[ Concours Fesic–Puissance 11 – 13 mai 2017 \ Calculatrice interdite ; traiter

Calculatrice interdite ; traiter12exercices sur les16en2h ; répondre par Vrai ou Faux sans justification.

+1si bonne réponse,−1si mauvaise réponse,0si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

EXERCICE1 Lecture graphique

Dans le repère orthonormé³ O,→−

ı,−→

´

, on donne les points A(0,4; 3,6), B(3; 1), C(1; 1), D(1; 2), E(0; 2), F(1; 0), G(3; 3) et H(2; 1).

Soit u et v deux fonctions définies sur l’intervalle [0; 3] de courbes représentatives respectivesC_uetC_v tracées ci-contre.

On donne les informations suivantes :

• La droite (OA) est tangente àC_uà l’origine du repère .

• La droite (AB) est tangente àC_uau point B .

• Les droites (EF) et (GH) sont tangentes àC_v respectivement aux points E et G.

• C_u et C_v admettent respectivement aux points D et C une tangente horizontale.

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

A

B C

D E

F

G

H C_u C_v

O a.v^′(3)=3.

b.u^′(0)=9.

c.

µ1 v

¶_′

(1)=v^′(1).

d.(u×v)^′(3)=1.

EXERCICE2

Petites questions de logique sur les fonctions Soitf une fonction définie et dérivable sur [0; 1] . a.f(0,5) est compris entref(0) etf(1)·

b.Sif(0)>1 etf(1)<0 alors l’équationf(x)=1

2admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1].

Soit g une fonction définie sur l’intervalle [−2,5 ; 4,5] de courbe représentativeC_gci-contre.

c.Sig(x)=0 alorsx=4.

d.Six∈{−1 ; 0 ; 2 ; 4} alorsg^′(x)×g(x)=0.

−1

−2 1 2

1 2 3 4

−1

−2

−3

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5

C_g

EXERCICE3

Suites et algorithmes

On définit la suite (un) paru0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=1 2

q u²_n+12.

Pour tout entier naturelnon pose (vn) la suite définie parvn=u²_n−4.

On donne les valeurs arrondies à 10⁻²suivantes : p2 p

3 p

5 p

6 p

7 p

8 p

10 p

11 p

12 p

13 p

14 p

15

1,41 1,73 2,24 2,45 2,62 2,83 3,16 3,32 3,46 3,61 3,74 3,87

a.u1=p 3, u2=

p15

2 etu3=3p 7 4 . b.La suite (vn) est géométrique .

c.On démontre que, pour tout entier natureln,un=

r4ⁿ−1 4ⁿ⁻¹ . On considère l’algorithme

suivant :

d.SiE=0,1 alorsN=2.

Variables N est un nombre entier naturel Uest un nombre réel

Eest un nombre réel Traitement LireE

Affecter àNla valeur 0 Affecter àUla valeur 0 Tant que 2−U>Efaire

Début Tant que Uprend la valeur

pU²+12 Nprend la valeurN+12 Fin Tant que

Sortie AfficherN EXERCICE4

Limites et asymptotes a. lim

x→−∞

3x+1 x²−3= −∞.

b. lim

x→−∞

2

3xe^x= −∞.

Soitf la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par f(x)=

px+1+1

x+1 de courbe représentativeC_f dans le repère orthonormé³

O,−→ ı ,→−

´ .

c.C_f admet la droite d’équationy=1 comme asymptote horizontale en+∞.

d.C_f admet la droite d’équationx= −1 comme asymptote verticale.

EXERCICE5

Calculs d’intégrales a.

Z₁

0 2xe^x2dx=e² 2. b.

Z2 1

µ 2− 3

x²

¶ dx=1

2. c.

Z_e²

e

p1

tdt=2³ e−e¹²´

.

d.

Z_e²

e

1

xln(x) dx=3 e. EXERCICE6

Étude de deux fonctions

Soit f etg les fonctions définies par f(x)=ln(2x) et g(x)=ln¡ x²−1¢

de courbes représentatives respectivesC_f etC_g.

a.g µ1

2

¶

<0.

b.g^′(x)= 1 x²−1.

c.La tangente àC_g enx=p

2 a pour équationy=2p 2x−4.

d.Six∈¤ 1 ; 1+p

2¤

, la courbeC_g est située au dessus deC_f. EXERCICE7

Étude d’une fonction exponentielle

Soitf la fonction définie surRparf(x)=e^x2−2x. a.f(1)= −1

e. b. lim

x→−∞f(x)= lim

x→+∞f(x).

c.f^′(x)=f(x).

d.L’équationf(x)=1

3admet deux solutions dansR.

