Sur la théorie de Hida pour le groupe <span class="mathjax-formula">$\mathrm {GSp}_{2g}$</span>

Bulletin

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Publié avec le concours du Centre national de la recherche scientifique

de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Tome 140 Fascicule 3

2012

pages 335-400

SUR LA THÉORIE DE HIDA POUR LE GROUPE GSp _2g

Vincent Pilloni

SUR LA THÉORIE DE HIDA POUR LE GROUPE GSp_2g

par Vincent Pilloni

Résumé. — Nous construisons des familles ordinairesp-adiques de formes modulaires pour le groupe GSp_2g. Notre travail généralise et précise des travaux antérieurs de Hida.

Abstract (On Hida theory for the groupGSp_2g). — We construct ordinaryp-adic families of modular forms for the group GSp_2g. Our work generalizes and precises previous work by Hida.

1. Introduction

Cet article reprend et généralise la théorie des famillesp-adiques de formes modulaires ordinaires pour le groupe GSp_2g qui est développée par Haruzo Hida dans [7]. Celle-ci est utilisée par de nombreux auteurs, et nous avons pensé qu’il était utile de jeter une plus grande lumière sur les constructions de loc. cit.afin de préciser certains des énoncés. Ceci nous a permis de généraliser la théorie de Hida pour GSp_2g et de construire, pour chaque paraboliques standardPdeGL_g, une théorie des famillesp-adiques de formes modulaires de SiegelP-ordinaires. Pour le parabolique de Borel, on retrouve la théorie de [7].

Nous obtenons également des énoncés précis sur la spécialisation des familles de

Texte reçu le 21 septembre 2009, accepté le 28 août 2010.

Vincent Pilloni, Institut Élie Cartan, Université Henri Poincaré, B.P. 239, F-54506 Vandœuvre-les-Nancy Cedex, France

Classification mathématique par sujets (2010). — 11 F 46, 11 G 18.

Mots clefs. — Formes modulairesp-adiques, variétés de Siegel.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2012/335/$ 5.00

©Société Mathématique de France

Hida en des poids dominants. Ces résultats sont utilisés dans [17] pour montrer la classicité de certaines spécialisations en genre2.

Nous avons également travaillé avec des structures de niveau plus générales que dans [7], de façon à faciliter les applications arithmétiques de la théorie.

Nous avons de plus inclus un théorème de contrôle horizontal, corollaire facile des techniques développées ici. Nous utilisons ce dernier résultat pour construire des systèmes de Taylor-Wiles dans un autre travail [18].

Enfin, dans l’appendice, nous nous sommes intéressé aux opérateurs T_p et Up. Nous démontrons de façon géométrique un certains nombre de propriétés fondamentales de ces opérateurs qui sont utilisées dans le texte.

Nous allons maintenant énoncer les résultats principaux pour une structure de niveau principal.

SoitGL_g le groupe algébrique des matricesg×g inversibles. SoitBle sous- groupe de Borel triangulaire supérieur,B⁰le sous-groupe triangulaire inférieur, Tle tore des matrices diagonales etX(T) son groupe de caractères. SoitQun parabolique standard de GL_g, triangulaire supérieur par blocs et soit Q⁰ le parabolique opposé, triangulaire inférieur par bloc. Soit MQ le sous-groupe de Levi, intersection de Q et Q⁰. Notons X(MQ) = X(Q) = X(Q⁰) ⊂ X(T) le groupe des caractères de Q, Q⁰ et M_Q. C’est un groupe libre de rang r, le nombre de blocs diagonaux de MQ. Fixons un isomorphisme de Z^r avec X(MQ) en associant à unr-uplet (k₁^Q, . . . , k^Q_r) le caractère Qr

i=1det^k

Q i

i où on a posédet_i pour le déterminant du i-ème bloc diagonal en partant du bas. On note SQ(resp. SQ⁰) le sous-groupe de Q (resp.Q⁰), intersection des noyaux des caractères deX(Q). Le quotientQ/SQest un tore de caractèreX(Q), noté T_Q. On noteX(T)⁺ le cône des poids dominants par rapport au sous-groupe de Borel inférieur et X(TQ)⁺ = X(T)⁺ ∩X(TQ) l’ensemble des caractères dominants de X(TQ). Avec notre identification, X(TQ)⁺ est l’ensemble des r-uplets(k^Q₁, . . . , k_r^Q)vérifiant lesr−1inégalitésk₁^Q≥ · · · ≥k^Q_r. Un caractère dominant est dit Q-régulier si les inégalités sont strictes : k₁^Q > · · · > k_r^Q. On dit que le caractère est Q-très régulier si de plus k^Q_r 0 (Cette dernière terminologie, classique mais un peu ambiguë, est précisée dans la partie2).

On dispose d’une involution deX(T),

κ= (k1, . . . , kg)7→κ⁰= (−kg, . . . ,−k1).

Cette involution respecte le cône dominantX(T)⁺. Soitω0la matrice antidia- gonale de coefficients non nuls égaux à1. NotonsP =ω₀ ^tQω₀le parabolique déduit de Q par conjuguaison par ω0 et transposition. L’involution κ 7→ κ⁰ échangeX(TP)avecX(TQ).

Soit pun nombre premier etΓQ le pro-psous-groupe maximal deTQ(Zp).

SoitZp[[T_Q(Zp)]]etΛ_Q=Zp[[Γ_Q]]les algèbres de groupe complétées.

o

Soit X¯ une compactification toroïdale de l’espace de modules sur Zp des schémas abéliens principalement polarisés, munis d’une structure de niveauN principale avec N ≥3 et (N, p) = 1 ([3], chap III). Soit

S

∞ le lieu ordinaire de X,¯

T

∞ →

S

_∞ la tour d’Igusa, qui est un pro-revêtement étale galoisien de groupe GLg(Zp),

T

∞,1 le revêtement fini étale de

S

∞, premier cran de la tour d’Igusa et

T

∞,1/Ple quotient de

T

∞,1parP(Z/pZ). L’algèbre des formes modulairesp-adiques pour le paraboliquePest l’algèbre des fonctions régulières sur

T

∞, invariantes par le groupe SP(Zp); on la note V_∞^SP. On désigne par V_cusp,∞^SP son idéal cuspidal. Pour tout poidsκ∈X(T_Q),V_∞^SP[−κ⁰]est le module des formes p-adiques pour le paraboliqueP, de poidsκet V_cusp,∞^SP [−κ⁰] est le sous-module des formes cuspidales. Notonsω^κle faisceau modulaire de poidsκ surX¯. C’est un faisceau localement libre de

O

X^¯-modules et ses sections globales forment le moduleM(κ,ΓN,Z^p)des formes modulaires de Siegel de niveauN, poidsκ, à coefficients dansZp. On noteS(κ,ΓN,Zp)le sous-module des formes cuspidales.

