Résumé de cours gravimétrie I - Introduction

Résumé de cours gravimétrie I - Introduction

En géophysique appliquée, la gravimétrie sert à détecter les contrastes de densité du sous- sol. Pour ce faire, on mesure en plusieurs points de l’espace les variations de l’accélération gravitationnelle.

I - 1. Principes

a) 1ère loi de Newton

Deux corps de masse m1 et m2 séparées par une distance r sont attirées l’une vers l’autre par une force F telle que:

𝑭⃗⃗ = −𝐺𝑚₁𝑚₂

𝑟² . 𝑟⃗⃗⃗ (1) ₀

où F est la force appliquée sur la masse m2, r0 le vecteur unitaire, r la distance entre les masses m1 et m2, et G, la constante universelle de la gravité. Les termes r et G sont données par:

𝒓 = √(𝑥₁− 𝑥₂)²+ (𝑦₁− 𝑦₂)² + (𝑧₁ − 𝑧₂)² 𝑮 = 6.6742 × 10⁻⁸𝑑𝑦𝑛𝑒 𝑐𝑚²/𝑔²[𝐶𝐺𝑆]

𝑮 = 6.6742 × 10⁻¹¹𝑁𝑚²/𝑘𝑔² [𝑆𝐼]

FIG. 1: Deux masses dans un référentiel cartésien.

b) 2ème loi de Newton

Il faut appliquer une force F à une masse m pour lui faire subir une accélération a. Ceci se traduit par la relation:

𝑭 = 𝑚. 𝒂 (2)

En utilisant les équations (1) et (2), on trouve que l’accélération d'une masse m à la surface du sol s'exprime par:

𝒂 =𝐺𝑀_𝑇

𝑅_𝑇² 𝑟₀ = 𝒈

où MT est la masse de la terre (5.9736 x 10²⁴ kg) et RT le rayon moyen de la terre (6370 km).

g est dite accélération de la gravité, ou simplement gravité, et vaut en moyenne 9.797 m/s². En l’honneur de Galilée, on a nommé l’unité d’accélération gravitationnelle le gal avec :

La précision d’un gravimètre d’exploration est de l’ordre de 0.01 mgal (10^-7 m/s²). Les gravimètres pour les études géodynamiques ou géotechniques sont sensibles au μgal, soit 10^-8 m/s², environ le milliardième de g.

II - L’anomalie de Bouguer

II - 1 - Principe de l’anomalie de Bouguer

L'anomalie de Bouguer AB est la différence entre le champ de pesanteur terrestre mesuré gm en un point de la surface du globe ramenée au niveau référence qui correspond au niveau moyen des mers et des océans (géoïde) et le champ de pesanteur théorique gth calculé au même point sur un modèle théorique du globe terrestre, et ce en tenant compte de l’altitude du point de mesure, du relief, du voisinage de la mesure et enfin, de la forme de la terre elle- même qui présente un aplatissement aux deux pôles.

Le modèle théorique du globe terrestre est définie comme étant constitué de couches concentriques homogènes, sa surface serait lisse et d’altitude nulle.

En théorie, les variations de l'anomalie de Bouguer sont reliées à celles de la densité des la roches. Les cartes gravimétriques permettent d'observer des configurations des anomalies

1 gal = 1 cm/s² = 10^-2 m/s² 1 mgal = 10^-3 gal = 10^-5 m/s²

de la pesanteur qui peuvent être reliées à des unités lithologiques ou des structures spécifiques (par exemple des failles).

II - 2 - Correction des mesures gravimétriques

Les mesures de la pesanteur qui permettent d’obtenir l’anomalie de Bouguer sont réalisées à la surface du globe, à des altitudes différentes. Elles subissent donc l’influence des variations topographiques des reliefs voisins de la station, des masses situées entre la station et le géoïde et de la forme de la terre. Pour pouvoir comparer entre elles l’ensemble des mesures réalisées dans une région, il est indispensable de les uniformiser en les ramenant au même niveau de référence. Pour cela, on réalise la correction à l’air libre pour corriger l’effet de l’altitude, la correction de plateau pour corriger l’effet des masses situées entre le niveau de référence et le point de mesure, la correction de relief pour corriger l’effet des reliefs situés autour du point de mesure et, enfin, la correction normale pour corriger l’effet de l’aplatissement de la terre.

