Modéliser l’écoulement d’un ﬂ uide 8

(1)

Les mouvements d’un fl uide sont des objets d’étude plus complexes que ceux d’un solide puisque les diﬀ érentes particules ne sont pas liées les unes aux autres. C’est donc par des relations entre la pression et l’énergie cinétique que l’on peut appréhender ces phénomènes.

■ Un scientiﬁ que

Fils de Jean et neveu de Jacques, Daniel ^Bernoulli est plus physicien que mathé- maticien. On lui doit des travaux en hydrodynamique, il énonce en 1738 le principe qui porte maintenant son nom et selon lequel l’augmentation de la vitesse d’un fl uide diminue sa pression. Très intéressé par les probabilités, il cherche à les appliquer aux sciences humaines et, le premier, les utilise dans le domaine médical.

LE SAVIEZ-VOUS ?

Si l’on en croit le célèbre architecte romain Vitruve, Hiéron II, tyran de Syracuse, soupçonnait l’orfèvre à qui il avait confi é la confection de sa couronne en or d’avoir substitué à l’intérieur de celle-ci de l’or par de l’argent, métal moins onéreux. Il demanda à Archimède de déterminer si le joyau était en or pur ou non. C’est dans sa baignoire que le savant aurait trouvé la solution et serait sorti tout nu dans la rue en criant Eureka, c’est-à-dire j’ai trouvé ! La véracité de cett e anecdote est des plus douteuses mais elle fait partie de la légende d’Archimède.

Chapitre 8

Modéliser l’écoulement

d’un ﬂ uide

(2)

Objectifs

Les notions que je dois maîtriser

Connaître l’origine et l’expression vectorielle de la poussée d’Archimède Connaître la signification des termes « écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent »

Connaître la relation de Bernoulli Connaître l’effet Venturi

Les compétences que je dois acquérir

Savoir exploiter l’expression de la poussée d’Archimède

Savoir exploiter la conservation du débit volumique pour déterminer la vitesse d’un fluide incompressible

Savoir exploiter la relation de Bernoulli pour étudier qualitativement et quantitativement l’écoulement d’un fluide incompressible en régime permanent

(3)

MODELISER L’ECOULEMENT D’UN FLUIDE 3

Résumé de cours

Poussée d’Archimède

Origine

Un corps placé dans un fluide subit sur toute sa surface externe l’action de forces pressantes exercées par le fluide. La force pressante qui s’exerce sur une surface plane S en un lieu où règne la pression P est F=P⋅S où P s’exprime en pascal Pa, S en m² et F en N ; la force est perpendiculaire à la surface et orientée vers l’intérieur de la surface.

Par ailleurs, la loi fondamentale de la statique des fluides vue en classe de première nous dit que la pression dans un fluide incompressible au repos, c’est-à-dire de masse volumique constante ρ_f, diminue quand on s’élève en altitude, ou en utilisant un axe des altitudes z orienté vers le haut : P(z)−P(z+Δz)=ρ_f ⋅g⋅ Δz.

Ainsi si on considère un parallélépipède rectangle de volume V =Δx⋅ Δy⋅ Δz immergé dans un fluide, celui-ci est soumis à l’action de six forces pressantes dont seules les actions verticales F(z+Δz)

et F(z)

sur les faces respectivement supérieure et inférieure ne se compensent pas mutuellement. Il en résulte une force verticale orientée vers le haut notée

F_A

appelée poussée d’Archimède.

L’intensité de la force s’obtient facilement : F_A=F(z)−F(z+Δz) ;

F_A=P(z)⋅ Δx⋅ Δy−P(z+Δz)⋅ Δx⋅ Δy

F_A=(P(z)−P(z+Δz))⋅ Δx⋅ Δy=ρ_f⋅g⋅ Δz⋅ Δx⋅ Δy=ρ_f ⋅g⋅V =ρ_f ⋅V⋅g

Le produit ρ_f⋅V représente la masse de fluide déplacé par le volume V du corps et le produit ρ_f⋅V⋅g représente le poids de la masse correspondante de fluide déplacé.

Expression vectorielle

La poussée d’Archimède qu’exerce un fluide de masse volumique ρ_f sur un corps de volume V est une force verticale, orientée vers le haut, dont l’intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé ; elle peut donc s’écrire vectoriellement : F_A

=−ρ_f⋅V⋅g .

La force s’applique au centre de masse du fluide déplacé appelé centre de poussée.

Méthode 8.1. Comment exploiter l’expression de la poussée d’Archimède ?