Le théorème suivant est dû à Hida [7] lorsqueP = Qest le sous-groupe de Borel.

Théorème 1.1 (contrôle vertical). — 1. Pour tout poids κ ∈ X(TQ), il existe un plongement naturel :

Θ^?_P: M(κ,ΓN,Zp),→V_∞^SP[−κ⁰]

2. Il existe un projecteur deP-ordinaritée_P (voir def.5.1), agissant sur V_∞^SP et H⁰(

T

∞,1/P, ω^κ).

3. Pour tout caractèreκ∈X(TQ), leZp-moduleePV_cusp,∞^SP [−κ⁰]est libre de rang fini.

4. Pour tout poids dominant κ∈X(TQ), on a un isomorphisme : ePV_∞^SP[−κ⁰]'ePH⁰(

T

∞,1/P, ω^κ)

5. Si le poids κestQ-régulier,

e_PH⁰(

T

∞,1/P, ω^κ) =e_PH⁰(

S

_∞^{, ωκ)}

6. Si le poidsκestQ-très régulier, l’applicationΘ^?_Pinduit un isomorphisme, ePS(κ,ΓN,Zp)'ePV_cusp,∞^SP [−κ⁰]

7. Il existe unZ^p[[TQ(Z^p)]]-module

V

^ord-P,?cusp qui est libre de rang fini comme ΛQ-module et tel que pour tout poidsκ∈X(TQ),

V

^ord-P,?cusp ⊗_Zp[[T_Q(Zp)]],κZp= Hom(e_PV_cusp,∞^SP [−κ⁰],Zp)

8. Lorsque P = Q = GLg, les points 6 et 7 valent aussi sans supposer les formes cuspidales.

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Remarques 1.1. — 1. Pour tout sous-groupe parabolique standard P de GLg, de sous-groupe de Levi constitué derblocs diagonaux, le projecteur e_P est en fait construit à l’aide de r projecteurs associés àr opérateurs de Hecke différents. Cet entierrest la dimension relative surSpecZp de l’espace des poidsSpec ΛQ. Il y a donc une coïncidence entre le nombre de conditions de contrôle définissant le module des formes modulaires p-adiquesP-ordinaires et la dimension relative de l’espace des poids.

2. Le projecteur tient compte de la complexité des représentations algé- briques du groupe GL_g, induites des caractères deX(P), qui fabriquent les faisceaux modulairesω^κ dont les formes modulaires sont les sections.

Les caractères de GLg, c’est-à-dire les puissances du déterminant, sont les représentations les plus simples du groupe GL_g. Il suffit, dans ce cas des poids « parallèles », d’un seul opérateur de Hecke pour construire le projecteur deGLg-ordinarité. Il y a donc une seule condition de contrôle définissant le module des formes modulairesp-adiquesGL_g-ordinaires.

3. Certains revêtements du lieu ordinaire

S

_∞ jouent des rôles particuliers.

Sans l’hypothèse deQ-régularité, les formes modulairesp-adiques de poids dominant ne proviennent pas de sections du faisceau modulaire ω^κ sur le lieu ordinaire

S

_∞, mais plutôt de sections définies sur un revêtement

T

∞,1/Pde celui-ci (voir le point 4 du théorème). Ceci doit donc amener les travaux à venir, notamment sur la théorie des formes modulaires sur- convergentes pour le groupeGSp_2g, à considérer ces revêtements plutôt qu’à se restreindre à travailler au niveau de

S

∞. Dans l’appendice, nous démontrons (thm.A.3) que les éléments du moduleePH⁰_cusp(

T

∞,1/P, ω^κ) surconvergent dans la variété de Siegel de niveau parahoriqueP.

4. Il est difficile de préciser le point 6 du théorème et de déterminer exactement à quelle condition sur le poids on a un isomorphisme e_PS(κ,Γ_N,Zp) ' e_PV_cusp,∞^SP [−κ⁰]. Lorsque g = 1, cette question est résolue dans [6]. Lorsque g ≥ 2, le travail de Mokrane et Tilouine [14]

répond à cette question sous certaines hypothèses et dans certains cas particuliers. Lorsqueg= 2, nous donnons un critère général dans [17].

Le théorème de contrôle permet de construire des familles de Hida de formes modulaires p-adiques, P-ordinaires, cuspidales. Soit

H

^{N p l’al-}

gèbre de Hecke sphérique de niveau premier à N p. On montre qu’elle agit Zp[[T_Q(Zp)]]-linéairement sur le module

V

^ord-P,?cusp . LaZp[[T_Q(Zp)]]-sous-algèbre deEnd_Zp[[TQ(Zp)]]

V

^ord-P,?cusp

engendrée par l’image de

H

^{N p est notée}T^ord-P. Théorème 1.2. — Pour toute composante irréductible C de Spec T^ord-P, la projection f : Spec T^ord-P → Spec Zp[[TQ(Zp)]] induit un morphisme fini et surjectif C→Spec Λ_Q.

o

Le morphisme C →Spec ΛQ est une famille de Hida. Ses points à valeur dans les extensions finies deQpcorrespondent à des systèmes de valeurs propres de formes modulairesp-adiques,P-ordinaires, cuspidales.

Nous allons maintenant donner les grandes lignes du travail.

Après avoir fixé quelques notations, nous étudions dans la partie3les repré- sentations du groupe GLg.

