Master 2 2010/11 : 26/01/11
Homographies
des droites projectives
1. Points fixes
a) Montrer qu’une homographie de la droite projective complexe a toujours un point fixe.
b) Montrer qu’une homographie de la droite projective complexe peut avoir un seul point fixe.
c) Etudier la conjecture : une homographie de la droite projective complexe a les mˆemes points fixes que son carr´e.
d) Quid du cas r´eel ? 2. Commutation
a) Etudier la conjecture : deux homographies de la droite projective complexe com- mutent ssi elles ont les mˆemes points fixes.
b) Quid du cas r´eel ? 3. Conjugaison
a) Montrer que si deux permutations d’un ensemble sont conjugu´ees, elles ont le mˆeme nombre de points fixes.
b) Montrer que deux homographies de la droite projective complexe qui ont un seul point fixe sont conjugu´ees.
c) Quid de deux homographies qui ont deux points fixes chacune ? d) Quid de deux homographies r´eelles sans point fixe ?
4. Invariants
a) Soit L une droite projective, eth une homographie de L ayant deux points fixes A et B. Montrer que les rapports des restrictions de h `a L−A et `a L−B sont inverses l’un de l’autre.
b) D´efinir `a travers ces deux rapports un invariant deh qui caract´erise sa classe de conjugaison.
c) Soit L une droite projective r´eelle, et h une homographie de L sans point fixe.
D´efinir un invariant de h du genre valeur propre.
5. Homographies d’ordre fini
Trouver toutes les homographieshd’une droite projective complexe v´erifianthn= 1.