MODÉLISER L’ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE 233 nn

(4)

4 CHAPITRE 8

Écoulement permanent d’un fluide incompressible

Débit volumique

Un écoulement en régime permanent est caractérisé par un vecteur vitesse du fluide au point M : v

(M) indépendant du temps. Si on considère une surface S traversée perpendiculairement par le fluide, le débit volumique est le volume de fluide qui traverse la

surface S pendant l’unité de temps Δt=1s, il s’exprime en m³⋅s⁻¹ ; c’est un volume de surface de base S et de hauteur v⋅ Δt=v aussi : D=v⋅S . La conservation du débit volumique permet d’écrire l’égalité du débit à travers différentes sections d’une conduite : D=v_A⋅S_A=v_B⋅S_B.

Relation de Bernoulli

La relation de Bernoulli est une relation qui traduit la conservation de l’énergie pour un fluide dit parfait (les effets de viscosité et de conduction thermique sont ignorés) incompressible et en écoulement permanent. Elle fait intervenir son énergie cinétique massique à travers le terme v²

2 , son énergie potentielle de pesanteur massique à travers le terme g⋅z et le travail massique des forces pressantes à travers le terme P

ρ ; la relation est fournie sous la forme : v²

2 +g⋅z+P ρ =C. C est une constante le long d’une ligne de courant, ligne tangente en tout point M à v

(M).

Méthode 8.2. Comment exploiter la relation de Bernoulli ?

Effet Venturi

Une application de la relation de Bernoulli est l’effet Venturi. Considérons l’écoulement permanent d’un fluide incompressible à travers une conduite qui présente un étranglement. La pression est indiquée par les niveaux de liquide dans des tubes aux points A et B ; on obtient la configuration suivante qui montre une diminution de la pression du fluide P_B<P_A car h_B <h_A. La relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant donne en supposant z_A=z_B :

P_A ρ +v_A²

2 = P_B ρ +v_B²

2 avec v^A⋅S_A=v_B⋅S_B =D soit P_A−P_B =ρ ⋅v_A² 2 ⋅ (S_A

S_B)²−1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟>0 car S^A>S_B. L’effet Venturi est utilisé dans les trompes à eau au laboratoire de chimie pour réaliser une aspiration sous vide.

nn 234 CHAPITRE 8

(5)

Méthodes

Méthode 8.1. Comment exploiter l’expression de la poussée d’Archimède ?

Mé th

On se propose de déterminer le pourcentage du volume total que représente la partie immergée d’un iceberg. Soit V_i son volume immergé et V son volume total.

Soit ρ_g la masse volumique de la glace : ρ_g=917 kg⋅m⁻³. Soit ρ_l la masse volumique de l’eau de mer : ρ_l=1024 kg⋅m⁻³. L’iceberg est soumis à son poids : P

=ρ_g⋅V⋅g

qui s’applique sur son centre de masse G.

Il est également soumis à la poussée d’Archimède : F_A

=−ρ_l⋅V_i⋅g

qui s’applique sur le centre de poussée C, centre de masse du volume d’eau de mer déplacée (volume hachuré).

h od e s

Le vecteur poussée d’Archimède F^A

est égal à l’opposé du vecteur poids du volume de fluide déplacé : F_A

=−ρ_f⋅V⋅g

. Cette force joue un rôle généralement négligeable pour le mouvement des petits corps dans le champ de pesanteur et dans l’atmosphère car le fluide air a une masse volumique relativement faible :

ρ_air1 kg⋅m⁻³, cependant elle devient conséquente si la surface extérieure du corps est importante comme c’est le cas pour un ballon dirigeable. Dans l’eau, la poussée d’Archimède joue un rôle important avec ρ_eau 1000 kg⋅m⁻³ ; elle explique notamment la flottabilité des bateaux car elle permet de compenser leur poids. La distinction entre centre de poussée et centre de masse est importante car elle peut générer un couple de forces responsable de la rotation du système et de son déséquilibre même si les forces se compensent.

Exercice 8.1

MODÉLISER L’ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE 235nn

Mé th o d e s

(6)

6 CHAPITRE 8

Identifier une ligne de courant suivie par l’écoulement supposé permanent du fluide parfait ; la relation de Bernoulli permet de relier entre elles les pressions, les vitesses et les altitudes pour tous les points de cette ligne de courant à travers la relation : v²

2 +g⋅z+ P

ρ =constante ; g désigne le champ de pesanteur supposé uniforme et ρ la masse volumique constante du fluide supposé incompressible.

Exercice 8.2

Le tube de Pitot est un dispositif qui permet de mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide ; il est utilisé en aéronautique pour mesurer la vitesse du vent relativement à l’avion.

Il est constitué de deux tubes, un premier tube n°1 ouvert perpendiculairement à l’écoulement du fluide et un second tube n°2 parallèle à l’écoulement du fluide.

Le tube n°1 permet une prise de pression latérale tandis que le tube n°2 permet une prise de pression axiale ; la différence de pression est mesurée par la différence de hauteur que prend le liquide dans les tubes.

Nous allons appliquer le théorème de Bernoulli à deux lignes de courant différentes ; la ligne n°1 qui passe latéralement et la ligne n°2 qui passe axialement.