Soit A une Zp-algèbre plate, complète pour la toplogie p-adique et K = A[1/p]. Pour tout parabolique standardPdeGLget tout caractèreκ∈X(TP)⁺ vu comme un caractère de P⁰, nous définissons l’induite algébrique RA[κ] de P⁰ à GL_g (3.1.1) ; de même, pour tout caractère continuκ du groupe de Lie p-adique TP(Z^p) étendu à P(Z^p), nous définissons des induites toplogiques

F

^PA[κ] de P(Zp) à GL_g(Zp), notées

F

^PA[κ] (3.1.2). Le paramètre d’induction des induites topologiques est un caractère continu du groupe de Lie p-adique TP(Zp), tandis que le paramètre d’induction des induites algébriques est un ca- ractère algébrique de T_P. L’application naturelle tordue par l’automorphisme extérieur deGL_g,

GLg(Z^p)

t( )⁻¹

,→ GLg/Z^p

permet de plonger les induites algébriques dans la famille continue des induites topologiques. Nous tentons ensuite de comparer RA[κ] et

F

^PA[−κ] pour un caractère algébriqueκ. Lorsque le parabolique est trivial et vautGLg, ces deux espaces sont isomorphes : toute fonction homogène de poids κ ∈ Z sur Z^×p

est algébrique ! En générale, l’induite topologique est beaucoup plus grosse que l’induite algébrique. Nous introduisons alors des projecteurs e^top_P et e^alg_P sur les induites (3.2). Ces projecteurs ne commutent pas à l’action du groupe, ils commutent seulement à l’action des toresT_PetT_P(Zp)et ils ont pour effet de ramener l’étude des fonctions surGLg ouGLg(Zp), induites d’un caractère de P⁰ouP(Zp), à celle des fonctions sur les toresTPet TP(Zp). Lorsque le poids est dominant, e^alg_P projette l’induite algébrique sur un espace de dimension 1.

De même, lorsque le poids estP-régulier,e^top_P projette l’induite topologique sur un espace de dimension1.

Après ces préliminaires sur les représentations du groupe GLg, nous intro- duisons, dans la partie 4, le module des formes modulaires et le module des formes modulaires p-adiques. On peut comparer ces deux espaces. La compa- raison repose sur le fait suivant : si

O

est l’anneau des entiers d’une extension finie de Qp et

A

^→Spec

O

est un schéma abélien ordinaire de section unité e, une trivialisation de la partie connexe

A

^[p∞]0 du groupe de Barsotti-Tate associé à

A

induit une trivialisation du faisceau conormale^?Ω¹_A/Ovia l’applica- tion de Hodge-Tate. Ceci permet de plonger, sur le lieu ordinaire, les fonctions sur leGL_g-torseur des trivialisations du faisceau conormal dans l’ensemble des

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fonctions sur leGLg(Zp)-torseur d’Igusa. On obtient alors naturellement, pour tout poidsκ∈X(TQ), une suite de morphismes (4.2.1) :

H⁰( ¯X, ω^κ),→ⁱ¹ H⁰(

S

∞, ω^κ),→ⁱ² V_∞^SP[−κ⁰].

L’application i1 est simplement une restriction, l’application i2 est locale- ment le plongement de l’induite algébrique dans l’induite topologique.

L’avantage du moduleV_∞^SP est de « mettre ensemble » des formes de poids variables et de permettre l’étude des congruences entre formes de poids diffé- rents. Mais c’est un espace gigantesque. Nous allons le projeter, suivant l’idée désormais classique de Hida, sur un sous-module sur lequel, pour un ensemble Zariski-dense de poids, l’application i2◦i1est un isomorphisme.

Nous définissons donc, au numéro 5, le projecteur de P-ordinarité. Il joue un double rôle. Localement sur

S

∞, il agit sur V_∞^SP[−κ⁰] et sur H⁰(

S

∞, ω^κ) comme les projecteurs e^alg_P et e^top_P étudiés dans la partie 3. Il sélectionne des vecteurs algébriques dans l’induite topologiqueV_∞^SP[−κ⁰]. Précisément, lorsque le poids est Q-régulier, on montre que i2 devient un isomorphisme après la projection. D’autre part, le projecteur contrôle l’obstruction au prolongement des formes définies sur le lieu ordinaire en des formes définies partout (il contrôle l’ordre des pôles sur le complémentaire du lieu ordinaire). Lorsque le poids est Q-très régulier (et les formes sont de plus cuspidales lorsque Q 6= GLg), i1

devient un isomorphisme après la projection. La vérification des propriétés du projecteur (5.2) est assez délicate. Pour montrer quei₁réalise un isomorphisme sur la partie P-ordinaire lorsque le poids estQ-très régulier, nous utilisons les résultats de l’appendice (thm.A.1).

Le numéro 6 résout un certain nombre de difficultés techniques liées au problème du relèvement des formes modulaires et des formes p-adiques, de la caractéristique pvers la caractéristique zéro (6.1). La condition de cuspidalité est cruciale dans le cas des poids non parallèles. Il existe une obstruction à l’existence d’une bonne théorie pour des poids non parallèles et des formes non cuspidales.

Dans la partie7, nous établissons le théorème de contrôle vertical (thm.7.1 et 7.2). On en déduit ensuite l’existence des familles de Hida (thm.8.1).

La dernière partie est dédiée au théorème de contrôle horizontal (thm. 9.1) qui est utilisé dans [18].

Dans l’appendice, on démontre des théorèmes de finitude pour la partie U_p-ordinaire des modulesH⁰_cusp(

S

∞, ω^κ). On montre la surconvergence des élé- mentsUp-ordinaires cuspidaux et on établit que des sectionUp-ordinaires, cus- pidales, pour un poidsκ= (k1, . . . , kg)aveckg0sont des formes modulaires de Siegel classiques (thm.A.1, thm.A.3).

o

Remerciements. — Je tiens à remercier Jacques Tilouine pour ses conseils et ses encouragements tout au long de l’élaboration de ce travail.

2. Notations

Soit g un entier supérieur ou égal à 2. Soit GLg le groupe linéaire de di- mension gsurZ qu’on réalise comme le groupe des matricesg×ginversibles, SL_g⊂GL_gle groupe spécial,B⊂GL_gle sous-groupe de Borel triangulaire su- périeur etB⁰ le Borel opposé des matrices triangulaires inférieures. On notera

t: GLg→GLg la transposition qui échange Bet B⁰.

