La division régulière de l'espace et la structure de la matière

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La division régulière de l’espace et la structure de la

matière

Georges Fournier

To cite this version:

LA DIVISION

RÉGULIÈRE

DE L’ESPACE ET LA STRUCTURE DE LA

MATIÈRE

Par

_Georges

FOURNIER

Maître de recherches.

1. Le

_remplissage

de

_l’espace

_(suite.

Deuxième

_{problème :}

Paver

_l’espace

à trois dimensions à l’aide de

_{polyèdres réguliers}

convexes.

Conditions du

_{remplissage. - Pour}

_que

_l’espace

soit

_rempli

sans

_lacunes,

il faut

_qu’autour

d’une

arête,

commune à

_{plusieurs polyèdres,}

la somme

des

_angles

_{dièdres formés par} les faces de chacun d’eux soit

_égale

à 3600. Il

faut

_également

que la somme

des

_angles

solides en un sommet commun soit

_égale

à

4 7r

_(7200).

’Pour

_qu’un

_type

de

_{polyèdre puisse remplir}

l’es-pace à

lui

seul,

il faut :

~.~

_Que

le

_quotient

de _{3600 par}

_l’angle

dièdre oc

de deux faces du

_polyèdre

soit un nombre

_{entier ;}

20

_Que

le

_quotient

_{de 7200 par}

_l’angle

solide r

au sommet du

_polyèdre

soit

_également

un nombre

entier

(1).

Remplissage

par les cubes. - Ces conditions

ne sont _{réalisées que pour le}

_cube,

_pour

_lequel

ce = 900

et r = 90~. Pour tous les autres

polyèdres,

« et r

sont incommensurables avec _7t’, comme le montrent les données du tableau

_{(64). L’espace}

_peut

donc être

rempli

par des cubes

juxtaposés.

Les études de struc-ture cristalline nous ont d’ailleurs familiarisé avec

le réseau

_cubique.

,

Mais la

_{juxtaposition}

de _{cubes n’est pas le} seul

moyen de paver sans lacune

_{l’espace à}

trois dimen-sions. Nous _pouvons nous demander en effet si

l’asso-ciation de deux

_types

de

_polyèdres

ne résout _pas le

problème.

Remplissage

par octaèdres et tétraèdres

associés - L’examen du tableau

(64)

permet

de

constater que l’on a :

ce _que nous écrirons :

(1) En _réalité, ces deux conditions ne _{sont pas indépendantes}

l’une de l’autre, comme le montre l’examen de _{l’expression (46).}

ou, en

_multipliant

_par 2 :

D’autre

_part,

_{l’équation (46), appliquée}

successive-ment au tétraèdre et à

l’octaèdre,

nous donne :

En

_remplaçant

«j et ce, _par ces valeurs dans

l’ex-pression (66 bis)

il vient :

Les

_expressions

_{(66 bis)}

et

₍₇₃₎

_{montrent que les}

conditions

_exprimées

au

_premier

alinéa du

_présent

chapitre

sont bien

_remplies.

Elles nous montrent

donc _que

_l’espace

à trois dimensions

_peut

être

_pavé

sans lacune _par l’association d’octaèdres et de té-traèdres. Elles nous

_indiquent

en outre les

_premiers

éléments de la structure de cette association : 8

té-traèdres et 6 octaèdres auront un sommet commun

d’après

(73),

2 tétraèdres et 2 octaèdres étant associés

autour d’une arête commune,

d’après

(66

bis).

L’examen du tableau

₍₆₄₎

montre

_qu’aucun

autre

type

d’association de

_polyèdres

ne

_peut

satisfaire

aux conditions du

_premier

alinéa du

_chapitre.

L’em-pilement

de cubes et l’association octaèdre-tétraèdre

sont donc les _{derzx seuls modes de pavage de}

_l’espace

par éléments

réguliers.

Etude de l’association octaèdre-tétraèdre.

- Nous

pouvons remarquer immédiatement que dans cette association les centres des tétraèdres

forment un réseau

cubique

_centré,

les centres des

cubes étant alternativement un centre d’octaèdre

et un sommet commun

_(fig.

_2).

Mais ce n’est pas sous la forme d’un réseau

indé-Fig. 2.

e centre de tétraèdre

8 centre d’octaèdre * sommet commun.

fini que nous allons étudier l’association octaèdre-tétraèdre : nous allons considérer un

empilement

à

symétrie

sphérique

autour d’un centre C. A cet

em-pilement,

à ce _{magma de}

_polyèdres,

nous donnerons

le nom de

_morula,

_{qui désigne}

en

biologie

un stade

de

_segmentation

de l’oeuf

_auquel

les

_cellules,

non encore

_{différenciées,}

forment un _{semblable magma.}

Nous pouvons considérer à

_priori

_{quatre types}

de morula suivant que nous choisissons

comme

centre C de cette formation :

1° Le centre d’un

_{tétraèdre ;}

j

2° Le centre d’un

octaèdre ;

3° Un sommet _{commun ;} 40 Le milieu d’une arête.