On néglige la différence d’altitude entre les points A et B : z^A z_B. Soit v

la vitesse du vent relativement à l’avion ; on suppose que le tube de Pitot est suffisamment fin pour ne pas perturber la vitesse d’écoulement permanent du fluide.

À l’équilibre F_A

+P

=0

donc : −ρ_l⋅V_i⋅g

+ρ_g⋅V⋅g

=0 soit V_i

V ⋅= ρ_g ρ_l = 917

10240,9. Ainsi les 9 dixièmes de l’iceberg sont immergés sous l’eau.

On a négligé la poussée d’Archimède exercée par l’air sur la partie émergée de l’iceberg car la masse volumique de l’air est très faible.

Méthode 8.2. Comment exploiter la relation de Bernoulli ?

nn 236 CHAPITRE 8

(7)

Mé th o d e s

Le long de la ligne 1, de B^∞ au point B : P₀ ρ +v²

2 = P_B ρ +v_B²

2 soit P₀ ρ +v²

2 = P_B ρ +v²

2 car le fluide de masse volumique ρ s’écoule autour du tube supposé très fin avec la même vitesse

v_B=v donc P_B=P₀.

Le long de la ligne 2, de A_∞ au point A : P₀ ρ +v²

2 = P_A ρ +v_A²

2 soit P₀ ρ +v²

2 = P_A

ρ car v_A=0 ; A constitue un point d’arrêt pour le fluide.

Ainsi : P₀ ρ +v²

2 = P_B ρ +v²

2 = P_A

ρ donc v= 2(P_A−P_B) ρ .

On écrit maintenant la relation de la statique des fluides relative au liquide de masse volumique ρ_f utilisé dans le manomètre : P^A−P_B=ρ_l⋅g⋅h.

Ainsi : v= 2ρ_l

ρ ⋅g⋅h ; cette relation est bien cohérente du point de vue dimensionnel car [g⋅h]=[g]⋅[h]=m⋅s⁻²⋅m=m²⋅s⁻² et [ g⋅h]=[v]=m⋅s⁻¹.

Mé th o d e s

(8)

8 CHAPITRE 8

Vrai/Faux

Vrai Faux 1. La loi de la statique des fluides est indépendante de la nature du fluide.

2. Pour un fluide incompressible et homogène, la pression est une

fonction affine décroissante de l’altitude.

3. La poussée d’Archimède dépend de la masse du corps.

4. La poussée d’Archimède dépend du volume de corps immergé dans le

fluide.

5. La poussée d’Archimède exercée par un gaz est supérieure à celle

exercée par un liquide.

6. Une réduction de la section d’une conduite produit une augmentation

de la vitesse du fluide.

7. Une réduction de la section d’une conduite produit une augmentation

de la pression du fluide.

8. La relation de Bernoulli permet de prouver facilement que la vitesse à laquelle un fluide incompressible s’écoule de façon permanente d’un petit trou percé au fond d’une grande cuve contenant la hauteur H de ce fluide est proportionnelle à H .

nn 238 CHAPITRE 8

(9)

Énoncé des exercices

Exercice 8.1. À propos des sous-marins

Les bathyscaphes sont des sous-marins d’exploration abyssale. En service de 1948 à 1982, ils ont été les seuls submersibles capables d’atteindre les profondeurs les plus grandes (10916 mètres dans la fosse des Mariannes, le 23 janvier 1960).

Un bathyscaphe est constitué d’une lourde cabine sphérique en acier, pouvant accueillir deux ou trois passagers, suspendue à un flotteur rempli d’un liquide noté « L » moins dense que l’eau qui compense le poids. Le bathyscaphe descend par gravitation et remonte en lâchant du lest.

À cause de leur poids, les bathyscaphes ne peuvent être embarqués et sont remorqués par leur navire.

- Pour plonger le bathyscaphe remplit ses ballasts d’eau ou largue une partie du liquide « L » qu’il remplace par de l’eau de mer (dans notre étude on se placera dans la deuxième hypothèse).

- Il s’alourdit et descend verticalement s’il n’y a pas de courants marins.

- Il se pose ensuite sur le fond.

- Pour remonter, il largue une partie de son lest.

Les données fournies ci-dessous sont relatives au bathyscaphe Archimède qui a navigué entre les années 1961 et 1974. Il est maintenant exposé à la Cite de la mer à Cherbourg.

Dans tout l’exercice on supposera que l’on peut négliger les courants marins et donc que le bathyscaphe descend verticalement.

Les mouvements seront étudiés dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Toutes les données suivantes ne sont pas utiles.