SoitT = B∩B⁰le tore maximal associé etU(resp.U⁰) le radical unipotent deB(resp.B⁰). On noteX(T)le groupe des caractères deTetX(T)⁺le cône des poids dominants par rapport àB⁰. On identifieX(T) àZ^g en associant à tout g-uplets (k1, k2, . . . , kg)le caractère diag(tg, t_g−1, . . . , t1) 7→Q

it^k_iⁱ. Avec cette convention X(T)⁺ est l’ensemble des g-uplets (k1, k2, . . . , kg) tels que k₁ ≥k₂ ≥ · · · ≥k_g. On a une involutionκ7→κ⁰ qui à (k₁, k₂, . . . , k_g)associe (−k_g,−k_g−1, . . . ,−k₁)et qui respecte le cône dominant.

Soit (n₁, . . . , n_r)des entiers strictements positifs tels quePr

i=1n_i =g. On pose, pour 1 ≤ l ≤r, N_l = Pl

i=1n_i. Soit P le parabolique standard de GL_g des matrices triangulaires supérieures par blocs associé aux entiers(n_i)_1≤i≤r,

P =n

M ∈GL_g, M = à

Mr

. ..

? ?

0 Mi

. ..

?

0 0 M1

í

, M_i∈GL_nio

et aussiSP le sous-groupe spécial dePdéfini par

SP =n

M ∈GLg, M = à

M_r . ..

? ?

0 M_i . ..

?

0 0 M1

í

, Mi∈SLn_i

o .

Le quotientT_P= P/SP est un tore de dimensionrappelé parfois cocentre de P. On notera aussiSP⁰⊂P⁰ le parabolique opposé et son sous-groupe spécial.

Soit X(P⁰) = X(P) = X(TP) le groupe des caractères de P⁰, P et TP. C’est un groupe libre de rang r qu’on identifie à Z^r en associant au r-uplet (k^P₁, . . . , k_r^P)le caractèreM 7→Qr

i=1(detM_i)^kiP.

Le plongement naturel X(T_P) ,→ X(T) est donné, avec nos identifica- tions, par l’applicationZ^r,→Z^gqui aur-uplet(k₁^P, . . . , k_r^P)associe leg-uplets (k1, . . . , kg)défini park1 =· · ·=kn₁ =k₁^P, kn₁+1 =· · ·=kn₁+n₂ =k₂^P, . . .. SoitX(T_P)⁺=X(T_P)∩X(T)⁺ le cône des caractères dominants.

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Pour tout parabolique standard P, on dit qu’un poids κ = (k^P₁, . . . , k^P_r) ∈ X(TP)est P-régulier si k₁^P> k₂^P>· · ·> k_r^P. Un tel poids est donc dominant.

On noteX(T_P)⁺⁺ le cône des caractèresP-réguliers. Pour tout entiert∈Z, on notet∈Z^gleg-uplet parallèle de valeurt. Pour tout poidsP-régulierκ, soit la droiteDκ={κ+t, t∈Z} ⊂X(TP)⁺⁺. On suppose donné, pour chaque droite D_κ, un entier N(D_κ) induisant une demi-droite D⁺_κ = {κ+t, t ≥ N(D_κ)}.

On dit alors qu’un poids P-régulier κest P-très régulier si κ ∈D⁺_κ. Lorsque nous utiliserons cette notion, les entiers N(Dκ) seront non explicites et sous- entendus. On abrègera fréquemment en disant qu’un poidsκestP-très régulier si il est régulier et de plusk^P_r 0.

Soit ω0 ∈ GLg(Z) la matrice antidiagonale de coefficients non nuls égaux à 1. Si P est un parabolique standard de GL_g associé aux entiers (n_i)_1≤i≤r, ω0.^tP.ω0 = Q est le parabolique standard de GLg associé aux entiers (nr+1−i)1≤i≤r. L’involution ⁰ : X(T) → X(T) échange X(TP) et X(TQ), X(T_P)⁺ etX(T_Q)⁺ ainsi queX(T_P)⁺⁺ etX(T_Q)⁺⁺.

On note

W

le groupe de Weyl deGLg et pour tout parabolique standardP, de sous-groupe de Levi standard M, soit

W

M⊂

W

le groupe de Weyl deM.

On note G = GSp_2g =n

X ∈GL_2g, ^tXJ X=ν.Jo

avecJ = 0 ω0

−ω0 0

! et ν ∈Gm.

SoitB_G le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures, T_G le tore maximal standard contenu dans BG et UG le radical unipotent.

On dispose d’un plongement de GLg ,→ G qui envoie A ∈ GLg sur

A 0

0 ω₀ ^tA⁻¹ω₀

! .

On introduit le parabolique de Siegel, S = n A ? 0 ν.ω0tA⁻¹ω0

!

∈ G; A ∈ GL_g, ν∈Gm

o .

Pour tout parabolique standard Pde GLg on peut également considérer le parabolique

S_P=n A ? 0 ν.ω0tA⁻¹ω0

!

∈G; A∈P, ν∈Gm

o

et son sous-groupeSSP=n A ? 0 ν.ω0 tA⁻¹ω0

!

∈G; A∈SP, ν∈Gm

o .

o

On introduit aussi le parabolique de Klingen K =n

Ö? ? ? 0A ? 0 0 ?

è

∈ G; A ∈

GSp_2(g−1)o

et son sous-groupe, dit parabolique de Klingen strict :

K⁺=n

Ö1 ? ? 0A ? 0 0 ?

è

∈G; A∈GSp_2(g−1)o .

2.0.0.1. Convention. — Pour tout groupe H et tout module M muni d’une action deH, nous notonsM^H le sous-module des invariants sousH. Siκest un caractère deH, nous notonsM[κ]le sous-module deM des élémentsκ-variants sous l’action deH.

SiH est un groupe algébrique etAun anneau tel queH(A)agit surM, on notera M^H =M^H(A) si cela ne prête pas à confusion. De même si Z est un schéma équipé d’une action de H(A)et si le quotient géométrique Z/(H(A)) existe, on le notera parfoisZ/H.

3. Représentations deGLg

3.1. Induction

3.1.1. Induction algébrique. — Soit A un anneau commutatif. On définit le A-module :

RA={f : GLg/A→A¹/A, f(gu) =f(g)∀u∈U⁰}.

