Sup PCSI2 — Contrˆole 1997/06
Exercice 1
◮Pourn∈N, notons Sn= X
06k6n
1
k!; nous savons quee= lim
n→∞Sn. Q1 Justifiez la majoration Sn< e.
Q2 Pourp>2, justifiez la majorationSp+1 p >e.
◮Nous ´etudions la fonctionf qui, au r´eelx, associef(x) =ex+x.
Q3 A-t-on f(x+ 1)x→+∞g f(x) ?
Q4 Justifiezrapidement l’affirmation suivante :f est une bijection deRsur lui-mˆeme, de classeC∞.
◮L’´equationf(x) = 0 poss`ede donc une unique solution r´eelle, que nous noteronsξ.
Q5 En utilisant les r´esultats des questions 1 et 2, donnez un encadrement deξ.
◮Nous noterons⌈x⌉lahhpartie enti`ere sup´erieureiidu r´eelx, c’est-`a-dire le plus petit relatif sup´erieur ou ´egal
`ax; nous avons donc⌈x⌉ ∈Zet⌈x⌉ −1< x6⌈x⌉.
◮Pris d’un acc`es de g´en´erosit´e aussi subit qu’inattendu, le correcteur d´ecide d’accorder une prime pour r´ecompenser les ´etudiants qui auront obtenu un encadrement hhserr´eii de ξ. Pour ce faire, il applique la formule =l
−ln(M −m) ln(2)
mdans laquelle m(resp. M) est le minorant (resp. le majorant) deξ.
Q6 La prime peut-elle ˆetre strictement n´egative ?
Q7 Montrez que la prime est d’autant plus grande que l’amplitude de l’intervalle [m, M] est petite.
Q8 Avec cette formule, quelle serait votre prime ?
◮Nous nous int´eressons maintenant `a la bijection r´eciproque de f, que nous noterons g. Nous avons donc y=g(x) ssix=f(y).
Q9 Montrez que gest de classeC∞.
Q10 Donnez un ´equivalentsimple deg(x) lorsquextend vers−∞.
Q11 A-t-ong(x+ 1)x→−∞g g(x) ?
Q12 Justifiez l’affirmation suivante : lorsquextend vers +∞,g(x) est ´equivalent `a ln(x).
Q13 A-t-ong(x+ 1)x→+∞g g(x) ?
Q14 ⋆⋆ Donnez un ´equivalent simple deg(x)−ln(x) lorsquextend vers +∞.
Q15 Rappelez l’expression de (f−1)′; en d´eduire l’expression de g′ en fonction de f′ et g, puis celle de g′′ en fonction def′,f′′et g.
Q16 ⋆ Explicitez leDL2(1) deg.
Exercice 2
◮f,g ethsont trois endomorphismes d’un mˆemeK-e.v. E qui v´erifientf◦g=h,g◦h=f et h◦f =g.
Q1 Montrez que f,g ethont mˆeme noyau et mˆeme image.
Q2 ´Etablissezf2=g2=h2; bien entendu,f2d´esigne f◦f. Q3 ´Etablissezg5=g (consid´erezf2gf2).
Q4 Prouvez queE= ker(g)⊕im(g).
Q5 Prouvez que im(f) est stable parf,get h.
Q6 Prouvez que les endomorphismes de imf induits parf, get hsont des automorphismes.
[Contr^ole 1997/06] Compos´e le 8 mars 2008