Masse totale du bathyscaphe : M=200 t tonnes

( )

(liquide « L » compris) Volume total du bathyscaphe : V =194 m³

Volume de liquide « L » embarqué : V_L =170 m³

(10)

Masse volumique de l’eau de mer : ρ_E = 1,03⋅10³ kg⋅m^–3 Masse volumique du liquide « L » : ρ_L =0,66⋅10³ kg⋅m^–3 Intensité de la pesanteur : g=9,8 m⋅s^–2

1. Le bathyscaphe est complètement immergé mais ne plonge pas encore.

1.1. Donner l’expression littérale, en fonction des données, de la valeur F^A de la poussée d’Archimède exercée sur le bathyscaphe complètement immergé. Calculer sa valeur numérique.

1.2. Comparer les valeurs du poids du bathyscaphe et de la poussée d’Archimède qu’il subit.

Que peut-on en conclure ?

2. On admettra que, rapidement, le bathyscaphe remplace un volume V^L^' du liquide « L » par un même volume V^E^' =V_L^' d’eau de mer. Ceci est en fait un modèle simplifié.

2.1. La valeur F_A de la poussée d’Archimède varie-t-elle ? Expliquez.

2.2. Déterminer l’expression littérale de la variation de masse du bathyscaphe (par la suite, elle sera notée ΔM et comptée positivement). Faire l’application numérique.

Donnée : V^E^' =V_L^' =2,0 m³.

2.3. Expliquez pourquoi le bathyscaphe se met à descendre.

3. Plongée du bathyscaphe.

Dans cette partie, on considère que la masse totale du bathyscaphe est à présent M'=200,74 t. On suppose que l’expression de la valeur de la force de frottement exercée par l’eau de mer est modélisée par la relation f =k⋅v² où k est une constante positive qui dépend de la nature du fluide et de la forme de l’objet.

3.1. Faire un schéma sans échelle représentant les forces appliquées sur le sous-marin.

3.2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v du bathyscaphe selon un axe vertical descendant (Oy).

3.3. Le bathyscaphe atteint une vitesse limite v^lim=1,0 m⋅s^–1.

3.3.1. Justifier qualitativement l’existence de cette vitesse limite. Que devient le mouvement du bathyscaphe lorsque celle-ci est atteinte ?

3.3.2. Déterminer l’expression littérale de cette vitesse limite v^lim en fonction des données.

3.3.3. En déduire la valeur de k. Justifier l’unité de k par une analyse dimensionnelle.

Source : d’après Bac Nouvelle-Calédonie, 2008 Exercice 8.2. Étude d’une seringue

On considère une seringue dont le corps a une section S et dont l’aiguille a une section s. Le piston peut se déplacer sans frottement à la vitesse V constante grâce à une force axiale F appliquée par l’opérateur et permet d’expulser le liquide contenu dans la seringue à la vitesse v et à la pression P⁰. Le liquide sera considéré comme un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ. On admet la relation de Bernoulli selon laquelle la somme P

ρ+v²

2 +g⋅z prend une valeur constante en tous les points d’une ligne de courant pour un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent.

nn 240 CHAPITRE 8

(11)

1. Exprimer en fonction des vitesses d’écoulement le débit volumique D.

2. Soit P la pression du liquide dans le corps de la seringue, établir une relation entre F, P et P⁰ qui traduit le déplacement à vitesse constante du piston.

3. En utilisant la relation de Bernoulli au liquide supposé parfait et incompressible, établir l’expression donnant la vitesse d’éjection du liquide en fonction de l’intensité de la force appliquée sur le piston par l’opérateur. Vérifier la cohérence à l’aide d’une analyse dimensionnelle.

4. Calculer la vitesse d’éjection pour S=1,0 cm², s=0,20 mm², ρ=1,0⋅10³kg⋅m⁻³ et F=5 N.

5. Calculer la vitesse d’éjection si le liquide est maintenant injecté dans la veine d’un patient dont la pression artérielle est de 120 mm de mercure. On donne la masse volumique du mercure : ρ_Hg=13,5 g⋅cm⁻³. On prend P^atm=1,013 bar.

6. Calculer dans ces conditions la durée nécessaire pour injecter 5 cm³ de sérum dans la veine du patient en supposant appliquée une force constante de 5 N sur le piston de la seringue.

Exercice 8.3. Étude d’un château d’eau

Un château d'eau alimente deux immeubles d'habitation repérés sur le schéma ci-dessous.

On modélise le système par deux arrivées d'eau munies chacune d'un robinet.

Les canalisations ont un diamètre ; d= 16 mm.

(12)

12 CHAPITRE 8

Le réservoir étant de grande taille, z_C reste constant au cours du temps.

z_B=1090 m: altitude du robinet B de l'immeuble B ; z_A=1050 m: altitude du robinet A de l'immeuble A.

z_C=1100 m: altitude de la surface libre de l'eau contenue dans le château d'eau.

À la sortie du robinet ouvert, la pression de l'eau est égale à la pression atmosphérique P₀=1,0⋅10⁵ Pa.