Le groupeT agit par translation à droite surGLg et induit une action sur RA. On a la décomposition :

RA=⊕_κ∈X(T)+RA[κ]

où R_A[κ] = {f : GL_g/_A → A¹/_A , f(gu) = f(g) ∀u ∈ U⁰ et f(gt) = κ(t)f(g)∀t∈ T}. Ces modules sont libres de rang fini surA.

Si on fait agir GLg à gauche sur RA[κ] parg.f =f(g⁻¹ .) on trouve que R_A[κ]^U est la droite de poidsκ⁻¹ et queR_A[κ]^U0 est la droite de poidsκ⁰ qui est un élément deX(T)⁺.

Pour toutκ, on dispose de formes linéairesB⁰-équivariante :

`can:RA[κ]→A(κ⁻¹) f 7→f(1)

oùB⁰ agit surRA par l’action précédente, induite par la translation à gauche surGL_g, et surAviaκ⁻¹.

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Soit P un parabolique standard de GLg associé à des entiers (ni)_1≤i≤r. L’induite

R^P_A=

f : GLg/A→A¹/A , f(gu) =f(g)∀u∈SP⁰

est un sous-module deR_A. L’action du toreT(induite par translation à droite surGLg) surRArespecte le sous-moduleR^P_A. L’action deTsurR_A^Pse factorise parTP.

Si κ ∈ X(TP)⁺, on a en fait RA[κ] =

f : GLg/A → A¹/A , f(gp) = κ(p)f(g)∀p∈ P⁰ et donc

R^P_A=⊕_κ∈X(TP)+RA[κ].

On a une application de restriction TP-équivariante : res :R^P_A→Hom(P⁰/SP⁰,A¹)

f 7→f|P⁰

NotonsR_A⁰ le noyau de l’applicationres. Pour tout poidsκ∈X(TP)⁺, l’appli- cationres :RA[κ]→A.κest surjective. On dispose alors d’une suite exacte de T_P-modules :

0→R⁰_A[κ]→R_A[κ]→A.κ→0

Remarque 3.1. — Dans la notation de Jantzen ([9], I 3.3) RA[κ] = Ind^GL_B0^gκ⁻¹ etκ⁻¹ est dominant par rapport àB.

3.1.2. Induction topologique. — SoitAuneZp-algèbre plate, complète pour la topologie p-adique etK=A[1/p]. Soit Pun parabolique standard de GLg et κ∈X(TP)un caractère. Notons

F

^PK[κ]leK-module des fonctions continuesf : GLg(Qp)→Ktelles quef(gp) =κ(p)f(g)pour toutg∈G(Qp)etp∈P(Qp).

Remarquons qu’une fonction f ∈

F

^PK[κ] est déterminée par sa restriction à GLg(Zp)et que toute fonction continuef : GLg(Zp)→K vérifiant l’équation fonctionnellef(gp) =κ(p)f(g)pour toutg∈GL_g(Zp)etp∈P(Zp)se prolonge uniquement en un élément de

F

^PK[κ]. Soit

F

^PA[κ]le sous A-module de

F

^PK[κ]

des fonctions f : GL_g(Zp) → A qui vérifient f(gp) = κ(p)f(g) pour tout g∈GLg(Zp)etp∈P(Zp).

On note

res :

F

^PK[κ]→K.κ

la restriction des fonctions àPet on note

F

^P,0K [κ]le noyau de l’applicationres.

On note aussi

F

^P,0A =

F

^P,0K [κ]∩

F

^PA[κ]. On dispose donc d’une suite exacte de TP(Z^p)-modules :

0→

F

^P,0A [κ]→

F

^PA[κ]→A.κ→0.

On a un plongement naturel de schémas en groupeGLg(Zp),→GLg/Zp. Pour des raisons qui apparaîtrons claires par la suite, on est amené à tordre cette

o

injection par l’automorphisme extérieur ^t( )⁻¹ de GLg. On a une application injective

i:R_K[κ]→

F

^PK[−κ]

f 7→[GL_g(Qp)

t( )⁻¹

,→ GL_g(K)→^f A¹(K)].

On noteR˜A[κ] =i⁻¹(

F

^PA[−κ]), c’est un réseau deRK[κ]contenantRA[κ]. On a enfin un diagramme commutatif

0 //R⁰_A[κ] //

R_A[κ] ^res //

i

A.κ //

0

0 //

F

^P,0A [−κ] //

F

^PA[−κ] ^res //A.κ⁻¹ //0

3.2. Projecteur d’ordinarité. — Pour j = 0, . . . , g −1, nous posons αj = 1_g−j 0

0 p.1j

!

∈GLg(Qp). Notons T⁺(Qp)le sous-monoïde deT(Qp)engendré par les matrices {αj, j = 0, . . . , g−1}. Soit P un parabolique standard de GLg et κ∈X(TP) un caractère. SoitA une Zp algèbre plate, complète pour la topologie p-adique et K = A[1/p]. Pour tout α ∈ T⁺(Qp), définissons les opérateurs :

t^alg(α) :R_K[κ]→R_K[κ]

f 7→f(α⁻¹ . α) t^top(α) :

F

^PK[−κ]→

F

^PK[−κ]

f 7→f(α . α⁻¹)

Les opérateurst^alg(α)ett^top(α)sont compatibles avec le morphismeRK[κ]→

F

^PK[−κ]. Lorsque le contexte est clair, on note seulementt(α)au lieu det^top(α) out^alg(α).

Proposition 3.1. — Supposons que κ ∈ X(TP)⁺. L’ opérateur t^alg(α) sta- bilise le réseau R˜A[κ] de RK[κ]. L’opérateur t^top(α) stabilise le sous-module

F

^PA[−κ]de

F

^PK[−κ].

Démonstration. — Il suffit de vérifier cet énoncé pour les opérateurst(αj) =tj. Rappelons la décomposition d’Iwahori :

GLg(Z^p) = a

w∈W

IwU⁰(Z^p)

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où I est le groupe d’Iwahori des matrices triangulaires supérieures modulo p.

Soiti.wun élément deGLg(Zp) mod U⁰(Zp)etf ∈R˜A[κ], on a donc tjf(i.w) =f(α⁻¹_j .i.w.αj) =f(α⁻¹_j .i.αj.w.w⁻¹.α⁻¹_j .w.αj)

=f(α⁻¹_j .i.αj.w)κ(w⁻¹.α_j⁻¹.w.αj) Orα⁻¹_j .i.αj.w∈GLg(Zp)et comme on a supposéκ∈X(T)⁺,κ(w⁻¹.α⁻¹_j .w.αj)∈Zp.

