Résoudre dans ^ l’équation : z

(1)

PanaMaths

[1 - 3]

Décembre 2001

Résoudre dans ^ l’équation : z

⁴

+ 2 z

²

+ = 4 0 .

Analyse

L’exercice ne pose pas de difficulté particulière. On peut, par exemple, commencer par résoudre une équation du second degré …

Résolution

On a : ^z⁴⁺²^z²^{+ =}⁴

(

^z²⁺¹

)

²^{+ =}³

(

^z²⁺¹

)

²⁻

( ) (

ⁱ ³ ² ⁼ ^z²^{+ +}¹ ⁱ ³

)(

^z²^{+ +}¹ ⁱ ³

)

^.

D’où :

( )( )

4 2

2 2

2

2 4 0

1 3 1 3 0

1 3 0

ou

1 3 0

z z

z i z i

z i

+ + =

⇔ + + + − =

⎧ + + =

⇔ ⎨⎪

⎪ + − =

⎩

Nous sommes ainsi ramenés à la résolution de deux équations du deuxième degré.

Nous aurions obtenu le même résultat en introduisant la nouvelle variable : Z =z², l’équation se récrivant alors : Z²+2Z+ =4 0 et fournissant les deux racines : − −1 i 3 et 1− +i 3. Commençons donc par résoudre : z² = − −1 i 3

Cette équation revient à déterminer les deux racines carrées complexes de 1− −i 3. On a :

2

2 3 2

1 2

2 3 6 2

1 3

2 2

i k

i k i k

z i

z i e

z e e

π π π

π π π π π π

⎛ + + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ + + ⎞ ⎛ + + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − −

⎛ ⎞

⇔ = ⎜⎜⎝− − ⎟⎟⎠=

⇔ = =

Pour k =0 et k =1, on obtient les deux racines cherchées.

(2)

PanaMaths

[2 - 3]

Décembre 2001

6 2

1 2 2 cos sin

6 2 6 2

2 sin cos

6 6

1 3

2 2 2

1 3

2 2

i

z e i

i

π π π π π π

π π

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝− ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝− + ⎟⎟⎠

= − +

Et :

6 2

2 2 2 cos sin

6 2 6 2

2 sin cos

6 6

1 3

2 2 2

1 3

2 2

i

z e i

i

π π π π π π π π π

π π

⎛ + + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ + + ⎟⎠+ ⎜⎝ + + ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

= −

Remarque : en réalité, un seul calcul suffit puisque l’on sait devoir trouver deux racines opposées …

Résolvons maintenant : z² = − +1 i 3.

Nous pouvons procéder de façon analogue à ce qui vient d’être fait (les calculs sont fournis ci-dessous). Pour autant, nous pouvons aussi directement faire référence à un résultat du cours sur les polynômes. Si nous considérons le polynôme P X( )= X⁴+2X²+4 dans ^{^}

[ ]

^X ^{, nous}

savons qu’il admet quatre racines complexes conjuguées puisque ses coefficients sont réels.

Ainsi, ayant obtenu z₁ et z₂ comme solutions de l’équation, c’est à dire comme racine de P, nous en déduisons que les deux autres sont : ₁ 1 3

2 2

z = − −i et ₂ 1 3

2 2

z = +i .

2

2 3 2

1 2

2 3 2 6

1 3

2 2

i k

i k i k

z i

z i e

z e e

π π π

⎛ − + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ − + ⎞ ⎛ − + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − +

⎛ ⎞

⇔ = ⎜⎜⎝− + ⎟⎟⎠=

⇔ = =

Pour k=0 et k=1, on obtient les deux racines cherchées.

(3)

PanaMaths

[3 - 3]

Décembre 2001

2 6

3 2 2 cos sin

2 6 2 6

2 sin cos

6 6

1 3

2 2

i

z e i

i

π π π π π π

π π

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

= +

Et :

2 6

4 2 2 cos sin

2 6 2 6

2 sin cos

6 6

1 3

2 2

i

z e i

i

π π π π π π π π π

π π

⎛ − + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ − + ⎟⎠+ ⎜⎝ − + ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝− ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠

= − −

Résultat final

Les solutions de l’équation z⁴+2z²+ =4 0 sont :

1

1 3

2 2

z = − +i

2

1 3

2 2

z = −i

3 2

1 3

2 2

z = +i =z

4 1

1 3

2 2

z = − −i =z