Dans le

_quatrième

_cas, la morula

_présente

un axe de

_symétrie

_qui

_{passe par l’arête considérée.}

Il est _{bien entendu que} ces

_quatre

_types

de morula

ne

correspondent

_{pas à des} structures

_{différentes,}

mais à des

_façons

différentes

_{d’envisager}

une même

structure,

de

_découper

ou d’isoler dans un même

réseau indéfini des

_groupements

_qui

différeront

suivant le centre choisi. Les

_propriétés

du réseau indéfini se retrouveront donc dans chacun des

_types

de morula. En

_particulier

un

_polyèdre

_échangera

toujours

ses faces avec des

_polyèdres

de nature

différente,

et sera

_opposé

_par ses arêtes à des

po-lyèdres

de même nature. Ainsi un tétraèdre sera lié

par les faces à

quatre

octaèdres,

et

_opposé

_{par les}

arêtes à six autres tétraèdres. Nous étudierons

_plus

loin en détail ces relations de

_voisinage.

Etude de la morula à centre tétraèdre. Par

_convention,

nous

_prendrons

comme unité de

longueur

l’arête commune à tous les

_polyèdres.

Prenons comme

_origine

de coordonnées le centre

de la

_morula,

c’est-à-dire le centre C du tétraèdre central. Considérons dans

_{l’espace (fig.}

₃₎

le tétraèdre

central BFGH de centre C et l’un des tétraèdres

voisins,

BFIJ, opposé

par l’arête

BF,

et de centre E. Calculons la distance des centres CE.

_Joignons

CE

qui

coupe GH en

_A,

BF en T et IJ en D. C étant au

.

milieu de AT et E au milieu de

_TD,

on a

évidem-ment CE = AT = TD. Mais nous avons

déjà

calculé

la

_grandeur

AT

_(ou

_TD)

dans le tableau

_{(64) :}

c’est la distance de deux arêtes non concourantes du

polyèdre,

que nous avons

désignée

dans ce tableau

, ,

par la lettre D et que nous avons trouvée

_égale

à

₂

.

Ou

Reportons-nous

maintenant à la

_figure

2 : CE

représente

ici la maille du réseau

_cubique

indéfini

formé par les centres des tétraèdres. Cette maille

1 est donc

_égale

àà.

Fig. 3.

Positions des tétraèdres. - Il

en résulte que,

si

_{X, Y,}

Z sont les coordonnées du centre d’un té-traèdre

_quelconque

_par

_rapport

à

_l’origine

_C,

on aura

_{touj ours :}

x, y, z étant trois nombres entiers que nous

appel-lerons nombres de

_position

du tétraèdre.

Soit maintenant à la distance du centre de ce

tétraèdre

_quelconque

au centre de la

_morula,

c’est-à-dire à

_l’origine.

Nous avons :

x, y, z étant trois nombres

entiers,

x2 +

y2

+ z2 est

un nombre

_entier,

_et,

_plus

_{particulièrement,}

un

nombre entier

_susceptible

de la forme trinaire

(sus-ceptible

d’être mis sous la forme d’une somme de

trois carrés

_parfaits).

Or la théorie des nombres nous

_apprend

_{que les}

nombres entiers de la forme a2b

_(8c

+

7)

ne

_peuvent

être mis sous _{la forme trinaire. Nous pouvons donc}

dire _{que :} Dans la morula à centre

_tétraèdre,

les valeurs

possibles

du carré A2 de la distance A du centre d’un tétraèdre au centre de la morula sont les termes d’une

progression arithmétique

de raison

_0,5

et de

_premier

terme

_0,

à

_{l’exception}

des termes de la

_{f orme :}

Nous dirons _que le carré d2 de la distance A de son

centre au centre de la morula caractérise le niveau

géométrique

d’un tétraèdre dans la morula.

L’éno é

précédent

montre _{que certains niveaux}

_{géométriques}

ne

_peuvent

pas

exister,

par

exemple

[pour a

==

1,

c = 0 dans

l’expression (76)]

celui

qui

est

caracté-risé par t12 =

3,5.