Le même argument montre la stabilité de

F

^PA[−κ].

Remarque 3.2. — Le réseau RA[κ] n’est en général pas stable sous les opé- rateurst^alg(α). Ceci est à la source de quelques complications.

Si Pest le parabolique standard deGLg associé aur-uplet(n1, . . . , nr), on rappelle qu’on a posé Nj = Pj

i=1ni. Soit αP = Qr−1

j=1αN_j. Définissons les projecteure^alg_P = lim_n→∞t^alg(α_P)^n! ete^top_P = lim_n→∞t^top(α_P)^n!.

Proposition 3.2. — Pour tout poids κ∈X(TP)⁺, on a des isomorphismes deT_P-modules :

e^alg_P .R_K[κ] ^' //K.κ

e^alg_P .R_A[κ] ^' //

OO

A.κ

OO

Démonstration. — La restriction à la grosse celluleP.P⁰est injective. Comme α⁻¹_P . α_P contracte P dans le parabolique opposé P⁰, toute fonction f ∈ eP.R⁰_K[κ]est nulle.

Remarque 3.3. — On a en fait e^alg_P .RA[κ] =e^alg_P .R˜A[κ].

Proposition 3.3. — Pour tout poidsκ∈X(T_P)⁺⁺, on a des isomorphismes e^top_P .

F

^PK[−κ] ^' //K.κ⁻¹

e^top_P .

F

^PA[−κ] ^' //

OO

A.κ⁻¹

OO

L’applicationR_A[κ]→

F

^PA[−κ]induit donc un isomorphisme e^alg_P .RA[κ] ˜→e^top_P .

F

^PA[−κ].

o

Démonstration. — Soit I_P0 le sous-groupe parahorique des matrices M ∈ GLg(Zp)dont la réduction modulopappartient àP⁰(Fp). On a la décomposi- tion :

GL_g(Zp) = a

w∈W^/WM

I_P0wSP(Zp).

On va montrer que pour tout g ∈ GLg(Zp) et tout f ∈

F

^P,0A [−κ], il existe N ∈ N tel que t(α_P)^Nf(g) ∈ pA. Ceci entraînera bien la nullité du module e_P.

F

^P,0A [κ].

Soitf ∈

F

^P,0A [κ]etg∈GLg(Z^p). On ag=i.w.paveci∈I_P0,w∈

W

^/

W

M

et p∈P(Zp).

Si w6= 1, on a

t(αP)f(i.w) =f(αP.i.w.α⁻¹_P )

=f(α_P.i.α⁻¹_P .w.w⁻¹.α_P.w.α⁻¹_P )

=f(αP.i.α⁻¹_P .w)κ⁻¹(w⁻¹.αP.w.α⁻¹_P )

On a bien α_P.i.α⁻¹_P .w ∈ GL_g(Zp) et κ⁻¹(w⁻¹.α_P.w.α⁻¹_P ) ∈ pZp grâce à l’hypothèseκ∈X(TP)⁺⁺.

Reste le cas oùw= 1. Sig∈P⁰(Zp)P(Zp), e^top_P f(g) = 0car la conjugaison αP. α⁻¹_P contracteP⁰(Zp)P(Zp)dansP(Zp)et la fonctionfest nulle surP(Zp).

Si g∈I_P0 \ P⁰(Zp), il existen∈Ntel queαⁿ_Pgα⁻ⁿ_P ∈GLg(Zp)\I_P0(Zp)et on est ramené au cas oùw6= 1.

On peut également considérer l’action décalée par un élémentw∈

W

^,

t^w(α) :RK[κ]→RK[κ]

f 7→f(α⁻¹w . α)

Lemme 3.1. — Si le poids κ est P-régulier et w /∈

W

M, pour toute fonction f ∈RA[κ],

t^w(αP)◦eP.f ∈pR˜A[κ]

Démonstration. — Comme la grosse cellule B.U⁰ est dense et α⁻¹_P . αP

contracte B dans le parabolique P⁰, il suffit de montrer que t^w(α_P)f(g) ∈ pA lorsque g ∈ P⁰. Or on a t^w(αP)f(g) = f(w.w⁻¹.α⁻¹_P .w.g.αP) = κ(w⁻¹.α⁻¹_P .w.αP)f(w.g). Commeκest régulier,κ(w⁻¹.α⁻¹_P .w.αP)∈pZp.

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4. Formes modulaires de Siegel 4.1. Généralités

4.1.1. Formes modulaires arithmétiques. — Soit N un entier positif ,

N

^un

sous-groupe deG(Z/N). Notons

Γ_N ={g∈G(Z), gmodZ/N ∈

N

^}

le sous-groupe de congruence de niveau

N

^deG(Z). SoitAuneZ[1/N]-algèbre.

Considérons les foncteurs :

X:A-ALG−→ENS

R {(

A

^{, λ, ψ}N)/_R}/isom

T

^{:A-ALG−→ENS}

R {(

A

^{, λ, ψ}N, ω)/R}/isom où

–

A

^{→Spec R}est un schéma abélien de dimension gsur SpecR de section unité e.

– λest une polarisation principale.

– ψ_N est une structure de niveau

N

. C’est une section de l’espace homogène sousG(Z/N)/

N

^,

Isom(

A

^[N],(Z/NZ)^2g)/

N

oùIsom(

A

^[N],(Z/NZ)^2g)est le torseur des isomorphismes symplectiques à un facteur de similitude près.

– ω : R^g→e˜ ^?Ω¹_A/R est une trivialisation du faisceau conormal relatif à la section unité.

On dispose du morphisme d’« oubli deω» : Π :

T

^→X.

Le groupe GLg/A agit à gauche sur le foncteur

T

^{: si g ∈ GL}g(R) et (

A

^{, λ, ψ}N, ω) ∈

F

(R), on pose g.(

A

^{, λ, ψ}N, ω) = (

A

^{, λ, ψ}N, ω◦ g⁻¹); cette action fait de

T

^unGLg-torseur au dessus deX.

On définit les formes modulaires de Siegel arithmétiques comme suit.