Données : masse volumique de l'eau ρ=1000 kg⋅m⁻³; g=10 m⋅s⁻².

1. Énoncer le principe fondamental de la statique des fluides et calculer les valeurs des pressions P_A et P^B quand les robinets sont fermés.

2. On ouvre le robinet A et on ferme le robinet B. Calculer la valeur de la vitesse d'écoulement V_A en A puis le débit volumique en A en L⋅s⁻¹.

On utilisera la relation de Bernoulli : P ρ+v²

2 +g⋅z=C le long d’une ligne de courant.

3. On ouvre le robinet B et on ferme le robinet A. Calculer la valeur de la vitesse d'écoulement V_B en B puis le débit volumique en B en L⋅s⁻¹.

Exercice 8.4. Étude d’une aile d’avion

Quelle que soit sa forme, un avion est toujours constitué par un ensemble d’éléments correspondant à diverses fonctions : on retiendra principalement les ailes destinées à soutenir 1’appareil et l’organe de propulsion qui lui donne la vitesse nécessaire à la sustentation et à la translation. La figure 1 représente le schéma élémentaire du profil d’une aile d’avion. Le segment de droite qui joint le bord d’attaque au bord de fuite est appelé corde de profil. L’angle

α entre ce segment et la direction que suit l’avion est appelé incidence. L’air immobile attaqué par une aile se déplaçant à la vitesse V

se sépare en deux parties : l’une longue l’extrados, l’autre l’intrados. Dans le cas d’un mouvement rectiligne et uniforme de l’aile, on peut se placer dans le référentiel de l’aile et considérer que c’est l’air qui se déplace autour de celle-ci.

L’étude dynamique d’une aile d’avion montre que celle-ci est soumise à deux forces d’origine aérodynamique :

nn 242 CHAPITRE 8

(13)

MODELISER L’ECOULEMENT D’UN FLUIDE 13 – la traînée F_t

dirigée en sens inverse de la vitesse V

. En vol sous incidence nulle (α=0), cette force doit être équilibrée par la force de traction de l’hélice ou des réacteurs ;

– la portance F_p

qui équilibre le poids de l’avion.

L’air sera supposé incompressible.

1. Le profil de vitesse autour d’une aile peut être obtenu expérimentalement en soufflerie, on admettra que pour de faibles incidences, il a l’allure suivante :

En analysant la topographie des lignes de courant à l’extrados et l’intrados, proposer une explication à la portance de l’aile ; on admettra que plus les lignes de courant sont resserrées, plus la vitesse de l’écoulement est grande.

2. Des expériences effectuées en soufflerie ont montré que les modules respectifs F_t et F_p de la traînée et de la portance peuvent se mettre sous la forme : F_t=C_t(α)⋅ρ ⋅v²

2 ⋅Set F_p=C_p(α)⋅ρ ⋅v²

2 ⋅S. La quantité S représente la surface de la projection des ailes sur le plan perpendiculaire à la corde.

Les coefficients de traînée C_t(α) et de portance C_p(α) dépendent de l’angle d’incidence et ρ=1,20 kg⋅m⁻³ représente la masse volumique de 1’air.

On considère un avion de masse m=1,80⋅10⁴kg, en vol sous incidence nulle, la projection de ses ailes représente une surface S=50,0 m². Le moteur de cet avion développe une puissance P_m =2,70 MW qui lui permet de se déplacer avec une vitesse constante de module V =300 km⋅h⁻¹. On prendra g=9,80 m⋅s⁻² dans toutes les régions considérées.

2.1. Déterminer l’expression du coefficient de portance en vol sous incidence nulle C_p(0). Calculer sa valeur numérique.

2.2 Déterminer, toujours en vol sous incidence nulle, l’expression de la traînée F_t due aux ailes sachant que la traînée totale de l’avion est due pour les deux tiers aux ailes. En déduire la valeur numérique du coefficient C^t(0) associée.

2.3. À l’approche de la piste d’atterrissage, le pilote de l’avion ouvre des volets sur les ailes.

Quel en est l’effet ?

(14)

14 CHAPITRE 8

Pour vous aider à démarrer

Exercice 8.1. Question 1 : on se limite à 2 chiffres significatifs dans le résultat comme la donnée la moins précise.

Question 3.3.2 : utiliser le fait que lorsque la vitesse limite est atteinte : dv dt =0, puis remplacer dans l’équation différentielle pour déterminer l’expression de v^lim. Question 3.3.3 : utiliser la valeur exacte de la poussée d’Archimède et non la valeur approchée donnée à la question 1.1. au risque de trouver une valeur de k négative.

Pour l’analyse dimensionnelle, utiliser le fait que [F]=[m⋅a]=kg⋅m⋅s⁻².

Exercice 8.2. Question 2 : faire le bilan des forces qui s’exercent sur le piston.

