LMSC Exercices sur l’intégration TES

(1)

Exercice 1

Exercice 2

(2)

Exercice 3

(3)

Exercice 4 D’après BAC 2007 Asie

Exercice 5 D’après BAC 2007 Pondichéry

Exercice 6 D’après BAC 2015 Polynésie

(4)

Exercice 7 Intégration par parties - Pour ceux qui veulent aller plus loin…

Voici un théorème (intégration par parties) qui est très utile face à certaines situations :

Soit 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur [𝑎 ; 𝑏] admettant des dérivées 𝑢′ et 𝑣′ continues. Alors :

∫ 𝑢(𝑡)𝑣′(𝑡)_𝑎^𝑏 𝑑𝑡 = [𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)]_𝑎^𝑏− ∫ 𝑢_𝑎^𝑏 ^′(𝑡)𝑣(𝑡) 𝑑𝑡.

Démonstration En effet, la fonction 𝑢𝑣 est dérivable sur [𝑎 ; 𝑏] et on a (𝑢𝑣)^′= 𝑢𝑣^′+ 𝑢′𝑣. D’où :

∫ (𝑢𝑣)′(𝑡)_𝑎^𝑏 𝑑𝑡 = ∫ (𝑢𝑣_𝑎^𝑏 ^′+ 𝑢^′𝑣)(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝑡)𝑣_𝑎^𝑏 ^′(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑢_𝑎^𝑏 ^′(𝑡)𝑣(𝑡)𝑑𝑡 avec

∫ (𝑢𝑣)′(𝑡)_𝑎^𝑏 𝑑𝑡 = [𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)]_𝑎^𝑏.

Exemple Calcul de 𝐼 = ∫ ln 𝑡₁^𝑒 𝑑𝑡.

Posons 𝑢(𝑡) = ln 𝑡 𝑢^′(𝑡) =¹

𝑡

𝑣^′(𝑡) = 1 𝑣(𝑡) = 𝑡

D’où, 𝐼 = [t ln 𝑡]₁^𝑒− ∫ 1 𝑑𝑡₁^𝑒 = 𝑒 − [𝑡]₁^𝑒= 𝑒 − 𝑒 + 1 = 1.

Applications Calculer les intégrales suivantes :

1. 𝐼 = ∫ (1 − 𝑥)𝑒₀¹ ^−𝑥𝑑𝑥

2. 𝐽 = ∫ 𝑥₀¹ ³𝑒^𝑥²𝑑𝑥

3. 𝐾 = ∫ 𝑒₁² ^−𝑡√1 + 𝑡 𝑑𝑡