II - 2 - 1 - Correction de la dérive instrumental et lune et solaire

C'est d'une correction appliqué directement sur l'appareil. Elle est due aux conditions atmosphériques (température et pression) qui influent sur la constante de raideur des ressorts du pendule de l'appareil au fil du temps. Elle est due aussi à l'influence du Soleil et de la Lune sur la terre, appelée aussi ''terme de marée''.

Pour la calculer on effectue un réseau de 2 bases gravimétrique (mesure g est absolue):

Chaque base a été reliée à ses voisines par un aller - retour - aller, ce qui nous permis de déterminer deux valeurs de la liaison entre deux bases considérées dont nous avons fait la moyenne arithmétique pour déterminer la liaison finale. Pour corriger la dérive (la variation luni-solaire ayant été incluse dans celle-ci), nous avons procédé de la façon suivante :

Soient : deux bases A et B et

LA1, la lecture faite en A au temps t1 ;

LB2, la lecture faite en B au temps t2, en partant de A ; LA3, la lecture faite en A au temps t3 ; en partant de B ; LB4, la lecture faite en B au temps t4, en partant de A ;

Pour corriger l’influence de la dérive, nous l’avons supposée linéaire car le temps de fermeture sur la même base n'a jamais dépassé trois heurs. Ce qui nous a permis de calculer la dérive en A, qui est (LA3-LA1) pour un temps (t3-t1), ensuite nous avons déterminé la lecture en A au temps t2 (LA2) grâce à la réalisation suivante : LA2 = LA1 + (LA3 – LA1) (t2 – t1)/(t3 – t1).

Nous avons ensuite déterminé la première liaison (LB2 – LA2) et de la même façon (LB3 – LA3) dont nous avons fait la moyenne pour déterminer la liaison finale entre les bases A et B (LB – LA). Si nous supposons connue la pesanteur en A (gA), alors la pesanteur en B (gB) est donnée par la relation :

gB = gA + k (LB – LA),

où k représente le coefficient d’étalonnage du gravimètre utilisé.

II - 2 - 2 - Correction à l’air libre

La correction à l’air libre (AL) permet d’éliminer l’influence de l’altitude (h) de la station (Fig. 2), sans tenir compte des masses situées entre la station et le niveau de référence. Elle ne dépend que de cette altitude. Elle est donnée par la relation :

AL = 0.3086 h Où [AL] = mGals et [h] = mètres.

FIG. 2 : Correction à l’air libre

Exercice:

On donne l'expression de la correction d'air libre: 𝑨_𝑳 =^𝟐𝒈𝟎

𝑹_𝑻 𝒉 = 𝒌𝒉

La correction d'air libre est proportionnelle â la différence d'altitude h. Le coefficient de proportionnalité est 𝒌 = ^𝟐𝒈𝟎

𝑹𝑻

- Calculer la valeur de k dans le système international.

- En gravimétrie, on utilise la formule AL= 0.3086 h (m). Comparer avec la valeur que vous avez trouver.

Solution:

𝑔₀ = 𝑔(0) =𝐺𝑀_𝑇

𝑅_𝑇² , 𝑒𝑡 𝑔(ℎ) = 𝐺𝑀_𝑇 (𝑅_𝑇² + ℎ)² 𝑔(ℎ) = 𝐺𝑀_𝑇

𝑅_𝑇²(1 + ℎ 𝑅_𝑇)

2 = 𝑔(ℎ) =𝐺𝑀_𝑇

𝑅_𝑇² (1 + ℎ 𝑅_𝑇)

−2

On a le développement limité de:

(1 + 𝑥)^𝑎 = 1 + 𝑎𝑥 +^{𝑎(𝑎−1)}

2! 𝑥²+𝑎(𝑎−1)(𝑎−2)

3! 𝑥³+ ⋯ 𝑜(𝑥^𝑛), avec x<<1.

on a: h<<RT , donc on applique le DL (développement limité) jusqu'à l'ordre 2 à : (1 + ^ℎ

𝑅𝑇)⁻²

(1 + ℎ 𝑅_𝑇)

−2

≈ (1 −2ℎ 𝑅_𝑇)

