:
I - :
:
( )
1 2 2
3 4
" 2 6 3" :
" 2 " :
" , ; 5" :
" ; 5 0" : A A
m n m n A
x x A
+ =
∈
∈ − =
∈ − ≤
¡
¥
¤
1 :
2 A A
3 :
4 A A .
II - :
1 . :
La proposition
- :
1 :
1 A A
1 . A : )
F 0 ( .
A2
A2 1 .
A : )
V 1 ( .
A3
A4
.
-
: P
P : . :
2∈¡ : .
: .
2 . :
Fonction propositionnelle
A4
¡ x
4 . A .
- :
-
4 : A
¡ x .
A3
m
2 n
¥ .
- :
ü :
( ) P x ( ) Q x ( ) A x ( , ) B x y ( , )
P m n . . .
ü ( )
A x :
x .
-
: i.
.
ii . ( )
P x x
:
( ) : ; 3 4
P x x ∈¢ x − ≤ .
a . 2 - ( )
P x . b
. ( )
P x .
III - :
Les Quantificateurs
1 . :
Les Quantificateurs Universels
- :
- :
( ) P x
2 :
( ) : 4 0
P x x + ≥ .
( ) P x
¡ x .
2 :
: 4 0
x x
∀ ∈¡ + ≥
.
2 . :
Les Quantificateurs Existentiels
- :
)
( * *
) . (
( ) P x . E
( ) P x x
E
:
: ( )
x E P x
∀ ∈
: x
E ( ) . P x
∀ .
( ) P x . E
x E
( ) P x :
: ( )
x E P x
∃ ∈ . : x
E ( )
. P x
∃ .
- :
:
ü
( ) : , 5 0
A x ∀ ∈x ¡ x − ≥
ü
( ) : , 3 27 0
B n ∀ ∈n ¢ n− = ü
( ) : / 2 9 0
C x ∃ ∈x ¡ x − ≥
ü
( ) : / 3 6 0
D m ∃ ∈m ¢ m + =
3 . :
:
4 . :
1 : 1 . :
: , ;
P ∀ ∈x ¡ ∃ ∈y ¡ x =y
: , ;
Q ∃ ∈y ¡ ∀ ∈x ¡ x =y
2 . P Q
2 : :
, ;
n m n m
∀ ∈¥ ∃ ∈¥ <
.
:
, ;
m n n m
∃ ∈¥ ∀ ∈¥ <
.
:
IV - :
1 . :
La Négation Logique
:
( )
P : "5 4+ =9" : ."5 4+ ≠9"
P :
¬P
( )
¬P : "5 4+ ≠9" : .a . :
:
( )
P : " 2∈¤" :( )
Q : " 2 7− + =8" .( )
R : "5>8" . .( )
¬P : " 2∉¤" :(
¬Q)
: " 2 7− + ≠8" . .( )
¬R : "5≤8".
b . :
P .
V 1 P
F 0 P
.
( )
P :¬ ¬ .
2 . :
Négation d’une proposition
ü :
"∀ ∈x E, P x( )"
:
"∃ ∈x E, ¬P x( )"
.
ü :
"∃ ∈x E, P x( )"
:
"∀ ∈x E, ¬P x( )"
.
3 . :
Disjonction de deux proposition
a . :
: A : 3<4"
"7=8 .
B 3>0" :
" 2 5+ =7 .
C : 2, 4∈¢"
"52 =52 .
¬P P
F V
V F
( )
P¬ ¬
¬P P
V F
V
F V
F
ü .
ü .
. P P
P
P
¬P P .
:
¢ n 2 1
n+ = :
!n / n 2 1
∃ ∈¢ + = .
P . Q
P , Q
P , Q
P Q
. :
) P ( Q
(
P∨Q)
:
b . :
ü
"
"P Q
"
P
"Q .
.
ü
"
P ) Q
"(R )"
P (Q
"R .
.
4 . :
Conjonction de deux propositions
a . :
: A 3<5" :
" 4 1− = .
B : 3∈¥"
" 2∉¤ .
C : 2 1− = 2 1"−
"92 =18 .
: P
Q Q P
1 1
1
0 0
1
0 1
0
0 0
0
b . :
)
ü(
Q P)
(
P Q ..
)
" ü(
Q P"R
"
)
P(
Q" R .
.
:
)
: 2>7 "(
2∉¤"72 =49 .
5 . :
Implication logique
a . :
: P ⇒Q
P Q
1 1
1
0 0
1
1 1
0
1 0
0
: 42 = ⇒ = −16 5 2 .
⇒ 4 3<0 .
6
4 1 3− = ⇒ .
A BC ) .
A M A BC
M ⇒
[ ]
BC( .
b .
⇒ :
⇒ .
