Calculatrice interdite ; traiter12exercices sur les16en2h30; répondre par Vrai ou Faux sans justification.+1si bonne réponse,−1si mauvaise réponse,0si pas de ré- ponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EXERCICE1
Soitfla fonction définie surRparf(x)=exsinx.
a. lim
x→−∞f(x)=0.
b. lim
x→+∞f(x)= +∞. c. lim
x→0 x>0
f(x) x = +∞.
d. lim
x→−∞x f(x)= −∞.
EXERCICE2
Soitf la fonction définie surD=]−1 ; 1[ parf(x)=x+ln µ1−x
1+x
¶ . On appelleCla courbe représentantf dans un repère du plan.
a. C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
b. Quel que soita∈D, Za
−af(x) dx=0.
c. f est dérivable surDet, quel que soitx∈D,f′(x)=1+ 2 x2−1.
d. Un énoncé peut demander, sans erreur de rigueur mathématique, d’« étudier le sens de variation def(x) ».
EXERCICE3
Soient f1la fonction définie surR+∗parf1(x)=ln (ex−1) etf2la fonction définie surRparf2(x)=ln (ex+1).
On appelleC1etC2les courbes représentant respectivementf1etf2dans un même repère du plan et on appelle∆la droite d’équationy=x.
a. Au voisinage de+∞,C1possède l’asymptote d’équationy=x−1.
b. Quel que soitx∈R+∗, on af2◦f1(x)=x.
c. Soienta∈R+∗etα∈R. On suppose qu’au pointA¡
a; f1(a)¢
,C1possède une tangente de coefficient directeurα.
Il existe un point deC2en lequelC2possède une tangente de coefficient directeur 1
α.
d. Pour montrer que∆est asymptote àC2au voisinage de+∞, un élève peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, « je vais montrer que lim¡
f2(x)−∆¢
= 0 ».
EXERCICE4
Soitf1la fonction définie sur [0 ;+∞[ parf1(x)=xln(1+x).
Soitf2la fonction définie sur [0 ;+∞[ parf2(x)=xln(x) six6=0 etf2(0)=0.
On appelleC1etC2les courbes représentant respectivementf1etf2dans un même repère orthogonal du plan d’unités 3 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.
a. f2est continue en 0.
b. lim
x→+∞
¡f1(x)−f2(x)¢
=0.
c. On considère la surface délimitée par les courbesC1etC2d’une part et les droites d’équations respectivesx=1 etx=e d’autre part.
L’aire de cette surface en cm2est Ze
1 xln µ
1+1 x
¶ dx.
d. C1etC2possèdent deux tangentes parallèles entre elles au point d’abscisse 0.
EXERCICE5
On considère l’équation différentielle [E] : y′−2y=(2x−1)ex. On appellef la so- lution de [E] qui s’annule en 0.
a. La courbe représentant f dans un repère du plan possède une tangente au point d’abscisse 0 d’équationy=x.
b. Quel que soitx∈R,f(x)=2 Zx
0 f(t) dt+ Zx
0 (2t−1)etdt.
c. Si f′(x) possède une limite finie quandx tend vers−∞, alors f(x) possède une limite finie quandxtend vers−∞.
d. La fonctionf, définie parf(x)=e2x+(2x−1)ex, est la fonction définie dans l’énoncé.
EXERCICE6
a. On considère la fonctionf définie surRparf(x)=e−x1 six6=0 etf(0)=0.
On cherche à savoir sif est continue en 0. On tient pour cela le raisonnement suivant : « On a lim
x→0
1
x = +∞, donc lim
x→0
−1
x = −∞. On en déduit lim
x→0f(x)=0.
Comme on a poséf(0)=0, on en déduit quef est continue en 0. » Ce raisonnement est exact.
b. On considère la fonctionf définie surR+parf(x)=xlnxsix>0 etf(0)=0.
On cherche à savoir si f est dérivable en 0 à droite. On tient pour cela le rai- sonnement suivant :
«f est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[. Pour toutx>0, on af′(x)=1+lnx.
