ltt r l.-.*' f(i] telleo'"rlrf(1)<n+r-11. ES§EC

ES§EC

Errbliscmcnt kiné dEnrifrcacrt Sptrlcrr ^fccoeau r., ^fFrlt

CONCOURS DIADMISSION dC I98I

UATHBMAIIQTES

-

^{2êue épreuve}

(Coef. 4)

Hercredi 6

nai l98l

de 8b

à

^l2h

" c;.

[.eE

partles II, fIf, IV,

Êont, dans une

large

ilêsuror lndÉpendantes,

Qgestion

préli.sripgire :

I'lontrer que,

ai X

déalgne uns

varl$le

aléatotr'e

à

valeure dans

lN*,

on

a,

^pour

tout

^entXer

n

supérleur ou égal

à I

^I

n

n-1

f netx'tt)= I P(x>kl-nP(x>n)

k=1

^k=B

I-

Solent

p _Bt q

deux

entlers naturels tels

que 1.< p

( q .

Quel

est le

nombre

d'appll- cations strlcterpnt

croissantes de'11

,2,..,, F)

^{dans 1,1}

,2, '..r g)

^?

n et r

dÉslgnent deux

entiers naturels

non

nuls,

on

note

^:

€r { {1,2,...rn} 11,2,...,r} n

_I

J1 ₌

ltt r l.-.*' f(i] telleo'"rlrf(1)<n+r-11.

et,l,

Gt- l'ensemble deg

appllcatlons stri.cterent

crol.saantes

de 11,2,..., nl

^danÉ

{1

,2, ..., ^tt r r -

1}.

Î'tontrer que

I'4pl1cation o de \ aans'{ déflnle par

^:

Vte \, ^{Vr e {1,} z, .,., n} o(fl [h] .

k

-[^ ttrl ^est

^une

^bUectlon.

En déduire

re

cardlnar

de q .

l-1

ÉcoIT

sUPÉRIEURE DE§ §cIENcE§ ÉCONOITfiIQUES ET COMMERCIALB§

1.

2.

,/.

*2*

3. n, N, m

dÉslgnant des

entlers naturels nonnuls tels'que o.(m(N

⁺

n -

1,

dédulre das

résultats

précÉdents

le

norÈr.e'de

n-uplets [ur, u2,..., un]

^éléments dg

{1, 2, ...,

^{N}f, :}

a) tels ^que

^u1

*

uZ

* ...

⁺ _.un

_§

^m

b) tels ^que ul t

^uz

* .r. * ,n

=

c) tels ^que

^u1

,

u2

( _.. r . ,n

1 ^{(on supposera}

lcl ⁿ

> ²¹

d) tels ^que

^u1

^(.uZ ( ... ( Un

[on.pourrô ^remarquÊr qu'un

tel

n-uplet eEt Entlèrament

dÉftnt par las

^nombres, ÉventuEllsnent

nuls,Yl'Y2,.'Vp

de 1,dB

2,...

de f{

gul y flgurent,

pul.s prerdre-comne lnco.nnues ,.Y1,1*Y2,..,l+V,, de façon à

utt- llser I-3-b

convenablement adapté)

.

A..tttre tndtcatlf, et

^{en vue}

^{de leur} utlllsatlon

éventuelle dans

la

suLte du ^pro-

'ijl-fi;;-tü-;éÈ1sâs

_{aux questlons}

₃ a), bl, c), d)

sont respectlvernent ^:

c| , c[-, , cl ^(sl

ⁿ

^{< N] , ÊX.n-r}

^.

Oang-toute

la sulte'

^N dé§.tgfr.e un

gPtter

sypértqur ^{og Égal}

à 3, et l'on

^consldère

una ume

contenant N

Jetons nurÉrot6s de 1

à

^N.

gant _La

partle {L,

^on

^tl.r€

^{"au hasard}

^et

^.s.ênF

^rgmlse'

^chacun des Jetons de

ætta

Urne

Et l.on note [ur, ur, ,..,

^uO)

^{la sulte}

^{des nsrùrres alnsL obtenus'}

Oans 1ee

oartlee IIf , fV,

^on

ttrs 'au

f'æa"A

et

^{qyeg pemlse' des} Jetons da cEtte urns

et l.on note [ur, j, r..:.ttnr ...J

^1â

^sulte

^des

ntrûrss alnsl

^obtsnu§'

i

-II-

sott .\ la varlable al§atolre

^{êgale au}

plus petlt entler 1 >.1, srtl ^exlste' tal ^{que u-}

_'1

, ,".1 r

^slnon

à ^'N

^.

