alors kfk_∞:= inf({M >0 tqf ≤_µ−ppM}).

– Ex : Pour X = N, A = P(N) et µ la mesure de comptage, l^p(N) := L^p(N) est l’ensemble des suites (x_n)_n telles que P

n|x_n|^p ≤ +∞ et l^∞(N) := L^∞(N) est l’ensemble des suites bornées.

– Pro : Pourλ∈K, etf ∈L^p(X), on akλ.fkp=|λ|kfkp, doncλ.f ∈L^p(X).

– Inégalité de Minkowski : kf+gkp ≤ kfkp+kgkp.

– Pro : LesL^p(X) sont desK-espaces vectoriels etk.kp est une semi-norme.

– Rem : Pour 0< p <1 on aurait une inégalité de la formekf+gkp≤Ap(kfkp+kgkp) avecAp>1. Ainsi, l’applicationk.kp ne vérifierait pas l’inégalité triangulaire.

– Contre-ex : PourX =Ret µ=λ, la fonctionf(x) =χ_N(x) est de norme p nulle

∀1≤p≤+∞, bien que f ne soit pas nulle.

– Inégalité de Cauchy-Schwarz : Pourf, g∈L²(X),kf gk2≤ kfk2.kgk2. Ainsi,L²(X) est stable pour le produit.

– Inégalité de Hölder : Pour ¹_r = ¹_p + ¹_q, f ∈ L^p(X), g ∈ L^q(X), on a : kf gkr ≤ kfk_p.kgk_q. Doncf g∈L^r(X) (Vrai aussi pourp=∞etq= 1).

2. Les espacesL^p : définition, inclusions, complétude. —

– Def+Pro : Pour 1≤p≤+∞on définitNp(X) :={f ∈L^p(X) tq kfkp = 0}. C’est un s-ev deL^p(X) qui est l’ensemble des fonctions nulles presque partout.

– Def : On définitL^p(X) :=L^p(X)/N_p(X).

– Pro : Pourf ∈L^p(X),kfk_p est bien définie, et est une norme.

– Rem : En quotientant l’espace vectoriel par l’ensemble des fonctions de semi-norme nulle, on a obtenu un espace vectoriel normé.

Pour lesl^p(N), ce quotient est trivial car la seule fonction nulle presque partout est la fonction nulle.

– Théorème de Riesz-Fischer : Pour tout 1≤p≤+∞, (L^p(X),k.kp) est complet.

De plus, pour toute suite (fn)n deL^p(X) on peut extraire une suite pour laquelle tout choix de représentants dansL^p converge presque partout.

– Pro : Dans un espace probabilisé (de mesure finie), on a : f ∈ L^p ⇒ f ∈ L^q

∀1≤q≤p.

Et limp→∞(kfkp) =kfk∞∈[0,+∞].

– Contre-Ex : f(x) = ^√1

x²+1 n’est pas dansL¹(R) mais est dansL²(R).

– Pro : Sif ∈L^p etf ∈L^q pour 1≤q≤p, alorsf ∈L^r∀q≤r≤p.

– Pro : Sif ∈l^p alors f ∈l^q ∀p≤q. On a la propriété "inverse" du cas d’un espace de mesure finie.

3. Convergence dans les L^p. —

– Pro : Si la mesure est finie, pour tous q≤p, on ak.kq ≤µ(X)^p−qqp k.kp. Donc une convergence dansL^p implique une convergence dansL^q.

– Si la mesure est finie, l’inclusion deL^q(X) dansL^p(X) est topologique.

– Théorème de convergence dominée dans unL^p : Soitf_n∈L^pune suite de fonctions dont les représentants convergent µ presque partout vers f. Si il existe g ∈ L^p tel que|f_n| ≤_µ−ppg, alorsf_n→_k.kpf.

– Contre-ex : fn =nχ_[0,1

n] converge presque partout vers 0 mais ne converge pas en normeL^p vers 0.

– Pro : La convergenceL^pn’implique pas la convergence presque partout si 1≤p≤ ∞.

La convergenceL^∞implique la convergence presque partout.

– Contre-exemple pourL^p.

– Contre-ex : Pour fn(x) = xⁿ sur ]0,1[, on a kfnk∞ = 1 mais fn → 0 presque partout.

– Rem : Le théorème de Riesz-Fischer donne cependant la convergence presque partout d’une suite extraite.

2. Analyse fonctionnelle dans lesL^p. — 1. Dualité. —

– Théorème de Riesz : Pour 1< p <∞, il y a un isomorphisme isométrique entre le dual deL^p, (L^p)⁰ et L^q avec ¹_p+¹_q = 1.

