Il 9 Il : : I l.

Leçon 4 : Addition et soustraction des entiers relatifs

l. Activités Activité I

Kham

part

du point O â pas réguliers sur la

droite

d. Son pas est égaL â OA tels que

O(0)

et A(1)

B'A ABC

Du

point o, il

s'avance de 5 pas, puis

il

s'avance encore de 3 pas,

il

_{-est en}

H(8) signifie qu'il

s'est avancé 8 unités c'est-â-dire (+5) + (+3)

: _*g

Du

point o, il

recule de 4 pas,

puis il

recule encore de 5 pas,

il

est en J,(-g).

Cela

signifie

que C4) +

(-5) :

_-q.

a.

Compléter le tableau ci-dessous

Déplacement du point _O

Position

terminale en se

repérant du point O

Exprimer

du déplacement en nombre Kham-s'avance de 5 pas

puis de 3 pas

Il

est en

H

signifie

qu'il s'est

avancé de 8 unités en se

référant

au point O

(+5)+(+3;:*t Il

recule de 4 pas puis de

5 pas

Il

est en

J'

^signifie

qu'il

a

reculé

de

9 unités en se

réferant du point O

c4)+1-r):-n

Il

s'avance

de 2

pas puis de 6 pas

Il

recule de 3 pas puis _de 7 pas

Il s'avance 9 ^pas

^et

recule de 4

pas

.

Il s'avance de 3

^pas et recule de 5 pas

Il

recule de 3 pas et

s'avance de 9 pas

Il

recule 8 pas et

il

s'avance de 4 pas

b. D'après

le tableau,

donner

la règle

d'addition

des entiers

relatifs.

Activité

2

Dans

Z,

si

a-b:

c alors

c'est

le nombre

qu'il faut

ajouter â b

pour

obtenir le nombre a signifie que a-b

: _c

_ou

_a:

_{b + c}

Exemple:

^:

.(+3)+(+l):+4

Signifie que (+4)

- ⁽⁺³⁾ : *t

ou (+4)

- ^(+l) :

-F3 . (-3)

+ (+5) :

+2

signifie

que (+2)

-

⁽⁼³⁾

: _*5

_{ou (+2)}

_-

_(+5y

:

_3 a. Compléter le tableau ci-dessous

a b

a-b

a

+ (-b)

+4 +3

(+4)

-

^(+31=11

(+4)+(-3)=+t

+4 +l

+2 +5

+2 -3

+7 -4

-5 ⁺⁸

-9 ^{- +6}

-4 -4

_J.t

-7

-8 _-4

^I

-12 -9

c.

D'après le tableau,

donner

la règle de soustraction _des entiers relatifs.

d.

2.

Essentiel

l.

Distan ce

â

zéro

on

considère Ia droite numérique tel que

o(0), I(l)

^et les

points A,

B,

c

et D.

B' c

-3

OI

+4

+6

- L'écriture

_D(+6)

signifie

que la longueur du segment

[oD]

^{est 6}

OD

:

_{6. On dit que la distanc e â zéro de}

₊₆

_{est 6.}

-6

- L'écriture c(-3)signifie

_{que la} longueur du segment

[oc]

^est

³

^:

OC

:

_3.

_La

_distance

_âzéro

_{de -3 est 3.}

)

^{En général,} si le point

M

a

pour

abscisse

x alors la

distance âzéro de I'abscisse du point

M

est la longueur du segment tOM] ^{; OM}

: _x.

)

^{La distance â zéro} des entiers relatifs est

toujours

positive.

'

^'2.

_Addition

_{des entiers}

_relatifs

.

Addition

de deux entiers

relatifs

de même

signe

Pour additionner deux entiers relatifs de même signe ^: - On additionne les deux distances â zéro

-

on

place

le

signe commun

aux

deux nombres devant la somme.

Exemples:

I .

(+3)

+ (+7) ^_- +

l0

Car

la distance a 0 de

l-3

est 3, la distance a 0 de

*7

est

7 et3+7:10 2. (-8)+(-t2):_20

Car

la distance a 0 de

-8

est 8, la distance a 0 de -12 est

12 et8+ 12:20

.