Nombre des tétraèdres sur un même niveau. - Pour les niveaux

_qui

ne sont _pas caractérisés par

un à2 de la forme

(76),

il _{n’existe pas} un seul et

_unique

tétraèdre : le nombre de tétraèdres

_occupant

un même

. , . , _A2 E ,

l b

niveau,

caractérisé par A2 -

E,

est

_égal

au nombre

de manières

_possiblp,

de réaliser la valeur entière E à

partir

de trois nombres entiers

_quelconques,

_positifs

ou

négatifs,

x, y, z, suivant la relation :

Ce nombre de manières de réaliser E

_peut

être dé-terminé de la

_façon

suivante :

a)

Tout

_d’abord,

le nombre entier

_E,

forcément

trinaire, peut

être

_plus

d’une fois trinaire. Par

_exemple

9 est doublement

_trinaire,

car l’on a d’une

_{part :}

et d’autre

_{part :}

Si E est k f ois

_trinaire,

nous _aurons, sur le niveau

E caractérisé , ar A 2 =

E,

k roupes d’ ’d caractérisé par A2 ===

2

groupes de tétraèdres : ... etc...

Cx,

C’x etc.,

étant des carrés

_parfaits.

Géométriquement,

les tétraèdres d’un même niveau

appartenant

à _{des groupes différents} ont bien leurs centres situés à la même distance du centre de la

morula,

mais leur

_orientation,

leur « assiette » dans

la morula sera certainement diff érente.

b)

Dans

_chaque

groupe, en nous

_plaçant

dans le

cas le

_plus

_général,

le

nombre cp

de solutions

_possibles

provient :

10 Des

_permutations

entre _{x, y et z ;} au nombre

de 1t;

20 De l’existence des deux racines - x et _{-f- x}

de x2.

Le nombre total de

_dispositions

_{différentes pour} les deux

_signes

+ et -

pris

3 à 3

_{étant ’~}

on aura

Calculons maintenant

_P.

Les deux «

objets

» ₊

et -

ris

3 à 3 donnent

2 3 . 4 ‘

4 combinaisons p

31

complètes

qùi

sont :

les deux extrêmes ne

_changent

_{pas par}

permutation,

comme d’autre

_{part :}

n = 3! =

6,

_{on a} finalement :

y 48

C’est là Je nombre maximum de tétraèdres dans

chaque

groupe. Dans les cas

_particuliers

où l’un des nombres _{x, y,} z devient

_nul,

ou

_lorsque

deux des

nombres x,

y, z sont

_égaux

entre _eux, ce nombre est

réduit à

_{24 ;}

si x =

y z, y =

_{8 ;}

si deux des nombres

XI y, z sont

nuls,

7c = 6. Le tableau suivant résume ces résultats :

TABLEAU

_(77).

Exemples numériques. -

Dans les tableaux

_qui

vont

_suivre,

nous allons

_donner,

_{pour les}

_premiers

niveaux de tétraèdres dans la morula à centre

té-traèdre,

caractérisés par leur

_A2,

les _différentes

per-mutations

_possibles

_pour

_x2,

_{y2, z2,}

les différentes

permutations

et combinaisons des trois nombres entiers _{x, y, z,} et leur nombre total _(p. Dans la

der-nière colonne nous

_{désignerons chaque}

tétraèdre par une notation

_qui

_s’explique

d’elle-mème : une

lettre

_{caractéristique}

du niveau aff ectée d’un indica allant de 1

_{à y}

_(Voir

tableau

_78).

Position des octaèdres. -

Reportons-nous

encore

à la

_figure

2. La maille du réseau

_cubique

formé _par

les centres des tétraèdres

_vaut,

rappelons-le, 1 .

_pp La

’r

distance du centre d’un cube aux faces est

donc .1.

2B/2

Les coordonnées des centres des cubes sont donc

données par :

x, y, z étant trois nombres entiers

_(voir

en

₍₇₄₎

les

coordonnées des

_sommets).

Mais tous les centres de cubes ne sont _{pas des} centres

d’octaèdres : ils sont alternativement centre d’octaèdre

et sommet commun. _{Pour que les coordonnées}

₍₇₉₎

soient bien celles d’un centre

_{d’octaèdre,}

il faut leur

_adjoindre,

comme on s’en rendra facilement

compte

par l’examen de la

figure 2,

la condition suivante :

x _{+ y +} z

_impair.

₍₈₀₎

Calculons maintenant le carré de la distance du

centre de l’octaèdre au centre de la morula. La

condi-tion

₍₈₀₎

restant

_{sous-entendue,}

nous avons :

Le numérateur de la fraction étant nécessairement

pair, l’expression

(83)

peut

être mise sous la forme :

P étant un nombre entier. Il en résulte que :

Les carrés des distances au centre de la

_morula,

caractérisant les niveaux

_{géométriques}

des

_octaèdres,

sont en

_progression

arithmétique

de raison

1,

le

premier

terme étant

0,375.