Or la limite def′(x) quandxtend vers 0 (x>0) n’est pas un nombre réel.
Cela suffit pour en déduire quef n’est pas dérivable en 0 à droite. » Ce raisonnement est exact.
c. On cherche à calculer la limite éventuelle de µ
1+1 n
¶n
quandntend vers+∞. On tient pour cela le raisonnement suivant :
« Soitf la fonction définie sur ]−1 ;+∞[ parf(x)=ln(1+x). On sait quef est dérivable sur ]−1 ;+∞[ et que, pourx> −1,f′(x)= 1
1+x. Or, en utilisant le changement de variablex=1
n, on obtient :
n→+∞lim nln µ
1+1 n
¶
=lim
x→0
ln(1+x)
x =f′(0)=1.
De plus, pour toutn∈N∗, µ
1+1 n
¶n
=enln¡1+n1¢. Compte tenu de ce qui pré- cède, on déduit que lim
n→+∞
µ 1+1
n
¶n
=lim
t→1et=e.
Conclusion : la limite cherchée existe et vaut e. » Ce raisonnement est exact.
d. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal³ O,→−
u,−→ v´
, on consi- dère les points A d’affixezA=1−i, B d’affixezB=3+3i et C tel que ABC soit équilatéral direct.
Pour calculer l’affixezCde C, on rédige de la façon suivante :
« C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angleπ3, donc−−→
AC =eiπ3−−→
AB . On en déduit :
zC−zA= Ã1
2+i p3
2
!
(zB−zA), soit, après calculs,zC=¡ 2−2p
3¢ +i¡
1+p 3¢
. » La rédaction utilisée est rigoureuse.
EXERCICE7
On a représenté, ci-dessous, la droite∆d’équationy=xet les courbesC,C′etC′′
représentant respectivement une fonctionf, sa dérivéef′et la dérivéef′′def′.
1 2
−1
−2
−3
1 2 3
−1
−2
−3
C
C′
C′′
∆
O
a. La tangente àC au point d’abscisse 1 a pour équationy=1 2x+1.
b. Quel que soit le pointMdeC, le coefficient directeur de la tangente àC en Mest inférieur à3
2. c.
Z0
−1f′(x) dx=1.
d. L’aire, en unités d’aire, de la surface limitée par les courbesC′etC′′d’une part, et les droites d’équationx= −1,x=0 d’autre part, vaut f′(−1)+f(0), soit 2,5.
EXERCICE8
Pour toutn∈N, on considère les fonctionsfndéfinies surR+parfn(x)=x3+2nx−1 et on appelleCnla courbe associée àfndans un repère du plan.
On admet que, quel que soitn∈N, l’équation fn(x)=0 possède une et une seule solution dans [0 ; 1] ; cette solution (dont la valeur dépend den) sera notéeαn. À titre d’exemple, on a schématisé ci-dessous deux courbesCnetCm.
1 2 3
−1
−2
1
−1
a. Quel que soitn∈N,Cnest au-dessus deCn
+1. b. La suite (αn)nest décroissante.
c. La suite (αn)nest convergente.
d. On a lim
n→+∞2nαn=0.
EXERCICE9
On considère les suitesuetvdéfinies respectivement surN∗par : un=
Z1 0
1
1+xndx et vn= Z1
0
xn 1+xn dx.
a. La suiteuest croissante.
b. La suiteu+vest constante.
c. Quel que soitn∈N∗, on a 1
2(n+1)6vn6 1 n+1. d. La suiteuconverge vers 1.
EXERCICE10
a. On suppose queuest une suite réelle croissante.
On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit n∈N,unest croissant ».
b. On suppose queuest une suite réelle strictement croissante.
On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que
« quel que soitn∈N, (un)n<(un+1)n».
c. On suppose queuetvsont deux suites réelles qui possèdent la même limite.
Alors on a nécessairement : lim
n→+∞(vn−un)=0.
d. On suppose queuest une suite réelle.
uest bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée.
