Haute Ecole d

Haute Ecole d'Ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud

Département Technologies Industrielles

Unité SES

Analyse des

signaux analogiques

Quelques orrigés

d'exeries

F. Mudry

1 Signaux périodiques

Voir également les orrigés manusrits annexés.

SF 4 Le premier signal est une SIR d'amplitude

A = 10

^{V , de période}

T = 10

^{mse , de}

largeur

∆t = 2

^{mse et déalé de}

t _d = − ∆t/2 = − 1

^{mse . Son spetrevaut don}

X 1 (jk) = X 0 (jk)

^exp

(+j2πkf 0 t _d )

^ave

X 0 (jk) = A ∆t

T

sin

(kπf 0 ∆t) (kπf 0 ∆t)

| X 1 (jk) | = A ∆t T

sin

(kπf 0 ∆t) (kπf 0 ∆t)

= 2

^V

sin

(kπ/5 (kπ/5)

∠ X 1 (jk) = (0

^ou

± π) + 2πkf 0 t _d = (0

^ou

± π) − kπ/5

Le deuxième signal est une SIR abaissée de 3 V, d'amplitude

A = 9

^{V , de période}

T = 10

^{mse , de largeur}

∆t = 5

^{mse et déalé de}

t _d = − ∆t/2 = − 2.5

^{mse . Pour}

k 6 = 0

^{, son}

spetrevaut don

| X 2 (jk) | = A ∆t T

sin

(kπf 0 ∆t) (kπf 0 ∆t)

= 4.5

^V

sin

(kπ/2 (kπ/2)

∠ X 2 (jk) = (0

^ou

± π) + 2πkf 0 t _d = (0

^ou

± π) − kπ/2

Commeon asoustrait unetensionontinue de 3 Và laSIR, laomposante DC vaut

X 2 (0) = 4.5 − 3 = 1.5

^V

Lesspetressont présentés danslagure1.

SF7 Puisque

X(jk) = 0

^pour

| k | > 1

^{, onendéduitquelesignal}

x(t)

^{estonstituéd'une}

omposante DC et de la fondamentale. Celle-i est obligatoirement une sinusoïde ar le

signalestimpair. Ona don

x(t) = A 0 + A 1 sin (2πf 0 t)

^ave

f 0 = 1

T = 1

2

^mse

= 500

^Hz

Commesapuissane vaut 1,on doitavoir

P = A ² ₀ + 1

2 A ² ₁ = 1

Parmi l'innité de solutions, onpeut enhoisirdeux

P = 0 + 1

2 A ² ₁ = 1 ⇒







A 0 = 0 A 1 = √ 2

P = A ² ₀ + 1

2 A ² ₁ = 1 2 + 1

2 = 1 ⇒







A 0 = 1/ √

2

A 1 = 1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2

|X 1 (jk)|

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−4

−2 0 2 4

fréquence [kHz]

/X 1 (jk)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 1 2 3 4

|X 2 (jk)|

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

fréquence [kHz]

/X 2 (jk)

Fig.1:Ex SF4

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

−10

−5 0 5 10

t [ms]

x(t) [V]

+A

−A

−∆ t +∆ t

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

fréquence [kHz]

Im(X(jk))

Fig.2:ExSF 10

SF 10

1. Le spetre de e signalimpairest purement imaginaire.

2. On observe que

x(t)

^{est la diérenes de deux SIR}

x 0 (t)

^{déalées de}

± ∆/2

^{; on a}

don

x(t) = x 0 (t − ^∆t 2 ) − x 0 (t + ^∆t ₂ )

^{. Enutilisant lethéorèmedudéalage,onobtient}

X(jk) = X 0 (jk) ·

^exp

− j2kπf 0

∆t 2

− X 0 (jk) ·

^exp

+j2kπf 0

∆t 2

= X 0 (jk) ·

exp

− j2kπf 0

∆t 2

−

^exp

+j2kπf 0

∆t 2

= X 0 (jk) · ( − 2j)

^sin

2kπf 0

∆t 2

= X 0 (jk) · ( − 2j)

^sin

(kπf 0 ∆t)