𝑔(ℎ) =𝐺𝑀_𝑇

𝑅_𝑇² (1 −2ℎ

𝑅_𝑇) → 𝑔(ℎ) =𝑔₀(1 −2ℎ 𝑅_𝑇) 𝐴_𝐿 = 𝑔(ℎ) − 𝑔(0) → 𝐴_𝐿 = 𝑔(ℎ) = 𝑔₀(1 −2ℎ

𝑅_𝑇) − 𝑔₀

𝐴_𝐿 =2𝑔₀ℎ 𝑅_𝑇 A.N: g0= 9.81 m.s^-2 = 9.81 10⁵ mGal

RT= 6371 km = 63.71 10⁵ m

𝑨_𝑳 = 2 × 9.81 10⁵

63.71 10⁵ ℎ = 𝟎. 𝟑𝟎𝟖𝟔 𝒉 (𝑚𝐺𝑎𝑙) Exercice:

Un plateau semi infini, constitué de roches de densité d, est limité par une falaise de hauteur h. Soit g(A) le champ mesuré au point A. Quelle sera la valeur mesuré en A', B et B'? A et B sont assez loin de la falaise.

Solution:

On a g(A) connu. Reste à exprimer g(A'), g(B) et g(B') en fonction de g(A).

 g(A') = g(A) - AL.

 g(B)= g(A') + P = g(A) - AL.

 g(B') = g(A) - P

II - 2 - 3 - Correction de plateau

La correction de plateau (P) permet de corriger l’effet du terrain situé entre le plan horizontal passant par la station et le niveau de référence (Fig. 3). Elle est donnée par la relation: P = 0.0419 h d

Où [P] = mGals [d] = g/cm³ et [h] = mètres.

FIG. 3 : Correction de plateau Exercice:

Le champ crée par une plaque infinie est 𝑔 = 2𝜋𝐺𝜌𝑒

Dans le système international, le champ g est en m s^-2, la masse volumique ρ est en kg m^-3. On donne alors ρ =1000 d où d est la densité. G= 6.67 10^-11 [SI].

- Exprimer le champ g en fonction de G, d et e. On doit trouver une expression de la forme:

𝑔 = 𝐾 𝑑 𝑒.

- Calculer la valeur de la constante K dans le système international.

- En gravimétrie on utilise l'expression: P (mGal) = 0.0419.d.e(m). Comparer avec votre résultat.

Solution:

Le champ crée par une plaque infinie est 𝑔 = 2𝜋𝐺𝜌𝑒 ρ =ρeau d = 1000 d donc: 𝑔 = 2𝜋𝐺. 𝜌_𝑒𝑎𝑢. 𝑑. 𝑒

On pose: 𝐾 = 2𝜋𝐺. 𝜌_𝑒𝑎𝑢 → 𝑔 = 𝐾. 𝑑. 𝑒

AN: G est exprimé en [m³.kg^-1.s^-2 ] en SI. ρeau est exprimée en [kg m^-3] en SI.

𝐾 = 2𝜋𝐺. 𝜌_𝑒𝑎𝑢 = 2 𝜋 × 6.67 × 10⁻¹¹× 10³ = 0.0419 × 10⁻⁵𝑠⁻² en SI

𝑷(𝒎. 𝒔^−𝟐) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟗 × 𝟏𝟎^−𝟓× 𝒅 × 𝒆 → 𝑷(𝒎𝑮𝒂𝒍) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟏𝟗 × 𝒅 × 𝒆

II - 2 - 4 - Correction de relief

La correction de relief ou le terrain (T) tend à corriger les mesures de l’influence des masses situées dans le voisinage de la station (Fig. 4). Elle est toujours positive.

La méthode conventionnelle de calcul de la correction de relief la plus utilisée est celle dite de Hammer. Elle est basée sur la division du terrain entourant la station en couronnes concentriques divisées à leur tour en compartiments assez petits pour que l’on puisse considérer l’altitude moyenne dans le calcul de leur masse.

Pour une seule station, la méthode de Hammer prévoit de corriger le relief situé autour d’elle en allant jusqu’a la distance de 21950 mètres. Le terrain considéré est divisé en 132 compartiments dont il faut calculer les altitudes moyennes et relever les corrections correspondantes, sur les tables calculées à cet effet. Pour mieux apprécier les difficultés du

calcul de la correction de relief, par cette méthode, notons que le rendement d’un opérateur expérimenté ne peut excéder quelques stations par jour.

FIG. 4 : Correction de relief

C’est pour éliminer ce handicap et grâce à l’informatique, que beaucoup de chercheurs se sont intéressés à développer des méthodes qui permettent de faciliter le calcul de la correction de relief. Ils sont arrivés à résoudre le problème en utilisant un modèle numérique de terrain.