P Q Q
P
1 1
1
1 0
1
1 1
0
0 0
0
P . Q
Q P , Q P
)
:(
Q P(
P∧Q)
.
P . Q
Q
¬P P
) Q (
P Q
: P ⇒Q
P . Q
1 : 1 :
: 0 2
a a a
∀ ∈¡ > ⇒ + ≥a .
:
a∈¡ : .
]
0,[
a∈ +∞
. 1 :
2 a+ ≥a .
( )
2 :2 1
1 1 2
2 a a a 0
a a a a
+ − −
+ − = = ≥
(
a−1)
2≥0 : 0a >
.
1 : 2 a+ ≥a .
1 :
: 0 2
a a a
∀ ∈¡ > ⇒ + ≥a .
2 :
)
:1 1
b < ⇒ + < +a b ab
(
( , )a b 2: a 1
∀ ∈¡ <
.
: ( , )a b ∈¡2
. :
1 a <
1 b <
. :
1 a b+ < +ab .
: 1 a <
1 b <
.
2 : 1 a <
2 1
b <
.
2 : 1 0 a − <
1−b2 >0 .
(
a2−1 1)(
−b2)
<0 : .2 2 2 2 :
1 0 a + −b a b − <
.
2 2 2 2 :
2 1 2
a + +b ab < + ab+a b
(
a b+) (
2 < +1 ab)
2 : .(
a b+)
2 <(
1+ab)
2 : .: 1
a b+ < +ab .
:
2 1
b <
2 1
⇒a <
1 a <
1 b <
1−b2 >0
2 1 0
⇒ − <a
(
a2 1 1)(
b2)
0⇒ − − <
2 2 2 2
1 0 a b a b
⇒ + − − <
2 2 2 2
2 1 2
a b ab ab a b
⇒ + + < + +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1
a b ab
a b ab
a b ab
⇒ + < +
⇒ + < +
⇒ + < + .
: ü P ⇒Q :
• P Q
.
• P
Q .
• P Q
.
• Q
P .
ü Q ⇒P :
P ⇒Q .
6 .
:Equivalence logique
a . :
: ü A
2 2 2 :
"8 + =6 10 ⇔ <5 20"
. P ⇒Q
P . Q
P . Q
"
P ⇒Q
"Q ⇒P P
Q P ⇔Q
.
P Q P
Q
. .
: P
Q P
. Q
ü B
" 4= ⇔ >5 3 2" : .
ü C :
"5= + ⇔ = −2 3 4 6 2"
.
1 : a
b 1
a b+ =
1 1 :
1 1 9
a b
+ × + ≥
.
: : a b 1
a b+ =
:
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 9 9
1 9
2 9
1 2 9
2 8
4 1
4
4 2
4 2 0
2 0
0
a b
a b a b
ab a b ab ab
ab ab ab
ab ab a b ab a b ab ab a b ab
a ab b a b
+ +
+ × + ≥ ⇔ × ≥
+ + +
⇔ ≥
⇔ + ≥
⇔ + ≥
⇔ ≥
⇔ ≤
⇔ ≤ +
⇔ ≤ + +
⇔ − − − ≤
⇔ − − + ≤
⇔ − − ≤
(
a b)
2 0− − ≤
1 1
1 1 9
a b
+ × + ≥
.
.
2 : b a
¡*
. :
]
0 ab >
[
a b− = ⇔0]
a2 =b2.
: a
* b
¡ .
]
: 0 ab >[
a b− = ⇒0]
a2 =b2] [ ]
:0 0
ab > ⇒ − =a b
2 2
a b
=
( )
⇒: 0
a b− =
2 2 :
a =b 0
ab >
. : 0 a b− = a=b
2 2
a =b
a=b ,
2 : 0 ab =b >
.
2 2 : a =b 0
ab >
. a2 =b2 : . a b− =0 : ab >0 a2 =b2 :
( )
⇐2 2 : 0 a −b = .
:
(
a b−)(
a b+)
=00 . a b− = 0
a b+ = .
0 a b+ = a= −b
2 . 0 ab = − <b 0 .
ab >
.
: 0 a b− = .
:
:
( )
A : x = ⇒2 x :2−5x + =6 0( )
B : x2 −5x + = ⇒ =6 0 x 2( )
C : x = ⇔2 x2−5x + =6 0P . Q
- .
- P ⇔Q
P ⇒Q Q ⇒P
.
: ) ü
( :
...
. . . ...
) ü (
:
...
. ü
V - :
1 . :
P .
) P
¬P . (
) P
¬P (
) P
(
) P
¬P ( .
: A
B C ...
¬ :
⇒
⇔ A
B C .
: P
Q )
( : P ⇔Q .