Comme

X 0 (jk) = A ∆t T

sin

(kπf 0 ∆t) (kπf 0 ∆t)

il vient

X(jk) = − j 2A ∆t T

(

^sin

(kπf 0 ∆t)) ² (kπf 0 ∆t)

Le module et laphasedu spetrevalent don

| X(jk) | = 2A ∆t T

(

^sin

(kπf 0 ∆t)) ² (kπf 0 ∆t)

∠X(jk) =







− π/2

^si

k > 0

0

^si

k = 0

+π/2

^si

k < 0

3. La puissane dee signalvaut

P = 1 T

Z +T /2

−T /2

x ² (t) dt = 1 T

Z +∆t

−∆t

A ² dt = 2A ² ∆t T

4. Commelespetreestpurementimaginaire,ontraesimplementsapartieimaginaire

(gure 2).

SF25 Comme le signalsinusoïdal passe au travers d'un ltre linéaire,le signalde sortie

estune sinusoïde non déformée.Son TDH estdon nul.

SF26 On onstate que, pratiquement, les omposantes spetrales non nulles sont elles

d'ordre impair. Onpeut ainsinégliger les omposantes paires.Ona don

T DH = q P

k> 1 A ² _k A 1

= 1.6%

X _{ef f} = s

A ² ₀ + 1 2

X

k≥ 1

A ² _k = 4.57

^V

_{ef f}

P _x1 = 1 + 1/2 (41 + 13 + 2) = 29 [V ² ]

P _x2 = 1 + 1/2 (9+4) = 14.5 [V ² ]

P _x3 = 25 + 1/2 (100+20) = 85 [V ² ]

0.4

P = A ² ∆t/T = 0.8 [V ² ]

cx SF 14.1

cx SF 14.2

2 Signaux non périodiques

Voir également les orrigés manusrits annexés.

TF 6

1.

fréquene temps

1 lapartie réelle de

X(jf )

^{estnulle le signal}

x(t)

^{est impair}

2 la partie imaginairede

X(jf)

^{est nulle lesignal}

x(t)

^{est pair}

3 ilexiste undéalage

t 0

^{telque en déalant}

x(t)

^de

t 0

^,

exp(j2πf t 0 )X(jf)

^{est réel onobtient unsignal pair}

4 ilexiste undéalage

t 0

^{telque en déalant}

x(t)

^de

t 0

^,

exp(j2πf t 0 )X(jf)

^{est imaginaire onobtient unsignal impair}

5

X(jf )

^{estontinu le signal}

x(t)

^{est nonpériodique}

2.

Signaux a b d e f

Propriétés 2,4 3,5 4 1,5 2, 5 1,5

t 0 ± 0.5 − 2 − 0.5

3. Un signalpériodiqueonstitué de deuxtriangles diérents.

TF 7

1. On sait que le spetre d'un signal triangulaire entré

x 0 (t)

^{est un sinus ardinal}

à la puissane 2; son spetre de phase est don nul. Comme le signal proposé est

onstitué de deux triangles, son spetre de phase ne dépend que du déalage par

rapport àl'origine

t _d = − 1

^{mse . Onadon}

∠ X(jf) = ∠ X 0 (jf ) + 2πf t _d = 0 − 2π10 ⁻³ · f [

^rad

]

2. On avuque

X(f = 0) = Z +∞

−∞

x(t) dt = 1 · 2

^mse

= 2 · 10 ⁻³ [

^se

]

3. Demême

Z +∞

−∞

X(jf) df = x(t = 0) = 1 [

^V

]

4. Grâe authéorème deParseval,on sait que

W = Z + ∞

−∞ | X(jf ) | ² df = Z + ∞

−∞

x ² (t) dt

ave

W = Z + ∞

−∞

x ² (t) dt = 4

Z t =0 . 001 0

1 1

^mse

t

2

dt

= 4 · 10 ⁶ t ³ 3

0.001

0

= 4

3 10 ^{− 3} [

^V

²

^se

]

Energie = W = ∫ ^{|U(jf )| 2} df = 2 · 1 · (f ₂ - f ₁ ) = 200 [V/Hz] ² · Hz = 200 [V ² · sec]