Utiliser l’expression de la force pressante : F=P⋅S.

Question 3 : considérer la ligne de courant passant par l’axe pour écrire la relation de Bernoulli le long de celle-ci.

Question 5 : pour convertir les mm de mercure en pascal, utiliser la loi de la statique des fluides en considérant une colonne de mercure.

Question 6 : calculer le débit volumique pour en déduire la durée connaissant le volume.

Exercice 8.4. Question 2 : faire le bilan des forces qui s’appliquent sur l’avion pour en déduire l’intensité de celles-ci en appliquant le principe de l’inertie.

nn 244 CHAPITRE 8

(15)

Co rrigé

Corrigé des vrai/faux

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Faux

1. La loi de la statique des fluides stipule que : ΔP=−ρ ⋅g⋅ Δz pour un fluide incompressible ; elle dépend donc de la nature du fluide à travers sa masse volumique ρ.

2. La relation précédente peut également s’écrire : P=P₀−ρ ⋅g⋅z si P₀ désigne la pression en z=0 et z un axe vertical orienté vers le haut. La relation signifie que la pression est une fonction affine décroissante de l’altitude.

3. La poussée d’Archimède est indépendante de la masse du corps mais dépend de la masse de fluide déplacé : F^A

=−ρ_l⋅V⋅g .

4. La poussée d’Archimède dépend effectivement du volume de corps immergé dans le fluide.

5. La poussée d’Archimède exercée par un gaz est inférieure à celle exercée par un liquide car la masse volumique d’un gaz est inférieure à la masse volumique d’un liquide.

6. La conservation du débit volumique d’un fluide implique : D=v⋅S=constante. Aussi la réduction de la section d’une conduite produit une augmentation de la vitesse d’écoulement du fluide.

7. Il s’agit de l’effet Venturi qui s’explique grâce à la relation de Bernoulli : P ρ+v²

2 +g⋅z=C le long d’une ligne de courant ; une diminution de la section d’une canalisation provoque une augmentation de la vitesse du fluide à cause de la conservation du débit volumique et par voie de conséquence une diminution de la pression du fluide.

8. On applique la relation de Bernoulli : P ρ+v²

2 +g⋅z=C le long d’une ligne de courant qui part de la surface libre du fluide vers l’ouverture du petit orifice au fond de la cuve..

Les points A et B sont au contact de l’atmosphère donc P_A=P_B=P₀. On suppose la section de l’ouverture suffisamment petite en B pour que le débit soit très faible : D=v_B⋅s0. La conservation du débit volumique D=v_A⋅S implique v_A0 donc

P₀ ρ +0²

2 +g⋅z_A= P₀ ρ +v_B²

2 +g⋅z_B d’où v_B= 2g⋅(z_A−z_B)= 2g⋅H .

La vitesse d’éjection du fluide est proportionnelle à H ; même expression que la vitesse de chute libre d’un corps depuis la hauteur H.

Cor rig é

(16)

16 CHAPITRE 8

Corrigé des exercices

_________ Exercice 8.1 _______________________________

1.1. La poussée d’Archimède subie par le bathyscaphe complètement immergé est égale au poids du volume d’eau de mer déplacé.

Méthode 8.1 F_A=ρ_E⋅V⋅g soit F_A =1,03⋅10³×194×9,8=2,0⋅10⁶N.

1.2. Le poids du bathyscaphe est donné par : P= M⋅g soit P=200⋅10³×9,8=2,0⋅10⁶N. Le bathyscaphe est immobile en équilibre sous l’action de son poids et de la poussée d’Archimède.

2.1. La valeur de la poussée d’Archimède ne varie pas car le volume d’eau de mer déplacé reste égal au volume du bathyscaphe, c’est-à-dire V. On a toujours : F_A =ρ_E⋅V⋅g.

2.2. ΔM=(ρ_E−ρ_L)⋅V_E^' soit ΔM =(1,03⋅10³−0,66⋅10³)⋅2=740 kg=0,74 t.

2.3. Le poids du bathyscaphe est maintenant supérieur à la poussée d’Archimède donc le sous- marin descend.

3.1. Schéma des forces.

3.2. On applique la deuxième loi de Newton au système le bathyscaphe dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

M'⋅a

=P +F_A

+f

On projette l’équation vectorielle sur l’axe (Oy) orienté vers le bas : M'⋅a_x =P_x+F_Ax+ f_x

M'⋅dv

dt =M'⋅g−F_A−k⋅v²

3.3.1. Lors de sa descente, la vitesse du bathyscaphe augmente donc la force de frottement augmente également puisque celle-ci est proportionnelle au carré de la vitesse, jusqu’au moment où elle devient suffisamment importante pour compenser avec la poussée d’Archimède le poids du sous-marin. Alors, d’après le prince d’inertie, le système soumis à des forces qui se compensent poursuivit son mouvement selon un mouvement rectiligne uniforme.