: :
)
ü P ⇔P(
P)
ü P ⇔P(
P)
ü) (
P Q ⇔ Q(
P:
¡2
4 5 :
2 8 10
x y x y
+ =
+ = :
( )
E.
:
( )
4 5
4 5
2 4 2 5
2 8 10
4 5
4 5
4 5
x y x y
x y x y
x y x y x y + =
+ =
⇔
+ = × + = ×
+ =
⇔ + =
⇔ + =
( )
E:
( )
{
, 2/ 4 5}
S = x y ∈¡ x + y =
1 :
:
¡2
:
2 2
16 0
9 0
x y
− =
− =
( )
E : . :( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 0
3 3 0
4 0 4 0
3 0 3 0
4 4
3 3
4 4 3 3
4 3 4 3 4 3 4 3
x x
E y y
x x
y y
x x
y y
x x y y
x y x y x y x y
− + =
⇔ − + =
− = ∨ + =
⇔ − = ∨ + =
= ∨ = −
⇔ = ∨ = −
⇔ = ∨ = − ∧ = ∨ = −
⇔ = ∧ = ∨ = ∧ = − ∨ = − ∧ = ∨ = − ∧ = −
( )
E:
( ) ( ) ( ) ( )
{
4, 3 ; 4, 3 ; 4, 3 ; 4, 3}
S = − − − −
2 . :
Lois de Morgan
: i : P
¬P
¬P P
1 0
1
1 1
0
)
R
(
P) (
P Q
)
⇔ R (
Q[
P)
R
(
P) (
P Q
)
⇔ R (
Q[
P) (
P Q)
¬Q
(
¬P.
ii :
(
P Q) ( ) (
P Q)
;(
P Q) ( ) (
P Q)
:¬ ∨ ⇔ ¬ ∧ ¬ ¬ ∧ ⇔ ¬ ∨ ¬
: :
8=9?
( )
R : =7∈¢9∉¤ ?
( )
S : =2≤8R S .
: 8≠9?
( )
¬R : =7∉¢9∈¤ ?
( )
¬S : =2>8:
)
: 0 b =(
ab =0) (
⇔ a=0.
)
: (b 0)(
¬ =(a 0) ¬ =(
ab 0)
¬ = ⇔
:
)
0 b ≠
(
ab ≠0) (
⇔ a≠03 . :
Implication contraposée
:
: :
b a .
:
) ( )
1 1
b ≠ ⇒ + −a b ab ≠
(
a≠1.
(
a b+ −ab = ⇒ −1) (
a ab− + =1 b 0)
:( ) ( )
(
a 1 b 1 b 0)
⇒ − − − =
( )( )
(
a 1 1 b 0)
⇒ − − =
(
b− =1 0)
( )
(
a 1 0⇒ − =
(
b =1) )
( )
(
a 1⇒ =
:
) ( )
1 1
b ≠ ⇒ + −a b ab ≠
(
a≠1.
4 . :
Raisonnement par disjonction des cas
:
¥ n
3 : n −n 3
.
: n∈¥
? .
( )
a b, ∈¥2 .b a
¥
¥ k a=kb
= .
1 : 3
n = k k ∈¥
) : n
3 0 n 3
(
( )
3( )
:3 3 3
3 3 27 3 3 9 3
n − =n k − k = k − k = k −k = k′ 9 3
k′ = k − ∈k ¥ .
3 : n −n 3
.
2 :
3 1
n = k + k ∈¥
) : n
3 1 ( :
( ) (
3) ( )
3( )
2( ) ( )
3 3 2
3 1 3 1 3 3 3 3 3 1 3 1 3 9 9 2 3
n − =n k + − k + = k + k + k + − k − = k + k + k = k′
3 2
9 9 2
k′ = k + k + k ∈¥ .
3 : n −n 3
.
3 :
3 2
n= k + k ∈¥
) n :
3 2 ( :
( ) (
3) ( )
3 3 2 3 2
3 2 3 2 27 54 36 8 3 2 3 9 18 11 2 3
n − =n k + − k + = k + k + k + − k − = k + k + k + = k′
3 2
9 18 11 2
k′ = k + k + k + ∈¥ .
3 : n −n 3
.
3 : n −n 3
.
¥ n
3 : n −n 3
.
:
) (
P Q)
¬Q
(
¬P.
(
P ⇔Q
P Q
¬ ⇔ ¬ :
.
P ⇒Q .
Q P
¬ ⇒ ¬ P⇒Q
P⇒Q
Q P
¬ ⇒ ¬
) (
Q P Q .
) : (
[
P ⇒Q]
P . Q( )
¬P( )
¬P ⇒Q
. Q
5 . :
Raisonnement par l’absurde
:
: Q
(
¬Q)
.(
¬Q)
. . :
Q .