3 Analyse spetrale numérique

TFD 0

1. Voir orretion autableau.

2. Considérantlasuite

x[n] = { 0, 2, 4, 0 }

^{,onommeneparalulersonspetredisret}

(sa TFD)en eetuant lasommesur

n X _D [jk] =

N −1

X

n=0

x[n]

^exp

( − j2πkn/N )

=

3

X

n =0

x[n]

^exp

( − j2πkn/4)

= 2

^exp

( − j2πk · 1/4) + 4

^exp

( − j2πk · 2/4)

= 2

^exp

( − jk π/2) + 4

^exp

( − jk π)

puis on alulelesomposantes spetralespour

k = 0, 1, 2, 3 X _D [j0] = 2 + 4 = +6

X _D [j1] = 2

^exp

( − j π/2) + 4

^exp

( − j π) = − 4 − 2j X _D [j2] = 2

^exp

( − j π) + 4

^exp

( − j 2π) = − 2 + 4 = +2 X D [j3] = 2

^exp

( − j 3π/2) + 4

^exp

( − j 3π) = − 4 + 2j

Comme lespetre disret estreliéauxséries de Fourier par

X _SF [jk] = 1

N X _D [jk]

3. À es omposantes spetrales de laTFD orrespondent les omposantes bilatérales

de lasériede Fourier

X SF [jk] = 1

N X D [jk], k = 0, · · · , N − 1 = 3

et unilatérales

A _k

^:

k = 0 A 0 = X _SF [0]

k = 1, · · · , N/2 − 1 A _k = 2 | X _SF [jk] | α _k = ∠ X _SF [jk]

k = N/2 A _N/2 = | X _SF [jN/2] | α _N/2 = ∠ X _SF [jN/2]

On obtient ainsi

k 0 1 2 3

X _SF [jk] 1.50 − 1 − 0.5j 0.5 − 1 + 0.5j A _k ∠ α _k 1.50 2.236 ∠ − 2.68 0.5 ∠ 0.00

On peut alors aluler lesignaltemporel

x(t)

^{ausens de Fourier}

x(t) = A 0 + A 1 cos (2π f 0 t + α 1 ) + A 2 cos (4π f 0 t + α 2 ) + · · ·

Ce quidonne

x(t) = 1.5 + 2.236 cos (2π f 0 t − 2.68) + 0.5 cos (4π f 0 t)

Dans Matlab, les aluls i-dessus serésumsent auxlignes de odesprésentées dans

lagure TFD0.

% signal x[n℄ et sa TFD Xd[jk℄

xn = [0,2,4,0℄;

N = length(xn);

Xdjk = fft(xn);

nn = 0 :N-1; fk = 0 :N-1;

% spetre unilatéral

Ndemi = round(N/2);

Xjku = Xdjk(1 :Ndemi+1) / N;

Ak = 2*abs(Xjku);

Ak(1) = Xjku(1); % omposante DC

Ak(Ndemi) = Xjku(Ndemi); % omposante de Nyquist

ak = angle(Xjku);

% paramètres temporels

Te = 1; duree = 4*Te;

Npts = 1000; tmin = -1; tmax = duree;

dt = (tmax - tmin)/Npts;

tt = tmin :dt :tmax-dt;

% signal temporel périodique

f0 = 1/duree;

xt = Ak(1)*ones(size(tt));

for k = 2 : Ndemi+1

xt = xt + Ak(k)*os(k*2*pi*f0*tt + ak(k));

end;

0 1 2 3

0 1 2 3 4

n ⋅ T _e x[n]

−5 0 5 10

0 0.5 1 1.5

k ⋅ ∆ f

|X[jk]|

−1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1 2 3 4 5

temps [sec]

x(t)

Signal analogique reconstruit

Fig.3:Ex. TFD0

TFD 1 :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X _D [jk]

^{4 2+j 3+2j j 2 j 32j 2j 4 2+j 3+2j}

| X _D [jk] |

⁴

√

5 √

13

^{1 2 1}

√

13 √

5

⁴

√

5 √

13

∠ X _D [jk]

^{0 0.464 0.588 1.571 0 1.571 0.588 -0.464 0 0.464 0.588}

f [kHz]

^{0 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250}

1. Le tableau i-dessusdonne les résultats

X _D [jk]

^{provenant d'une FFT.}

2. Le signaltemporel

x _N [n]

^{estdon disretet} périodique.