EXERCICE8

Notions de base sur les complexes

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³ O,→−

u,−→ v´

. Le point A a pour affixezA=1+i.

SoitCle cercle de centre O passant par le point A.

Soit B un point deCd’affixe réellezBpositive.

On définit le point E tel que le quadrilatère OBEA soit un losange.

a.zA=e^iπ4.

b.L’affixe du point B estzB=3 2. c.L’affixe du point E estzE=¡

1+p 2¢

+i.

d.OE=2p 2.

EXERCICE9

Petit exercice de probabilité

Mon vélo est sujet à de trop fréquentes crevaisons.

Une fois sur dix, quand je prends mon vélo au moins l’une des deux roues est crevée ; la probabi- lité que la roue avant soit crevée vaut 0,05 et les crevaisons à la roue avant et à la roue arrière sont indépendantes.

Je vais chercher mon vélo un jour quelconque, on note :

• V l’évènement « la roue avant est crevée ».

• Rl’évènement « la roue arrière est crevée ».

0,05 V

. . . R

. . . R

V

. . . R

. . . R a.P(V∪R)=0,1 etP(V∩R)=0,05×P(R).

b.J’ai constaté que la roue arrière était crevée ; la probabilité que la roue avant le soit également vaut 0,05.

c.La roue avant et la roue arrière ont la même probabilité d’être crevées.

d.Il y a une chance sur 380 pour que les deux roues soient crevées.

EXERCICE10

Probabilités continues

Soitµ₁etµ₂deux nombres réels,σ₁etσ₂deux nombres réels positifs.

Sur le graphique ci-dessous ont été représentéesC_f1 etC_f2 respectivement les courbes représenta- tives des fonctions densitéf1etf2de deux lois normalesN¡

µ1;σ²₁¢ etN ¡

µ2;σ²₂¢ .

1 2

−1

−2

−3

1

1 2 3

−1

−2

−3

(C_f

1en pointillés etC_f

2en trait plein) C_f

1

C_f

2

a.µ1<µ2etσ1<σ2.

Soitλ1etλ2deux nombres réels strictement posi- tifs.

Sur le graphique ci-contre ont été représentées C_g1 etC_g2 respectivement les courbes représen- tatives des fonctions densitég1etg2de deux lois exponentielles de paramètres respectifsλ1etλ2. 0

1 2 3

0 1 2 3 4

(C_g1en pointillés etC_g2en trait plein) C_g

1

C_g2

b.λ1<λ2.

Dans une région agricole, le rendement des parcelles de blé peut être assimilé à une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance 100 et d’écart-type 8 (en quintaux par hectare.)

On choisit une parcelle au hasard et on noteRson rendement.

c.La variable aléatoireZ=R−100

8² suit la loi normale centrée réduite.

d.La probabilité que la parcelle ait un rendement inférieur à 116 quintaux par hectare est égale à 0,9.

EXERCICE11

Notions de base dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé³ O,−→

ı,−→

,−→ k´

, on considère des deux plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives (P) :x−y=0 et (Q) : y+2z−3=0.

Ces plans se coupent selon une droite∆et on pose K le point de coordonnées K(1; 0; 2).

a.(P) et (Q) sont deux plans orthogonaux, b.Le vecteur−→

u(2 ; 2 ;−1) est un vecteur directeur de la droite∆.

c.









x = t

y = t

z = 3−t 2

avect∈Rest une représentation paramétrique de la droite∆.

d.Le plan (R) d’équation cartésienne 2x+2y−z=0 est parallèle à∆et contient la droite (OK).

EXERCICE12

Utilisation des complexes en géométrie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé³ O,→−

u,−→ v

´. Soit (E) l’équationz²−6z+12=0.

a.(E) admet deux solutions complexesz1etz2.

On posez1la solution ayant une partie imaginaire positive.

b.4−z1=2e^2iπ3.