Celui-ci est obtenu par la digitalisation ou le scannage des cartes topographiques (dans ce dernier cas, il faut disposer de cartes « muettes ») et le calcul d’altitudes moyennes aux sommets d’une grille régulière. Bott (1959) et Kane (1962) ont été les pionniers dans la recherche sur l’automatisation du calcul de la correction de relief. Avec la maîtrise de l’outil informatique, les géophysiciens ont pris l’habitude de réaliser leurs propres programmes de calcul. Les études gravimétriques réalisées en Algérie ont commencé par l’utilisation des méthodes conventionnelles puis se sont modernisées par des méthodes nouvelles utilisant des programmes informatiques et ce grâce aux sociétés pétrolières installées dans le pays.

II - 2 - 5 - Choix de la densité

C’est l’un des paramètres les plus importants dans le calcul de l’anomalie de Bouguer.

Il existe plusieurs techniques pour le choix de la densité, on distingue deux méthodes, directes et indirectes.

Les méthodes directes sont basées, d’une part, sur les mesures réalisées directement sur des échantillons prélevés dans la région d’étude. Une moyenne sur la densité sera établie et adoptée pour le terrain. Cette densité ne représente pas réellement la densité de terrain vue sa variation sensible en profondeur.

D’autre part, les logs de diagraphies réalisées dans les sondages donnent la possibilité de mesurer la densité. Cependant celle-ci donne juste la densité « in situ » des formations proches des parois du puits. Pour une meilleure approximation de la densité une corrélation

est faite par l’exploitation des enregistrements de plusieurs sondages régulièrement répartis sur la zone d’étude.

Parmi les méthodes indirectes, on peut citer les méthodes des triplets, de Parasnis et de profil de Nettleton. Le principe de la première, est basé sur le choix d’une série de trois points de mesure (A, B et C), où le point central B a une dénivelée importante par rapport aux deux autres. Soient hA, hB et hC leurs altitudes, la densité est donnée par :

0419 . 0 3086 .

0 C

  Où C est déterminé par :

2 2

c a B

c a b

h h h

g g g

C 







Une série de valeurs de la densité sera calculée afin d’obtenir une densité moyenne pour la région d’étude.

Le principe de la méthode de Parasnis est de choisir une densité pour laquelle la moyenne de l’anomalie de Bouguer, de la région d’étude, est nulle.

0 0419

. 0 3086 .

0   





 g g h h T

AB _{m ref} 

On pose : y(g_mg_ref 0.3086h) Et : x0.0419hT

Alors l’équation devient : yx0

De cette équation on peut dire que la pente de la droite correspond au meilleur choix de densité.

La méthode du profil de Nettleton consiste à choisir un profil qui traverse un relief important, situé dans la région d’étude. On calcule plusieurs anomalies de Bouguer avec des

densités différentes. La densité adéquate sera celle qui correspond le moins à la forme du relief (Fig. 5).

FIG. 5 : Méthode de Nettleton

Les profils de Nettleton sont établis sur toute l'étendue de la carte de Bouguer, ce qui conduit à différentes valeurs de la densité ; si ces valeurs ne sont pas trop dispersées, leur moyenne pourra être retenue comme caractérisant au mieux la région. Cependant l’emploi de cette méthode nécessite une homogénéité de terrain, cette condition est rarement satisfaite sur le terrain.

II - 2 - 6 - Correction normale

La correction normale ou de latitude (gth) permet de corriger la mesure, de l’influence de l’aplatissement de la terre. Elle ne dépend que de la latitude de la station. Elle est donnée par la formule dite de l’IGSN 71:

gth = 978031.85 (1+0.0053024 sin² φ – 0.0000059sin² (2φ)) Où [φ] = degrés, représente la latitude de la station,

978031.85 mGal représente la valeur de la pesanteur à l’équateur et

Le coefficient d’aplatissement de la terre correspondant à cette formule est E = 1/298.257.

Un autre calcule de gth par les constante de l'I.U.G.G 1967:

II - 3 - Calcul de l’anomalie de Bouguer

Après avoir corrigé les mesures, l’anomalie de Bouguer est donnée par la relation : AB = gm + (0.3086-0.0419 d) h + T - gth

Exercice:

Anomalie crée par une sphère de masse m dont le centre de gravité (cdg) est situé à la profondeur h.

- Tracer le profil g(x).