3. Utilisantune despropriétés de laTF,on a

x _N [n = 0] = 1

N x _D [0] = 1 N

X X _D [jk]

= 1

8 (4 + (2 + j) + (3 + 2j) + (j) + (2) + ( − j) + (3 − 2j) + (2 − j))

= 1 8 16 = 2

4. Sahant que

x N [n] = _N ¹ x D [n]

^{, ilvient}

x N [n] = 1

8

7

X

k =0

X D [jk]

^exp

(+j2πn k/8)

TFD 2 :

1. Graphe : gure ExTFD2.

2. La suite de valeurs

x[n]

^{est onstituée de8 pointset}

t _max = N T _e = 8 [msec]

^.

3. Après délenhement de l'aquisition par le an montant, on aura ertainement

x[0] = x[1] = x[2] = A

^et

x[3] = 0

^{.D'unpointdevuepurement}mathématique, ilest plus élégant et plusorretde onsidérer

x[0] = A/2 = x[3]

^.

4. Le domaine spetral analysé s'étend de

− f e /2 = − 500 Hz

^à

+f e /2 = +500 Hz

^et

l'inrément de fréquenevaut

∆f = ^f _N ^e = 125 Hz

^.

5. Le ompteur kdesfréquenesvarie de0 à N1 =7.Onaen partiulier

X _D [j0] =

N− 1

X

n =0

x[n] exp

− j2π 2 · 0 N

=

2

X

n =0

x[n] = 3 A = 15 [V ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1 0 1 2 3 4 5

fréquence [k ∆f]

|X D [jk]|

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−1 0 1 2 3

temps [n ∆t]

x N [n]

Fig. 4:ExTFD1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−1 0 1 2 3 4 5 6

temps [n ∆t]

x(t) et x N [n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 10 15

fréquence [k ∆f]

|X D [jk]|

Fig. 5:ExTFD2

X D [j2] =

N−1

X

n=0

x[n] exp

− j2π 2n N

= A + A exp

− j2π 2 · 1 8

+ A exp

− j2π 2 · 2 8

= 5 + 5 cos(π/2) − j5 sin(π/2) + 5 cos(π) − j5 sin(π)

= 5 − j 5 − 5 + j 0 = − j5 = 5 ∠ − π/2

6. La valeur spetraleen

f = 0

^, 'est-à-dire

X _D [jk = 0]

^{, esttoujours égale àlasomme}

des valeurstemporelles.Ce résultatest bienonrmée par lealul au point 5.

TFD 3 :

1. Graphe : gure ExTFD3a.

2. Le spetre

X _D [jk]

^n'estpasindépendant delalongueur

N = 2m

^{de lasuite puisque}

l'inrément de fréquenevaut

∆f = ^f _N ^e = ₂ ^f _m ^e

^{. Onadon pour}

0 ≤ k ≤ 2m − 1

^:

X _D [jk] =

+2

X

n = − 2

x[n] exp

− j2π n · k 2m

= 1 + 2 · 1 cos(π 1 · k

m ) + 2 · 0.5 cos(π 2 · k m )

3. Siondoublelenombred'éhantillons,onaméliorelarésolutionspetrale;'est-à-dire

quelenombre deomposantesspetralesaluléesentre

0 · · · f _e

^{estdoublé(gureEx}

TFD 3b,et d).