Le dual deL¹ est isométrique àL^∞ mais le dual deL^∞ n’est pas isométrique àL¹ (il le contient seulement).

Ainsi, les espacesL^p pour 1< p <∞sont réflexifs : ((L^p)⁰)⁰ 'L^p. 2. Densité. —

– Théorème : Pour 1≤p <+∞,C_c⁰(X) est dense dansL^p(X) pour k.k_p.

– Rem : Si une propriété reste vraie par passage à la limite en normeL^p, il suffit alors simplement de la vérifier sur des fonctions continues à support compact, voire plus régulières que cela.

– App : Inégalité de Hardy : Pour 1≥p <∞et f ∈L^p(R^∗+), la fonctionF(f) :x∈ R^∗₊7→ _x¹.Rx

0 f(t)dt est bien définie, etkF(f)k_p≤ _p−1^p kfk_p.

– App : L’opérateur de translationτx:f(.)7→(f(x+.) est continu dans tous les L^p. – App : Les espacesL^p sont séparables pour 1 ≤ p <+∞. (On approche avec des fonctions étagées à pentes rationnelles sur des subdivisions rationnelles pour avoir une suite dénombrable dense)

– Pro : L^∞(X) n’est pas séparable sauf siµest portée par une sous-partie finie de X.

– Ex : Pourfa(x) =χ_[0,1

a], on akfa−fbk∞= 1f oralla, b >0. On a ainsi un nombre non-dénombrable de boules ouvertes de rayon ¹₂, ce qui empêche la séparabilité.

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– PourR muni deλ etB(R), les fonctions étagées sont denses dansL^p(R) pour 1≤ p <∞.

3. Le HilbertL². —

– Thm : L²(X) est un espace de Hilbert pour< f, g >=R

Xf(x)g(x)dµ(x).

– Théorème de Riesz : Pour tout F forme linéaire continue sur L²(X), il existe g ∈ L²(X) tel que∀f ∈L²(X),F(f) =< f, g >.

– Rem : Contrairement au résultat pour tout 1< p < ∞, le produit scalaire de L² permet de montrer ce résultat bien plus facilement.

– Théorème de projection sur un convexe fermé : Soit C un convexe fermé. Alors pour toutf ∈L²(X) il existe un unique p(f)∈C tel que pour toutg∈C on ait :

< f−g, p(f)−g >≤0.

– Ex : Problème des moindres carrés.

– Rem : Les propriétés d’espace de Hilbert (orthogonalité, projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal, famille orthogonale, convergence faible) permet- tent de faciliter la démonstration de problèmes portant sur lesL^p.

– Dev : Théorème de Grothendieck : Soit (X,A, µ) un espace probabilisé et F un sous-espace vectoriel deL^∞(X) fermé pourk.k_p pour un 1≤p <+∞.

Alors F est de dimension finie.

3. Applications diverses des espacesL^p. —

1. Convolution. —

– Def : Pourf, g boréliennes positives, on définitf∗g(x) :=R

Rf(y)g(x−y)dλ(y)∈ [0,+∞].

– Pro : Si ces quantités sont finies, on af∗g=g∗f et f∗(g∗h) = ((f ∗g)∗h) – Inégalité de Young pour la convolution : Pour 1 = _p¹+¹_q et f ∈L^p, g ∈L^q, on a

kf∗gk₁≤ kfk_p.kgk_q.

– Rem : On peut aussi convolerf ∈L¹_loc(R) avecg∈L^∞(R).

– Pro : L¹ muni de * est donc uneK-algèbre commutative.

– Pro : L¹ ne possède pas d’unité.

– Pour ¹_p+¹_q = 1,f ∈L^p,g∈L^q,f∗g est continue surR.

– Def : Approximation de l’unité : Une suite (fn)n est appelée approximation de l’unité si : R

Rfn(x)dλ(x) = 1, si fn≥0, et si∀ε,R

|x|≥εfn(x)dλ(x)→n0.

– Ex : Pourf(x) = _x1¹+1,fn(x) = _nπ¹ f(nx) est une approximation de l’unité.

– Pro : Pour (fn)n approximation de l’unité etg∈L¹,fn∗g→_k.k1 g.

Sifn ∈L^q, cela est aussi vrai pourg∈L^p avecp=_q−1^q .

– Pro : Régularisation par convolution : Pour f de classeC^k dansL^p et g∈L^q avec q = _p−1^p , alors f ∗g est de classe C^k par théorème de dérivation des intégrales à paramètres. La régularité de la convolée ne porte que sur la régularité d’un seul terme.