Nombre des octaèdres sur

_chaque

niveau.

-Les valeurs de x, y, z fournissant une solution à

l’équation

(84)

sont

_{données, d’après (83),}

_{par :}

que nous écrirons :

00 p

H a

comporte

deux racines telles que :

dont la somme est

_{toujours égale}

à 1. Pour _que ces

racines soient

_entières,

il faut _que

_Ax

_{prenne les}

valeurs données dans le tableau suivant

_{(89) :}

Les nombres

trian-gulaires

étant

repré-,

sentés _par

2

1

les nombres

_Ax,

_Ag,

Az,

sont doubles de nombres

_{triangulaires}

Tx,

Ty,

Tz,

et nous

écrirons

_{l’équation}

(86)

sous la f orme :

Tout nombre entier .P

_pouvant

être mis sous la

forme d’une somme de trois nombres

_{triangulaires,}

nous ne trouverons _{pas ici de niveau}

_inoccupé.

Le

nombre

_{d’occupants}

sur

_chaque

niveau nous sera

donné _par le nombre de solutions de

_{l’équation (90),}

provenant:

Io _{Des différents groupes de trois nombres}

trian-gulaires

dont la somme

_reproduit

le nombre entier

P;

,

20 De l’existence de deux racines à

_{l’équation}

x

_(x

-

1)

= Ax =

2 Tx,

c’est-à-dire de deux valeurs

différentes de x fournissant la même valeur de

Tx;

30 Des

_permutations

et combinaisons entre ces

éléments.

Les tableaux suivants faciliteront le calcul du nombre d’octaèdres sur

chaque

niveau :

TABLEAU

_(91).

TABI,EAU

_(92).

En n’omettant pas la condition

(80)

qui

élimine

la moitié des

solutions,

nous _{pouvons dresser le}

tableau

_{(93) analogue,}

_pour les

_octaèdres,

du

ta-bleau

₍₇₈₎

relatif aux tétraèdres

_(Voir

tableau

_93).

Relations de

_{voisinage :}

relations par faces

entre tétraèdres et octaèdres. - Nous _nous

proposons maintenant de déterminer

quels

sont les

quatre

octaèdres avec

_lesquels

un tétraèdre

_échange

une

_face,

et

_quels

sont les huit tétraèdres

_qui

re-couvrent les faces d’un octaèdre. Les

_polyèdres

seront

désignés

suivant la notation des tableaux

₍₇₈₎

et

(93).

Si un octaèdre m et un tétraèdre 0 ont une face

commune, la distance de leurs centres

C~

et

Co

est

égale

à la somme des _rayons r (1) et re des

_sphères

inscrites dans les deux

_polyèdres,

_{c’est-à-dire,}

_d’après

le tableau

_{(64) (voir}

_{premier chapitre) :}

Soient maintenant

_{X,,,, Y,,,,}

Zw les coordonnées du centre de

_{l’octaèdre, Xe, Ye,}

Zo

celles du centre

du tétraèdre. On aura :

Les

_expressions

₍₇₄₎

nous fournissent les valeurs de

Xo, Ye,

Ze en fonction des nombres de

_position

_xo,

yo, zo du tétraèdre. Les

_expressions

_{(79) jouent}

le

même rôle pour l’octaèdre. Si nous

_remplaçons

dans

l’équation

(96),

il

_vient,

en donnant à L2 sa valeur

(95)

ou, en effectuant :

cette

_équation

est vérifiée

_lorsque

8x,

8y,

8z sont tous trois

_égaux

à 0 ou à 1 : pour

qu’un

octaèdre et un

tétraèdre aient une

_face

commune il

_faut

et il

_suffit

_que la

_différence

entre les nombres de

_position

correspon-dants de l’un FM et de l’autre soit de soit zéro jso ou ou + + 1. Ce 1. Ce

_qui

_qui

donne les 8

_{possibilités}

suivantes :

TABLEAU

_(100).

’

Ces huit

_{possibilités}

_{correspondent}

aux 8 faces de

l’oc-taèdre,

aux 4 faces du tétraèdre. En

_effet,

si nous

considérons un

octaèdre,

et ses trois nombres de

posi-tion,

elles _{fournissent 8 groupes} de trois nombres de

position

pour les tétraèdres

voisins,

et ces _{8 groupes}

étant tous valables

_{puisqu’aucune}

condition restric-tive

_{n’intervient,}

on a bien 8 tétraèdres voisins et par

conséquent

8 faces à l’octaèdre. Mais si nous

considérons maintenant un tétraèdre et ses trois

nombres de

_{position, parmi}

les 8 _{groupes de trois} nombres de

_position

_que fournissent

_toujours

les

possibilités (100),

la moitié seulement conviennent à

des

_octaèdres,

_puisque

les nombres de

_position

de ces

derniers sont soumis à la condition restrictive

₍₈₀₎

xw

_{+ yU)}

+ z.

