Examen de « Signal Information et Communication Numérique »

1 Grenoble-INP (ENSIMAG&Phelma) filière ISSC 2° année Mai 2017

2 heures, 4 pages

Documents de cours et calculatrice autorisés

Examen de « Signal Information et Communication Numérique »

Notes : Veuillez rédiger les parties A (6.5 points) et B (13.5 points) sur des copies séparées.

Le barème est donné à titre indicatif seulement.

Partie A [6.5 points] : Signaux aléatoires et (cyclo)stationnarité

1) Fonction de corrélation et densité spectrale de puissance

[2,5 points] : Soit signal aléatoire complexe, centrés, stationnaire à l’ordre 2.

a- Rappeler la définition de la densité spectrale de puissance moyenne en fonction du signal tronqué. Quel est son signe ?

b- D’après le théorème de Wiener-Kintchine donner l’expression intégrale permettant d’écrire la fonction de corrélation à partir de la densité spectrale de puissance moyenne . En déduire que est maximale en .

c- La fonction , porte sur , ne peut par être une fonction de corrélation.

Pourquoi ?

2) Signal BPSK

[4 points] :

On considère une suite de symboles binaires (0 ou 1), , indépendants deux à deux et tels que pour tout , avec .

Pour émettre cette séquence, on construit le signal réel suivant (signal BPSK) X(t) ⁼

avec , (fréquence centrale), (durée symbole), déterministes, et fonction porte sur . On supposera par la suite que .

a- Calculer l’espérance .

b- En déduire l’expression de l’espérance du signal que l’on simplifiera au maximum compte tenu de la relation et en conclure que ce signal est cyclostationnaire à l’ordre 1.

2

c- Sous quelle condition sur le signal est-il stationnaire à l’ordre 1 ?

d- On considère à présent la valeur de obtenue à la question précédente. Calculer le moment du second ordre du signal . Peut-on en conclure que ce signal stationnaire à l’ordre 2 ?

Partie B [13.5 points] : Transmission numérique au format RRC

On s’attachera à donner des réponses courtes et précises (elles pourront s’appuyer sur les résultats de cours ou de TD). Veuillez rendre l’énoncé dans la copie svp.

Contexte général pour la partie B

Une suite de Nb (=Ns.log2(M)) bits indépendants et équiprobables est transmise au débit binaire Db = 1/Tb = 1 Mbit/sec à l’aide d’un signal de modulation linéaire de taille M:

) (

.

)

(

¹

0 k

s Ns

e k

s

. a h t kT

T t

x 

^



^



 , équation (1)

où he(t) est la R.I. du filtre d’émission, d’énergie normalisée || he ||^2def



h_e(t)²dt





 _{= 1/Ts .}

et {ak } sont les symboles (moyenne ma, variance a², alphabet M-aire Amod ).

On considèrera en particulier 2 types de symboles dans la suite :

1) Symboles Binaires Polaires (S2P) : M=2, ak Amod = {-1 ; +1} en Volt 2) Symboles Quaternaires Unipolaires (S4U) : M=4, ak Amod = {0 ; 2 ; 4 ; 6} en Volt

Le filtre d’émission est de type RRC (Root-Raised Cosine Filter). Sa Réponse Impulsionnelle he(t) est présentée en figure 1, ainsi que sa fonction d’autocorrelation Che(t) et le module carré de sa Transformée de Fourier |He(f)|². Ces illustrations seront utilisées à bon escient.

Figure I : Caractéristiques du filtre d’émission he de type « RRC ».

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1) Emission

[7 points] (on rappelle que Db = 1 Mbit/sec):

a- Donner le support temporel de he(t). Citer un inconvénient et un avantage d’avoir un support de he qui dure plusieurs Ts (par rapport à un filtre NRZ de durée 1 Ts) ?

b- Donner la formule de la puissance moyenne du signal x (pour un nombre infini Nb de bits transmis) en fonction de ma et a, en précisant l’hypothèse qui permet de l’obtenir.

