SERIE N° 3- TRAVAIL & ENERGIE CINETIQUEEXERCICE N°1REPONSE

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Direction de Safi Safi

Lycée Mohamed belhassan elouazani

SERIE N° 3- TRAVAIL & ENERGIE CINETIQUE

EXERCICE N°1

REPONSE

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EXERCICE

Partie A : pendule simple.(10 points)

On étudie un pendule simple constitué d’un objet de masse m considéré comme ponctuel, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.

Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

L’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A.

Écarté de sa position d’équilibre G0, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude m.

Gi est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse.

Une position quelconque G est repérée par  , élongation angulaire mesurée à partir de la position d’équilibre.

1. Étude énergétique.

On prendra l’origine des énergies potentielles en G0, origine de l’axe des z.

1.1.Donner l’expression de l’énergie cinétique en G. (0,5 point)

Le système étudié est l’objet de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

L'énergie cinétique en G de la masse m animée de la vitesse vG est: EC = ^G 1.m.v ?

2 (0,5 point)

1.2.Montrer que l’expression de l’énergie potentielle en G est EP = mgL(1 – cos ). (1 point)

L cos

ZG

(3)

Par définition : Ep=m.gzG (0,5 point)

avec zG= L – L cos (voir schéma) (0,5 point pour la justification) Donc EP = mgL(1 – cos)

1.3.Donner l’expression de l’énergie mécanique. (1 point)

L'énergie mécanique du pendule simple en G est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : (0,5 point)

Em = EC + EP

Em = ^G 1.m.v ²

2 + m.g.L.(1 – cos  ) (0,5 point) 1.4.Faire le bilan des forces appliquées à l’objet considéré comme ponctuel. (1 point)

Les forces appliquées à l’objet sont : le poids de l’objet ^P^(0,5 point), la tension du fil ^T^.(0,5 point) 1.5.En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que l’énergie mécanique se conserve.

(2 points)

D’après le théorème de l’énergie cinétique entre deux positions G1et G2 de l’objet ponctuel :

1 2

1 2 1 2

2 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

G G ext

G G G G

Ec W F

Ec G Ec G W P W T



 

 

  



^

 

(0,5 point)

Or ^T^est orthogonale au mouvement à chaque instant donc ^W^G¹^^G²^{( )}^T



=0(0,5 point)

1 2 1

1

2 1 2

2 1 1 2

2 2 1 1

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

G G G G

G G

Ec G Ec G W P mg z z Ec G Ec G mgz mgz

Ec G Ec G Ep G Ep G Ec G Ep G Ec G Ep G Em G Em G

    

  

  





(0,5 point pour travail du poids) (0,5 point)

1.6.Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre G0 en fonction de g, L et m. (1,5 point) L'énergie mécanique étant une constante du mouvement, on peut écrire entre les positions G0 et Gi:

Em(G0) = Em(Gi) (0,5 point)

G0

1.m.v ²

2 + m.g.L.(1 – cos 0 ) = ^Gⁱ 1.m.v ²

2 + m.g.L.(1 – cos m )

Or: cos 0 =cos(0) = 1 donc m.g.L.(1 – cos 0 ) = 0 J (0,5 point pour justifications) et v^Gⁱ

= 0 m.s^-1 car pour  = m le pendule est abandonné sans vitesse.

soit ^G⁰

1.m.v ²

2 = m.g.L.(1 – cosm ) en simplifiant par m:

G0 m

v  2.g.L(1 cos  )

(0,5 point)

1.7.Calculer sa valeur. Données : g = 10 m.s^–2 ; L = 1,0 m ; cosm = 0,95. (0,5 point)

G0

v  2 10 1,0 (1 0,95)   

= 20 0,050  1, 01,0 m.s^-1. (0,5 point) 2. Isochronisme.

2.1.Énoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations. (0,5 point)

Dans le cas des "petites oscillations" la période du pendule est indépendante de l'amplitude m. (0,5 point)

(4)

2.2.Montrer qu’une seule de ces expressions est dimensionnellement correcte : T0 = 2

g

L T0 = 2

m

L



T0 = 2

L

g (2 points)

On a: [T0] = T

[g] = L.T^–2 car g est homogène à une accélération (0,5 point pour les dimensions) [L] = L

[m] = 1 et [] = 1 car un angle n'a pas de dimension physique [m] = M

 expression T0 = 2

g L :

on a: [T0] =

 

^{1/ 2}

1/ 2

g

L donc [T0] =

1/ 2 2 1/ 2 1/ 2

L .T L

 

finalement [T0] = T^–1 La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

 expression: T0 = 2

m

L



on a: [T0] =

 

m ^{1/ 2}

L1/ 2



donc [T0] = ^{1/ 2} 1

L = L^–1/2

La période n'est pas homogène à une durée, cette expression ne convient pas. (0,5 point)

 expression: T0 = 2

L g

on a: [T0] =

 

1/ 2 1/ 2

L

g donc [T0] =

1/ 2 1/ 2 2 1/ 2

L

L .T^{ } = ¹ 1 T^ = T.

La période est homogène à une durée, cette expression convient. (0,5 point)

Finalement la seule expression correcte est: T0 = 2

L g