_impair.

Le tétraèdre n’a bien _que

quatre

octaèdres

_voisins,

donc

_quatre

faces. Nous

retrouvons donc bien dans nos

_équations

ce _que

nous avons introduit lors de la

_position

du

pro-blème,

à condition de ne _pas oublier la condition

restrictive

₍₈₀₎

Il ne reste

_plus

_maintenant,

_pour déterminer

nomi-nalement les liaisons _par faces de

_chaque

octaèdre

et de

_chaque

_tétraèdre,

_qu’à

effectuer la

compa-raison

_ligne

par

ligne

des tableaux

(78)

et

₍₉₃₎

en

notant la

_{correspondance chaque}

fois _que l’une des 8

_{possibilités}

₍₁₀₀₎

est réalisée. Les résultats de cette

opération

fastidieuse nous

_permettront

de dresser le

tableau

_général

_(117).

Auparavant,

nous allons étudier d’autres

_types

de

liaisons entre

_polyèdres

dans la morula.

Liaison des tétraèdres entre eux par les arêtes. - Comme _nous l’avons _vu

au § 1

du

_présent

chapitre,

les centres de deux tétraèdres

_opposés

_par

une arête sont distants de 1 =

2013.

Pour que deux

2

tétraèdres dont les nombres de

_position

sont

respec-tivement x, y, z, et

_{x’, y’, ~’}

soient _{liés par} une

_arête,

il faut et _{il sufl’it donc que l’on ait :}

ou, avec une notation

analogue

à celle du

para-graphe précédent :

82 + 82 + 82 = 1

x y z

(102)

J

ce

_qui

a lieu pour les six combinaisons suivantes :

. TABLEAU

(103).

’

,

le tétraèdre

_ayant

six arêtes.

La détermination nominale des liaisons de

té-traèdres _par arêtes se fera par l’examen

_ligne

à

_ligne

du tableau

_(78).

Liaison des octaèdres entre eux par les arêtes. - Deux octaèdres

opposés

par une arête

ont leurs centres distants de deux fois le rayon ~R. de la

_sphère

_tangente

aux arêtes. Le tableau

(64)

nous

la distance des centres est donc 1. Pour _que deux octaèdres dont les nombres de

posi-tion sont

_{respectivement}

x, y, z et

_{x’, y’, z’}

soient

ce _que nous écrirons :

ce

_qui

a lieu pour les douze combinaisons suivantes :

l’octaèdre

_ayant

12 arêtes.

Liaison des tétraèdres

_opposés

par le sommet.

- L’évaluation de la distance des centres de deux

tétraèdres

_opposés

par le sommet ne _{suffit pas,} cette

fois,

à déterminer les conditions de

_voisinage.

En

effet,

la distance des centres est la _{même pour deux} tétraèdres

_ayant

deux faces

_{parallèles séparées}

_par

toute

_{l’épaisseur}

d’un octaèdre : dans le

_premier

cas

la distance des centres est

_égale

à _{deux fois le rayon} de la

_sphère

circonscrite au

_{tétraèdre, soit,}

_d’après

le tableau

₍₆₄₎

V6

V6

dans le deuxième cas

le tableau

₍₆₄₎

2. 4 -

2 ;

dans le deuxième cas

4 2

elle est

_égale

à deux fois _{le rayon de la}

_sphère

ins-crite dans le

_tétraèdre,

_plus

deux fois le _rayon de la

sphère

inscrite dans l’octaèdre, soit en tout

ce

_{qui égale}

encore 2.

*

La condition pour que deux tétraèdres aient leurs

centres

_séparés

par

2

est que leurs nombres de

position

respectifs

x, y, z et

_x’,

_y’,

z’ soient soumis

à la relation :

que nous écrirons :

Il y a _pour cela 8

_{possibilités}

_désignées

_{par le}

ta-bleau

₍₁₀₉₎

TABLEAU

_(109).

Il y a

_donc,

autour d’un tétraèdre

0,

8 tétraèdres

,

6

’

.

dont les centres se trouvent à

2

2 du

sien,

dont 4 lui sont

_opposés

_par ses 4 _sommets, et les 4 autres sont

_séparés

de _{lui par} 4 octaèdres. Cherchons à

déter-miner,

parmi

les combinaisons du tableau

_(109),

celles

_{qui correspondent}

aux .4 tétraèdres

_opposés

par le sommet.

_Remarquons

tout _{d’abord que, pour}

chaque ligne

du tableau

(109),

la somme des trois

différences 8~ -~- 8x est

_impaire.