EXERCICE11
Soitf l’application définie surCparf(z)=z4−iz2+2.
a. L’équation f(z)=0 possède les solutions 1+i et1−i p2. b. Le produit des solutions de l’équationf(z)=0 est égal à 2.
c. Quel que soitz∈C,f¡ z¢
=f(z).
d. Siρ∈R+∗et si|z| =ρ, alors|f(z)| =ρ4−ρ2+2.
EXERCICE12
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal³ O,−→
u,−→ v´
. Soienta=2−i etb= −1+i.
On considère les pointsU,A,A′etBd’affixes respectives 1
2,a,aetb.
On appelleCle point d’affixectel queBsoit l’image deApar la rotation de centre Cet d’angleπ
2.
a. L ’homothétie de centreUet de rapport−1 transformeAenB.
b. On ac= −1−i.
c. Le quadrilatèreA A′BCest un rectangle.
d. Les pointsA,A′,BetCsont cocycliques.
EXERCICE13
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal³ O,−→
u,−→ v´
. On appelle A le point d’affixe−i.
À tout pointMd’affixez, distinct de A et de O, on associe le pointM′d’affixez′= z
z+i.
a. On a OM′=OM AM. b. ³−→
u,−−−→
OM′´
=³−−−→
OM,−−→
AM´ [2π].
c. SiM′est un point du cercle de centre O et de rayon 1, alorsMest sur une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
d. SiM′est sur l’axe des ordonnées, alorsMest sur le cercle de diamètre [OA].
EXERCICE14 Soitn∈N,n>3.
Une urne contient :
• nboules blanches, dont 2 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ;
• n+1 boules rouges, dont 3 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ;
• n+2 boules noires, dont 4 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2.
Toutes les boules sont indiscernables entre elles au toucher.
On prélève successivement, avec remise intermédiaire, 3 boules de l’urne.
On appelle A l’évènement : « les trois boules tirées sont de la même couleur ».
a. La probabilité d’obtenir A estn3+(n+1)3+(n+2)3 27(n+1)3 .
b. L’évènement contraire de A est : « les trois boules tirées sont de couleur deux à deux distincte ».
c. La probabilité que les trois boules tirées soient rouges est constante.
d. La probabilité que les trois boules tirées soient de couleur différente et portent chacune le numéro 1 est 2
n+ 3 n+1+ 4
n+2. EXERCICE15
a. La durée de vie d’un appareil électronique est une variable aléatoire qui suit une loi sans vieillissement de paramètre 0,03.
Soienttethdeux réels positifs.
Sachant que l’appareil fonctionne à l’instantt, la probabilité qu’il fonctionne encore à l’instantt+hest 1−e0,03h.
b. Une variable aléatoireX suit une loi exponentielle de paramètreλ. On sait que la probabilité d’avoirX65 est 0,2.
On aλ=ln 0,8 ln5 .
c. Une variable aléatoireXqui suit une loi sans vieillissement de paramètre1 2. La probabilité d’avoir X supérieur ou égal à ln 4 est égale à la probabilité d’avoirXinférieur à ln4.
d. Soient deux réelsaetb,a<b. Une variable aléatoireXsuit une loi de répar- tition uniforme sur [a;b].
On sait que la probabilité d’avoirXcompris entre 0 et 5 est 0,2.
On a nécessairementa=0 etb=25.
EXERCICE16
L’espace est muni du repère orthonormal³ O,−→
ı ,−→
,→− k´
.
On considère le planP d’équationx−2y+2z−1=0, les points A(1 ; 1 ; 1), B(−1 ; 5 ;−3) et C(3 ; 0 ; 5).
a. Une équation du segment [AB] est
y = 1+t
y = 1−2t
.z =1+2t
, avect∈[0 ; 1].
b. La distance de B àP est égale à la norme du vecteur−−→AB .
c. La sphère de centre A passant par B coupe le planP en un cercle de centre A et de même rayon.
d. L’isobarycentre de {A, B, C} est un point deP.
