Lycée militaire de Saint-Cyr AP maths – logarithme TS

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Exercice 1

Exercice 2 D’après Bac Antilles-Guyane 2009

Exercice 3

Indiquer si les propositions sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.

On considère la suite 𝑢 définie par 𝑢₀=¹

3 et, pour 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+1 = √3(𝑢_𝑛)². On admettra que quel que soit 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 > 0. On considère alors la suite 𝑣 définie par

𝑣_𝑛= ln(√3𝑢_𝑛).

(a) La suite 𝑣 est géométrique.

(b) On a : 𝑣₁₀ = 512 × ln 3.

(c) Quel que soit 𝑛 ∈ ℕ, ∑^𝑛_𝑘=0𝑣_𝑘 = (ln 3) (1 − 2^𝑛).

Correction ex 1

Correction ex 2

Correction ex 3

(a) Proposition vraie. On a :

𝑣_𝑛+1

𝑣_𝑛 =^{ln⁡(√3√3𝑢𝑛2)}

ln⁡(√3𝑢𝑛) =^{ln⁡((√3𝑢𝑛)}

2)

ln⁡(√3𝑢𝑛) =^{2ln⁡(√3𝑢𝑛)}

ln⁡(√3𝑢𝑛) = 2.

La⁡suite⁡est⁡donc⁡géométrique⁡de⁡raison⁡2⁡et⁡de⁡premier⁡terme

⁡𝑣₀= ln(√3𝑢₀) = ln (√3

3) = ln (1

√3) = − ln(√3) = −ln⁡3 2 .

(b) Proposition fausse. D’après ce qui a été fait précédemment, on en déduit que : 𝑣_𝑛= 𝑣₀2^𝑛= −^{ln 3}

2 2^𝑛.

Soit : 𝑣₁₀= −^{ln 3}

2 2¹⁰= −512 ln 3

(c) Proposition fausse. Comme la suite 𝑣 est géométrique, on a la formule suivante :

∑^𝑛_𝑘=0𝑣_𝑘 = 𝑣₀×^1−2𝑛+1

1−2 = −^{ln 3}

2 ×^1−2𝑛+1

−1 = ln 3 (¹

2− 2^𝑛).