juin 2004
EXERCICE 7 points
f(x)=x+a+be−x, 1. On af′(x)=1+(−1)×be−x=1−be−x.
2. Graphiquement on lit :
½ f(0) = 4 f′(0) = 0 3. On af(0)=a+bet
f′(0)=1−b.
D’où
½ a+b = 4
1−b = 0 ⇐⇒
½ a+b = 4
1 = b ⇐⇒
½ a = 3
1 = b
Doncf(x)=x+3+e−x. 4. On sait que lim
x→+∞e−x=0, donc lim
x→+∞f(x)= +∞.
5. de+∞. Soit la fonctionddéfinie surRpar : d(x)=f(x)−(x+3)=e−x.
Comme lim
x→+∞e−x=0, alors lim
x→+∞d(x)=0, ce qui signifie que la droite (D) d’équationy=x+3 est asymptote oblique àC au voisinage de plus l’infini.
6. A(−1 ;y)∈C ⇐⇒ y= −1+3+e1=2+e.
Une équation de la tangente T à la courbeC au point A est :
y−(2+e)=f′(−1)(x−(−1))⇐⇒ y−(2+e)=(1−e)(x+1)⇐⇒ y=2+e+x(1−e)+1−e⇐⇒
y=x(1−e)+3 7. Voir à la fin la figure.
PROBLÈME 13 points
f(x)=x2(2lnx−3) , Partie A
1. Comme lim
x→+∞lnx= +∞, on a lim
x→+∞2lnx−3= +∞et comme lim
x→+∞x2= +∞par produit de limites lim
x→+∞f(x)= +∞.
2. On af′(x)=2x(2lnx−3)+x2×2
x=4xlnx−6x+2x=4xlnx−4x=4x(lnx−1).
3. lnx−1>0 ⇐⇒lnx>1 ⇐⇒ x>e par croissance de la fonction exponentielle.
Commex>1
e,x>0, donc le signe def′(x) est celui du facteur lnx−1.
• Sur ]e ;+∞[,f′(x)>0 : la fonctionf est croissante.
• De même sur
·1 e;+e
·
,f′(x)<0 : la fonctionf est décroissante.
4. • f µ1
e
¶
= µ1
e
¶2µ 2ln1
e−3
¶
= 1
(e)2(−2ln e−3)= 1
(e)2(−2−3)= −5 e2;
• f(1)=12(2ln 1−3)= −3 ;
• f¡p e¢
=¡p e¢2
(2lnp
e−3)=e¡
2×12−3¢
=e×(−2)= −2e ;
• f(e)=e2(2ln e−3)=e2(2−3)= −e2.
5.
x 1e 1 p
e e +∞
f(x)
−e12 ≈ −0, 77
−3
−2e
−e2≈ −5, 44
+∞
6. A a pour ordonnée 0, donc son abscissexvérifie : x2(2lnx−3)=0⇐⇒2lnx−3=0, car 0∉
·1 e;+∞
·
; 2lnx−3=0 ⇐⇒2lnx=3⇐⇒ lnx=32 ⇐⇒ x=e32. A³
e32 ; 0´ .
7. La tangente à la courbe au point d’abscisse e a pour coefficient directeur f′(e)=4e(ln e−1)=4e(1−1)=0 : la tangente est horizontale.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7 1 2 3 4 5
1 e
−e52
pe e
−2e
−e2
A
8. • Sim< −e2: 0 solution ;
• Sim= −e2: 1 solution ;
Métropole 2 juin 2004
• Si−e2<m6−5
e2: 2 solutions ;
• Sim> −5
e2: 1 solution.
Partie B 1.
F(x)=2
3x3lnx−11 9 x3. On aF′(x)=3×2
3x2lnx+1 x×2
3x3−3×11 9 x2= 2x2lnx+2
3x2−11
3 x2=2x2lnx−3x2=x2(2lnx−3)=f(x).
ConclusionFest une primitive def sur
·1 e;+∞
· . 2. D’après la question précédente :
I= Ze
1 f(x) dx=[F(x)]e1=2
3e3ln e−11 9 e3−
µ2
313ln 1−11 9 13
¶
=2 3e3−11
9e3+11 9 =11
9 −5 9e3≈
−9, 94 au centième près.
Métropole 4 juin 2004
Feuille annexe à rendre avec la copie
O −→ ı
−
→ 10
C
−1
2+e