Soit A le point d’affixezA=4 etM1etM2les points d’affixes respectivesz1etz2. c.³−→

u,−−−→OM1

´

=π

6 (mod2π).

d.Le pointM1est situé sur le cercle de diamètre [OA].

EXERCICE13

Un peu de trigonométrie dans l’escargot

Dans le triangle OA0B0isocèle en O, A1est le milieu du segment [A0; B0].

On note B1le symétrique de A1par rapport à la droite (OB0) et A2le milieu du segment [A1; B1].

En réitérant le processus on obtient, pour tout entier natureln, une suite de triangles isocèles OAnBn

(cf figure ci -dessous).

On poseα=Aà0OA1etℓ=OA0.

A₀ A₁ B₀

A₂ B₁ A₃

B₂ A₄

B₃ A₅

B₄ A₆ B₅ A₇ B₆ A₈ B₇ A₉ B₈

α

ℓ

O

« Il y a loin de la route aux escargots »

a.Pour tout entier naturelnon a OAn+1=sinα×OAnet AnAn+1=cosα×OAn. b.Pour tout entier naturelnon a OAn=ℓ×(cosα)ⁿ.

On pose, pour tout entier naturelnnon nul, la suite (Ln) définie par Ln=A₀A₁+A₁A₂+ · · · +An−1An.

c.Ln=ℓ×sinα×1−(cosα)ⁿ⁺¹ 1−cosα .

On rappelle que, pour tout réelx, on a sin²(x)=1−cos 2x

2 et sin(2x)=2×sinx×cosx.

d.Ln=ℓ×1−(cosα)ⁿ tan¡_α

2

¢ .

EXERCICE14

Fonction dépendant d’un paramètre

Pour tout nombre réelkstrictement positif, on définit la fonctionfkpar fk(x)=(x+k)e^−xde courbe représentativeC_k.

Par exemple sik=7, la fonctionf7est définie surRparf7(x)=(x+7)e^−x de courbe représentative C₇.

a.C_kcoupe les axes du repère aux points de coordonnées (k; 0) et (0 ;k).

b.Sik=3 alors la fonctionf3admet e²comme minimum surR.

c.La fonctionFk, définie parFk(x)=(−x−1−k)e^−xest une primitive defk.

d.L’aire de la portion de plan délimitée par la courbeC₃, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 etx=1 est égale à 4−5e⁻¹.

EXERCICE15

Notions d’espace dans un cube ABCDEFGH est un cube de côté 1 et³

A ;−−→AB,−−→AD,−→AE´ est un repère orthonormé de l’espace.

a.Le volume du tétraèdre BCDG est égal à1 6. b.L’aire du triangle BDG est égale à

p3 4 .

A B

C D

E F

H G

Définition: On appelledistance du pointΩau plan(P) la plus petite distanceΩM avecMun point du plan (P), elle représente la distanceΩH avec H le projeté orthogonal du pointΩdans le plan (P),

c.La distance du point C au plan (BDG) est égale à2p 3 3 . d.Une équation cartésienne du plan (BDG) estx+y−z−1=0

P Ω

M H

EXERCICE16 Étude d’une spirale Soit³

O,−→ ı ,→−

´

un repère orthonormé du plan.

D1etD2sont les droites d’équationsD1:y= −x, D2:y=xet M0représente le point de coordonnées (2; 0).

On construit M1le projeté orthogonal de M0sur la droiteD2, M2le projeté orthogonal de M1sur l’axe des ordonnées, M3le projeté orthogonal de M2sur la droiteD1et M4le projeté orthogonal de M3sur l’axe des abscisses.

On réitère le même procédé afin de définir, pour tout entier natureln, la suite de points (Mn) repré- sentée ci-dessous.

M₀ M₁

M₂

M₃

M₄

M₅ M₆ M₇ M₈ M₉

a 2

b

D²:y=x D1:y

=−x

On noteal’abscisse du point M1etbl’abscisse du point M4avecaetbdeux nombres réels.

a.a=1 et M1M2=1.

b.M2M3= p3

2 .

Pour tout entier natureln, on définit les suites (ln) et (Sn) à l’aide des relations ln=MnMn+1 et Sn=

Xn k=0

lk.

c.ln+1= p2

2 ×ln. d. lim

n→+∞Sn=2p 2+1.