[ Baccalauréat TMD Métropole \ juin 2004
EXERCICE 7 points
On désigne parf la fonction définie surRpar
f(x)=x+a+be−x, oùaetbsont des réels.
On rappelle que e−xpeut aussi s’écrire 1 ex.
La courbeC, sur la feuille annexe à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal³
O ;−→ ı,→−
´ .
On désigne parf′la fonction dérivée de la fonctionf. 1. Pour tout nombre réelx, déterminerf′(x).
2. Déterminer graphiquement les valeurs def(0) etf′(0) sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.
3. En déduire un système d’équations vérifié par les nombres réelsaetb.
Résoudre ce système pour déterminer les nombres réelsaetb.
On choisit pour la suite de l’exercicef(x)=x+3+e−x. 4. Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers+∞.
5. Montrer que la droite D d’équationy=x+3 est une asymptote à la courbeC au voisinage de +∞.
6. On nomme A le point d’abscisse−1 de la courbeC.
Déterminer une équation de la tangente T à la courbeCau point A.
7. Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbeC sur la feuille annexe que l’on joindra à la copie.
PROBLÈME 13 points
Soitf la fonction définie sur l’intervalle
·1 e;+∞
· par : f(x)=x2(2lnx−3) , etC sa courbe représentative dans un repère orthonormal³
O ;−→ ı ,→−
´
d’unité graphique 1 cm.
Partie A
1. Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers+∞.
2. On désigne parf′la fonction dérivée de la fonctionf. Montrer que, pour tout nombre réelxde l’intervalle
·1 e;+∞
· , f′(x)=4x(lnx−1).
3. Résoudre dans l’intervalle
·1 e;+∞
·
, l’inéquation lnx−1>0.
En déduire le signe def′(x) sur l’intervalle
·1 e;+∞
· .
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
4. Déterminer les valeurs exactes def µ1
e
¶
, f(1),f¡p e¢
etf(e).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle.
On portera les valeurs def(e) etf µ1
e
¶
et leur valeurs arrondies à 10−2près.
6. On nomme A le point d’intersection de la courbeC et de l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
7. Tracer la courbeCdans le repère³ O ;→−
ı,−→
´ .
On fera apparaître le point A et la tangente au point d’abscisse e à la courbeC. 8. Soitmun nombre réel.
Déterminer graphiquement selon la valeur dem, le nombre de solutions de l’équationf(x)= m.
Partie B
1. SoitFla fonction définie sur l’intervalle
·1 e;+∞
· par F(x)=2
3x3lnx−11 9 x3. Montrer queFest une primitive de la fonctionf sur l’intervalle
·1 e;+∞
· . 2. Calculer l’intégrale I=
Ze
1 f(x) dx.
En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à 10−2.
Métropole 2 juin 2004
Baccalauréat technique de la musique et de la danse A. P. M. E. P.
Feuille annexe à rendre avec la copie
O −→ ı
−
→ 10
C
Métropole 3 juin 2004