Application numérique (en Volt^2) pour les symboles S2P, puis pour les symboles S4U.

c- Rappeler la formule de Densité Spectrale de Puissance (DSP) x(f) du signal émis x(t).

Dessiner l’allure de la Densité Spectrale de Puissance en graduant bien l’axe des fréquences (en MHz) pour les 2 cas de symboles (S2P et S4U).

d- Dans chacun des cas (S2P et S4U), donner l’ordre de grandeur de la largeur de bande B (MHz) et de l’efficacité spectrale  (bps/Hz).

e- En comparant la bande utilisée ici et la bande minimale (possible sans IES avec modulation linéaire à même nombre d’états), déduisez en l’excès de bande (roll-off).

f- Dans chacun des cas (S2P et S4U), calculer le carré de la distance minimale dmin2 (en Volt².sec) entre les M signaux possibles du dictionnaire a.Ts.he(t) et a’.Ts.he(t), pour a, a’

 Amod, avec a ≠ a’.

g- En présence de bruit blanc additif Gaussien (BBAG) à même niveau de bruit, un des 2 cas devrait-il être à priori plus fiable (on pourra argumenter sans calcul) ?

h- Exprimer dmin2 en fonction de l’énergie par bit Eb pour chacun des cas (S2P et S4U).

En présence de BBAG à même Eb/N0 un des 2 cas est-il à priori plus fiable, et donc plus efficace énergétiquement ?

On suppose que le récepteur

- reçoit : r(t) = x(t) + n(t) , où n(t) est un BBAG réel de DSP bilatérale N0/2, - filtre r(t) par le filtre de réception de R.I.

h

r

(t) = h

e

(-t + t

0

)

,

- échantillonne la sortie y(t) aux instants tk = kTs + t0, pour obtenir yk = y(tk) , - prends à partir de yk la décision âk sur le symbole émis ak

2) Réception avec filtre adapté (retardé de t

0

)

[3,5 points] :

h

r

(t) = h

e

(-t + t

0

)

Donner :

a- le retard minimum t0min pour que le filtre de réception soit causal ? Cette valeur sera adoptée pour t0 dans la suite.

b- Quelle fonction caractéristique représente (he heH)(t) (où  désigne le produit de convolution et heH(t) = he(-t) représente la R.I. du filtre adapté à he) ?

En déduire l’allure de la R.I du filtre global p(t) = (he hr)(t), en précisant bien : - le support temporel de p(t) ?

- la valeur maximale de p(t) ainsi que l’abscisse de ce maximum ?

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c- la sortie yk de l’échantillonneur aux instants tk = t0 + kTs est-elle affectée ou non d’Interférence-Entre-Symboles (IES) ? Justifier.

d- Donner (cas S2P et cas S4U), en fonction de Eb/N0, l’expression du Rapport-Signal-à Bruit (RSBy) sur la variable de décision yk ?

3) Observation

[3 points]

:

un nombre fini et inconnu Ns de symboles est émis au format S2P. La figure II trace (durant les 16 premières périodes symboles) le signal x(t) résultant, ainsi que le signal (sans bruit) y(t) en sortie du filtre de réception adapté retardé (hr(t) = he(-t+t0).

a- Commenter brièvement les allures de x(t) et de y(t), en indiquant sur la figure (que vous rendrez à l’intérieur de votre copie) les instants d’échantillonnages tk = t0 + kTs aux indices k = 0, 1, …, Ns-1, et en entourant les échantillons yk.

En déduire (dans l’ordre que vous voulez):

b- le nombre Ns de symboles émis ?

c- les valeurs de ces Ns symboles, ak (aux indices k = 0, 1, …, Ns-1) ? d- la valeur du coefficient Ts.p(t0) ? Retrouver cette valeur théoriquement.

Figure II : Signal émis (pointillé) avec filtre d’émission he « RRC » et signal sans bruit après filtre adapté retardé (trait plein) pour 1 suite finie de Ns symboles ak (k = 0,1,…, Ns-1).