Si donc un

tétraèdre est _{tel que la} somme de ses nombres de

position

ait une

parité

déterminée,

les 8 tétraèdres

qui

lui sont liés _par les conditions

(109)

ont,

pour la

somme de leurs nombres de

_position,

la

_parité

con-traire. Soit Oi un tétraèdre dont la somme des nombres

de

_position

est

_impaire,

et

_ap

un tétraèdre à somme

des nombres de

_{position paire}

lié au

_précédent

_par

l’une des

_lignes

du tableau

_(109),

c’est-à-dire

_ayant

son centre

, V6

du centre du

_précédent.

Si Oi et

_Op

son centre à

2

du centre du

précédent.

Si 6 et

Op

ne sont _pas

_opposés

_par le

_sommet,

ils sont

_contigus

au même octaèdre w. Les nombres de

_position

de

l’octaèdre m ont

_forcément,

_d’après

la condition restrictive

_(80),

une somme

_impaire.

Par

_conséquent

la liaison _par face entre (ù et _{Oi doit} être caractérisée

par l’une des

lignes

du tableau

₍₁₀₀₎

_pour

_lesquelles

la somme des différences est

_paire.

Au contraire la liaison entre w et

_Op

doit être caractérisée par une

des autres

_lignes,

_pour

_lesquelles

la somme des difîé-rences est

_impaire.

Ce _que nous écrirons ainsi :

TABLEAU

_(110).

- Liaison entre _úJ et

TABLEAU

_(111).

- Liaison entre

co et

_6~.

Mais l’on a :

(de

même en _y,

_z).

Les diff érences _xfii --

X6p’

Yoi -

YOp’

devant satisfaire d’autre

_part

au tableau

_(109),

sont _{donc données par les}

_quatre

_lignes

suivantes de

ce tableau :

TABLEAU

_(112).

Ayant

ainsi éliminé les 4 tétraèdres

_qui

ne sont _pas

opposés

par le

sommet,

les

_quatre

autres

_lignes

du

tableau

₍₁₀₉₎

nous donneront les conditions à

_remplir

par leurs nombres de

position

pour que deux

té-traèdres Oi et

_6p

soient réellement

_opposés

_{par le}

sommet :

TABLEAU

_(113).

Nous remarquerons que dans le tableau

_(113),

le

produit

des différences est

_toujours

_négatif,

tandis

qu’il

est

_{toujours positif}

dans le tableau

_(112).

Mais il faut bien

_{prendre garde}

_que les différences soient

prises

en retranchant les nombres de

_position

du

tétraèdre pour

lequel

leur somme est

_paire,

des

nombres de

_position

du _{tétraèdre pour}

_lequel

leur

somme est

_impaire.

_(Si

la différence était

_prise

dans l’autre sens, c’est le tableau

(112)

et non

_plus

le

ta-bleau

(113)

qui

donnerait les conditions

d’oppo-sition par le

sommet.)

Liaison des octaèdres par le sommet. - La

distance des centres est

_égale

à deux fois le _{rayon de}

B/2

la

_sphère

circonscrite à

_{l’octaèdre,}

c’est-à-dire

2 2 ou

~2.

I,a condition de

_voisinage

est donc donnée _par

Il existe donc six

_{possibilités :}

TABLEAU

correspondant

aux six sommets de l’octaèdre.

Les résultats obtenus

_jusqu’ici

dans ce

_quatrième

chapitre

sont rassemblés dans le tableau

_{(117) (Voir}

le tableau

_.11~).

’

Remarques

sur les liaisons entre

_polyèdres.

-- 10 Dans la

plupart

des cas, tous les

_polyèdres

situés sur un même niveau

_{géométrique}

ont les mêmes liaisons : par

exemple

les 12 tétraèdres situés sur le

niveau b

_(à2

=

1)

échangent

chacun :

1 face avec un octaèdre du niveau x

(l2 --- 0,375)?

2 faces avec des octaèdres du

_{niveau 8 (d2}

=1,375) ;

1 face avec un octaèdre du niveau _y

(à2 == 2,375) ;

2 arêtes avec des tétraèdres du niveau a

_(à2

=

0,5) ;

2 arêtes avec des tétraèdres du niveau c

_{(¡l2 =1,5) ;}

2 arêtes avec des tétraèdres du niveau e

(à2

==

2,5) ;

1 sommet avec un tétraèdre du

niveau a ;

2 sommets avec des tétraèdres du niveau e ; 1 sommet avec un tétraèdre du niveau

_{1 (à2}

==

4, 5).

20 Dans certains _cas, tous les

_polyèdres

situés sur

un même niveau n’ont _{pas le} même type de liaisons.

