-l*' t fl =!æ3* : *rthé*rtiques

DST d" *rthé*rtiques

^Lundi

L?ianvietza]s

Durée ^{: 3}

heures

^{lères §}

L'usage de la calculatrice ^est autorisé

La figure ^de I'exercice ^{1 est}

a.r*ptét"t dit"ttt*"tt

cice 1

ABC estun triangle

Ou"r:onT:

Le point

I

est tel que , 87

:

;BÀ.

Le

point/ esttel

_Que ^:

fl =!æ 3*

Le point K

esttel

que ^: AK

-

_ÉAC-

on souhaite démontrer ^que les droites

(Al), {BK)

^et

(cI)

sont concourantes' Soit E le point â'intersection des droites (AJ) et

(Bi()'

on ^{se place} dans le repère

{a;îe

^,trÂ1-

L.

Compléter la figure jointe en annexe'

Z.

a) Déterminer les coirdonnées ^{des points B} _' ^C _' ^A'

l

^etJ '

b)

Déterminer ^les coordonnées du

pointK'

13

^2t'

Dans Ia suite ^de l'exercice, on considère que ^les coordonnées ^de K

sont

_{(E; EJ'}

3.

a) Déterminer une équation cartésienne ^de la droite ^(,4,J) et montrer qu'elle peut ^se mettre sous la

forme3x*Y-1=0'

b}Détermineruneéquationcartésiennedeladroite(BI{).

'

_{c) En déduire les} coordonnées ^du point E'

:

.+.

^{Démonrer que Ie} point E appartient ^à la droite

(cI)

et conclure'

Exertrce ²

Satt @r et %Lesparaboles représentant ^les fonctio ns

fl ^et

f2respectivement définies sur ^lR' par :

f{x) =

^xz

+

^2x

* ³ et _{fr(x) =} -l*' ^{+ t}

on cherche ^à savoir s,il existe une ou plusieurs tangentes cornmunes ^{à ces} deux courbes, cest-à-dire un Ûu

plusieurs couples (a; b) ^de nombres réels tels ^{que la} tangente à

9r

aupoint ^A

(a; fr(a))

^et la tangent e à @z au point _{B {b}

;

f2(b)) soient confondues.

L,

Déterminer, ^en fonction ^{de a,} l'équation ^de la tangente à

gxaupointé,

puis en fonction de b,I'équation

de la tangente à

@

auPoint B'

Z.

^{Etablir que; si ces deux tangentes}

^sort

confondues, alors nécessairement 4 ^{et b} sont solutions du systèmes:

ç2a*b = -2.,

\za,+b2=4

3.

^{Résoudre ce} système et conclure.

Exercice 3

A et B deux points tels que

lB :

S ctn.

1.

a) Construire C

tel

^que AB

= AC et:

{ffiÀc):!Z

b)

construire D ter que ACD

soitun

triangle équilatérar et :

(trfr)=+

c) Consüuire E tel que DE

:

4 crn

et: ' r

@5t)=-*

d) Construire F tel que

/,

B et F soient alignés et :

(DEB):-i

z'

a) Donner, en iustifiant ^Ia réponsg la mesure principale _{de chacun} des angles suivants:-

@æ)"t(zEiir)

b)

_Que peut-on en déduire con.er.,ant (AB),

(»r) _{àt @F)}

_?

Exercice 4

Résoudre dans [0;

Zn[:

1. sin(3x) = rir(, - l) 2. sin(ex -r)=:

3. 4coszx-3=0 4. coszx*cosx -Z=0

Exercice

S

§oitm _{un réel}

etsoit (dr*)ladroite

d,équation :

{m+ L)X-r-y _{+2 =}

0

1.

Pour quelle valeur de m, Ia droite

(d*)

passe-t-eile par le

pointâ(3;4)

?

,2.

Pour quelle valeur de m, le vecteur ü

(7) -" ^,

un vecteur direcreur de Ia droite

(d*)

?

3.

Pour quelle valeur de m, la droite

(d*)

est-elle parallèle à Ia droite (Â) d'équati

an -Zx*

^3y

*

¹

:

0 ?

,,

Exércice 6

)n cherche une courbe

?quipasse

par Ies points

â(0;

0), B(3;

-3)

et qui admet pour tangenres en

d

et B les lroites (AC) et (BD) _où

C{-];-S)

et D(S; 1).

ioit

/

une fonction dérivable sur ^R. dont

3

serait Ia courbe représentative.

ist-il

possible de trouve r

f ^(x)sous

^{la forme}

f

@)

=

^{ax3 +ünS}

., *

d, où a,

b,

cet d sont des réels ?