TFD 4 :

1. Graphe : gure ExTFD4.

2. La déompositionen sériede Fourier (spetrebilatéral) donne

X _SF [jk] =







A 1 /2 = 0.5 si k = ± 1 A 2 /2 = 0.5 si k = ± 2

0 sinon

En portant es résultatsdans le tableau de l'énoné où la fréquene estentrée sur

l'origine(spetrebilatéral), onobtientletableaudelagureExTFD4.Onvoitainsi

que lerésultat fournipar laFFT orrespondà larelation suivante

X _D [jk] = N X _SF [jk]

3. Cette fois-i,lenombre de pointsest

N = 32

^{et ladénitionspetrale vaut}

∆f = f _e

N = 8 kHz

32 = 0.25 [kHz]

Comme les raiesspetrales sesituent en

f 0 = 1 kHz

^et

2f 0 = 2 kHz

^{, onvoit quelles}

seront séparéespar desvaleursnulleset queleur amplitude vaudra

X _D [jk] = N X _SF [jk] = 32 · 0.5 = 16

En limitant letableau auxraiesspetrales omprisesentre0 et

f _e /2

^{, on a:}

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

temps [n ∆t]

x(t) et x N [n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5

|X D [jk]|, N = 8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 1 2 3 4 5

|X D [jk]|, N = 16

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5

fréquence [k ∆f]

|X D [jk]|, N = 32

Fig. 6:ExTFD3

k

^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15}

f [kHz]

^{0 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 3.75}

X _D [jk]

^{0 0 0 0 16 0 0 0 16 0 0}

TFD 5 : On éhantillonne une exponentielle déroissante où

A = 5 [V ]

^,

τ = 5 [msec]

ave une période d'éhantillonnage

T _e = 1 [msec]

^.

1. Le tableau destransformées de Fourier donne :

x(t) = A exp( − t/τ ) ǫ(t) ⇔ X(jf) = A τ 1 + j2πf τ

2. Considérant les instants

t = n T _e

^{, ona :}

x[n] = x(n T e ) = A · exp ( − n T e /τ ) = A · exp ( − T e /τ ) ⁿ = A · r ⁿ x[n] = A · r ⁿ

^{est don unesuite} géométrique de raison

r = exp( − T _e /τ ) = 0.819

^.

3. La TF

X _e (jf )

^{de lasuite inniment longue}

x[n]

^vaut

X _e (jf) = T _e

+ ∞

X

−∞

x[n] exp( − j2πf nT _e )

= T _e

+ ∞

X

n =0

A r ⁿ exp( − j2πf T _e ) ⁿ

= T _e

+∞

X

n=0

A (r exp( − j2πf T _e )) ⁿ

= A T _e 1

1 − r exp( − j2πf T _e )

4. Lorsquelasuite

x[n]

^{esttronquée, lasommei-dessusneportequesurles}

N

^valeurs

prises en ompte:

X _e,N (jf ) = T _e

N−1

X

n=0

A (r exp( − j2πf T _e )) ⁿ

= A T e 1 − (r exp( − j2πf T e )) ^N 1 − r exp( − j2πf T e )

5. L'axe desfréquenesompris entre0 et

f e

^{estdisrétisé en}

N

^{valeurs.Ona don :}

∆f = f _e

N f = k ∆f f T _e = k N

et

X _D [jk] ≡ 1

T _e X _e,N (jf) | _f = k ∆ f = A 1 − (r exp( − j2π k/N )) ^N

1 − r exp( − j2π k/N )

k 4 3 2 1 0 +1 +2 +3

X _SF [jk]

^{0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0}

X _D [jk]

^{0 0 4 4 0 4 4 0}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

temps [n ∆t]

x(t) et x N [n]

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5

fréquence [k ∆f]

|X D [jk]|

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

temps [n ∆t]

x(t) et x N [n]

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20

fréquence [k ∆f]

|X D [jk]|

Fig. 7:ExTFD4

6. Pour

f = 0

^{, les4 spetresi-dessusvalent don :}

X(jf) | f =0 = A τ = 25 · 10 ^{− 3} [V sec]

X e (jf) | f =0 = A T e

1

1 − r = 5 · 10 ^{− 3} 1

1 − 0.819 = 27.56 · 10 ^{− 3} [V sec]

X _e,N (jf) | _f =0 = A T _e 1 − r ^N

1 − r = 5 · 10 ^{− 3} 1 − 0.819 ¹⁶

1 − 0.819 = 26.44 · 10 ^{− 3} [V sec]

X _D (jk) | k=0 = A 1 − r ^N

1 − r = 5 1 − 0.819 ¹⁶

1 − 0.819 = 26.44 [V ]

AnSp 1 :