- Déterminer la profondeur h en fonction des mesures obtenues en surface.

Solution:

Le champ crée, en u point P en surface, généré par une sphère de masse m dont le centre de gravité (cdg) est situé à la profondeur h est donné par:

𝑔(𝑝) =𝐺𝑚

𝑟² = 𝐺𝑚

(𝑧²+ 𝑥²)^3/2, 𝑎𝑣𝑒𝑐: 𝑟 = (𝑧²+ 𝑥²)^1/2

Pour exprimé g au point P il faut prendre sa composante radiale gz (dirigée vers le centre de la terre).

On a:

𝑔_𝑧(𝑥) = 𝑔(𝑝) cos 𝛼 → 𝑔_𝑧(𝑥) = 𝑔(𝑝)𝑧

𝑟 , 𝑎𝑣𝑒𝑐: cos 𝛼 =𝑧 𝑟

𝑔_𝑧(𝑥) = 𝐺. 𝑚. 𝑧 (𝑧²+ 𝑥²)^3/2

À x = 0 on est le plus proche de l'anomalie et le champ sera maximum:

𝑔(0) =𝐺𝑚

𝑧² = 𝑔_𝑚𝑎𝑥 Si z = h une profondeur à trouver, on a:

𝑔_𝑧(𝑥) = 𝐺. 𝑚. ℎ

(ℎ²+ 𝑥²)^3/2𝑒𝑡 𝑔(0) = 𝐺𝑚 ℎ² Etudions g et pour cela on fera l'étude de gz par rapport à son gmax:

On définie gz (x1/2) un point particulier de la courbe gz appelé point en demi-longueur correspondant à la demi-hauteur où le champ sera égal à la moitié de sa valeur maximal:

𝑔_𝑧(𝑥_1/2) =𝑔_𝑚𝑎𝑥

2 → 𝑔_𝑧(𝑥_1/2) =𝑔(0) 2

𝑔_𝑧(𝑥1 2

) 𝑔(0) =

𝐺𝑚ℎ (ℎ²+ 𝑥_1/2² )^3/2

𝐺𝑚 ℎ²

= 𝐺𝑚ℎ

(ℎ²+ 𝑥_1/2² )^3/2

× ℎ² 𝐺𝑚

𝑔_𝑧(𝑥1 2

)

𝑔(0) = ℎ³ (ℎ²+ 𝑥_1/2² )^3/2

= 1

2→ (2ℎ³)^2/3 = ((ℎ²+ 𝑥_1/2² )^3/2)^2/3

→ 2²³ℎ² = ℎ²+ 𝑥_1/2² → (2²³− 1) ℎ² = 𝑥_1/2²

→ ℎ² = 1 (2²³− 1)

𝑥_1/2² → |ℎ| =

√ 1 (2²³ − 1)

𝑥_1/2²

𝒉 = ∓𝟏. 𝟑𝟎𝟔𝒙_𝟏/𝟐 Le tracé de gz(x)/gmax:

Exercice:

Même question que l'exercice précédent dans le cas d'un cylindre horizontal de masse linéaire .

Solution: même dessin que la sphère pour le cylindre horizontale.

𝑔(𝑝) =2𝐺𝜆 𝑟

𝑔_𝑧(𝑥) = 𝑔(𝑝) cos 𝛼 → 𝑔_𝑧(𝑥) =2𝐺𝜆 𝑟 ×ℎ

𝑟, 𝑎𝑣𝑒𝑐: cos 𝛼 =ℎ 𝑟

𝑔_𝑧(𝑥) =2𝐺𝜆ℎ

𝑟² → 𝑔_𝑧(𝑥) = 2𝐺𝜆ℎ

(𝑥²+ ℎ²), 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑟² = 𝑥² + ℎ² À x = 0 on est le plus proche de l'anomalie et le champ sera maximum:

𝑔(0) =2𝐺𝜆ℎ

ℎ² → 𝑔(0) =2𝐺𝜆

ℎ = 𝑔_𝑚𝑎𝑥 Etudions gz en fonction de sa valeur maximale gmax :

𝑔_𝑧(𝑥_1/2)

𝑔(0) = 2𝐺𝜆ℎ (𝑥_1/2² + ℎ²)

ℎ 2𝐺𝜆= 1

2

2ℎ² = 𝑥_1/2² + ℎ² → ℎ² = 𝑥_1/2²

→ ℎ = ∓𝑥_1/2 Le tracé de gz:

Exercice:

Même question que l'exercice précédent dans le cas d'un cylindre vertical de masse linéaire

.

