a) Rappeler ce qu’est une mesure intérieurement régulière, extérieurement régulière

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3

UE LM365 – Intégration 2 Année 2012–13

Examen final du 23 mai 2013 (1ère session) Durée : 2 heures.Tous documents interdits.

Exercice 1. Soient µet ν deux mesures sur un espace mesurable (E,A).

a) Rappeler ce que signifie : ν µ.

b) Énoncer le théorème de Radon–Nikodym.

Exercice 2. Soit m la mesure de comptage sur R.

a) Rappeler ce qu’est une mesure intérieurement régulière, extérieurement régulière.

b) i) SoitAun borélien deRtel quem(A) = +∞. Montrer qu’il existe une suite croissante (K_n) de compacts inclus dansA telle que lim_nm(K_n) = +∞.

ii) Traiter le cas plus facile où m(A) < ∞ afin de déduire que m est intérieurement régulière.

c) Montrer que m n’est pas extérieurement régulière.

Exercice 3. Soit (E,A, µ) un espace mesuré et C un π-système sur E engendrant A (c’est- à-dire queA =σ(C)).

a) Soit f ∈L¹(µ)telle que R

Ef dµ= 0.

i) Rappeler la définition d’une classe monotone.

ii) Montrer que

Λ :={A∈A : Z

A

f dµ= 0}

est une classe monotone.

iii) On suppose maintenant que pour tout C ∈C, R

Cf dµ= 0. Montrer que Λ =A. iv) En déduire que f = 0 µ−p.p.

b) Montrer que si f et g sont deux éléments de L¹(µ)tels que pour tout C ∈C, Z

C

f dµ= Z

C

g dµ, alors f =g µ−p.p.

Exercice 4. Soit (E,A) un espace mesurable et µ une mesure sur A ⊗Bor(R) telle que pour tout borélien B borné, µ(E ×B) < ∞. On suppose de plus que µ est invariante par les translations ‘verticales’, c’est-à-dire par les fonctions du type(x, y)7→(x, y+a).

Pour toutA∈A, on définit la fonction

µA :Bor(R)−→R¯⁺ B 7−→µ(A×B)

a) Montrer que pour tout A∈A, µ_A est une mesure.

b) Montrer que µ_A est invariante par translation.

c) Soit A∈A.

i) Dire pourquoi c_A:=µ_A([0,1]) est toujours fini.

ii) LorsquecA= 0, montrer que µA est la mesure nulle.

iii) Lorsque c_A6= 0, caractériser la mesure c⁻¹_A µ_A.

iv) En déduire qu’on a toujours µ_A =c_Aλ, où λ désigne la mesure de Lebesgue sur R. d) On définit

ν:A −→R¯+

A7−→µ(A×[0,1])

i) Montrer brièvement queν est une mesure.

ii) Montrer que pour tout A∈A et tout borélien B,µ(A×B) =ν(A)λ(B).

iii) En déduire que µest une mesure produit que l’on précisera.