N T _e t _max ∆f f _e

40 0.5ms 20 ms 50Hz 2kHz

20 1 ms 20 ms 50Hz 1kHz

50 0.2ms 10 mse 100 Hz 5kHz

100 1 ms 100 ms 10Hz 1kHz

50 1 ms 50 ms 20Hz 1kHz

500 2 ms 1 s 1Hz 500 Hz

30 1 ms 30 ms 33.3 Hz 1kHz

25 0.2ms 5 ms 200 Hz 5kHz

AnSp 2 : La fenêtre retangulaire doit être utilisée pour tous les signaux qui n'appa-

raissent qu'une fois (signaux non permanents, réponses indiielles, impulsionnelles) : si-

gnaux2,3,5,6,7.

Les fenêtres en osinus sont utilisées pour l'analyse de signaux périodiques ou de bruits

permanents. Dans e as, il est souhaitable d'avoir susamment de périodes pendant la

duréedel'enregistrement : signaux 1,4,8.

AnSp 3 :

1. Lesignalenregistréestpériodiqueetomporteexatementdeuxpériodes.Onhoisira

don une fenêtre retangulaire.

2.

N = 20, t _max = 20 ms, f _e = 1 kHz, ∆f = 50 Hz

3. Lesraiesspetralesréelles(ellesdusignalanalogique

x(t)

^{)sontaunombre detrois:}

A 0 = 3, A 1 = 4 ∠ 0, A 2 = 2 ∠ − π/2

^{. Commeona enregistré20valeurs}temporelles, il yaura 20 valeurs spetrales dont seules l'amplitude et la phase des 10 premières

seront intéressantes.

4. Amplitudes et phases duspetre bilatéral :

k

^{-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1}

f = k∆f

^{-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50}

| X[jk] |

^{0 0 0 0 0 0 1 0 2 0}

∠ X[jk]

^{0 0 0 0 0 0}

+π/2

^{0 0 0}

k

^{0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9}

f = k∆f

^{0 +50 +100 +150 +200 +250 +300 +350 +400 +450}

| X[jk] |

^{3 0 2 0 1 0 0 0 0 0}

∠ X[jk]

^{0 0 0 0}

− π/2

^{0 0 0 0 0}

5. Si l'on éhantillonne sixpériodes au lieu de deux, ladurée et la dénitionspetrale

valent

t _max = 6/f 0 = 60 ms

^,

∆f = 1/60 ms = 16.67 Hz

^{. Comme les omposantes}

spetrales non nulles sont situées en

0, 100 Hz, 200 Hz

^{et que le ompteur des fré-}

quenes vaut

k = f /∆f

^{, on voit que les omposantes non nulles se situeront en}

k = 0, 6, 12

^.

AnSp 4

1. Le signal

x(t) = 1 + 5 sin (2πf _a t) + 2 sin (2πf _b t) , f _a = 1 [

^kHz

], f _b = 1.5 [

^kHz

]

omportedeuxomposantesspetrales

f a = 2f 0

^,

f _b = 3f 0

^multiplesde

f 0 = 500 [

^Hz

]

^.

Sa période vaut don

T 0 = 1/f 0 = 2

^{ms alors que les périodes}

T _a

^et

T _b

^valent

respetivement 1[ms℄ et 0.667[ms℄. Son spetre unilatéral de

x(t)

^s'érit

A 0 = 1, A 1 = 0, α 1 = 0, A 2 = 5, α 2 = − π/2, A 3 = 2, α 3 = − π/2

Les valeurs eaesDC et ACvalent respetivement

X _dc = A 0 = 1, X _ac = s

P

k6 =1 A ² _k

2 =

r 5 ² + 2 ²

2 = √

14.5

2. Sahant que

T _e = 125 [µ

^s

]

^et

T = 10 [

^ms

]

^{(voirgure 8a),}

a) on a

f _max = f _e = 1/T _e = 8

^kHz,

∆f = 1/T = 100

^Hz;

b) omme lenombre depériodesde

x(t)

^{est un entier (}

T /T 0 = 10/2 = 5

^{),il n'est}

pasnéessaire d'utiliser unefenêtre d'observation;

) omme

f _a = 1

^kHz

, f _b = 1.5

^{kHz et}

∆f = 100

^{Hz , on voit quees omposantes}

spetrales sesitueront en

k = k _a = f _a /∆f = 10

^{et en}

k = k _b = f _b /∆f = 15

^.