3.3.2. Lorsque le bathyscaphe atteint la vitesse limite v_lim, le régime devient stationnaire et la vitesse constante donc dv

dt =0 donc M'⋅g−F_A−k⋅v_lim²=0 ainsi : v_lim= M'⋅g−F_A k . Or F_A=ρ_E⋅V⋅g donc v_lim= M'⋅g−ρ_E⋅V⋅g

k .

nn 246 CHAPITRE 8

(17)

Co rrigé

3.3.3. k= M'⋅g−ρ_E⋅V⋅g v_lim²

Soit k=200,74⋅10³×9,8−1,03⋅10³×194×9,8

1² =9,0⋅10³kg⋅m⁻¹. Une analyse dimensionnelle permet de déterminer l’unité de k :

[k]= [F]

[v²]=kg⋅m⋅s⁻²

m²⋅s⁻² =kg⋅m⁻¹.

_________ Exercice 8.2 _______________________________

1. La conservation du débit volumique permet d’écrire : D=V⋅S=v⋅s(1) 2. Le piston est soumis à la force F_int

exercée par le liquide, à la force F_ext

exercée par l’atmosphère, ainsi qu’à la force F

exercée par l’opérateur. Par ailleurs il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme ; d’après la deuxième loi de Newton, il est donc soumis à des forces dont la résultante est nulle : F

+F_int +F_ext

=0

En projetant la relation vectorielle sur l’axe (Oy) orienté dans le sens du mouvement, on obtient : F_y+F_int_y+F_{ext y}=0soit F−F_int+F_ext=0

Or F_int=P⋅S et F^ext=P₀⋅S donc F=(P−P₀)⋅S(2).

3. On considère la ligne de courant qui part d’un point A situé sur l’axe à l’intérieur du corps de la seringue vers le point B d’éjection du liquide. On applique la relation de Bernoulli fournie dans l’énoncé : P_A

ρ +v_A²

2 +g⋅z_A = P_B ρ +v_B²

2 +g⋅z_B.

Méthode 8.2 On en déduit : P

ρ+V² 2 = P₀

ρ +v²

2 car z_A=z_B. Soit, en utilisant la relation (1) : P

ρ +v² 2 ⋅(s

S)²= P₀ ρ +v²

2 , on obtient : v= 2(P−P₀) ρ ⋅ 1−(s

S)²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.

Cor rig é

(18)

18 CHAPITRE 8

On en déduit en utilisant la relation (2) : v= 2F ρ ⋅S⋅ 1−(s

S)²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2F

ρ ⋅S car s<<S. Vérifions la cohérence de la relation à l’aide d’une analyse dimensionnelle :

[ F

ρ ⋅S]=[ kg⋅m⋅s⁻²

kg⋅m⁻³⋅m²]=[m²⋅s⁻²] donc [ F

ρ ⋅S]=[m⋅s⁻¹]=[v]. 4. v 2×5

1,0⋅10³⋅10⁻⁴ =10 m⋅s⁻¹.

5. La relation (1) précédente devient : v= 2(P−P_B) ρ ⋅ 1−(s

S)²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

avec P^B=120 mmHg.

La relation (2) ne change pas : F=(P−P₀)⋅S(2) donc P=P₀+F

S d’où la nouvelle expression approchée de la vitesse d’éjection : v

2(P₀+ F S −P_B)

ρ .

La conversion des mmde mercure au pascal s’effectue en utilisant la loi de la statique des fluides : ΔP=ρ_Hg⋅g⋅h avec ρ_Hg=13,5 g⋅cm⁻³=13,5⋅10³kg⋅m⁻³ donc pour h=1 mm,

ΔP=13,5⋅10³⋅9,8⋅10⁻³=132,3 Pa. Ainsi P^B=120 mmHg = 120×132,3 = 1,59⋅10³Pa.

Soit : v= 2×(1,01⋅10⁵+ 5

10⁻⁴−1,59⋅10³)

13,5⋅10³ =4,7 m⋅s⁻¹.

6. Le débit volumique est D=v⋅s soit D=4,7⋅0,2⋅10⁻⁶=9,4⋅10⁻⁷m³⋅s⁻¹, la durée pour injecter le volume V de sérum en appliquant une force constante de 5 N sur le piston est

Δt=V

D= 5⋅10⁻⁶

9,4⋅10⁻⁷ 5 s.

_________ Exercice 8.3 _______________________________

1. La loi de la statique des fluides appliquée entre les points B et C donne : P^B=P_C+ρ ⋅g⋅(z_C−z_B).

P^B=1,0⋅10⁵+1,0⋅10³×10×(1100−1090)=2,0⋅10⁵Pa = 2,0 bar.