1. n€ N., calculer P(\

^{> n)}

. 2. ^-En d6dulrs

la lol

^Oe

ptoU*tllté de

1* ."t

^{son espÉrancs} mathérnatlque

Eth) '

i.

3.

tlÉterrnd.nei.

,H ^E(xNl .

⁺

'i

-3-

4.

wlontrer qu'iJ.

exista

une

varlable aIéatolre.

^X

,

^{à valeurs dans}

'N*, telle

^{que 3}

Vr

e n"

^p(X=kl

= tim P(x;

=

k) r

¹

. ^N++o

Oémontrer

que X

^possède une espérance mathématique,

et la

corparer

à

^{f1m E(K,).}

N++t ^l\

:III-

1. Calculer, pour n entier

supérleur ou éga1

à 2,

vn =

P[u.,..

12

..' _§

un)

pose, dans

la sul.te, ,1 =

¹

2.

['lontrer que

]es

sÉrles ^de

terres

généraux

respectifs ,n,

^hvn,

^et

^Hn = vn

-

vn.,i convergent. Que

,"ut *f

*^

^?

nlr

ⁿ

3.

En déduire.L'existence d'une

variable aléatolre

^ZN

,

à valeutsdans

lN*, telte gue

ZN =

r sl et

^seulement

st r est }e plus petl-t entler teI que

ur.

)

ur+1

Montrer

que Z.u

adrnet une espÉrance mathématlque E(2..1 =

ti ,^

^.

' 4. Ecrire la

formule de Mac-Laurin, ovec

reste

de Lagrônge'

puul io i\r,,-.--.,

^.

P

tr+({+x}-N I _"n

^{dÉdulre une} expresslon

d, ^'[-v,., , puis

^E[ZN]

n=1 ll

' 0éterminer llm

E(Z^,)

ll++- ^rr

5.

I'lontrer

qu'1l existe

une

variable alÉatoire Z , à

valeurEdans

tN*, tel'le

^{gue :}

Vte N*

P(Z =

k) = lim

= ^PtZ..

= k)

^:

Ji

^{PrZ'o =}

Comparer

ZetX.

.IV,

1. k

appartenant

à t1, 2, ..., ^N),

^quel.ie

est la probèbllitè.de

l'êvenernent ^:

ÿte {r, z, ..., n} k. ^{u1*i (:o} :

dÉsigne un

entier

-supérleur ^ou égal

à

I

).

-4

En

déduire, pour n

élément

de fN*, Ia probabillté

de 1'événernent

A défini

n

par

!

e {1,2,..., n}

u1

.

u1*1

2.

ltlontrer ^que

la sérle

de terme

général ,n déflnl par *0 = 1 et

^xn

-

P(An)

sl n t ¹ r

collverge

et calculer

sa so[f,nGr.

. 3.

^Prouver

I'existence

d'une va.rlable

alÉatoire.

TN

, ^à

vafeurs dans

tN*, telle que

TN

= " sl et

seulement

s1 r est le ^plus petlt entler strlctement

^poal-

. tlf tel

^{que :}

ur*1

( fnf

^(u,

r

^tJ2t

..., u") .

_.

4. tïontrer gue TN adrpt

une espérance mathématlque que

1'on

^pqlculer6.

' Bétermlner llm

E(TN) ^.

1t++-

5,

ⁿ

e N ;

dÉtermlpgrr 8D

utlll.sant la valeur

moyenne de

la fonctlon

^:

n "'1

xl*x,' _=r:. to,r, ,.n#: ^p[T*

^>

ⁿ⁾

^,

. ^llontrer qu,tl Bxtste

une varl.able

alÉatoire T , ^à

^{valeurè dans}

^{tN*, telle} . ^qr",

^:

ÿn€il*

^PIT

^{- *r.=}

n#:

^{P(Tn = k)}

'et que T

ns possèdê Pas d'espérance mathématlque'