Série 42

L.S.Marsa Elriadh

Série 42 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc Exercices

2009/2010 Exercice 1

On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal , la courbe représentative , d’une fonction f définie sur . La courbe

 passe par le point 0;¹

A 2

 

 

et la tangente en A à  passe par le point de coordonnées  

^2;1

^.

unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

1) Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f ’ de f et une autre représente une primitive F de f sur .

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

Déterminer la courbe associée à la fonction f ’ et celle qui est associée à la fonction F.

Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

2) On suppose que pour tout réel x  

¹

1 ^x

f x  e^



. a ) Calculer ^lim  

x

f x



et ^lim  

x

f x



.

Interpréter graphiquement ces résultats.

b )

Calculer ^{f '}

 

^x et déterminer son signe. Dresser le tableau de variations de f

sur .

c ) Montrer que pour tout réel x  

1

x x

f x e



e



.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

x y

A

1

1

1

1 1

0 0 0

0,5

0,5



L.S.Marsa Elriadh

Série 42 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc Exercices

2009/2010 Exercice 2

PARTIE A

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur l’ensemble R des nombres réels.

La tangente D à la courbe C au point ^A



^{0; 2}



passe par le point ^B



^{2; 4}



^.

On désigne par f ' la fonction dérivée de f.

1. a)

Donner la valeur de f (0).

b) Justifier que : ^{f ' 0}

 

^{ 1.}

2.

On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, f x( ) (x a)e^bx. a) Vérifier que pour tout réel x, f x'( )(bx ab 1)e^bx.

b) Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

PARTIE B

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par f x( ) (x 2)e^x.

1.

Donner l’expression de ^{f '}

 

^x pour tout réel x ; en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’ensemble des réels R.

D C

B A

x y

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

L.S.Marsa Elriadh

Série 42 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc Exercices

2009/2010

2. a)

Déterminer ^lim

 

x f x

 . b) Déterminer ^lim

 

x f x

 Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2.

Montrer que la fonction g définie par g x( ) (x 3)e^x est une primitive de f sur R.