P^A=P_C+ρ ⋅g⋅(z_C−z_A)=1,0⋅10⁵+1000×10×(1100−1050)=6,0⋅10⁵Pa=6,0 bar.

2. On applique la relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant du point C au point A : P_C

ρ +v_C²

2 +g⋅z_C = P_A ρ +v_A²

2 +g⋅z_A.

nn 248 CHAPITRE 8

(19)

Co rrigé

Soit, en prenant P^A=P_C =P₀ et v^C=0 m⋅s⁻¹, P₀ ρ +0²

2 +g⋅z_C= P₀ ρ +v_A²

2 +g⋅z_A, d’où v_A= 2g⋅(z_C−z_A)= 2×10×(1100−1050)32 m⋅s⁻¹.

Le débit volumique en A est donné par : D=v_A⋅S où S désigne la section de la conduite.

S=π ⋅d²

4 où d désigne le diamètre de la canalisation donc D=v_A⋅S=v_A⋅π⋅d²

4 =31×π×(16⋅10⁻³)²

4 6,4⋅10⁻³m³⋅s⁻¹=6,4 L⋅s⁻¹.

3. On obtient de la même façon : v_B= 2g⋅(z_C−z_B)= 2×10×(1100−1090)=14 m⋅s⁻¹ et D=v_B⋅S=v_B⋅π⋅d²

4 =14×π×(16⋅10⁻³)²

4 2,8⋅10⁻³m³⋅s⁻¹=2,8 L⋅s⁻¹. _________ Exercice 8.4 _______________________________

1. Les lignes de courant au niveau de l’extrados sont plus resserrées qu’au niveau de l’intrados donc la vitesse d’écoulement de l’air y est supérieure : v^B>v_B'.

On applique le théorème de Bernoulli entre les points A et B sur l’extrados : P₀

ρ +v₀²

2 +g⋅z_A= P_B ρ +v_B²

2 +g⋅z_B.

De même on applique le théorème de Bernoulli entre les points A’ et B’ sur l’intrados : P₀

ρ +v₀²

2 +g⋅z_A= P_B' ρ +v_B'²

2 +g⋅z_B'.

En prenant deux lignes de courant très proches l’une de l’autre : z_A z_A', on a donc : P_B

ρ +v_B²

2 +g⋅z_B= P_B' ρ +v_B'²

2 +g⋅z_B' On en déduit : P_B'=P_B+ρ ⋅(v_B²

2 −v_B'²

2 )+ρ ⋅g⋅(z_B−z_B')>P_B car v^B>v_B' et z_B>z_B'.

Cor rig é

(20)

20 CHAPITRE 8

Ainsi la pression est plus forte sous l’aile que sur l’aile, la résultante des forces de pression sur l’aile est donc dirigée vers le haut ; cela explique la force de portance qui s’oppose au poids.

2.1. L’avion est soumis à son poids P

, à la force de traînée totale F_t

, à la force de portance F_p

et à la force de poussée F

exercée par les réacteurs. Il est en mouvement rectiligne uniforme donc d’après le principe d’inertie il est soumis à des forces dont la résultante est nulle, soit : P

+F_t +F_p

+F

=0 .

La projection de l’égalité vectorielle sur un axe vertical orienté vers le haut donne : P_y+F_t,y+F_p,y+F_y =0 soit −P+F_p=0 d’oùF_p=C_p(0)⋅ρ ⋅v²

2 ⋅S=P=m⋅g.

On prend la vitesse d’écoulement de l’air sur les ailes égale à la vitesse de déplacement de l’avion par rapport au sol donc v=V .

On en déduit C_p(0)= 2m⋅g

ρ ⋅V²⋅S = 2×1,8⋅10⁴×9,8 1,2×(300

3,6)²×50,0

=0,85.

Le coefficient C_p(0) n’a pas d’unité car [ρ ⋅v²⋅S]=kg⋅m⁻³⋅m²⋅s⁻²⋅m²=kg⋅m⋅s⁻²=[m]⋅[a]. 2.2. La projection de l’égalité vectorielle sur un axe horizontal orienté dans le sens du mouvement donne : P_x+F_t,x+F_p,x+F_x =0 soit −F_t+F=0.

La force de traînée totale de l’avion est due pour les deux tiers aux ailes donc C_t(0)⋅ρ ⋅v²

2 ⋅S=2

3F. La force développée par les moteurs est donnée par la puissance du moteur : P_m =F⋅V donc C_t(0)= 4F

3ρ ⋅v²⋅S = 4P_m

3ρ ⋅V³⋅S = 4×2,7⋅10⁶ 3×1,2×(300

3,6)³×50,0

=0,10.

2.3. En ouvrant des volets sur les ailes, le pilote modifie le profil des vitesses sur l’aile, il diminue ainsi la portance pour que l’avion perde de l’altitude.

nn 250 CHAPITRE 8