: b a :
:
x a x b x
∀ ∈¡ ≤ ⇒ <
( )
* :. b<a :
.
: b ≥a
b∈¡ . a≤b
( )
*b <b ,
.
: b <a .
6 . :
Raisonnement par récurrence
: ( ) P n n
: 2n ≥ +n 1 :P n( )
= ?
1 . . (0)
P .
( 1) . P n+ .
2 . n∈¥ . ( )
P n
( 1)
P n+ .
: 1 . .
0 :
2 ≥ +0 1 :P(0)
= ?
1 1≥ .
.
( )
:2n+1≥ n+ +1 1 :P n( +1)
= ?
1 :
2n+ ≥ +n 2 :P n( +1)
= ?
.
2 . n∈¥ . ( )
P n :
2n ≥ +n 1 ,
( 1)
P n+ ,
1 :
2n+ ≥ +n 2 .
: 2n ≥ +n 1
( )
. 2 2× n ≥ × +2 n 1 ,
1 :
2n+ ≥2n+2
( )
i :. :
2 1> ⇒2n ≥n
0 n ≥ , : 2n+ ≥ +2 n 2
( )
ii :( )
i .( )
ii1 :
2n+ ≥ +n 2 .
:
( ) (
1)
P n ⇒P n+ .
: : (0)
( ) ( )
P: 1
n P n P n
∀ ∈¥ ⇒ +
. ( )
P n
( 1)
P n+ :
ü (0) P .
ü (1) P .
ü (2)
. P
ü (3)
P ...
.
ü ( )
P n
¥ n .
: Principe de récurrence
:
* ( 1) :
: 1 2 ...
2
n n n n+
∀ ∈¥ + + + = .
( 1) :
1 2 ... : ( )
2
n n n+ P n + + + =
= ?
.
Q P .
(
¬Q)
⇒P
P
(
¬Q)
. Q
n0∈¥ .
( ) . P n
:
( )
0 ü . P nü ( )
P n
( 1)
P n+ n≥n0
.
: ( )
0 P n n≥n .
1(1 1) :
1 : (1)
2+ P
= = ?
: 1 1= .
1 n≥ . ( )
P n ( 1) :
1 2 ...
2 n n n+ + + + = .
:
( 1)
P n+ ( 1)( 2) :
1 2 ... ( 1)
2
n n
n n + +
+ + + + + = .
( 1) : 1 2 ...
2 n n n+ + + + = .
:
( 1) ( 1)( 2)
1 2 ... ( 1) (1 2 ... ) ( 1) ( 1) ( 1) 1
2 2 2
n n n n n
n n n n + n n + +
+ + + + + = + + + + + = + + = + + = :
* ( 1)
: 1 2 ...
2
n n n n+
∀ ∈¥ + + + = .
1 : :
i
* ( 1) .
: 1 2 ...
2
n n n n+
∀ ∈¥ + + + =
ii
* 2 2 2 ( 1)(2 1) .
: 1 2 ...
6
n n n
n n + +
∀ ∈¥ + + + =
iii .
2 2
* 3 3 3 ( 1)
: 1 2 ...
4
n n n n+
∀ ∈¥ + + + =
iv .
: 4n 1 3
n n
∀ ∈¥ ≥ +
v
( )
.* 2 6 5
: 11 / 3 n 2 n
n −
∀ ∈¥ +
vi
( )
.* 2 1 2
: 7 / 3 n 2n
n + +
∀ ∈¥ +
vii
(
3)
.: 3 /
n n n
∀ ∈¥ −
viii
( )
.: 5 / 7n 2n
∀ ∈n ¥ −
ix
]
0,[
, :(
1)
n 1 .a n a na
∀ ∈ +∞ ∀ ∈¥ + ≥ +
x
n . a n
7
1 7) a =
2 77
a =
3 777
a = ( ...
( )
:* 7
: 10 1
9
n
n an
∀ ∈¥ = −
2 :
i .
(
,)
2:(
1) ( )
2 2 :1 1
x y
x y xy x y
x x y y
∀ ∈¡ ≠ ∧ ≠ ⇒ + + ≠ + +
ii . :
2∉¤
iii . :
n∈¥ n :
n2
.
iv . :
ü :A
= ?
:B ü
?
=
A B .
v
(
m n,)
∈¢2 . .m+n m−n
.
vi . x
y z
:
( ) ( ) ( )
1 : 0 0
2 : 0 0
3 : 0 0
x y
x y
y z
= ⇒ >
> ⇒ <
≠ ⇒ >
.
vii . 1 a≥ 4 b ≥ .
( ) ( )
:1 2 4 2 8
2
a− + b− =a b+ ⇔ a= ∧ b =