3. Dans e as,

T = 11 [

^ms

]

^{(voir gure8b) ,}

a) on aura don

f _max = f _e = 1/T _e = 8

^kHz,

∆f = 1/T = 91

^Hz;

b) omme lenombredepériodesdusignal

x(t)

^{n'estpasunentier(}

T /T 0 = 11/2 = 5.5

^{), ilfautenvisager} l'utilisation d'unefenêtred'observationautre queretan- gulaire;

) omme

f _a = 1

^kHz

, f _b = 1.5

^{kHz et}

∆f = 1000/11

^{Hz, on voit que esompo-}

santes spetrales se situeront en

k a = f a /∆f = 11

^{et en}

k _b = f _b /∆f = 16.5

^.

Ainsi, la fréquene

f _a

^sera représentée par une seule raie spetrale située en

f = k _a ∆f = f _a = 1000

^{Hz alors quelafréquene}

f _b

^sera représentéepar un en- semble de raiesspetrales situéesautour de

k _b

^{, dont les deux plus}importantes sonten

f = f _b ± ∆f /2 = 1500 ± 45.5

^Hz;

d) L'observation des spetres obtenus ave les fenêtres retangulaire et de Hann

montrequedansleas deetexemple où lessignauxn'ont pasdesamplitudes

très diérentes, lefenêtrage n'apporte riend'intéressant.

0 2 4 6 8 10 12

−5 0 5

x(t), x[n]

0 2 4 6 8 10 12

−5 0 5

0 1 2 3 4

0 2 4

|X[jk]|

0 1 2 3 4

0 2 4

0 1 2 3 4

0 2 4

f [kHz]

0 2 4 6 8 10 12

−5 0 5

t [ms]

Hann

Fig. 8:Ex.Ansp4

4 Corrélation

Corr 0

r _xy (m) =

+ ∞

X

n = −∞

x(n) y(n + m)

n · · ·

^{-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}

· · ·

x(n)

^{0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0}

y(n)

^{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 0 0 0 0}

r xy (n)

^{0 0 0 16 24 25 20 10 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0}

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4

x(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4

y(n)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0 10 20 30

n, m r xy (m)

Fig. 9:Exerie Corr 0

Corr 1 Les fontions

x(t), x(t + ∆t), x(t + 2∆t),

^et

r _xy (τ )

^{sont esquissées i-après ave}

uneamplitude

A = 1

^et

∆t = 1

^.

Onvoitainsique

r _xx (τ ) = Z + ∞

−∞

x(t) x(t + τ ) dt

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

x(t)

t / ∆ t

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

x(t+ ∆ T)

t / ∆ t

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

x(t+2 ∆ T)

t / ∆ t

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1 2

r xy ( τ )

τ / ∆ t

Fig. 10:Exerie Corr 1

prend lesvaleurspartiulièressuivantes

r _xx (0) = Z + ∞

−∞

x ² (t) dt = Z +∆ t

−∆t

A ² dt = 2A ² ∆t

r xx (+∆t) = Z 0

− ∆ t

( − A) · (+A) dt = − A ² ∆t

Pour un déalage

τ

^{égal à}

2∆t

^{, onvoitqueleproduit}

x(t) x(t + ∆t)

^{est nul et on a don}

r _xx (+2∆t) = 0

Commelafontion d'autoorrélationestpaire, ona bienévidemment

r xx ( − ∆t) = r xx (+∆t), r xx ( − 2∆t) = r xx (+2∆t)

Laliaisonentreespointspartiuliers sefaitpar segmentsdedroitearl'intégrationd'une

onstante donne une droite.

Corr2 Lestroissignauxainsiqueleurfontiond'autoorrélationrespetivesontprésentés

danslagurei-après.Onnotera, en pointillé, la positiondes signauxavanésde

+∆t/2

^.