Solution:

Dans le cas d'un cylindre vertical, on doit intégrer sur un petit élément dgz donné par:

𝑑𝑔_𝑧 = 2𝜋𝐺𝜌. 𝑑𝑙. 𝑠𝑖𝑛∅. 𝑑∅

pour ϕ allant de 0 à arctan(R/l) et puis dl variant de z à z+1. On aura la valeur maximale:

𝑔_𝑚𝑎𝑥 = 2𝜋𝐺Δ𝜌[𝐿 + (𝑧²+ 𝑅²)^1/2− ((𝑧 + 𝐿)²+ 𝑅²)^1/2] Δ𝑔_𝐿 = 𝐺𝜌𝜃[(𝑟₂− 𝑟₁) + (𝑟₁²+ 𝐿²)^1/2− (𝑟₂²+ 𝐿²)^1/2]

Exercice:

Même question que l'exercice precedent dans le cas d'un feuillet vertical de masse volumique ρ.

Solution:

Pour un feuillet vertical l'anomalie est donnée par:

Δ𝑔_𝑧 = 2𝐺𝑡Δ𝜌 ln [(ℎ + 𝑙)²+ 𝑥² 𝑥²+ ℎ² ] si ℎ ≈ 𝑙, le maximum est donné par:

𝚫𝒈_𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝑮𝒕𝚫𝝆 𝐥𝐧 𝟒 en x1/2 :

Δ𝑔_𝑧= Δ𝑔_𝑚𝑎𝑥 2

2𝐺𝑡Δ𝜌ln [(2ℎ)²+ 𝑥_1/2²

𝑥_1/2² + ℎ² ] =𝐺𝑡Δ𝜌ln 4 4ℎ²+ 𝑥_1/2²

𝑥_1/2² + ℎ² = 4 ln 2

4 ln 2 ℎ² + ln 2 𝑥_1/2² = 4 𝑥_1/2² + 4 ℎ²

(4 ln 2 − 4) ℎ² = (4 − ln 2)𝑥_1/2²

ℎ² = (4 − ln 2) (4 ln 2 − 4)𝑥_1/2² Ce qui donne:

ℎ = ∓0.7𝑥_1/2

III - L’anomalie isostatique

Historiquement, l’idée de l’isostasie n’est pas liée à des mesures de la pesanteur mais à celles de la déviation de la verticale réalisées lors d’une étude en l’Inde. Pratt (1855) et Airy (1855) attribuèrent l’écart observé entre les valeurs de la déviation de la verticale déterminées au fil à plomb et par des mesures astronomiques, à proximité de l’Himalaya, à un déficit de masse situé sous la chaîne de montagne. Le terme « isostasie » a été introduit pour la première fois par C.E.Dutton (1889).

Si Pratt et Airy étaient d’accord sur l’origine de la variation de la déviation de la verticale, chacun avait expliqué à sa manière le déficit de masse situé sous la chaîne himalayenne.

III - 1 - L’hypothèse de Pratt

Pratt définit une surface de compensation sous la quelle il suppose régner un équilibre hydrostatique. Il explique que la densité de la croûte varie latéralement que l’on se trouve sous une montagne, une plaine ou bien sous un océan. Cette théorie a été abandonnée depuis longtemps et ne présente qu’une valeur historique.

II - 2 - L’hypothèse d’Airy

Airy suppose que la croûte terrestre est formée de radeaux (d= 2.67 g/cm³) flottants sur un magma visqueux (d= 3.00 g/cm³) (Fig. 6)

FIG. 6 : Schéma de l’hypothèse d’Airy, T représente l’épaisseur moyenne de la croûte.

La compensation est réalisée selon un véritable équilibre hydrostatique et le poids des radeaux est équilibré, localement par la poussée d’Archimède. On peut écrire :

𝑅 = 2.67 ℎ

(3.00 − 2.67)≈ 9ℎ

𝐴𝑅 =(2.67 − 1.03)𝑃

(3.00 − 2.67) ≈ 5.67𝑝 Où :

R et h représentent respectivement la racine et l’altitude de la montagne, Ar et p l’anti-racine et la profondeur de l’océan. Les résultats de cette théorie sont confirmés par la mise en évidence par la sismologie de la discontinuité du Moho.