Addition

de deux entiers

relatifs

de signes

contraires

Pour additionner deux entiers relatifs de signes contraires:

- On soustrait les deux distances â z(ro

- On place le signe du nombre

qui

a la plus grande distance

âzéro

devant

la

différence Exemples:

l. ^(-6)

^{+ (+8)}

: _t2

Car

8

- ^6'-

^{2 et prend}

^le

^{signe de +8 car -F8 est la plus grande}

distance âzéro 2.

(-7)

+ (+4)

:

_-3

Car 7

- 4-

^{3 et prend}

^le

^{signe de}

-7

car

-7

^est la plus grande distance âzéro

)

La somme de deux nombres opposés est

nulle

Exemples: (-4) +

(+4):

^g

(+7) +

(-7):

0

D

Réciproque : Si la somme de deux nombres est

nulle,

ces deux nombres sont opposes.

Exemple

:7 ⁺ X:0,

x est le nombre opposé de 7 donc

x:

^_7

Propriétés

- L'addition

des entiers

relatifs

est commutative: a +

b:

^b

^*

^a

- L'addition

des entiers

relatifs

est associative: a

+

(b +

c):

^(a + b)

+

c Exemple:

(-7)

+ (+4;

:

₍₊₄₎

_{+ (-7)} :

_-3

(+8)

+

(-6) _{+ C5)}

: _{[(+8) +}

_{C6)] + (_s)}

:

₍₊₈₎

_{+ tc6)}

_{+ (_5)l}

_:

_3

. Addition

de plusieurs

entiers relatifs

Méthode

I

on

calcule la somme de deux premiers termes de gauche _â droite

Exemple: A :

_{(+7) + (+4) +}

_{(-3) +}

_{C4) + (+5)}

A:*ll +(-3)+(_4)+(+5)

A:*8+C4)+(+5)

A:

^{_r4 + (+J)}

^:

9 Méthode 2

on

additionne des termes

positifs,

puis des termes négatifs et enfin on additionne

les

deux sommes obtenues.

Exemple : ^A :

_{(+7).+ (+4)}

_{+ (-3) +}

_{(-4) + (+5)}

_{+ (-2)}

A : ₍₊₇₎₊

₍₊₄₎

_{+ (+5)}

_{+ (_3) + (_4)}

₊

_{(_2)}

A_:

(+16) + (_9)

A-:7

3.

Soustraction

des entiers

relatifs

Règle

^I

Pour

soustraire un nombre

relatif,

on additionne son opposé ' Soient deux entiers relatifs a et b, a

-

b

:

_{a + (-b)}

Exemples :

7-5:7 ⁺ 1-51:2

^3-

^{(-5) :3}

^{+ 5}

^:

⁸

-3-C9):-3 + 9:6 -13-9: -t3 +(-9):-22

-12 -

(-5): _-t2

+

(+s;:

-7

4.

Calcul

des expressions

a.

Expression

sans parenthèses

on

^utilise la règle d'addition de plusieurs entiers

relatifs

Exemple: Calculer

A:

(-14) -

(-8) + _l5

_- (-7) +

(-8)

- (+9)

Méthode

I

A:

^(-

l4)

⁺

(+8) + _l5

+ (+7)

+ (-8)

+ (-9)

A:

⁽⁺⁸⁾

⁺ l5 + (+7)+

(-14)

+

(_8) + (_9

A:

^{23 +}

(+7) +

(_14) + C8) +

C9)

A:

^{30 + (-}

l4) ⁺

^{(-8) +} _G9)

A:

¹⁶

^{+ (-8) +}

_C9)

'A-8+(-9):-t

Méthode 2

4-

^(-14)

t ^{(+8) + ls}

^{+ (+7)}

⁺

^{(_s) + (_e)}

A:

⁽⁺⁸⁾

+ ls ⁺

^{(+7) +} (_14)

+

(_8) + (-9)

' ^'A:

(+30)

+ (-31) :

_

1

b. Expression avec parenthèses

Pour calculer une expression avec des parenthèses, on calcule les expressions â I'intérieur des parenthèses

Exemples:

CalculerA:7 -(l ⁺

8

- 12)+(-9+ ll)

A -

^{7 - (e}

-

¹²⁾

⁺

⁽⁺²⁾

A:'t

^{_(_3) +} 2

A:7+(+3)+2

A:10*2:12

Exercices

l. Calculer

les expressions _suivantes:

e: ^(-6)

^{+ (+11);}

D:(+4)+(+15);

G

: _(-l

_s) +

(-t2);