Nous rangerons dans un même groupe ceux

_qui

ont le même

_type

de

_liaison,

et nous dirons _{alors que le} niveau est

_occupé

_par deux - ou

_plusieurs

-

groupes de

_polyèdres.

Par

_exemple,

_parmi

les 8 tétraèdres

occupant

le niveau c

₍₀₂

=

1,5),

les

quatre

premiers

(c,

à

_{c 4)}

_échangent

chacun 1 face avec un octaèdre _ar

3 faces avec des octaèdres _y et _c, tandis _{que les}

_quatre

autres

_(c,

à

_c,)

_échangent

chacun 3 faces avec des

TABLEAU

₍₁₁₇₎

_(suie).

donc sur le niveau c deux _{groupes de} 4 tétraèdres

caractérisés par le même A2 mais

ayant

des « assiettes »

géométriques

diftérentes. "

3° On _remarquera en outre

_{que la}

somme

_algébrique

des

_différences

de

_L12,

entre un

_polyèdre

et tous ses

voisins,

est constante _pour tous les

_polyèdres

de même

type,

quelle

que soit leur

position

dans la morula. Cette

propriété

est vraie

_séparément

_{pour les} liaisons _par

faces,

par arêtes et _par

_sommets,

et _par

_conséquent

pour l’ensemble de ces liaisons. Elle se conserve

également

dans les autres

_types

de

_morula,

où le centre n’est _pas au centre d’un tétraèdre.

-Etude des axes de

_symétrie

des édifices déri-vés de la morula à centre tétraèdre. - Il

s’agit

de déterminer comment la

_symétrie

du tétraèdre

central

(4

axes

_ternaires,

3 axes

_{binaires) peut}

se

conserver dans les édifices construits autour de lui.

Quelles

sont les conditions à

_remplir

par un édifice

pour

qu’il

ait un axe de

_symétrie

ternaire ? Cet axe

est nécessairement l’un des 4 axes ternaires du tétraèdre

central. Nous

_prendrons

_pour nombres directeurs de

ces 4 axes les nombres de

_position

des 4 octaèdres

voisins,

par les centres

_desquels

ils

_passent,

c’est-à-dire,

d’après

le tableau

_(117).

TABLEAU

_(118).

Considérons

_{particulièrement}

l’axe _{CX4 pour}

_lequel

on a : x =

y = z. Cet axe _{passera par} les centres de

tous les

_polyèdres

_pour

_lesquels

les nombres de

posi-tion satisfont à cette condition : x _{= y =} z. Les

pre-miers sont

_{(se reporter}

au tableau

117) :

TABLEAU

_(119).

La

_présence

ou l’absence de l’un

_quelconque

des

polyèdres

du tableau

(119)

ne

_change

rien à la

_symétrie

ternaire de

_{l’édifice, imposée}

par le tétraèdre central.

Il n’en est _{pas de même pour} les

_polyèdres

_qui

ne

sont _{pas enfilés} sur l’axe lui-même. Pour que la

symétrie

ternaire soit conservée dans ce _cas, il faut

que ces

_polyèdres

soient associés en « comités de

synétrie »

par trois ou

_multiple

de trois. Les nombres

de

_position

des

_polyèdres

d’un même comité sont

obtenus _par

_{simple permutation}

entre x, y et ~, de

.

telle sorte _{que l’on} a : -.

Voici,

par

exemple,

comment les octaèdres du

niveau g

se divisent en trois comités de

_symétrie

ternaire :

Pour

_qu’un

édifice conserve la

symétrie

ternaire,

il faudra donc

_qu’il

_ait,

sur le

niveau,

_{0, 3, 6,}

9 ou

12

_octaèdres,

et _pas

_{n’importe lesquels ;}

les comités

de

_symétrie

sont indivisibles.

_Voici,

comme autre

exem-ple,

la division en comités de

_symétrie

des 8 tétraèdres

du niveau c,

déjà

divisés en deux groupes

_{géométriques :}

TABLEAU

_(121).

Symétrie

binaire. --- Nous

prendrons

cette fois pour axe de

_symétrie

l’axe des X de la

_figure

2. Il passe par le centre du tétraèdre

central,

et par les

centres de tous les tétraèdres dont les nombres de

position

sont x,

0,

0,

coupant

ces tétraèdres aux

milieux de deux arêtes non concourantes. Voici les

premiers

tétraèdres ainsi enfilés sur cet axe :

TABLEAiT

_(122).