Définition 4.1. — Une forme modulaire de Siegel F, de dimension g, ni- veau Γ_N, poids κ, à coefficients dans A est une loi qui à tout quintuplet (R,

A

^{, λ, ψ}N, ω), avec R ∈ Ob(A−alg) et (

A

^{, λ, ψ}N, ω) ∈

T

(R), associe un élément de Rnoté F(R,

A

^{, λ, ψ}N, ω)et qui vérifie les propriétés suivantes :

o

– Fonctorialité : SoitR→^r R⁰ un morphisme deA-algèbres. Pour tout dia- gramme cartésien

(

A

^{0, λ0, ψ0}_N^{, ω0)→(}

A

^{, λ, ψ}N, ω)

↓ ↓

SpecR⁰ → Spec R on a r(F(

A

^{, λ, ψ}N, ω)) =F(

A

^{0, λ0, ψ0}_N^{, ω0).}

– Équation fonctionnelle :

∀t∈T(R),∀u∈U⁰(R), F(R,

A

^{, λ, ψ}N, ω◦tu) =κ⁰(t).F(R,

A

^{, λ, ψ}N, ω).

On noteM(κ,Γ_N, A)leA-module des formes modulaires de Siegel de niveau Γ_N, poidsκ, à coefficients dansA.

On suppose dans toute la suite de ce travail queΓ_N est net.

C’est par exemple le cas si

N

^{={1}etN ≥}3. Cette hypothèse sera utilisée de façon cruciale au numéro 6. Les foncteurs

T

^etX sont alors représentables par des A-schémas encore notés

T

^etX ([3], chap. I).

Choisissons une compactification toroïdale X¯ du schéma X ([3], IV. 6, th.

6.7). Le schéma abélien universel

A

^→X s’ étend en un schéma semi-abélien

A

^{→X. Soit¯ e: ¯X→}

A

sa section unité.

On prolonge alors

T

^{en unGL}g-torseur au-dessus de X¯ en posant :

¯

T

^{= Isom(}

O

^gX¯, e^?Ω¹_A/X¯).

Le groupeGLg agit sur

O

^¯_T a gauche par g.f(

A

^{, ω) =f(}

A

^{, ω◦}g). Le faisceau Π?

O

^¯_T/U⁰ sur X¯ est muni d’une action deT. Pour tout κ∈ X(T), on définit le faisceau ω^κ = Π?

O

^¯_T/U⁰[κ⁰] en prenant les κ⁰-variants. On trouve alors que M(κ,Γ_N, A) = H⁰(X, ω^κ).

Le principe de Koecher ([3], V.1, prop. 1.5 ) entraîne : H⁰( ¯X, ω^κ) = H⁰(X, ω^κ).

On dit queF∈M(κ,Γ_N, A)est cuspidale si elle s’annule le long deX¯\X. Cette définition ne dépend pas du choix de X. On note¯ S(κ,Γ_N, A) ⊂M(κ,Γ_N, A) le sous-A-module des formes cuspidales.

Remarque 4.1. — Si g = 2et κ= (k1, k2)est dominant(k1≥k2), considé- rons la représentation sym^k1−k2St⊗_Zdet^k2 du groupe GL₂/_Z, oùsym est vu comme quotient du produit tensoriel. C’est une représentation de plus haut poidsκ. Soit par ailleurs la représentationR_Z[κ⁰]défini au numéro3.1.1. C’est aussi une représentation de plus haut poidsκ. Par réciprocité de Frobenius, on a une application

sym^k1−k2St⊗det^k2→R_Z[κ⁰]

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

et on vérifie facilement que cette application est un isomorphisme. Un tel iso- morphisme induit alors un isomorphisme

ω^κ'sym^k1−k2e^?Ω¹_A/X¯ ⊗det^k2e^?Ω¹_A/X¯.

En effet, au dessus de ¯

T

on dispose d’une trivialisation

O

^2¯_T ^{'ω e?Ω1}_A/X¯. SoitU un ouvert deX¯. Une section desym^k1−k2e^?Ω¹

A^/X¯⊗det^k2e^?Ω¹

A^/X¯surU×X¯¯

T

^est

une loi fonctorielleF qui à tout point(

A

^{/R, ω)}à valeur dansU×X¯

T

¯ ^associe un vecteur dans la représentation deGL₂/R:sym^k1−k2St⊗det^k2et qui satisfait l’équation fonctionnelle (condition de descente àU) :F(A, ω◦g⁻¹) =g.F(A, ω).

On dispose par ailleurs d’un isomorphismesym^k1−k2St⊗det^k2 'R_Z[κ⁰]et on peut alors voirFcomme une loi fonctorielle qui à(

A

^{/R, ω)}associe une fonction sur GL2 telle que∀g∈GL2 , ∀b∈B⁰, F(

A

/R, ω)(gb) = κ⁰(b)F(

A

^{/R, ω)(g)}

et qui vérifie de plus l’équation fonctionnelle F(A, ω◦g⁻¹) = g.F(A, ω). On vérifie alors que `can(F) est une section du faisceau ω<sup>κ</sup> et que l’application F 7→`can(F)est l’isomorphisme recherché.

4.1.2. Formes modulaires avec Nebentypus. — Soit q un nombre premier, q- N. SoitAuneZ[_{N q}¹ ]-algèbre. Définissons des foncteurs :

X0,q:A-ALG−→ENS

R (

A

^{, λ, ψ}N, H)/isom X1,q:A-ALG−→ENS

R (

A

^{, λ, ψ}N, Q)/isom

où

A

est un schéma abélien de dimensiongsur R, λest un polarisation prin- cipale, ψ_N une structure de niveauΓ_N,H est un sous groupe de rangqde

A

et QunR-point de

A

^{[q]d’ordreq.}

On noteΓ⁰(q)⊂Γ¹(q)⊂G(Z)les sous-groupes de congruences parahorique de Klingen et parahorique de Klingen strict :

Γ⁰(q) =n

M ∈G(Z), M modp∈K(Fp)o et Γ¹(q) =n

M ∈G(Z), M modp∈K⁺(Fp)o

On note alorsΓ⁰_N(q) = Γ_N ∩Γ⁰(q)etΓ¹_N(q) = Γ_N ∩Γ¹(q). Les foncteursX0,q

et X1,q sont donc associés aux groupes de congruencesΓ⁰_N(q)etΓ¹_N(q).