– Cor : C_c^∞est dense dansL^p. (On convole une suite approchant f avec une approxi- mation de l’unité qui soitC_c^∞)

2. Transformée de Fourier. — – Def : Pourf ∈L¹,fb(x) =R

Re^−ixyf(y)dy.

– Pro : fbest uniformément continue et bornée parkf.k1. – Ex : Pourf =χ_[−a,a],fb(x) = ^2sin(xa)_x

Pourf(x) =e^−|x|, on a f(x) =b _(1+x²₂₎.

– Thm : fb(x)→0 quandx→ ±∞. (Démontré avec la densité des fonctionsC_c¹) – Pro : On af[∗g=f .bbg. La transformée de Fourier linéarise la convolution.

– Pro : Six^kf(x)∈L¹, on afb(x)∈C^k, avecfb^(k)(x) = (−i)^kR

Re^−ixyy^kf(y)dy.

– Def : Espace de SchwarzS(R) : Les fonctions f de classeC^∞telles quex^kf⁽ⁿ⁾(x)∈ L¹ ∀n, k.

– Pro : Théorème d’inversion de Fourier : La transformée de Fourier est une bijection bicontinue surS(R), et on peut calculer son inverse.

– Rem : Ainsi, la transformée de Fourier est injective surL¹.

– Théorème de Fourier-Plancherel : Pourf ∈L¹∩L², on noteP(f) := ^√1

2πfb. Alors P(f)∈L²et kP(f)k₂=kfk₂.

L’application P se prolonge alors en une isométrie linéaire sur L². Cette isométrie est de plus bijective. On peut ainsi prolonger la transformée de Fourier en une applicationL²→L².

3. Les espaces de Hardy et de Bergman. —

– Ce sont des espaces de fonctions holomorphes auxquelles on rajoute des propriétés d’intégrabilité.

– Dev: L’espace de BergmanB²(D) :={f ∈Hol(D) tqf ∈L²(D)}est un espace de Hilbert pourk.k2, dont une base orthonormée est la famille desen(z) =q _π

n+1zⁿ. f ∈Hol(D) est dansB²(D) ssi pour f(z) =P

na_nzⁿ on a (^√an

n+1)_n ∈l². On a une condition d’intégrabilité qui ne porte que sur les coeffs du DSE en 0.

L’espace de Bergman possède de plus un noyau de reproductionK:D×D→Ctel quekz(.) :=K(z, .)∈B²(D)∀z∈Det tel quef(z) =< f, kz >∀f ∈B²(D),z∈D. – Rem : Un espace de Hilbert de fonctions ayant un noyau de reproduction est entière- ment caractérisé par celui-ci. Ainsi, on obtient beaucoup de propriétés sur B²(Ω) grâce à l’étude de son noyau de reproduction, qui a une forme simple ici. Par ex- emple, pour tout ϕ: D→ Dholom, l’opérateur Cϕ : f 7→f ◦ϕ est bien défini et continu surB²(D).

– On peut aussi définirB^p(D) pour 1≤p <+∞et ramener certaines études sur les B^p à une étude surB² afin de profiter de son caractère hilbertien.

– Pour Ω un ouvert simplement connexe, on peut aussi définirB^p(Ω) grâce à l’existence deψ:D→Ω biholomorphismes. Cette définition est indépendante deψ, etB²(Ω) va lui aussi être un espace de Hilbert à noyau de reproduction, avec un noyau de reproduction que l’on obtient à partir de celui deB²(D). On peut ainsi exporter des propriétés deB²(D) versB²(Ω).

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– Def : On définitH²(D) ={P

nanzⁿ tq (an)n∈l²(N)}l’espace de Hardy du disque.

– Pro : L’espace de Hardy du disque est un espace de Hilbert pour < f, g >=

P

na_n.b_n.

On a de plus : < f, g >=lim_r→1−(_2π¹ R2π

0 f(re^it)g(re^it)dt).

Une base orthonormée deH²(D) estz7→zⁿ.

– Pro : C’est lui aussi un espace de Hilbert à noyau de reproduction pourK(z, w) =

1 1−zw.

Références

Briane, Pagès : I). Densité des fonctions étagées intégrables. L² Hilbert. Convolution.

Transformée de Fourier.

Brézis : Théorème de Riesz-Fischer. Théorème de Riesz pourL^p, dualité. Densité deC_c⁰, inégalité de Hardy, séparabilité.

Hauchecorne : Contre-Exemple de séries ayant des problèmes.

Zavidovique : Théorème de Grothendieck. (Dev) Bayen, Margaria : Espace de Bergman. (Dev)

May 9, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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