Calul des trois fontions d'autoorrélation Avant de plonger dans les aluls, il est

important de s'arrêteruninstant surlesgraphes desfontions

x(t)

^{et leur versiondéalée}

−1 0 1 2 3 4 5 0

0.5 1

x k (t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

r xx,k (τ)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

t/∆ t −3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

τ /∆ t

Fig. 11:Exerie Corr 2

x(t +τ )

^{ainsiquesurleurproduit;leslimitesdesintégralesàaluler}apparaîtrontalorsde manièreévidente. Deplus, ommelafontiond'autoorrélationestpaire,onseontentera

dealuler savaleurpour

τ ≥ 0

^.

1. Pour l'exponentielle, an de simplier l'ériture, on pose

a ≡ 1/τ 1

^{; e qui donne}

x(t) = A

^exp

( − t/τ 1 ) · ǫ(t) ≡ A

^exp

( − a t) · ǫ(t)

r xx (τ ) =

Z +∞

−∞

x(t) x(t + τ ) dt

= A ² Z +∞

0

exp

( − a t) ·

^exp

( − a(t + τ )) dt

= A ² ·

^exp

( − a τ) Z + ∞

0

exp

( − 2a t) dt

= A ² ·

^exp

( − a τ) ·

^exp

( − 2a t)

− 2a

∞ 0

= A ²

2a

^exp

( − a τ), τ ≥ 0

Tenant ompte delaparité de

r _xx (τ )

^{, il vient}

r _xx (τ ) = A ²

2a

^exp

( − a | τ | ), −∞ < τ < + ∞

2. Pour l'impulsionretangulaire, on a

r _xx (τ ) =

Z + ∞

−∞

x(t) x(t + τ ) dt

=

Z +∆ t/ 2 −τ

− ∆ t/ 2

A · A dt

= A ² (∆t − τ ), 0 ≤ τ ≤ ∆t

Tenant ompte delaparité de

r _xx (τ )

^{, il vient}

r _xx (τ ) =

( A ² ∆t 1 − ∆ ^|τ| t

si

− ∆t ≤ τ ≤ +∆t

0

^sinon

3. L'observationde l'impulsiontriangulaire et de saversion déalée montrequelepro-

duit non nul se situe entre

− ∆t

^et

+∆t − τ

^{et que dans e domaine,} apparaissent quatresegments dedroite dénissant

x(t)

^et

x(t + τ )

^. Contentons-nous donde al- uler unpoint de la fa,elui pour

τ = +∆t/2

^{, omme représenté surla gure. On}

a alors quatresegmentsde droites depentes

± A/∆t

^{dérites par}

d 1 : + A

∆t

t + 3 2 ∆t

d 2 : + A

∆t

t + 1 2 ∆t

d 3 : − A

∆t

t − 1 2 ∆t

d 4 : − A

∆t (t − ∆t)

Dans e as, lafontiond'autoorrélationpour

τ = +∆t/2

^vaut

r _xy (+∆t/2) =

Z −∆t/2

− ∆ t

d 1 · d 2 · dt + +

Z 0

− ∆ t/ 2

d 2 · d 3 · dt + +

Z +∆ t/ 2 0

d 3 · d 4 · dt

Le alul ave Matlab donne

r xy (+∆t/2) ≃ 0.48

^.

Corr 3 Avant de se laner dans les aluls de

r _xh (τ )

^{, il faut se donner les équations de}

x(t)

^et

h(t)

^:

x(t) =

( 1

^si

0 ≤ t ≤ 1 0

^sinon

h(t) =

( t

^si

0 ≤ t ≤ 2 0

^sinon

don

h(t + τ ) =

( t + τ

^si

0 ≤ t ≤ 2 − τ

0

^sinon

Lealul dequelquesvaleurspartiulièresdonne

r _xh (0) = Z 1

0

1 · t dt = t ² 2

1 0

= 1 2

r _xh (1) = Z 1

0

1 · (t + 1) dt = (t + 1) ² 2

1 0

= 2 − 1 2 = 3

2 r _xh (τ ≥ 2) = 0

r _xh (τ ≤ − 1) = 0

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1

x(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5 2

h(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5 2

t ou τ r xh ( τ )

Fig. 12:Exerie Corr 3