Le groupe(Z/qZ)^×agit surX1,qetX1,q →X0,qest un revêtement de groupe (Z/qZ)^×.

Les foncteursX_1,q etX_0,qsont représentables par des schémas encore notés de la même manière.

Soit X¯0,q une compactification toroïdale de X0,q. D’après les resultats de [21], chap. 5, le sous-groupe universelH ,→

A

^[q]au dessus deX_0,q se prolonge

o

en un groupe fini et plat au dessus deX¯0,q. On définit alors la compactification toroïdale deX1,q en posant

X¯1,q= IsomX¯_0,q(Z/qZ, H).

Le morphisme f : ¯X1,q →X¯0,q est un revêtement étale de groupe(Z/qZ)^×. Pour tout poidsκ∈X(T), on dispose de faisceaux cohérents (notés indiffé- remment de la même manière si cela ne prête à confusion)ω^κ surX¯_1,q etX¯_0,q d’après la construction du numéro4.1.1.

Pour tout caractère χ : (Z/qZ)^× → A^× soit

O

X^¯_0,q(χ) le sous-faisceau de f_?

O

X^¯_1,q des sectionχ-variantes. C’est un faisceau inversible de

O

X^¯_0,q-module.

Pour tout faisceau cohérent

F

^de

O

X^¯0,q-module on note

F

^{(χ) =}

F

^⊗OX¯0,q

O

X^¯_0,q(χ) Définition 4.2. — Le A-module H⁰ X¯0,q, ω^κ(χ)

est le module des formes modulaires de Siegel de genre g, poids κ, niveau Γ⁰_N(q) et caractère χ. Il est noté M(κ,Γ⁰_N(q), χ, A).

Le sous-module H⁰_cusp X¯0,q, ω^κ(χ)

des formes cuspidales est noté S(κ,Γ⁰_N(q), χ, A).

4.1.3. Formes modulairesp-adiques. — Soitpun nombre premier ne divisant pasN. Nous reprenons les notations de la section précédente en posantA=Zp. Le schéma X¯ est donc une compactification toroïdale de l’espace des modules sur Zp des variétes abéliennes principalement polarisées avec structure de ni- veau

N

^.

Pour tout schémaY surZp on noteYm le produit fibréY ×_ZpZ/p^mZ. On a aussi construit des faisceaux modulaires ω^κ sur X¯ tels que M(κ, N,Zp) = H⁰( ¯X, ω^κ).

Remarque 4.2. — Sur X¯m, pour tout poids κ ∈X(T), on dispose de deux faisceaux modulaires : le premier obtenu à l’aide du torseur

T

¯m(voir le numéro 4.1.1), le second obtenu par changement de base depuis X. Il résulte du théo-¯ rème d’annulation de Kempf ([9], II. 4.6) queR_Zp[κ⁰]⊗Z/p^mZ=R_Z/pmZ[κ⁰] et les deux faisceaux envisagés coïncident donc.

L’invariant de HasseHest un élément deM((p−1, p−1, . . . , p−1), N,Z/pZ).

On sait qu’une certaine puissance H^t de H se relève en un élément E ∈ M(t(p−1, . . . , p−1), N,Zp). Nous notons

S

^{,→ X¯ le lieu où E est}

inversible. Le schéma

S

dépend du choix deE, par contre, pour toutm≥1 le schéma

S

mne dépend pas du relèvement deH. C’est le lieu ordinaire deX¯m. Nous appellerons

S

_∞ la complétion formelle de

S

^{le long de}

S

1.

Pour tout entiern≥0, nous définissons le schéma :

T

m,n= Isom_S

m(µ^g_pn,

A

^[pn]0).

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Le groupeGLg(Z/pⁿ) = Aut(µ^g_pn)agit sur

T

m,nà droite de la façon suivante : g.(

A

^{, ψ}n :µ^g_pn'

A

^{[pn]0) = (}

A

^{, ψ}n◦g).

Le morphisme naturel

T

m,n→

S

mfait de

T

m,nun revêtement étale de groupe GLg(Z/pⁿ). On pose

T

m,∞ = lim_n≥0

T

m,n. C’est un pro-revêtement étale de

S

m de groupeGLg(Zp). On note finalement

T

∞= colimm≥0

T

m,∞. C’est un pro-revêtement étale de

S

_∞ ^{de groupeGL}g(Zp), appelé tour d’Igusa.

On appelle pointe de

T

m,nle sous-schéma fermé image inverse deX¯\X. Les différents schémas introduits s’organisent de la manière suivante :

T

1,∞ //

T

m,∞ //

T

∞

T

1,n //

T

m,n //

T

∞,n

S

1 //

S

m //

S

∞

Posons Vm,n = H⁰(

T

m,n,

O

Tm,n), Vm = H⁰(

T

m,∞,

O

Tm,∞) et V_∞ = limm≥1Vm.

Le groupeGLg(Zp)agit à gauche surVm,nà travers son quotientGLg(Z/pⁿ) par la formule g.f(

A

^{/R, ψ}n) =f(

A

^{/R, ψ}n◦g).

Cette action induit des actions à gauche deGL_g(Zp)surV_m et surV_∞. Soit P un parabolique standard de GL_g et Q = ω₀.^tP.ω₀. On définit à présent l’algèbre des formes de Siegelp-adiques pourPet son idéal des formes cuspidales.

Définition 4.3 (Formesp-adiques). — 1. L’ensemble V_∞^SP des fonctions régulières invariantes sous SP(Zp) est l’anneau des formes modulaires de Siegelp-adique pour le paraboliqueP, de niveau

N

^.

2. Pour tout caractère κ du tore TQ(Zp), on appelle forme modulaire de Siegel p-adique pour le parabolique P, de niveau

N

et de poids κ, un élément du module V_∞^SP[−κ⁰].

3. Si P = B, on dit simplement que V_∞^U est l’algèbre des formes de Siegel p-adiques de niveau

N

^{et queV}∞^U[−κ⁰]est le module des formes de Siegel p-adiques de niveau

N

^{et poidsκ.}

4. La partie cuspidale V_cusp,∞^SP est l’idéal deV_∞^SP des formes qui s’annulent aux pointes.

o