Les comités de

_symétrie

binaire de

_polyèdres

non

situés sur _{cet axe,} et

_{comportant 2 polyèdres,}

sont

définis par la condition _{que le nombre} de

_{position x}

doit être le même

_(x1

=

x2)

et

que l’on doit avoir en

outre :

, "

A titre

_{d’exemples,}

voici la

_{décomposition,}

en

comités de

_symétrie

_binaire,

d’un niveau d’octaèdres

et d’un niveau de tétraèdres

déjà

étudiés ci-dessus

par

rapport

à un axe ternaire.

_{(Tableau 123).}

TABLEAU

_(123).

Symétrie

maximum.-Pour que la

symétrie

sphé-rique

totale du tétraèdre central soit conservée dans

d’étudier se trouvent

_remplies

_par

_rapport

à tous les

axes de

symétrie

du tétraèdre central. Il est facile

de voir _{que cela}

_exige

_que

_chaque

_groupe

géomé-trique

soit ou bien entièrement

_vide,

ou bien

complè-tement

_rempli

de tous les

_{polyèdres qu’il}

_peut

contenir.

Représentation schématique. -Le

tableau

₍₁₁₇₎

contient

_{implicitement}

la

_{description complète}

de la

morula à centre tétraèdre. Mais la structure même de cette morula dans

_l’espace

à trois dimensions

_n’y

apparaît

que d’une

façon

tout à fait insuffisante. Le tableau

_schématique

₍₁₂₄₎

que nous donnons

maintenant donne des indications

_plus

directes sur

les liaisons entre

_polyèdres

et sur les comités de

symétrie.

TABLEAU

_(124).

Représentation spatiale.

- La

représentation

schématique

du tableau

(124)

exige

encore un _gros

effort et une

_longue

habitude pour que l’on

_puisse

imaginer

la structure réelle de la morula à

_partir

de ses données. Seule la construction

_{expérimentale}

de la morula à

_partir

de

_polyèdres

réels est satis-faisante. Nous devons même avouer _que c’est _par

cette voie _que nous avons commencé l’étude du

rem-plissage

de

_l’espace

_{par octaèdres} et

_{tétraèdres,}

passant

peu à peu des données

expérimentales

aux

considérations

_théoriques,

contrairement à ce _que

pourrait

laisser croire l’ordre

_logique

de notre

_exposé.

Nous avons réalisé les

_polyèdres

au _moyen

« Assemblo »

(1).

L’élément choisi est une

_plaque

en forme de

_{triangle équilatéral (fig.}

_4),

évidée dans

la

_partie

centrale. Les bords de la

_plaque

sont relevés et recourbés à _{la presse de}

_façon

à former des charnons

B

Fig. 4.

tels que

A, B,

C,

D,

dont un sur

_chaque

côté

_possède

une

_{petite languette}

déformable L. Un axe en acier

de même

_longueur

_{que le côté du}

_triangle

équila-téral

_(soit

7

_cm),

enfilé dans les charnons suivant

le

_{pointillé (fig.}

_4),

et _{freiné par} la

_languette

_L,

assure

la

_jonction

avec une

_{pièce analogue,}

comme le montre la

_{figure 5,}

les charnons d’une

_pièce

venant

_prendre

(1) Nous tenons à remercier vivement M. Pierre-Louis MONT-CHANIN, fabricant du _jeu « Assemblo », qui nous a fourni les

pièces nécessaires et la confection de nos _modèles, et s’est mis à notre _disposition avec un désir évident de servir la Science.

la

_place

laissée libre _par ceux de la voisine.

_Quatre

de ces

_pièces

convenablement associées donnent

un

_tétraèdre,

huit un octaèdre. L’existence d’un

Fig. 5.

intervalle MN

_(fig.

₅₎

entre les charnons médians de

deux

_{pièces contiguës}

nous a

_permis

l’introduction sur l’axe d’une

_{petite pièce}

de

_jonction

assurant

l’association des

_polyèdres

entre eux.

Ce

_{procédé d’assemblage}

_permet

de construire des modèles tout à fait satisfaisants

_(1).

La

_grande

perfection mécanique

des

_pièces

autorise la

confec-tion de morulas très étendues. L’évidement central

des

_pièces

_permet

de voir à

_{l’intérieur,}

et les vernis

de différentes couleurs

_ajoutent

à la clarté de l’en-semble

_(2).

(1) Nous donnerons ultérieurement des reproductions de ces

modèles. Seule la _{photographie stéréoscopique, toutefois, permet} de se rendre un _compte exact de ce _qu’ils sont en réalité.

(2) De façon à rendre _plus visibles les _liaisons, nous avons

récemment modifié ces modèles en réduisant les dimensions des

polyèdres (arête ramenée à 3,5 cm) et en ne les _{juxtaposant plus} face à face, mais par l’intermédiaire de tiges de 14 cm _qui

repré-sentent les liaisons par faces. Les pièces utilisées sont de la même provenance que précédemment.