J

: _(-6)

+'(+6);

M:

⁵³

⁺

^76'

s:(-601)+(-11)

B:

^(_11)

⁺

^(+12);

E: (-6) + (-l

1);

H: ^{(-18) +}

^(+15);

K: (+18) +

(_2a);

N:

¹⁷

^{+ (-21);}

B:(+12)_(_5);

E: (-r2) - ^(-r2);

11: (+25) _ (+l l);

K

: _(-1

₆₇₎

^_ _{(+3l l);}

g:(+12)+(-5);

F

:

(-

l8)

⁺ (+7);

I:(-19)+(-18);

L:23

⁺ 28)

p:(-t27)+(+16l);

c : _{(-6) - (-t}

_s);

F:(+13)-(+15);

1:(+16)-(-71);

L:(-9)-(+2r).

2. Calculer

les expressions _suivantes:

A : _{(-16) - (+l l);}

D:(-l\_(+2r);

G:(+7)-(-18);

J: ⁽⁺⁹⁶⁾ _{- (-l0l);}

3. compléter

des pointillés _{par un} nombre

vérifiant

l,égalité:

a) ... ⁺ (+7): (-l l)

^-

b)...+(-12)--rs

e) ... (+7): _-12

h) ... - ⁽⁺¹⁶⁾ :

₁₈

k)

1g

-'... :

_{I I}

d) _cr

8)

+

.

..:2

c) (-3)

+ ...

:

_-6

f) .., - ^(-3) : _-6 i) 7+...--3 l)

3

-... :8

4.

Calculer

les expressions suivantes:

A : _(-18)

_{+ (-15)}

₊

_{(+12) +}

_{(-7)+ (+l s);}

B : _(-26)

_{+ C4) + (+17) + (-3) +}

_{(-l s)}

c : (+16)

+

(+l l) + (-s)

+ (-13)

+ (+2) D : (-3) _-(+r2)

+ (+18)

- c7)

⁺

(+r7)

E

: _{l2 -(-rs)}

+ (-6)

-

^(-e)

- ^(+r2)

F

: _(-5)

_{- (-6)}

+ l6-

⁽⁺¹²⁾ -15

G

: _(-l

_{8) -}

_[(-l

_s)

₊

_{(+12) + (-7)] +}

₍₊₁₅₎

H : (-18)

+

K-ls) -

^(+12)l - [-7

+ ls]

I :

_[(-18) +

(-1s)] -

_{[(+12) +} (-7)]

+

₃₅

J: ^(-18)

^-

^{(-15) +}

^(+12)l _{+ [(-47)}

+

(_15)]

5. Trouver

la valeur de

x

vérifiant

l'égalité

suivante:

a) x + (-7): 15; b) (-8) _- x:2;

c) .x

- ^{(-q) :} -4; ^{d) r +}

⁽⁺¹⁴⁾

^: _-5);

e) ^(-15) -x: 8; ^f)

⁽⁺¹³⁾

-.r -l

g) x-(+3):-15; h)r+(-9):18;

i) ^(1e -

³⁾

+x: (25-18); j)

3

+ ('-6) - ^{3- (-4).}

6.

Compléter les tableaux suivants:

-a)

7.

Compléter le carré magique par 16 entiers relatifs de

-TaB

b)

c)

X -6 5 4

v -7 -3 -2

x*y

8

t2

-11 -9 7 -16

x 12

-t2 t7

v ^{-9 8 5}

x-y

^{-16 5} -7 ^IJ -5

-t

I

X I ^aJ 5 7

v ^-Ja -4 4 9

z

-l

20 0 -5

x*y*7

⁵ 4

-10

^I 0

-l

6 -t¹ 4

-4 -L 7

5 a

J -Ja

8. Compléter l'étoile

suivante pour que

la

somme de chaque

ligne

soitégale

â2.

9-

On déplace la figure suivante vers la

droite

en additionnant le nombre trouvé.

a) Combien

y-a-t-il

de chemins pour déplacer de -

I

a +2 ?

b)Déterminer

le chemin où la somme des nombres trouvés est nulle c)

Quel

^{chemin qui donne la} somme des nombres trouvés maximale ?

d)Quel

chemin qui donnè la somme des nombres trouvés n\inimale ?

e)Y-a-t-il

le chemin que la somme

eit

égale â 3?

si

oui, leqtrel ?