Exercice:

Dans l'hypothèse d'Airy, on considère une croute d'épaisseur moyenne E, de densité d1, flottant sur un magma de densité d2 >d1. Indiquer la profondeur de la surface de séparation des deux milieux quand on se trouve au-dessus d'une montagne d'altitude moyenne h et à la surface d'un océan de profondeur p.

AN: d1=2.7 g.cm^-3, d2= 3 g.cm^-3, de= 1 g.cm^-3, E= 30 km et p= 2 km.

Solution:

a) Pour une montagne:

Pour un niveau équipotentiel la pression hydrostatique est la même et elle est donnée par:

𝑃 = 𝜌. 𝑔. ℎ

Si on prend deux points M et M' d'un même niveau équipotentiel on a:

P(M) = P(M'), avec ρ = 1000 d.

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 𝜌₂𝑔𝑅 + 𝜌₁𝑔𝐸 = 𝜌₁𝑔(𝑅 + 𝐸 + ℎ)

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 1000𝑑₂𝑔𝑅 + 1000𝑑₁𝑔𝐸 = 1000𝑑₁𝑔(𝑅 + 𝐸 + ℎ) On divise par 1000 et g, puis on simplifie l'équation:

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 𝑑₂𝑅 + 𝑑₁𝐸 = 𝑑₁𝑅 + 𝑑₁𝐸 + 𝑑₁ℎ On soustrait 𝑑₁𝑔𝐸 des deux cotés de l'égalité:

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 𝑑₂𝑅 = 𝑑₁𝑅 + 𝑑₁ℎ 𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 𝑑₂𝑅 − 𝑑₁𝑅 = 𝑑₁ℎ 𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → (𝑑₂− 𝑑₁)𝑅 = 𝑑₁ℎ

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝑀^′) → 𝑹 = 𝒅_𝟏 (𝒅_𝟐− 𝒅_𝟏)𝒉

AN:

𝑹 = 𝟐. 𝟕

(𝟑 − 𝟐. 𝟕)𝒉 ≈ 𝟗𝒉 b) Pour un océan:

Si on prend deux points N et N' d'un même niveau équipotentiel on a:

P(N) = P(N'), avec ρ = 1000 d.

P: profondeur de l'océan. AR: anti-racine de la croûte crée au dessous de l'océan.

𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 𝜌₂𝑔𝐴𝑅 + 𝜌₁𝑔(𝐸 − 𝑃 − 𝐴𝑅) + 𝜌_𝑒𝑔𝑃 = 𝜌₁𝑔𝐸

𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 1000𝑑₂𝑔𝐴𝑅 + 1000𝑑₁𝑔(𝐸 − 𝑃 − 𝐴𝑅) + 1000𝑑_𝑒𝑔𝑃 = 1000𝑑₁𝑔𝐸 On divise par 1000 et g, puis on simplifie l'équation:

𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 𝑑₂𝐴𝑅 + 𝑑₁(𝐸 − 𝑃 − 𝐴𝑅) + 𝑑_𝑒𝑃 = 𝑑₁𝐸 𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 𝑑₂𝐴𝑅 + 𝑑₁𝐸 − 𝑑₁𝑃 − 𝑑₁𝐴𝑅 + 𝑑_𝑒𝑃 − 𝑑₁𝐸 = 0

𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 𝑑₂𝐴𝑅 − 𝑑₁𝑃 − 𝑑₁𝐴𝑅 + 𝑑_𝑒𝑃 = 0 𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → (𝑑₂− 𝑑₁)𝐴𝑅 + (𝑑_𝑒− 𝑑₁)𝑃 = 0 𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → (𝑑₂− 𝑑₁)𝐴𝑅 = −(𝑑_𝑒− 𝑑₁)𝑃

𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁^′) → 𝐴𝑅 = −(𝑑_𝑒− 𝑑₁) (𝑑₂− 𝑑₁) 𝑃

On a: (𝑑_𝑒− 𝑑₁) = −(𝑑₁− 𝑑_𝑒) donc:

𝑨𝑹 =(𝒅_𝟏− 𝒅_𝒆) (𝒅_𝟐− 𝒅_𝟏)𝑷 AN:

𝑨𝑹 =(𝟐. 𝟕 − 𝟏)

(𝟑 − 𝟐. 𝟕)𝑷 ≈ 𝟓. 𝟔𝟕 𝑷